資源簡介

(共77張PPT)
3.1 函數的概念與性質
3.1.3 函數的奇偶性
第2課時 函數奇偶性的應用
探究點一 利用函數奇偶性求解析式
探究點二 奇偶性與單調性的簡單應用
探究點三 函數圖象的對稱性的證明及應用
◆
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
課堂評價
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.掌握用奇偶性求解析式的方法;
2.理解奇偶性對單調性的影響并能用來比較大小、求最值、解不
等式.
知識點一 奇偶性與單調性的綜合應用
1.對稱區間內的單調性.
奇函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性______，偶函數在關
于原點對稱的兩個區間上的單調性______.
相同
相反
2.比較大小.
兩個因變量比較大小：對于偶函數，如果兩個自變量在關于原點對
稱的兩個不同的單調區間上，即自變量的正負不統一，那么①應利
用圖象的對稱性將自變量化歸到同一個單調區間，然后根據單調性
判斷；②根據在兩個對稱區間內的單調性情況，比較兩個自變量的
絕對值大小，即到 軸的距離大小，進而比較兩個因變量的大小.
知識點二 證明函數圖象的對稱性
若函數滿足，則函數 的圖象關于直線
對稱，且函數 為偶函數；
若函數滿足，則函數 的圖象關于點
對稱，且函數 為奇函數.
【診斷分析】
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若函數為奇函數，則 .( )
√
[解析] 若為奇函數，則，即 .
（2）若函數 為奇函數，則滿足
.( )
[解析] 由奇函數的定義知，若 為奇函數，則應當滿足
，即 .
×
（3）若函數 為偶函數，則滿足
.( )
√
判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
探究點一 利用函數奇偶性求解析式
例1（1）已知函數是定義在上的偶函數,當 時,
,則函數在 上的解析式是( )
A. B.
C. D.
[解析] 是定義在上的偶函數,當時, ,
,
所以當 時，，
又當 時,,所以
√
（2）函數可表示為一個奇函數
與一個偶函數的和，則 _________.
[解析] 因為，所以 ，即
，則 .
變式 已知是偶函數,是奇函數,且 ,
求, 的解析式.
解：因為是偶函數,是奇函數,所以 ,
.由 ,
得 ,
即 .
由①②得, .
［素養小結］
利用奇偶性求函數解析式的注意事項:
（1）求哪個區間的解析式就設在哪個區間內;
（2）將問題轉化代入已知區間的解析式;
（3）利用函數的奇偶性寫出或,從而求出.
探究點二 奇偶性與單調性的簡單應用
角度1 比較大小
例2 設偶函數的定義域為，當時， 是增函數，
則，， 的大小關系是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為函數為上的偶函數，所以 ，
．又當時，是增函數，且 ，
所以，即 ．故選A.
√
變式 已知定義在上的奇函數滿足對任意的 ，
，都有，則，，
從小到大依次是________________.
,,
[解析] 因為對任意的， ，
都有,所以函數在上單調遞減，
因為函數 是奇函數，所以函數在上單調遞減，
又 ，所以 .
［素養小結］
利用函數的奇偶性與單調性比較大小，需要注意看自變量是否在同
一單調區間上.
（1）在同一單調區間上，直接利用函數的單調性比較大小；
（2）不在同一單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同
一單調區間上，然后利用單調性比較大小.
角度2 解不等式
例3（1）若定義域為的奇函數在區間 上單調遞增，則
不等式 的解集為( )
A. B. C. D.
[解析] 為上的奇函數，，又在區間 上
單調遞增，在上單調遞增， 由不等式
得， ，解得
， 不等式的解集為 .故選A.
√
（2）已知定義在上的函數在 上單調遞增，若函數
為偶函數，且，則不等式 的解集為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由函數為偶函數，可知函數 的
圖象關于直線對稱，又函數在
上單調遞增，所以函數在 上單
調遞減，由，知，作出函數
的大致圖象，如圖所示.
由圖可知，當 時，，則；
當時，，則 ；
當時，，則；
當時， ，則.所以不等式的解集為
.故選B.
變式（1）已知是定義在上的偶函數，且在 上是增函數，
若，則使的 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為是定義在上的偶函數，且在 上是增函數，
所以在上是減函數，因為，所以 ，
所以，即或,解得或 .
故選A.
√
（2）［2025·廣東佛山高一期中］已知函數是定義在 上的奇函
數，且當時，.當時，函數 的解析式為
________________，不等式 的解集為________
______.
[解析] 由為奇函數，得 ，
當時， ，故
，
故當時， .
由，得 ，故求 的解集，
即求的解集，則或
畫出函數 的圖象，如圖所示，由圖易得
的解集為, 的解集為
，故不等式 的解
集為 .
［素養小結］
利用函數奇偶性與單調性解不等式需注意：
（1）利用已知條件，結合函數的奇偶性，把已知不等式轉化為
或的形式；
（2）根據奇函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相同，偶函
數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相反，“脫掉”不等式中的“
”轉化為簡單不等式求解.
