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3.2 函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系
第2課時(shí) 二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)
應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系
探究點(diǎn)一 解一元二次不等式
探究點(diǎn)二 三個(gè)“二次”的關(guān)系
探究點(diǎn)三 一元二次方程根的分布
探究點(diǎn)四 簡(jiǎn)單高次不等式的解法
◆
◆
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◆
◆
課前預(yù)習(xí)
課中探究
課堂評(píng)價(jià)
備課素材
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【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過一元二次函數(shù)的零點(diǎn)問題解一元二次不等式;
2.了解高次不等式的解法.
知識(shí)點(diǎn)一 二次函數(shù)的圖象與相應(yīng)二次方程的根和二次不等式的
解集之間的關(guān)系
對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，得一元二次方
程，這時(shí)方程的根就是二次函數(shù)的圖象與 軸交點(diǎn)
的________；當(dāng)時(shí)，得不等式 或
，下表給出了當(dāng) 時(shí)，二次函數(shù)的圖象、二次
方程的根、二次不等式的解集的關(guān)系：
橫坐標(biāo)
_________________________________ _________________________________ ________________________________
__________
___
方程無解
【診斷分析】
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）函數(shù)的圖象與 軸有交點(diǎn).( )
×
[解析] 由，
知函數(shù) 的圖象與 軸沒有交點(diǎn).
（2）方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)根.( )
√
[解析] 由，
知方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)根.
（3）方程 恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.( )
√
[解析] 由 ，
知方程 恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
（4）若函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是 ，
則方程 的兩個(gè)根是1和2.( )
×
[解析] 因?yàn)?有一個(gè)根是1,
所以,得,所以方程為 ，
即,由求根公式得另一個(gè)根為 .
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（5）函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 ，
，則不等式的解集為 .( )
√
[解析] 由函數(shù)的圖象可知不等式
的解集為 .
判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
知識(shí)點(diǎn)二 一元二次方程根的分布
二次方程 的實(shí)根分布及條件：
（1）方程的兩根中一根比大，另一根比小 .
（2）二次方程的兩根都大于
（3）二次方程在區(qū)間內(nèi)有兩根
（4）二次方程在區(qū)間內(nèi)只有一根 或
（或）且另一根在區(qū)間 內(nèi).
（5）方程的兩根中一根小于 ,另一根大于
探究點(diǎn)一 解一元二次不等式
例1 利用函數(shù)求下列一元二次不等式的解集：
（1） ；
解：由，得，即 .
因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，且其圖象開口向上,
所以 的解集為 .
（2） ；
解：由，得 ，
，結(jié)合函數(shù) 的圖象知
的解集為 ，即原不等式的解集為 .
例1 利用函數(shù)求下列一元二次不等式的解集：
（3） .
解：設(shè)，令，得 ，
即，從而或，
因此3和都是函數(shù) 的零點(diǎn)，
從而函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和 ．
又因?yàn)楹瘮?shù) 的圖象是開口向上的拋物線，
所以所求不等式的解集為 .
例1 利用函數(shù)求下列一元二次不等式的解集：
變式 利用函數(shù)求下列不等式的解集：
（1） ；
解：因?yàn)榉匠痰呐袆e式 ，
所以函數(shù)的圖象開口向上，且與 軸無交點(diǎn)，
所以原不等式的解集為 .
變式 利用函數(shù)求下列不等式的解集：
（2） .
解：原不等式可化為 ，
設(shè)函數(shù),因此的零點(diǎn)為,5，
又 的圖象為開口向上的拋物線，
所以可得原不等式的解集為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
求解一元二次不等式的解集的一般步驟：
（1）求方程的解，即函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象的開口方向及與軸的交點(diǎn)情況確定不等式解的
情況；
（3）將解集寫成區(qū)間的形式.
探究點(diǎn)二 三個(gè)“二次”的關(guān)系
例2（1）已知二次函數(shù) 的圖象
如圖所示，則不等式 的解集是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 結(jié)合圖象易知，不等式的解集是 ，
故選A.
√
（2）若關(guān)于的一元二次不等式 的解集為
，則關(guān)于的不等式 的解集是
_________________．
[解析] 由題意知所以
代入不等式中，得 ，
即，化簡(jiǎn)得，解得 ，
所以不等式的解集為 ．
（3）若不等式對(duì)任意 恒
成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解：方程的兩根為 和3，
分類討論如下:當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)?
顯然對(duì)任意 ,不等式不恒成立，所以 不符合題意；
當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)?顯然對(duì)任意 ，
不等式恒成立，所以符合題意；
當(dāng)且 時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象知
解得
則 ，符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
變式 ［2025· 河北石家莊高一期中］ 已知關(guān)于 的方程
有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) 的取值范圍
為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 當(dāng)時(shí),則原方程為 ,等式不成立,故.
當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程 ,
即為 ，
令
當(dāng) 時(shí)，
，
此時(shí) 有一個(gè)零點(diǎn)，
要使方程 有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng) 時(shí)，
，
所以即 可得.
同理，當(dāng) 時(shí)，可得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為 .故選B.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、二次不等式解集的端點(diǎn)
值、一元二次方程的解是同一個(gè)量的不同表現(xiàn)形式.
（2）二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)
合在一起，而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖
象貫穿為一體.有關(guān)二次函數(shù)的問題，常數(shù)形結(jié)合求解，密切聯(lián)系圖
象是探求解題思路的有效方法.
