資源簡介

(共63張PPT)
3.2 函數與方程、不等式之間的關系
第3課時 零點的存在性及其近似值
的求法
探究點一 零點存在定理的應用
探究點二 二分法的概念及應用
探究點三 求方程的近似解
◆
◆
◆
◆
◆
課前預習
課中探究
課堂評價
備課素材
練習冊
答案核查【導】
答案核查【練】
【學習目標】
1.掌握函數零點存在定理，并會判斷函數零點的個數；
2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函數
零點近似值的步驟；
3.理解函數與方程之間的聯系，并能用函數與方程思想分析問題、
解決問題.
知識點一 函數零點存在定理
如果函數在區間 上的圖象是__________的，并且
_____________（即在區間兩個端點處的函數值異號），則函數
在區間 中至少有一個零點，即_____________________.
連續不斷
,
【診斷分析】
若函數在內有零點，則 一定成立嗎？
解：不一定.可能在或 處無定義，
即使有定義，也可能.
如函數在 內有零點，但 .
知識點二 二分法定義
對于在區間上圖象連續不斷且_____________的函數 ，
通過不斷地把它的零點所在的區間__________，使所得區間的兩個
端點______________，進而得到零點________的方法叫作二分法.
一分為二
逐步逼近零點
近似值
知識點三 用二分法求函數零點近似值的步驟
在函數零點存在定理的條件滿足時，給定近似的精確度 ，用二分法
求零點的近似值，使得 的一般步驟如下：
第一步，檢查 是否成立，如果成立，取_________，計
算結束；如果不成立，轉到第二步.
第二步，計算區間的中點 對應的函數值，若___________，
取，計算結束；若 ，轉到第三步.
第三步,若，將的值賦給（用 表示，下
同），回到第一步；否則必有，將的值賦給 ，回
到第一步.
【診斷分析】
用二分法求方程的近似解時，如何決定步驟的結束？
解：根據精確度決定，當零點所在的區間為，
且 時，取 ，步驟結束.
探究點一 零點存在定理的應用
例1（1）［2025·福建泉州高一期中］函數 的零點所在
的區間為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 顯然函數,都是 上的增函數，
所以在上單調遞增，且
在 上是連續函數，所以只有一個零點，
又 ，，
所以 ，根據零點存在定理，
得的零點所在的區間是 .故選C.
（2）已知函數滿足，,則
在 上的零點( )
A.至多有一個 B.有一個或兩個 C.有且僅有一個 D.一個也沒有
[解析] 若，則是一次函數，因為 ,
,所以，可得在 上的零點只有一個.
若，則是二次函數，
假設在 上有兩個零點，則必有，
與已知矛盾，故在 上有且只有一個零點.
綜上所述，在 上的零點有且僅有一個.故選C.
√
變式 ［2025·遼寧朝陽高一期中］已知函數 ，在下列區
間中，一定包含 的零點的區間是( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得 ,
， ,
，所以一定包含零點的區間是 .
故選A.
√
［素養小結］
若連續函數滿足,則函數在內存在零點，若此時在上單調，則此零點
唯一.
探究點二 二分法的概念及應用
例2（1）下列圖象所表示的函數中，能用二分法求零點的是( )
A. B. C. D.
[解析] 函數圖象連續不斷，函數零點附近的函數值異號，這樣的函
數零點才能使用二分法求解，觀察四個函數圖象，只有B選項符合.
√
（2）已知函數， ，用二分法求方程
在區間內的實根，取區間中點為 ，那么
下一個有根的區間是_______.
[解析] 因為， ，
，所以 ，
所以方程在區間 內有實根.
［素養小結］
用二分法求函數零點時需要注意：
（1）函數圖象在零點附近連續；
（2）該零點左右函數值異號.