探究點三 函數圖象的對稱性的證明及應用
［探索］ 點關于直線對稱的點如何描述？點 關于
點對稱的點如何描述？點關于點 對稱的點如何描述？
解：點關于直線對稱的點為，點 關
于點對稱的點為,點關于點 對稱的點
為 .
例4（1）已知函數 ，則( )
A.函數的圖象關于直線 對稱
B.函數的圖象關于直線 對稱
C.函數的圖象關于點 對稱
D.函數的圖象關于點 對稱
√
[解析] ， ，顯然
，不是偶函數，
的圖象不關于直線對稱，的圖象不關于直線 對稱，
故A錯誤；
同理，由不是偶函數，得 的圖象不關于直線
對稱，故B錯誤；
，，
是奇函數，該函數的圖象關于點對稱，
的圖象關于點 對稱，故C正確；
，
， 不是奇函數，的圖象不關于點 對稱，
故D錯誤.故選C.
（2）證明：函數的圖象關于直線 對稱.
證明：任取 ，則
，
，
因為，
所以函數的圖象關于直線 對稱.
變式 ［2025·湖北武漢高一期中］ 設函數 是奇函數，
函數的圖象與 的圖象有2024個交點，則這些交點的
橫坐標與縱坐標之和等于( )
A. B. C.10 120 D.5060
√
[解析] 因為函數 是奇函數，所以
，所以 ，
所以的圖象關于點 對稱.
因為，所以 ，
因為為奇函數，所以的圖象關于點 對稱.
又因為函數的圖象與 的圖象有2024個交點，
所以這些交點兩兩關于點對稱，所以這2024個交點的縱坐標
之和為 ，橫坐標之和為，
故這些交點的橫、縱坐標之和為 .故選A.
［素養小結］
若函數的圖象關于點中心對稱，則函數滿足
，證明函數圖象的對稱性問題都可以通
過奇函數、偶函數的圖象的對稱性進行證明.
1.設函數且為偶函數，則 等于
( )
A.6 B. C.2 D.
[解析] .故選A.
√
2.已知函數是偶函數，其圖象與 軸有4個交點，則方程
的所有實根之和是( )
A.4 B.2 C.1 D.0
[解析] 因為是偶函數，所以的圖象關于 軸對稱，
所以 的所有實根之和為0.故選D.
√
3.（多選題）［2025·湖南懷化高一期中］ 下列函數中，既是奇函數
又在定義域上是減函數的是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 對于A，函數 的圖象不過原點，
不關于原點對稱，所以 不是奇函數，故A
錯誤；
對于B，設 ，顯然其定義域為，
又因為 ，
所以是奇函數，因為 是增函數，
所以是減函數，故B正確;
對于C，函數 是奇函數，但在和
上是減函數，在定義域上不具有單調性，故C錯誤；
對于D，函數可化為 其圖象如圖所示，
故 既是奇函數又在定義域上是減函數，故D正確.故選 .
4.設定義在上的奇函數在區間 上單調遞減，若
,則實數 的取值范圍為________.
[解析] 因為定義在上的奇函數在 上單調遞減，
所以函數在上單調遞減.由 ,
得,則
解得 ,即實數的取值范圍為 .
5.設是定義在上的奇函數，且當時， ．若當
時，不等式恒成立，則實數 的取值
范圍是_________.
[解析] 由已知得當時， ，所以
易知在上單調遞增，則 ，
即，所以，所以 在
上恒成立，所以解得 .
函數奇偶性與單調性的綜合應用
（1）若奇函數在上是增函數，且有最大值，則在
上是增函數，且有最小值.
（2）若偶函數在上是減函數，則在上是增函數.
例1（1）若定義域為的奇函數在區間 上單調遞增，則
不等式 的解集為( )
A. B. C. D.
[解析] 為上的奇函數，.又在區間 上
單調遞增，在上單調遞增.
由不等式 ，得,，
解得 ,故不等式的解集為 .故選A.
√
（2）若定義在上的奇函數在 上單調遞減，且
，則 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為定義在上的奇函數在 上單調遞減，
所以在上單調遞減，且，.
當 時，可化為，即 ，
則，解得；
√
當時， ，
則可化為，
即 ，則，不滿足；
當時， ，滿足題意；
當時，，滿足題意；
當 時，可化為，即 ，
則，解得.
綜上， 的解集是 .故選B.
（3）（多選題）已知函數的定義域為，且 為奇函
數， 為偶函數，則( )
A. B.
C.為偶函數 D. 為奇函數
√
√
√
[解析] 因為為奇函數，所以的圖象關于 對稱，所
以，故A錯誤;
因為 為偶函數，所以的圖象關于直線對稱，
所以 ,所以，故B正確;
,
,即,故函數 為偶函數,故C正確;
，
則函數為奇函數，故D正確.故選 .
例2（1）定義在上的偶函數滿足對任意的 ,
，恒有 ,則( )
A. B.
C. D.
[解析] 由題可知函數在上是減函數.因為 為偶函數，
所以，又，所以 ，即
.故選A.