探究點(diǎn)三 一元二次方程根的分布
例3（1）若方程的兩實(shí)根均在區(qū)間 內(nèi)，
則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根據(jù)題意可知，
解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
（2）若關(guān)于的方程 的兩根均為正實(shí)數(shù)，
則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 方法一： 關(guān)于的方程 的兩根均
為正實(shí)數(shù)，解得 ，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是 .故選D.
方法二：設(shè),則 解得
,故實(shí)數(shù)的取值范圍是 .故選D.
變式 ［2025· 甘肅蘭州高一期末］已知函數(shù) 的一
個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則 的值可能
是( )
A. B.1 C. D.
√
[解析] 令，
由題意，得 即解得，
故的取值范圍是 .四個(gè)選項(xiàng)中在內(nèi)的只有 .故選D.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）關(guān)于正根、負(fù)根問題，一般有兩種解題方法：一是根據(jù)根與系
數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷；二是應(yīng)用根的分布，從的符號(hào)，對(duì)稱軸與
直線的位置關(guān)系、判別式與0的關(guān)系進(jìn)行判斷.
（2）一元二次方程根的分布問題主要是根據(jù)對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，結(jié)合
開口方向、判別式、特值符號(hào)、對(duì)稱軸位置四個(gè)方面進(jìn)行條件限制.
具體問題中，如兩個(gè)根都在直線的兩側(cè)，此時(shí)結(jié)合圖象可知只
需考慮的符號(hào)即可，而不需要考慮判別式的限制條件，因此對(duì)
于根的分布限制條件的確定一定要結(jié)合圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行
合理限定.
探究點(diǎn)四 簡(jiǎn)單高次不等式的解法
例4 求函數(shù) 的零點(diǎn)，并作出函數(shù)圖象
的示意圖，寫出不等式和 的解集.
解：令，
得或 或，因此函數(shù)的零點(diǎn)為 ，1，3.
函數(shù) 的定義域被這三個(gè)點(diǎn)分成了四部分，
每一部分的函數(shù)值的符號(hào)如下表所示.
- -
由此畫出函數(shù) 的圖象的示意圖，如圖所示.
由圖可知，不等式 的解集為，
的解集為 .
變式（1）不等式 的解集為____________
_______.
[解析] 不等式 ，
即,令 ，
得或或，因此的零點(diǎn)為， ，5，
作出 圖象的示意圖，如圖所示，
由圖可得，不等式的解集為
.
（2）不等式 的解集為_____________________.
[解析] 不等式 ，即 ，
方程的根有3，1，2， ，0，
如圖，按照數(shù)軸標(biāo)根法可得不等式的解集為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
解簡(jiǎn)單高次不等式的一般步驟：
（1）將不等式右邊化為0，左邊分解因式；
（2）計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的根，求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)；
（3）判斷函數(shù)值在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)，作出函數(shù)圖象的示意圖；
（4）根據(jù)函數(shù)圖象的示意圖與軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集.
1.不等式 的解集為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令,得,解得 ,
結(jié)合函數(shù) 的圖象可知，
所求不等式的解集為 .故選B.
2.如果關(guān)于的一元二次不等式的解集為
或,那么對(duì)于函數(shù) 應(yīng)有( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由不等式的解集為或，
可得 , 且，4是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以解得 即函數(shù)
,
則的圖象開口向上，且關(guān)于直線對(duì)稱，則 ,
所以 .故選D.
3.已知函數(shù)，且 恒成立，當(dāng)
時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
[解析] 因?yàn)楹愠闪?，所以?br/>則 ，所以，
又 ，所以的零點(diǎn)為，1.
若當(dāng)時(shí)， 只有1個(gè)零點(diǎn)，則 .
√
4.已知集合 ，集合
，則 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 由得 ，
由得 ，
則 .故選A.
√
5.［2025· 四川樂山高一期中］若函數(shù) 在
上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的最大值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由題意得函數(shù) 的圖象開口向上，
對(duì)稱軸方程為.
令，則方程 在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)根,
.
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)沒有零點(diǎn),不符合題意.
當(dāng)時(shí),或 .
當(dāng)時(shí),,則 的零點(diǎn)為，
又,所以 不符合題意；
當(dāng)時(shí),,則的零點(diǎn)為 ，
又,所以符合題意.
當(dāng) 時(shí),或,方程有兩個(gè)不相等的根, ，
由題意知方程至少有一個(gè)根在區(qū)間內(nèi).
①若 ,解得,此時(shí)，
則的零點(diǎn)為0或 ,符合題意；
②若 ,解得，
此時(shí),則的零點(diǎn)為0或 ,符合題意；
③若,要使函數(shù) 在上有零點(diǎn),
則又 ,所以.
綜上可得，的取值范圍為 ，
故實(shí)數(shù)的最大值為 .故選D.
一、一元二次方程根的基本分布——零分布
所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對(duì)于零的關(guān)系.比
如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程的一個(gè)
根比零大，一個(gè)根比零小，或者說，這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè).
設(shè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根分別為， ，
且.設(shè)函數(shù) ，則一元二次方程根的
零分布有以下常用結(jié)論：
［定理1］,（兩個(gè)正根）
推論：,
或 由下列二次函數(shù)的圖象易知該推論正確.
例1 若一元二次方程 有兩個(gè)正根，
求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解：依題意有
解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
［定理2］,
推論：,
或 由下列二次函數(shù)的圖象易知該推論正確.