探究點三 求方程的近似解
例3 用二分法求方程 的一個近似解.（精確度為0.05）
解：令，由于， ，
因此取區間 作為計算的初始區間，用二分法逐次計算，
列表如下：
零點所在區間 區間中 點 中點對應的函 數近似值 取中點作為近似值時誤
差小于的值
1.25 0.5
0.25
0.125
因為 ，
所以方程的一個近似解為 .
變式 求的近似值.（精確度為 ）
解：令，則.
令，則 就是函數的零點．
因為， ，所以可取初始區間為 ，
用二分法逐次計算，列表如下：
零點所在區間 區間中點 中點對應的函 數近似值 取中點作為近
似值時誤差小
于的值
0.5
0.25
0.125
因為，
所以 的近似值可取為 .
［素養小結］
利用二分法求方程零點的近似值時,首先構造一個函數，然后利用二
分法，求解函數值的近似值，不斷把零點所在區間“二分”，直到
為止，是題目給定的精確度，然后取即可.
1.若函數在區間 上的圖象是一條連續的曲線，則下列
說法正確的是( )
A.若，則不存在實數，使得
B.若，則存在且只存在一個實數 ，使得
C.若，則有可能存在實數，使得
D.若，則有可能不存在實數，使得
√
[解析] 根據函數零點存在定理進行判斷，若 ，
則一定存在實數，使得，但 的個數不確定，
故B，D錯誤；
若，則有可能存在實數，
使得 ，如，，
但在區間 內有兩個零點,故A錯誤,C正確.故選C.
2.已知函數在區間 上存在零點，則( )
A.或 B.
C.或 D.
[解析] 由在區間上存在零點，
得且
,解得或 .故選C.
√
3.用二分法求如圖所示的圖象所表示的
函數 的零點時，不可能求出的零點
是( )
A. B. C. D.
[解析] 觀察圖象可知，附近兩邊的函數值都為負數，
所以 不能用二分法求得.故選C.
√
4.用二分法求函數的一個正實數零點時,經計算,得 ,
, ,則函數的一個精確度為0.025的正實數零點
的近似值為( )
A.0.64 B.0.74 C.0.7 D.0.6
[解析] 因為,,所以零點在區間 內.
因為 ,
所以所求零點的近似值為 .
√
5.若函數 的一個零點（正數）附近的函數值
用二分法逐次計算，參考數據如下表（函數值為近似值）
1 1.5 1.25 1.375
0.625 0.162
則方程 的一個近似解為__________.（精確度為
）
[解析] 設方程的解為.
因為 ，所以；
因為，所以 ；
因為,所以；
因為 ，所以；
因為 ，，
所以 ，
此時 ，
所以 .
求函數零點的近似值
利用二分法求函數在區間 上零點的近似值，需根據圖象估
計零點所在區間，然后根據零點存在定理，采用二分法的方式逐步
縮小區間“長度”，直到區間的兩個端點符合精確度要求.
例 若函數在 內有一個零點，用二分法
計算方程的一個近似解（精確度為 ）為
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由題知，，
故取區間 作為計算的初始區間，用二分法逐次計算如下：
零點所在區間 區間中點 中點對應的函數值
因為，
所以方程 的一個近似解為 .故選B.
練習冊
1.［2025·山東德州高一期中］用二分法研究函數
的零點時，通過計算得， ，則下一步應計算
，則 ( )
A.0 B. C. D.
[解析] 因為，，
且函數 圖象連續不斷，
所以函數在區間 內有零點，
所以下一步應計算， .故選C.
√
2.已知函數 的圖象如圖所示，其中零點的個數及
可以用二分法求近似解的零點的個數分別為( )
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
[解析] 由圖象知函數的圖象與 軸有4個交點,因此零點的個數為4.
從左往右數第4個與 軸的交點兩側不滿足函數值異號,因此不能用
二分法求零點近似解,而其余3個均可使用二分法求零點近似解.
√
3.［2025·寧夏銀川高一期中］用二分法求函數在區間
上零點的近似值時，經驗證有 ，取區間的中點
，計算得，則此時零點 滿足( )
A. B. C. D.
[解析] 根據題意， ，根據零點存在定理，
得函數在上存在零點，取區間的中點 ，
且，即，所以 .故選C.