√
（2）定義在上的偶函數滿足對任意的 ，，
恒有 ，則當 時，有( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，
得在 上為增函數，
又為偶函數，所以在 上為減函數，
，且 ，
所以，
即 .故選C.
√
（3）定義在上的奇函數為增函數，偶函數 的圖
象與的圖象在上重合，設 ，給出下列不等式：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中成立的是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
√
[解析] 根據函數， 的奇偶性將四個不等式化簡，得
； ；
； .
由題意得 ，
顯然①③正確.故選C.
練習冊
1.如果奇函數在上是減函數且最小值是4，那么 在
上是( )
A.減函數且最小值是 B.減函數且最大值是
C.增函數且最小值是 D.增函數且最大值是
[解析] 根據奇函數的對稱性可得，函數在區間 上也是
減函數，又奇函數在區間上的最小值是4，所以 ，
所以，所以函數在區間 上的最大
值為 .故選B.
√
★2.已知偶函數在區間 上單調遞增，則滿足
的 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為偶函數在區間上單調遞增，所以 在區間
上單調遞減，又，所以 或
，解得 .
［點睛］ 解與函數奇偶性有關的不等式問題，要把自變量轉化到同
一個單調區間內.
√
3.已知函數的圖象關于原點對稱，函數在區間
上為增函數，最小值為5，那么函數在區間 上
( )
A.為增函數，且最小值為 B.為增函數，且最大值為
C.為減函數，且最小值為 D.為減函數，且最大值為
[解析] 由題知，函數為奇函數，所以在 上的單調性與
在上的單調性相同，因為在區間 上為增函數且最小
值為5，所以在區間上是增函數且最大值為 .故選B.
√
4.與函數 的圖象關于原點對稱的圖象對應的函數解析式為
( )
A. B. C. D.
[解析] 在與函數 的圖象關于原點對稱的圖象上任取一點
，則點關于原點對稱的點在函數 的
圖象上，所以，化簡得，因此與函數 的圖
象關于原點對稱的圖象對應的函數解析式為 .故選A.
√
5.已知是奇函數，且在定義域 上單調遞減，若
，則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ,
是奇函數,, 在
上單調遞減，解得 即
,故實數的取值范圍是 .
6.設是定義在上的奇函數，對任意的 ，
且，滿足且 ，則不等
式 的解集為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 設，由于是定義在 上的奇
函數，所以，所以 是定義在
上的偶函數.
又 ，所以 ，
即，所以在上單調遞增，則在
上單調遞減.
因為，所以 .對于不等式，
當時，有，即，所以 ；
當時，有，即，所以 .
綜上所述，不等式的解集為 .故選B.
7.（多選題）已知函數 為奇函數，則下列說法正確的為
( )
A.的圖象關于點 對稱
B. 恒成立
C. 恒成立
D. 的圖象關于原點對稱
√
√
√
[解析] 因為為奇函數，所以 的圖象關于原
點對稱，故D正確；
因為 的圖象關于原點對稱，所以 ，
故B正確，C錯誤；
由可知函數的圖象關于點 對
稱，故A正確.故選 .
8.［2025·陜西榆林高一期中］已知 為奇函數，
則 ___.
1
[解析] 為奇函數，
即
解得經檢驗,符合題意， .
9.已知偶函數和奇函數的定義域都是，且在
上的圖象如圖所示，則關于的不等式 的解集
是__________________.
[解析] 設 ，則
，所以 是奇函數.
由題圖可知當時，，，所以 ，
當時，，，所以 ，所以當
時，，當時，，所以
的解集為 .
10.（13分）［2025·河南南陽高一月考］ 已知函數為 上
的奇函數，當時，，且 .
（1）求函數 的解析式；
解：因為函數為 上的奇函數，
且當時，，所以 ，
又，所以 ，
所以當時， .
設，則 ，所以 ，
則，所以
（2）若函數滿足不等式，求實數 的取值范圍.
解：由（1）知
則在 上單調遞減，
又，所以解得，所以
的取值范圍是 .
11.若偶函數在上單調遞減，且 ，則不等式
的解集為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 為偶函數，， ，
在上單調遞減，在 上單調遞增，
，即或解得 或
， 不等式的解集為 .故選B.
12.（多選題）［2025·云南昆明高一期中］ 函數
，則下列函數的圖象中關于 軸對
稱的有( )
A. B. C. D.
[解析] 對于A，由，令 ，
則，得 ，化簡得
，即 ，則
，故的圖象關于 軸對稱；
√
√
對于B，將的圖象向右平移一個單位得到函數 的圖象，
故的圖象關于直線對稱，不關于 軸對稱；
對于C，因為 ，
，
不恒成立，所以函數 的圖象不關
于軸對稱；
對于D，由A選項可知， ，則
，易知的圖象關于軸對稱.故選 .
13.［2025·貴州畢節高一期中］已知是定義在 上的奇函數，設
函數的最大值為，最小值為，則 ___.
4
[解析] 由是定義在上的奇函數，得 ，
則 .
設，則函數的定義域為 ，
，
所以 為奇函數，則，即 ，
所以 .