例2 若一元二次方程 的兩根都是負(fù)數(shù)，求實(shí)
數(shù) 的取值范圍.
解：依題意有 解得或 .
［定理3］ .
例3 若一元二次方程 有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，
求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解：依題意有解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
［定理4］（1）如圖①所示，，且 ；
（2）如圖②所示，，且 .
例4 若一元二次方程 有一根為零，則另
一根是正根還是負(fù)根？
解：由已知得，，代入原方程得 ，
解得, ，故另一根為負(fù)根.
二、一元二次方程根的非零分布 分布
設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根分別為， ，且
，為常數(shù)，設(shè)函數(shù) ,則一元二次
方程根的分布（即，相對(duì)于 的關(guān)系）有以下定理.
［定理1］
由下列二次函數(shù)的圖象易知該定理正確.
［定理2］
［定理3］ .
由下列二次函數(shù)的圖象易知該定理正確.
推論 .
推論 .
由下列二次函數(shù)的圖象易知該定理正確.
［定理4］ 有且僅有 或
.
由下列二次函數(shù)的圖象易知該定理正確.
［定理5］
或
此定理可直接由定理4推出.
［定理6］ 或
由下列二次函數(shù)的圖象易知該定理正確.
練習(xí)冊(cè)
1.關(guān)于的一元二次不等式 的解集是全體實(shí)數(shù)的條
件是( )
A. B. C. D.
[解析] 由于不等式 的解集為全體實(shí)數(shù)，所以與之相
對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象恒在軸下方，則有
√
2.若方程的兩根滿足一根大于2，一根小于1，則
的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，由題意可知
即所以即 .故選B.
√
3.若函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，
則實(shí)數(shù) 的值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由題意知,方程的兩個(gè)根分別為 ,，
所以，所以 .故選C.
√
4.［2024· 上海浦東新區(qū)高一期中］方程 在區(qū)間
和 上各有一個(gè)根的充要條件是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令，
因?yàn)橐辉畏匠?在區(qū)間和上各有一個(gè)根，
所以 即解得，
則方程在區(qū)間 和上各有一個(gè)根的
充要條件是 .故選B.
5.當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù) 的取值范圍
是( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè),要使當(dāng) 時(shí),
不等式恒成立,只需即
解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
√
6.已知方程有兩根,，其中 ，
，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 設(shè)，
則即 解得 .故選B.
★7.（多選題）已知函數(shù)，若 ，
則( )
A.當(dāng)時(shí)，
B.當(dāng)時(shí)，
C.當(dāng)時(shí)，
D.與的大小關(guān)系與 有關(guān)
√
√
[解析] 由題知函數(shù) 的圖象開口向上，
對(duì)稱軸方程為.
當(dāng)時(shí)，點(diǎn), 關(guān)于直線對(duì)稱，
則，故B正確；
當(dāng) 時(shí)，，又，
所以點(diǎn) 到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，
所以 ，故A正確，C錯(cuò)誤；
顯然與的大小關(guān)系與無關(guān)，故D錯(cuò)誤.故選 .
［技巧點(diǎn)撥］ 此類綜合性問題，需要結(jié)合二次函數(shù)的圖象、判別式、
根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行綜合分析.
8.不等式 的解集為______________________.
或
[解析] 即，
則 或 即或，
所以原不等式的解集為 或 ．
9.已知，函數(shù)若函數(shù)的圖象與
軸恰有2個(gè)交點(diǎn)，則 的取值范圍是_______________.
[解析] 令,得,令,得或 .
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸恰有2個(gè)交點(diǎn)，
所以當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)為 ,時(shí)，1,2,,得;
當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)為, 時(shí),，2,,得;
當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)為, 時(shí),,1,,此時(shí)無解.
綜上可得, 的取值范圍是 .
10.（13分）若函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)，
．
（1）求 的解析式.
解：因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以 ；當(dāng)時(shí)，
，則此時(shí) .
綜上所述，
（2）若，，試討論取何值時(shí)， 的零點(diǎn)個(gè)
數(shù)最多？最少？
10.（13分）若函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)，
．
解：令,得,作出函數(shù) 的圖象
與直線 如圖所示.
當(dāng)時(shí), 有5個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí), 有4個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)， 有3個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)， 有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)， 有1個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多；
當(dāng) 或時(shí)， 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少．
11.［2025·北京延慶區(qū)高一期中］已知函數(shù) 有兩
個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間 上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一
個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 函數(shù)在 上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增.
由在區(qū)間 上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
得且 或
且則或 解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 .故選C.
12.（多選題）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， ，
且 ，則下列說法中錯(cuò)誤的有( )
A.， B.，
C.， D.，
√
√
√
[解析] 令 ，則，
所以函數(shù) 的零點(diǎn)就是函數(shù)
的圖象與函數(shù) 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)
的圖象與的圖象，如圖所示.
由圖可知， .只有C中說法正確.故選 .
13.［2025· 遼寧大連高一期中］若方程 的
兩根,滿足，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是______
______________.
[解析] 當(dāng)時(shí)，方程為 ，
此時(shí)方程只有一個(gè)根，不符合題意，故.
因?yàn)榉匠痰膬筛? 滿足
所以或 即或
解得或，故實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
14.（15分）已知二次函數(shù)的最小值為1，且 ．
（1）求 的解析式；
解：根據(jù)題意，二次函數(shù)滿足，
可得函數(shù) 的圖象的對(duì)稱軸方程為 .
因?yàn)楹瘮?shù) 的最小值為1，所以不妨設(shè) ，
又因?yàn)?，所以，解?，
所以函數(shù)的解析式為 ，
即 .
（2）若在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
解：由已知得的圖象的對(duì)稱軸方程為 ，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間 上不單調(diào)，所以，
解得 ，故實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
14.（15分）已知二次函數(shù)的最小值為1，且 ．
（3）在區(qū)間上，的圖象恒在 的圖
象上方，試確定實(shí)數(shù) 的取值范圍．
解：因?yàn)樵趨^(qū)間上，的圖象恒在
的圖象上方，所以對(duì) 恒成立，
即對(duì) 恒成立.
設(shè)，則其圖象的對(duì)稱軸方程為，則 在
上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的最小值為
，則 ，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
14.（15分）已知二次函數(shù)的最小值為1，且 ．
15.（15分）［2025·甘肅金昌高一期中］ 若關(guān)于 的方程
有4個(gè)不等實(shí)根，求 的取
值范圍.
解：令，則 ，原方程轉(zhuǎn)化為 .
作出函數(shù) 的圖象，如圖所示.
由圖可知，當(dāng)或時(shí)，
方程 有2個(gè)不同的根，
當(dāng)時(shí)，方程 有3個(gè)不同的根，
當(dāng)時(shí)，方程 有4個(gè)不同的根.
設(shè)函數(shù)， .
若原方程有四個(gè)不等實(shí)根，則有以下四種情況：
式有一個(gè)根為零，另一個(gè)根大于1，
若0為方程的根，則 ，
此時(shí)方程的另一個(gè)根為 ，不符合題意.
式有兩個(gè)不相等的根且兩個(gè)根均大于1，
則解得 .
式有一個(gè)根在之間,另一根小于零,則 解得 .
式有兩個(gè)相等的根，且根在 上，則，
解得 ，當(dāng)時(shí)，方程的
解為 ,而 ，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，方程的解為 ，
而 ，不符合題意.
綜上所述，的取值范圍為 .
16.（15分）已知函數(shù) .
（1）是否存在實(shí)數(shù),，使得不等式的解集是
若存在,求出實(shí)數(shù), 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解：假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得不等式 的解集是
,則方程的兩根是3和4,且 ,
解得與 矛盾,
故不存在實(shí)數(shù),，使得不等式的解集是 .
（2）若為整數(shù),,且函數(shù)在 上恰有一個(gè)零點(diǎn),
求 的值.
16.（15分）已知函數(shù) .
解：, .
,
函數(shù) 必有兩個(gè)零點(diǎn).
由函數(shù)在 上恰有一個(gè)零點(diǎn),分三種情況討論：
①當(dāng)或時(shí),由或
得 ，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，由 ，
得或 ，不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，，由 ，
得或 ，不符合題意.
綜上， .又為整數(shù), .
快速核答案(導(dǎo)學(xué)案)
課前預(yù)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一 橫坐標(biāo) 方程無解
【診斷分析】（1）× （2）√ （3）√ （4）× （5）√
課中探究 探究點(diǎn)一 例1（1）（2）（3） >（2）
探究點(diǎn)二 例2 （1）A （2）（3）> 變式 B
探究點(diǎn)三 例3 （1）B （2）D 變式 D
探究點(diǎn)四 例4 的零點(diǎn)為，1，3；圖略；不等式的解集為，
的解集為. 變式 （1）（2）
課堂評(píng)價(jià) 1.B 2.D 3.D 4.A 5.D
備用習(xí)題 例1 例2 或 例3 例4 另一根為負(fù)根 /
快速核答案(練習(xí)冊(cè))
基礎(chǔ)鞏固 1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.B 7.AB
8.或 9.
10.（1）m>（2）當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)
個(gè)數(shù)最多；當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少．
綜合提升 11.C 12.ABD 13.
14.（1）（2） >思維探索 15. 16.（1）不存在（2）第2課時(shí)　二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
橫坐標(biāo)　>　=　<　方程無解　x≠x1　
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　[解析] (1)由(-1)2-4×1×1=-3<0,知函數(shù)y=x2-x+1的圖象與x軸沒有交點(diǎn).
(2)由(-5)2-4×1×6=1>0,知方程x2-5x+6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.
(3)由(-2a)2-4(a2-1)=4>0,知方程x2-2ax+(a2-1)=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(4)因?yàn)閍x2+2x-4=0有一個(gè)根是1,所以a×12+2×1-4=0,得a=2,所以方程為2x2+2x-4=0,即x2+x-2=0,由求根公式得另一個(gè)根為-2.
(5)由函數(shù)f(x)=x2-bx+c的圖象可知不等式x2-bx+c<0的解集為(-1,3).
【課中探究】
例1　解:(1)由4x2≤2x-,得4x2-2x+≤0,即≤0.因?yàn)楹瘮?shù)y=的零點(diǎn)為,且其圖象開口向上,所以4x2≤2x-的解集為.
(2)由1-x≤-2x2,得2x2-x+1≤0,Δ=(-1)2-4×2=-7<0,結(jié)合函數(shù)y=2x2-x+1的圖象知2x2-x+1≤0的解集為 ,即原不等式的解集為 .
(3)設(shè)f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0,從而x=3或x=-1,因此3和-1都是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),從而函數(shù)f(x)的圖象與x軸相交于點(diǎn)(3,0)和(-1,0).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象是開口向上的拋物線,所以所求不等式的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞).