14.（15分）已知函數滿足 ，
且 ．
（1）求，并判斷函數 的奇偶性；
解：由, ，
令，得，所以 .
函數的定義域為 ，
因為 ，
所以函數 是奇函數.
（2）若對任意，都有 恒成立，且當
時，不等式恒成立，求實數 的取值
范圍．
解：因為對任意，都有 恒成立，
所以函數在 上單調遞增.
14.（15分）已知函數滿足 ，
且 ．
不等式，即 ，
即，即 ，
所以，所以對 恒成立.
因為，當且僅當，即 時等號成立，
所以，
故實數的取值范圍為 .
15.已知函數，若存在正實數 ，使得
函數在區間上有最大值及最小值，則 ____.
15
[解析] .
令 ，其定義域為，則，
即 為奇函數，設函數在區間上的最大值、最小值分
別為 ，，則，
所以 , ，
所以 .
16.（15分）我們知道，“函數 的圖象關于原點對稱”的充要
條件是“函數 為奇函數”，有同學發現可以將其推廣為：“函
數的圖象關于點 對稱”的充要條件是“函數
為奇函數”.
（1）求證：點是函數 的圖象的對稱中心；
解：證明：令 ，
則,即 ，
,所以 是奇函數.
由題意，點是函數 的圖象的對稱中心.
（2）已知函數 ，求
的值.
解：由（1）知，函數的圖象的對稱中心為 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
快速核答案（導學案）
課前預習 知識點一 1.相同 相反 知識點二【診斷分析】（1）√（2）×（3）√
課中探究 探究點一 例1 （1）D （2） 變式 , 探究點二 例2 A 變式 ,,
例3 （1）A （2）B 變式 （1）A （2）
探究點三［探索］點關于直線對稱的點為，點關于點對稱的點為,點關于點對稱的點為 例4 （1）C （2）證明略 變式 A
課堂評價 1.A 2.D 3.BD 4. 5.
備用習題 例1 （1）A （2）B （3）BCD 例2 （1）A （2）C （3）C
快速核答案（練習冊）
基礎鞏固
1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.B 7.ABD 8.1 9.
10.（1）（2）
綜合提升
11.B 12.AD 13.4 14.（1）奇函數（2）
思維探索
15.15 16.（1）證明略（2）8第2課時　函數奇偶性的應用
【學習目標】
1.掌握用奇偶性求解析式的方法;
2.理解奇偶性對單調性的影響并能用來比較大小、求最值、解不等式.
◆ 知識點一　奇偶性與單調性的綜合應用
1.對稱區間內的單調性.
奇函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性　　　　,偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性　　　　.
2.比較大小.
兩個因變量比較大小:對于偶函數,如果兩個自變量在關于原點對稱的兩個不同的單調區間上,即自變量的正負不統一,那么①應利用圖象的對稱性將自變量化歸到同一個單調區間,然后根據單調性判斷;②根據在兩個對稱區間內的單調性情況,比較兩個自變量的絕對值大小,即到y軸的距離大小,進而比較兩個因變量的大小.
◆ 知識點二　證明函數圖象的對稱性
若函數f(x)滿足f(x+a)=f(a-x),則函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱,且函數f(x+a)為偶函數;
若函數f(x)滿足-f(x+a)=f(a-x),則函數f(x)的圖象關于點(a,0)對稱,且函數f(x+a)為奇函數.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若函數f(x)為奇函數,則f(-x)+f(x)=0.(　 )
(2)若函數y=f(x+1)為奇函數,則滿足f(-x-1)+f(x+1)=0. (　 )
(3)若函數y=f(x+1)為偶函數,則滿足f(x+1)-f(-x+1)=0. (　 )
◆ 探究點一　利用函數奇偶性求解析式
例1 (1)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,當x≥0時,f(x)=x2-2x,則函數f(x)在R上的解析式是 (　 )
A.f(x)=-x(x-2)
B.f(x)=x(|x|-2)
C.f(x)=|x|(x-2)
D.f(x)=|x|(|x|-2)
(2)函數f(x)=3x4-x3+-x-2可表示為一個奇函數h(x)與一個偶函數g(x)的和,則h(x)=　　　　.
變式 已知f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.
[素養小結]
利用奇偶性求函數解析式的注意事項:
(1)求哪個區間的解析式就設x在哪個區間內;
(2)將問題轉化代入已知區間的解析式;
(3)利用函數f(x)的奇偶性寫出-f(-x)或f(-x),從而求出f(x).
◆ 探究點二　奇偶性與單調性的簡單應用
角度1　比較大小
例2 設偶函數f(x)的定義域為R,當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關系是 (　 )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)變式 已知定義在R上的奇函數f(x)滿足對任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0,則f(3),f(-2),f(1)從小到大依次是　.
[素養小結]
利用函數的奇偶性與單調性比較大小,需要注意看自變量是否在同一單調區間上.
(1)在同一單調區間上,直接利用函數的單調性比較大小;
(2)不在同一單調區間上,需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一單調區間上,然后利用單調性比較大小.