變式　解:(1)因?yàn)榉匠?x2-x+6=0的判別式Δ=(-1)2-4×2×6<0,所以函數(shù)y=2x2-x+6的圖象開口向上,且與x軸無交點(diǎn),所以原不等式的解集為R.
(2)原不等式可化為(x-5)(x+1)≤0,設(shè)函數(shù)f(x)=(x-5)(x+1),因此f(x)的零點(diǎn)為-1,5,又f(x)的圖象為開口向上的拋物線,所以可得原不等式的解集為[-1,5].
例2　(1)A　(2){x|-30的解集是(-2,1),故選A.
(2)由題意知所以代入不等式cx2-bx+a>0中,得ax2+ax+a>0(a<0),即x2+x+1<0,化簡(jiǎn)得x2+5x+6<0,解得-30的解集為{x|-3(3)解:方程m2-2m-3=0的兩根為-1和3,分類討論如下:當(dāng)m=-1時(shí),原不等式變?yōu)?x-1<0,顯然對(duì)任意x∈R,不等式不恒成立,所以m=-1不符合題意;
當(dāng)m=3時(shí),原不等式變?yōu)?1<0,顯然對(duì)任意x∈R,不等式恒成立,所以m=3符合題意;當(dāng)m≠-1且m≠3時(shí),結(jié)合二次函數(shù)的圖象知解得則-綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
變式　B　[解析] 當(dāng)m=0時(shí),則原方程為x2=x2+4,等式不成立,故m≠0.當(dāng)m>0時(shí),關(guān)于x的方程|x2-2mx|=x2+4,即為|x2-2mx|-x2-4=0,令F(x)=|x2-2mx|-x2-4=當(dāng)x∈(-∞,0]∪[2m,+∞)時(shí),F(x)=-2mx-4∈(-∞,-4m2-4]∪[-4,+∞),此時(shí)F(x)有一個(gè)零點(diǎn),要使方程|x2-2mx|=x2+4有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則F(x)在(0,2m)上有兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)x∈(0,2m)時(shí),F(x)=2mx-2x2-4=-2+-4,所以即可得m>2.同理,當(dāng)m<0時(shí),可得m<-2.綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞).故選B.
例3　(1)B　(2)D　[解析] (1)根據(jù)題意可知,解得-4+2≤k<-,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
(2)方法一:∵關(guān)于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的兩根均為正實(shí)數(shù),∴解得-1+2≤m<2,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1+2,2).故選D.
方法二:設(shè)f(x)=x2-(m-1)x+2-m,則解得-1+2≤m<2,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1+2,2).故選D.
變式　D　[解析] 令f(x)=5x2-7x-m,由題意,得即解得6例4　解:令f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)=0,得x=-或x=1或x=3,因此函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為-,1,3.
函數(shù)f(x)的定義域被這三個(gè)點(diǎn)分成了四部分,每一部分的函數(shù)值的符號(hào)如下表所示.
x (1,3) (3,+∞)
f(x) - + - +
由此畫出函數(shù)f(x)的圖象的示意圖,如圖所示.
由圖可知,不等式f(x)>0的解集為∪(3,+∞),f(x)≤0的解集為∪[1,3].
變式　(1)(-∞,-3)∪　(2)(-∞,-1]∪(1,2)∪{0}　[解析] (1)不等式(2x+1)(x+3)(5-x)>0,即(2x+1)(x+3)(x-5)<0,令f(x)=(2x+1)(x+3)(x-5)=0,得x=-或x=-3或x=5,因此f(x)的零點(diǎn)為-3,-,5,作出f(x)圖象的示意圖,如圖所示,由圖可得,不等式的解集為(-∞,-3)∪.
(2)不等式≥0,即≤0,方程x2(x+1)(x-2)(x-1)(x-3)2=0的根有3,1,2,-1,0,如圖,按照數(shù)軸標(biāo)根法可得不等式的解集為(-∞,-1]∪(1,2)∪{0}.
【課堂評(píng)價(jià)】
1.B　[解析] 令x2-2x+1=0,得(x-1)2=0,解得x=1,結(jié)合函數(shù)y=x2-2x+1的圖象可知,所求不等式的解集為(-∞,1)∪(1,+∞).故選B.
2.D　[解析] 由不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-2或x>4},可得a>0,且-2,4是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以解得即函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=ax2-2ax-8a=a(x-1)2-9a(a>0),則f(x)的圖象開口向上,且關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則f(-1)=f(3),所以f(2)3.D　[解析] 因?yàn)閒(x)+f(-x)=4恒成立,所以2f(0)=4,則b=2,所以f(x)=x3-3x+2,又f(x)=x3-3x+2=(x+2)(x-1)2,所以f(x)的零點(diǎn)為-2,1.若當(dāng)x≤a時(shí),f(x)只有1個(gè)零點(diǎn),則-2≤a<1.
4.A　[解析] 由A={x|(x-2)2(x+2)>0}得A=(-2,2)∪(2,+∞),由B={x|(x-2)3(x+2)≤0}得B={x|-2≤x≤2},則A∩B=(-2,2).故選A.
5.D　[解析] 由題意得函數(shù)g(x)=x2-2ax+4a+4的圖象開口向上,對(duì)稱軸方程為x=a.令g(x)=0,則方程x2-2ax+4a+4=0在區(qū)間[-2,0]內(nèi)有實(shí)數(shù)根,Δ=4a2-4(4a+4)=4(a2-4a-4)=4(a-2-2)(a-2+2).當(dāng)Δ<0時(shí),2-20時(shí),a>2+2或a<2-2,方程有兩個(gè)不相等的根x1,x2,由題意知方程至少有一個(gè)根在區(qū)間[-2,0]內(nèi).①若g(0)=4a+4=0,解得a=-1,此時(shí)g(x)=x2+2x=x(x+2),則g(x)的零點(diǎn)為0或-2,符合題意;②若g(-2)=4+4a+4a+4=8a+8=0,解得a=-1,此時(shí)g(x)=x2+2x=x(x+2),則g(x)的零點(diǎn)為0或-2,符合題意;③若g(0)·g(-2)=32(a+1)2>0,要使函數(shù)g(x)在[-2,0]上有零點(diǎn),則又Δ>0,所以-1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過一元二次函數(shù)的零點(diǎn)問題解一元二次不等式;
2.了解高次不等式的解法.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　二次函數(shù)的圖象與相應(yīng)二次方程的根和二次不等式的解集之間的關(guān)系
對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)y=0時(shí),得一元二次方程ax2+bx+c=0,這時(shí)方程的根就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的　　　　;當(dāng)y≠0時(shí),得不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,下表給出了當(dāng)a>0時(shí),二次函數(shù)的圖象、二次方程的根、二次不等式的解集的關(guān)系:
b2-4ac　　0 b2-4ac　　0 b2-4ac　　0
y=ax2+ bx+c
ax2+bx+ c=0 x=x1或 x=x2 x=x1=x2 　　　
(續(xù)表)
ax2+bx+ c>0 {x|xx2} {x|　 　　} R
ax2+bx+ c<0 {x|x1【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=x2-x+1的圖象與x軸有交點(diǎn).(　 )
(2)方程x2-5x+6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根. (　 )
(3)方程x2-2ax+(a2-1)=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. (　 )
(4)若函數(shù)y=ax2+2x-4的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0),則方程ax2+2x-4=0的兩個(gè)根是1和2. (　 )
(5)函數(shù)f(x)=x2-bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(-1,0),(3,0),則不等式x2-bx+c<0的解集為(-1,3). (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　一元二次方程根的分布
二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)的實(shí)根分布及條件:
(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大,另一根比r小 f(r)<0.
(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根
(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根 f(p)·f(q)<0或f(p)=0(或f(q)=0)且另一根在區(qū)間(p,q)內(nèi).
(5)方程f(x)=0的兩根中一根小于p,另一根大于q(p◆ 探究點(diǎn)一　解一元二次不等式
例1 利用函數(shù)求下列一元二次不等式的解集:
(1)4x2≤2x-;
(2)1-x≤-2x2;
(3)x2-2x-3>0.
變式 利用函數(shù)求下列不等式的解集:
(1)2x2-x+6>0;
(2)(5-x)(x+1)≥0.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求解一元二次不等式的解集的一般步驟:
(1)求方程的解,即函數(shù)的零點(diǎn);
(2)結(jié)合函數(shù)圖象的開口方向及與x軸的交點(diǎn)情況確定不等式解的情況;
(3)將解集寫成區(qū)間的形式.
◆ 探究點(diǎn)二　三個(gè)“二次”的關(guān)系
例2 (1)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則不等式ax2+bx+c>0的解集是(　 )
A.(-2,1)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.[-2,1]
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
(2)若關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為,則關(guān)于x的不等式cx2-bx+a>0的解集是　　　　　　.
(3)若不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
變式 [2025·河北石家莊高一期中] 已知關(guān)于x的方程|x2-2mx|=x2+4有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (　 )
A.(-2,2)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、二次不等式解集的端點(diǎn)值、一元二次方程的解是同一個(gè)量的不同表現(xiàn)形式.
(2)二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”,它們常結(jié)合在一起,而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心,通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體.有關(guān)二次函數(shù)的問題,常數(shù)形結(jié)合求解,密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.
◆ 探究點(diǎn)三　一元二次方程根的分布
例3 (1)若方程x2+(k+2)x-k=0的兩實(shí)根均在區(qū)間(-1,1)內(nèi),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 (　 )
A.
B.
C.
D.
(2)若關(guān)于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的兩根均為正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　 )
A.(-∞,-1-2]∪[-1+2,+∞)
B.(1,2)
C.[2-1,+∞)
D.[-1+2,2)
變式 [2025·甘肅蘭州高一期末] 已知函數(shù)y=5x2-7x-m的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi),則m的值可能是 (　 )
A.- B.1
C. D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)關(guān)于正根、負(fù)根問題,一般有兩種解題方法:一是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷;二是應(yīng)用根的分布,從f(0)的符號(hào),對(duì)稱軸與直線x=0的位置關(guān)系、判別式與0的關(guān)系進(jìn)行判斷.
(2)一元二次方程根的分布問題主要是根據(jù)對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象,結(jié)合開口方向、判別式、特值符號(hào)、對(duì)稱軸位置四個(gè)方面進(jìn)行條件限制.具體問題中,如兩個(gè)根都在直線x=r的兩側(cè),此時(shí)結(jié)合圖象可知只需考慮f(r)的符號(hào)即可,而不需要考慮判別式的限制條件,因此對(duì)于根的分布限制條件的確定一定要結(jié)合圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行合理限定.