角度2　解不等式
例3 (1)若定義域為R的奇函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,則不等式f(2x-1)-f(x)<0的解集為 (　 )
A.(-∞,1) B.[0,1)
C. D.(1,+∞)
(2)已知定義在R上的函數f(x)在(-∞,2]上單調遞增,若函數f(x+2)為偶函數,且f(3)=0,則不等式xf(x)>0的解集為 (　 )
A.(0,3)
B.(-∞,0)∪(1,3)
C.(-∞,0)∪(3,+∞)
D.(0,1)∪(3,+∞)
變式 (1)已知f(x)是定義在R上的偶函數,且在(-∞,0)上是增函數,若f(2)=0,則使f(x)<0的x的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-2,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)
(2)[2025·廣東佛山高一期中] 已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且當x≤0時,f(x)=x2+2x.當x>0時,函數f(x)的解析式為　　　　　　,不等式x3[f(x)-f(-x)]>0的解集為　　　　　　.
[素養小結]
利用函數奇偶性與單調性解不等式需注意:
(1)利用已知條件,結合函數的奇偶性,把已知不等式轉化為f(x1)f(x2)的形式;
(2)根據奇函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相同,偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相反,“脫掉”不等式中的“f”轉化為簡單不等式求解.
◆ 探究點三　函數圖象的對稱性的證明及應用
[探索] 點(x1,y1)關于直線x=a對稱的點如何描述 點(x1,y1)關于點(a,0)對稱的點如何描述 點(x1,y1)關于點(a,b)對稱的點如何描述


例4 (1)已知函數f(x)=,則 (　 )
A.函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱
B.函數f(x)的圖象關于直線x=4對稱
C.函數f(x)的圖象關于點(2,2)對稱
D.函數f(x)的圖象關于點(4,4)對稱
(2)證明:函數f(x)=x2+4x-5的圖象關于直線x=-2對稱.
變式 [2025·湖北武漢高一期中] 設函數y=g(x-2)+3是奇函數,函數f(x)=的圖象與g(x)的圖象有2024個交點,則這些交點的橫坐標與縱坐標之和等于 (　 )
A.-10 120 B.-5060
C.10 120 D.5060
[素養小結]
若函數f(x)的圖象關于點(a,b)中心對稱,則函數f(x)滿足f(x+a)-b=b-f(a-x),證明函數圖象的對稱性問題都可以通過奇函數、偶函數的圖象的對稱性進行證明.
1.設函數f(x)=且f(x)為偶函數,則g(-2)等于 (　 )
A.6 B.-6
C.2 D.-2
2.已知函數y=f(x)是偶函數,其圖象與x軸有4個交點,則方程f(x)=0的所有實根之和是 (　 )
A.4 B.2
C.1 D.0
3.(多選題)[2025·湖南懷化高一期中] 下列函數中,既是奇函數又在定義域上是減函數的是 (　 )
A.y=-x+1 B.y=-x3
C.y= D.y=-x|x|
4.設定義在[-2,2]上的奇函數f(x)在區間[0,2]上單調遞減,若f(1+m)+f(m)<0,則實數m的取值范圍為　　　　.
5.設f(x)是定義在R上的奇函數,且當x≥0時,f(x)=x2.若當x∈[-1,a+2]時,不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立,則實數a的取值范圍是　　　　. 第2課時　函數奇偶性的應用
1.如果奇函數f(x)在[2,5]上是減函數且最小值是4,那么f(x)在[-5,-2]上是 (　 )
A.減函數且最小值是-4
B.減函數且最大值是-4
C.增函數且最小值是-4
D.增函數且最大值是-4
★2.已知偶函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,則滿足f(2x-1)A. B.
C. D.
3.已知函數y=f(x)的圖象關于原點對稱,函數y=f(x)在區間[3,7]上為增函數,最小值為5,那么函數y=f(x)在區間[-7,-3]上 (　 )
A.為增函數,且最小值為-5
B.為增函數,且最大值為-5
C.為減函數,且最小值為-5
D.為減函數,且最大值為-5
4.與函數y=的圖象關于原點對稱的圖象對應的函數解析式為 (　 )
A.y= B.y=-
C.y= D.y=-
5.已知f(x)是奇函數,且在定義域[-2,2]上單調遞減,若f(2a+1)+f(4a-3)>0,則實數a的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
6.設f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數,對任意的x1,x2∈(0,+∞)且x10且f(1)=2,則不等式f(x)>2x的解集為 (　 )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
7.(多選題)已知函數y=f(x-1)為奇函數,則下列說法正確的為 (　 )
A.y=f(x)的圖象關于點(-1,0)對稱
B.f(-x-1)+f(x-1)=0恒成立
C.f(-x+1)=-f(x-1)恒成立
D.y=f(x-1)的圖象關于原點對稱
8.[2025·陜西榆林高一期中] 已知f(x)=為奇函數,則m+n=　　　　.
9.已知偶函數f(x)和奇函數g(x)的定義域都是(-4,4),且在(-4,0]上的圖象如圖所示,則關于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是　　　　　　.