◆ 探究點(diǎn)四　簡(jiǎn)單高次不等式的解法
例4 求函數(shù)f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零點(diǎn),并作出函數(shù)圖象的示意圖,寫出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
變式 (1)不等式(2x+1)(x+3)(5-x)>0的解集為　　　　　　　.
(2)不等式≥0的解集為　　　　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
解簡(jiǎn)單高次不等式的一般步驟:
(1)將不等式右邊化為0,左邊分解因式;
(2)計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的根,求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn);
(3)判斷函數(shù)值在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù),作出函數(shù)圖象的示意圖;
(4)根據(jù)函數(shù)圖象的示意圖與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集.
1.不等式x2-2x+1>0的解集為 (　 )
A.R B.(-∞,1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
2.如果關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-2或x>4},那么對(duì)于函數(shù)f(x)=ax2+bx+c應(yīng)有 (　 )
A.f(5)B.f(2)C.f(-1)D.f(2)3.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+b,且f(x)+f(-x)=4恒成立,當(dāng)x≤a時(shí),f(x)只有1個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　 )
A.(-∞,-2)
B.
C.(-∞,-2)∪
D.[-2,1)
4.已知集合A={x|(x-2)2(x+2)>0},集合B={x|(x-2)3(x+2)≤0},則A∩B= (　 )
A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,2] D.[-2,2)
5.[2025·四川樂山高一期中] 若函數(shù)g(x)=x2-2ax+4a+4在[-2,0]上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的最大值是 (　 )
A.-1 B.-2
C.1- D.2-2第2課時(shí)　二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系
1.D　[解析] 由于不等式ax2+bx+c<0的解集為全體實(shí)數(shù),所以與之相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象恒在x軸下方,則有
2.B　[解析] 令f(x)=x2-2mx+4,由題意可知
即所以即m>.故選B.
3.C　[解析] 由題意知,方程mx2+8mx+21=0的兩個(gè)根分別為-7,-1,所以=(-7)×(-1)=7,所以m=3.故選C.
4.B　[解析] 令f(x)=x2+2ax-a,因?yàn)橐辉畏匠蘹2+2ax-a=0在區(qū)間(0,1)和(1,2)上各有一個(gè)根,所以即解得-5.D　[解析] 設(shè)f(x)=x2+mx+4,要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式x2+mx+4<0恒成立,只需即
解得m≤-5,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-5].
6.B　[解析] 設(shè)f(x)=x2+ax+2,則即解得-7.AB　[解析] 由題知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+4(a>0)的圖象開口向上,對(duì)稱軸方程為x=1.當(dāng)x1+x2=2時(shí),點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則f(x1)=f(x2),故B正確;當(dāng)x1+x2>2時(shí),>1,又x1[技巧點(diǎn)撥] 此類綜合性問題,需要結(jié)合二次函數(shù)的圖象、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行綜合分析.
8.{x|x<-1或0即x<-1或09.(1,2]∪(3,+∞)　[解析] 令x-3=0,得x=3,令x2-3x+2=0,得x=1或x=2.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與x軸恰有2個(gè)交點(diǎn),所以當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)為(1,0),(2,0)時(shí),1,2,3∈(-∞,μ),得μ>3;當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)為(1,0),(3,0)時(shí),1∈(-∞,μ),2,3∈[μ,+∞),得1<μ≤2;當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)為(2,0),(3,0)時(shí),2∈(-∞,μ),1,3∈[μ,+∞),此時(shí)μ無解.綜上可得,μ的取值范圍是(1,2]∪(3,+∞).
10.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)為R上的奇函數(shù),所以f(0)=0;
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,
則此時(shí)f(x)=-f(-x)=-(x2+4x+3)=-x2-4x-3.
綜上所述,f(x)=
(2)令g(x)=0,得a=f(x),作出函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a如圖所示.
當(dāng)a=0時(shí),g(x)=f(x)-a有5個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)0當(dāng)a=±1時(shí),g(x)=f(x)-a有3個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)1當(dāng)a≤-3或a≥3時(shí),g(x)=f(x)-a有1個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),g(x)=f(x)-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多;當(dāng)a≤-3或a≥3時(shí),g(x)=f(x)-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少.
11.C　[解析] 函數(shù)f(x)=x2+ax+2在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.由f(x)在區(qū)間(-1,2)上是單調(diào)的,且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn),得(-1,2) 且或(-1,2) 且則或解得a≤-4或a>3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-4]∪(3,+∞).故選C.
12.ABD　[解析] 令g(x)=(x-2)(x-5),則f(x)=g(x)-1,所以函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)g(x)=(x-2)(x-5)的圖象與函數(shù)y=1的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)=(x-2)(x-5)的圖象與y=1的圖象,如圖所示.由圖可知x1<2,x2>5.只有C中說法正確.故選ABD.
13.(-∞,-4)∪(2,+∞)　[解析] 當(dāng)k=0時(shí),方程為-x-3=0,此時(shí)方程只有一個(gè)根,不符合題意,故k≠0.因?yàn)榉匠蘫x2-(2k+1)x-3=0的兩根x1,x2滿足-12或k<-4,故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,-4)∪(2,+∞).
14.解:(1)根據(jù)題意,二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=f(2)=3,可得函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=1.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小值為1,
所以不妨設(shè)f(x)=k(x-1)2+1,
又因?yàn)閒(0)=3,所以f(0)=k+1=3,解得k=2,
所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2(x-1)2+1,即f(x)=2x2-4x+3.