10.(13分)[2025·河南南陽高一月考] 已知函數f(x)為[-1,1]上的奇函數,當x∈[-1,0]時,f(x)=x2-ax+b,且f(-1)=2.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若函數f(x)滿足不等式f(t-1)>f(-2t),求實數t的取值范圍.
11.若偶函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減,且f(2)=0,則不等式<0的解集為 (　 )
A.(-2,2)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
12.(多選題)[2025·云南昆明高一期中] 函數f(x+1)=x2+2x-3|x+1|+3,則下列函數的圖象中關于y軸對稱的有 (　 )
A.f(x) B.f(x-1)
C.f(|x+1|) D.f(|x|)
13.[2025·貴州畢節高一期中] 已知f(x)是定義在R上的奇函數,設函數g(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=　　　　.
14.(15分)已知函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)-2(x,y∈R),且f(2)=6.
(1)求f(0),并判斷函數g(x)=f(x)-2的奇偶性;
(2)若對任意x≠y,都有[f(x)-f(y)](x-y)>0恒成立,且當x∈(0,4]時,不等式f(x)+f≥8恒成立,求實數m的取值范圍.
15.已知函數f(x)=(pq≠0),若存在正實數a,使得函數f(x)在區間[-a,a]上有最大值M及最小值m,則M+m=　　　　.
16.(15分)我們知道,“函數y=f(x)的圖象關于原點對稱”的充要條件是“函數y=f(x)為奇函數”,有同學發現可以將其推廣為:“函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)對稱”的充要條件是“函數y=f(x+a)-b為奇函數”.
(1)求證:點(-1,2)是函數f(x)=x3+3x2的圖象的對稱中心;
(2)已知函數f(x)=x3+3x2,求f(2022)+f(2023)+f(-2024)+f(-2025)的值.第2課時　函數奇偶性的應用
【課前預習】
知識點一
1.相同　相反
知識點二
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)若f(x)為奇函數,則f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0.
(2)由奇函數的定義知,若y=f(x+1)為奇函數,則應當滿足f(-x+1)=-f(x+1),即f(-x+1)+f(x+1)=0.
【課中探究】
例1　(1)D　(2)-x3-x　[解析] (1)f(x)是定義在R上的偶函數,當x<0時,-x>0,f(-x)=x2+2x=-x(-x-2),所以當x<0時,f(x)=f(-x)=-x(-x-2),又當x≥0時,f(x)=x2-2x=x(x-2),所以f(x)=|x|(|x|-2).
(2)因為h(x)+g(x)=f(x),所以h(-x)+g(-x)=f(-x),即-h(x)+g(x)=f(-x),則h(x)==-x3-x.
變式　解:因為f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=x2+x-2①,
得f(-x)+g(-x)=(-x)2-x-2,即f(x)-g(x)=x2-x-2②.
由①②得f(x)=x2-2,g(x)=x.
例2　A　[解析] 因為函數f(x)為R上的偶函數,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).故選A.
變式　f(3),f(1), f(-2)　[解析] 因為對任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以函數f(x)在[0,+∞)上單調遞減,因為函數f(x)是奇函數,所以函數在R上單調遞減,又3>1>-2,所以f(3)例3　(1)A　(2)B　[解析] (1)∵f(x)為R上的奇函數,∴f(0)=0,又f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,∴f(x)在R上單調遞增,∴由不等式f(2x-1)-f(x)<0得f(2x-1)(2)由函數f(x+2)為偶函數,可知函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱,又函數f(x)在(-∞,2]上單調遞增,所以函數f(x)在(2,+∞)上單調遞減,由f(3)=0,知f(1)=0,作出函數f(x)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當x<0時,f(x)<0,則xf(x)>0;當00,則xf(x)>0;當x>3時,f(x)<0,則xf(x)<0.所以不等式xf(x)>0的解集為(-∞,0)∪(1,3).故選B.
變式　(1)A　(2)f(x)=-x2+2x　(-2,0)∪(0,2)
[解析] (1)因為f(x)是定義在R上的偶函數,且在(-∞,0)上是增函數,所以f(x)在(0,+∞)上是減函數,因為f(2)=0,所以f(-2)=0,所以f(x)<0,即f(x)2或x<-2.故選A.
(2)由f(x)為奇函數,得f(-x)=-f(x),當x>0時,-x<0,故f(-x)=-f(x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,故當x>0時,f(x)=-x2+2x.由f(-x)=-f(x),得x3[f(x)-f(-x)]=x3[f(x)+f(x)]=2x3f(x),故求x3[f(x)-f(-x)]>0的解集,即求2x3f(x)>0的解集,則或畫出函數f(x)的圖象,如圖所示,由圖易得的解集為(0,2),的解集為(-2,0),故不等式x3[f(x)-f(-x)]>0的解集為(-2,0)∪(0,2).
探索 解:點(x1,y1)關于直線x=a對稱的點為(2a-x1,y1),點(x1,y1)關于點(a,0)對稱的點為(2a-x1,-y1),點(x1,y1)關于點(a,b)對稱的點為(2a-x1,2b-y1).