(2)由已知得f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=1,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[3a,a+1]上不單調(diào),
所以3a<1故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
(3)因?yàn)樵趨^(qū)間[-3,-1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方,
所以2x2-4x+3>2x+2m+1對(duì)x∈[-3,-1]恒成立,
即m設(shè)g(x)=x2-3x+1,則其圖象的對(duì)稱軸方程為x=,則g(x)在[-3,-1]上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)g(x)在[-3,-1]上的最小值為g(-1)=5,則m<5,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,5).
15.解:令t=|x2-1|,則t≥0,
原方程轉(zhuǎn)化為t2-2kt+k+1=0(*).
作出函數(shù)y=|x2-1|的圖象,如圖所示.
由圖可知,當(dāng)t=0或t>1時(shí),方程t=|x2-1|有2個(gè)不同的根,
當(dāng)t=1時(shí),方程t=|x2-1|有3個(gè)不同的根,
當(dāng)0設(shè)函數(shù)f(t)=t2-2kt+k+1,t≥0.
若原方程有四個(gè)不等實(shí)根,則有以下四種情況:
①(*)式有一個(gè)根為零,另一個(gè)根大于1,
若0為方程t2-2kt+k+1=0的根,則k=-1,此時(shí)方程的另一個(gè)根為-2,不符合題意.
②(*)式有兩個(gè)不相等的根且兩個(gè)根均大于1,則解得③(*)式有一個(gè)根在(0,1)之間,另一根小于零,則解得k<-1.
④(*)式有兩個(gè)相等的根,且根在(0,1)上,
則Δ=4k2-4(k+1)=0,解得k=,
當(dāng)k=時(shí),方程t2-(+1)t++1=0的解為x=,而>1,不符合題意;
當(dāng)k=時(shí),方程t2-(1-)t++1=0的解為x=,而<0,不符合題意.
綜上所述,k的取值范圍為(-∞,-1)∪.
16.解:(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,b使得不等式ax2-bx+1>0的解集是{x|3∴解得與a<0矛盾,
故不存在實(shí)數(shù)a,b,使得不等式f(x)>0的解集是{x|3(2)∵b=a+2,∴f(x)=ax2-(a+2)x+1.
∵Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,
∴函數(shù)f(x)=ax2-bx+1必有兩個(gè)零點(diǎn).
由函數(shù)f(x)在(-2,-1)上恰有一個(gè)零點(diǎn),分三種情況討論:
①當(dāng)或時(shí),由或得-②當(dāng)f(-2)=0時(shí),a=-,由f(x)=-x2-x+1=0,得x=-2或x=,不符合題意;
③當(dāng)f(-1)=0時(shí),a=-,由f(x)=-x2-x+1=0,得x=-1或x=,不符合題意.
綜上,-1.關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是全體實(shí)數(shù)的條件是 (　 )
A. B.
C. D.
2.若方程x2-2mx+4=0的兩根滿足一根大于2,一根小于1,則m的取值范圍是 (　 )
A. B.
C. D.
3.若函數(shù)f(x)=mx2+8mx+21,當(dāng)f(x)<0時(shí),-7A.1 B.2
C.3 D.4
4.[2024·上海浦東新區(qū)高一期中] 方程x2+2ax-a=0在區(qū)間(0,1)和(1,2)上各有一個(gè)根的充要條件是 (　 )
A.a∈(-∞,-1) B.a∈
C.a∈ D.a∈(-2,-1)
5.當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式x2+mx+4<0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,5] B.[-5,+∞)
C.[-5,5] D.(-∞,-5]
6.已知方程x2+ax+2=0有兩根x1,x2,其中x1∈,x2∈(2,3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　 )
A.
B.
C.
D.∪(1,+∞)
★7.(多選題)已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+4(a>0),若x1A.當(dāng)x1+x2>2時(shí),f(x1)B.當(dāng)x1+x2=2時(shí),f(x1)=f(x2)
C.當(dāng)x1+x2>2時(shí),f(x1)>f(x2)
D.f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系與a有關(guān)
8.不等式<0的解集為　　　　　　.
9.已知μ∈R,函數(shù)f(x)=若函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有2個(gè)交點(diǎn),則μ的取值范圍是　　　　　　.
10.(13分)若函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x+3.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若a∈R,g(x)=f(x)-a,試討論a取何值時(shí),g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多 最少
11.[2025·北京延慶區(qū)高一期中] 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2有兩個(gè)零點(diǎn),f(x)在區(qū)間(-1,2)上是單調(diào)的,且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-∞,-4]∪(3,+∞)
D.(-∞,-4]∪[2,+∞)
12.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-2)(x-5)-1有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且x1A.x1<2,2B.x1>2,x2>5
C.x1<2,x2>5
D.25
13.[2025·遼寧大連高一期中] 若方程kx2-(2k+1)x-3=0的兩根x1,x2滿足-114.(15分)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在區(qū)間[3a,a+1]上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)在區(qū)間[-3,-1]上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.
15.(15分)[2025·甘肅金昌高一期中] 若關(guān)于x的方程(x2-1)2-2k|x2-1|+k+1=0(k∈R)有4個(gè)不等實(shí)根,求k的取值范圍.
16.(15分)已知函數(shù)f(x)=ax2-bx+1.
(1)是否存在實(shí)數(shù)a,b,使得不等式f(x)>0的解集是{x|3(2)若a為整數(shù),b=a+2,且函數(shù)f(x)在(-2,-1)上恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的值.

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