例4　(1)C　[解析] ∵f(x+2)=,f(-x+2)=,顯然f(x+2)≠f(-x+2),∴y=f(x+2)不是偶函數,∴y=f(x+2)的圖象不關于直線x=0對稱,∴f(x)的圖象不關于直線x=2對稱,故A錯誤;同理,由f(x+4)=不是偶函數,得f(x)的圖象不關于直線x=4對稱,故B錯誤;∵f(x+2)-2=-2=,-f(x+2)+2=f(-x+2)-2,∴y=f(x+2)-2是奇函數,該函數的圖象關于點(0,0)對稱,∴f(x)的圖象關于點(2,2)對稱,故C正確;∵f(x+4)-4=-4=-,-f(x+4)+4≠f(-x+4)-4,∴y=f(x+4)-4不是奇函數,∴f(x)的圖象不關于點(4,4)對稱,故D錯誤.故選C.
(2)證明:任取h∈R,則f(-2+h)=(-2+h)2+4(-2+h)-5=h2-9,f(-2-h)=(-2-h)2+4(-2-h)-5=h2-9,因為f(-2+h)=f(-2-h),所以函數f(x)的圖象關于直線x=-2對稱.
變式　A　[解析] 因為函數y=g(x-2)+3是奇函數,所以g(-x-2)+3=-g(x-2)-3,所以g(-x-2)+g(x-2)=-6,所以g(x)的圖象關于點(-2,-3)對稱.因為f(x)===-3+,所以f(x-2)+3=,因為y=為奇函數,所以f(x)的圖象關于點(-2,-3)對稱.又因為函數f(x)=的圖象與g(x)的圖象有2024個交點,所以這些交點兩兩關于點(-2,-3)對稱,所以這2024個交點的縱坐標之和為-6072,橫坐標之和為-4048,故這些交點的橫、縱坐標之和為-10 120.故選A.
【課堂評價】
1.A　[解析] g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.故選A.
2.D　[解析] 因為y=f(x)是偶函數,所以y=f(x)的圖象關于y軸對稱,所以f(x)=0的所有實根之和為0.故選D.
3.BD　[解析] 對于A,函數y=-x+1的圖象不過原點,不關于原點對稱,所以y=-x+1不是奇函數,故A錯誤;對于B,設y=f(x)=-x3,顯然其定義域為R,又因為f(-x)=-(-x)3=x3=-f(x),所以y=-x3是奇函數,因為y=x3是增函數,所以y=-x3是減函數,故B正確;對于C,函數y=是奇函數,但y=在(-∞,0)和(0,+∞)上是減函數,在定義域上不具有單調性,故C錯誤;對于D,函數y=-x|x|可化為y=其圖象如圖所示,故y=-x|x|既是奇函數又在定義域上是減函數,故D正確.故選BD.
4.　[解析] 因為定義在[-2,2]上的奇函數f(x)在[0,2]上單調遞減,所以函數f(x)在[-2,2]上單調遞減.由f(1+m)+f(m)<0,得f(1+m)<-f(m)=f(-m),則解得-5.[,+∞)　[解析] 由已知得當x<0時,f(x)=-f(-x)=-x2,所以f(x)=易知f(x)在R上單調遞增,則f(x+a)≥2f(x),即f(x+a)≥f(x),所以x+a≥x,所以a≥(-1)x在[-1,a+2]上恒成立,所以解得a≥.第2課時　函數奇偶性的應用
1.B　[解析] 根據奇函數的對稱性可得,函數f(x)在區間[-5,-2]上也是減函數,又奇函數f(x)在區間[2,5]上的最小值是4,所以f(5)=4,所以f(-5)=-f(5)=-4,所以函數f(x)在區間[-5,-2]上的最大值為f(-5)=-4.故選B.
2.A　[解析] 因為偶函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,所以f(x)在區間(-∞,0)上單調遞減,又f(2x-1)[點睛] 解與函數奇偶性有關的不等式問題,要把自變量轉化到同一個單調區間內.
3.B　[解析] 由題知,函數f(x)為奇函數,所以f(x)在[3,7]上的單調性與在[-7,-3]上的單調性相同,因為f(x)在區間[3,7]上為增函數且最小值為5,所以f(x)在區間[-7,-3]上是增函數且最大值為-5.故選B.
4.A　[解析] 在與函數y=的圖象關于原點對稱的圖象上任取一點P1(x,y),則點P1(x,y)關于原點對稱的點P2(-x,-y)在函數y=的圖象上,所以-y=,化簡得y=,因此與函數y=的圖象關于原點對稱的圖象對應的函數解析式為y=.故選A.
5.C　[解析] 由f(2a+1)+f(4a-3)>0,得f(4a-3)>-f(2a+1),∵f(x)是奇函數,∴f(4a-3)>-f(2a+1)=f(-2a-1),∵f(x)在[-2,2]上單調遞減,∴解得即≤a<,故實數a的取值范圍是.
6.B　[解析] 設F(x)=,由于f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數,所以F(-x)===F(x),所以F(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數.又02x,當x>0時,有>2,即F(x)>F(1),所以x>1;當x<0時,有<2,即F(x)2x的解集為(-1,0)∪(1,+∞).故選B.
7.ABD　[解析] 因為y=f(x-1)為奇函數,所以y=f(x-1)的圖象關于原點對稱,故D正確;因為f(x-1)的圖象關于原點對稱,所以f(x-1)+f(-x-1)=0,故B正確,C錯誤;由f(x-1)+f(-x-1)=0可知函數y=f(x)的圖象關于點(-1,0)對稱,故A正確.故選ABD.
8.1　[解析] ∵f(x)=為奇函數,∴∴即
解得經檢驗n=2,m=-1符合題意,∴m+n=1.
9.(-4,-2)∪(0,2)　[解析] 設h(x)=f(x)g(x),則h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函數.由題圖可知當-40,g(x)<0,所以h(x)<0,當-20,所以當00,所以h(x)<0的解集為(-4,-2)∪(0,2).
10.解:(1)因為函數f(x)為[-1,1]上的奇函數,
且當x∈[-1,0]時,f(x)=x2-ax+b,所以f(0)=b=0,
又f(-1)=1+a=2,所以a=1,
所以當x∈[-1,0]時,f(x)=x2-x.
設0所以f(-x)=x2+x=-f(x),
則f(x)=-x2-x,所以f(x)=
(2)由(1)知f(x)=
則f(x)在[-1,1]上單調遞減,
又f(t-1)>f(-2t),所以解得0≤t<,所以t的取值范圍是.
11.B　[解析] ∵f(x)為偶函數,∴f(-x)=f(x),∴f(-2)=f(2)=0,∵f(x)在(0,+∞)上單調遞減,∴f(x)在(-∞,0)上單調遞增,∴=<0,即或解得x>2或-212.AD　[解析] 對于A,由f(x+1)=x2+2x-3|x+1|+3,令t=x+1,則x=t-1,得f(t)=(t-1)2+2(t-1)-3|t|+3,化簡得f(t)=t2-3|t|+2,即f(x)=x2-3|x|+2,則f(-x)=x2-3|x|+2=f(x),故f(x)的圖象關于y軸對稱;對于B,將f(x)的圖象向右平移一個單位得到函數f(x-1)的圖象,故f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱,不關于y軸對稱;對于C,因為f(|x+1|)=|x|2+2|x|-3|x+1|+3,f(|-x+1|)=|x|2-2|x|-3|x-1|+3,f(|x+1|)=f(|-x+1|)不恒成立,所以函數f(|x+1|)的圖象不關于y軸對稱;對于D,由A選項可知,f(x)=x2-3|x|+2,則f(|x|)=|x|2-3|x|+2,易知f(|x|)的圖象關于y軸對稱.故選AD.
13.4　[解析] 由f(x)是定義在R上的奇函數,得f(-x)=-f(x),則g(x)===2+.設h(x)=g(x)-2=,則函數h(x)的定義域為R,h(-x)===-=-h(x),所以h(x)為奇函數,則h(x)max+h(x)min=0,即M-2+m-2=0,所以M+m=4.
14.解:(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)-2(x,y∈R),
令y=0,得f(x)=f(x)+f(0)-2,所以f(0)=2.
函數g(x)=f(x)-2的定義域為(-∞,+∞),
因為g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-4=[f(x)+f(-x)-2]-2=f(0)-2=0,
所以函數g(x)=f(x)-2是奇函數.
(2)因為對任意x≠y,都有[f(x)-f(y)](x-y)>0恒成立,所以函數f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.
不等式f(x)+f≥8,即f(x)+f-2≥6,即f(x)+f-2≥f(2),即f≥f(2),所以x+-m≥2,所以m≤x+-2對x∈(0,4]恒成立.
因為x+≥2=2,當且僅當x=,即x=1時等號成立,所以m≤=2-2=0,故實數m的取值范圍為(-∞,0].
15.15　[解析] f(x)==+.令g(x)=,其定義域為R,則g(-x)==-g(x),即g(x)為奇函數,設函數g(x)在區間[-a,a]上的最大值、最小值分別為g(x)max,g(x)min,則g(x)max+g(x)min=0,所以M=g(x)max+,m=g(x)min+,所以M+m=+=15.
16.解:(1)證明:令g(x)=f(x-1)-2,則g(x)=(x-1)3+3(x-1)2-2=(x3-3x2+3x-1)+3(x2-2x+1)-2=x3-3x,即g(x)=x3-3x,g(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-g(x),所以g(x)是奇函數.由題意,點(-1,2)是函數f(x)=x3+3x2的圖象的對稱中心.
(2)由(1)知,函數f(x)=x3+3x2的圖象的對稱中心為(-1,2),所以g(x)+g(-x)=f(x-1)-2+f(-x-1)-2=0,所以f(x-1)+f(-x-1)=4,所以f(2023)+f(-2025)=f(2022)+f(-2024)=4,所以f(2022)+f(2023)+f(-2024)+f(-2025)=8.

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