√
★4.若函數唯一的一個零點同時在區間，， ，
內，則下列說法中正確的是( )
A.函數在區間 內有零點
B.函數在區間 內無零點
C.函數在區間 內無零點
D.函數在區間或 內有零點
√
[解析] 由函數唯一的一個零點同時在區間，
， ，內,可確定零點在區間內，
故在區間 內無零點，故選項B正確；
當的零點在區間時，選項A，C錯誤；
的零點可能為1，故選項D錯誤.故選B.
［易錯點］ 在用零點存在定理判斷函數零點時，要注意：
在函數的圖象是連續不斷的前提下，“”是“函數
在區間 內有零點”的充分不必要條件.
5.已知函數的圖象在區間 上連續不斷，則“
”是“在 上存在零點”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
[解析] 當在 上存在零點時，
不一定能得到，
例如，此時 的零點為2，
但 ，所以必要性不成立.
當時，若,, 三個值中存在0，
則在上存在零點，若,, 三個值均不為0，
不妨設，因為，
所以 ,,取等號時 不滿足條件，
所以,，則 ，
根據函數零點存在定理可知在 上存在零點,所以充分性成立.
所以“”是“在 上存在零點”的
充分不必要條件，故選A.
6.若函數 的一個正數零點附近的函數值用二
分法逐次計算，參考數據如下表：
那么方程的一個近似解（精確度為 ）為
( )
A.1.25 B. C. D.
√
[解析] ，
，則零點在區間 內，
即該方程的根在區間 內，
又，
方程的近似解為 .故選D.
7.（多選題）用二分法求方程 的近似解時，第一次所取的區
間是 ，則第三次所取的區間可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 第一次所取的區間是，
第二次所取的區間可能為,，
第三次所取的區間可能為, ,,.故選 .
√
√
8.用二分法研究函數 的零點時，第一次經過計算
得，，可得其中一個零點 ________，第二
次應計算________.
[解析] 由零點存在定理可知， ，
取該區間的中點，所以第二次應計算 .
9.已知函數有零點，但不能用二分法求出，則 ，
的關系是________．
[解析] 函數有零點，但不能用二分法求出，
函數的圖象與軸相切，
， .
10.（13分）用二分法求方程的近似解.（精確度為 ）
解：令.因為 為偶函數,
所以只要求出一個正實數解即可.
因為,,所以方程在 內有解,
所以取區間 為初始區間,用二分法逐步計算,列表如下:
零點所在區間 區間中點 中點對應的 函數值 取中點作為近似值時誤
差小于的值
2.5 0.5
2.75 0.25
2.875 0.125
由于 ,
所以可取 作為方程的一個近似解,
則方程的近似解是 .
11.函數, 有零點，用二分法求零點的
近似值（精確度小于 ）時，至少需要計算區間中點的次數為
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
√
[解析] ,，
，取區間的中點 ，
因為，所以零點在區間 上
，取區間的中點 ，
因為，所以零點在區間 上
，取區間的中點 ，
因為,所以零點在區間 上.
因為，所以區間 的中點
，即為零點的近似值，即函數的零點 ,
所以至少需進行4次區間中點的計算.故選C.
12.（多選題）若函數的圖象是連續的，且函數 的唯一異號
零點同在，，內，則與 符號不同的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為函數的唯一異號零點同在，， 內，
所以函數的零點在內，所以 ，
，，，
所以與 符號不同的是，，.故選 .
√
√
√
13.若函數的圖象是連續不斷的，且 ,
,則下列說法中一定正確的是____.（填序號）
①函數在區間 內有零點；
②函數在區間 內有零點；
③函數在區間 內有零點；
④函數在區間 內有零點.
④
[解析] ,
,, 中有一個小于0，兩個大于0或三個都小于0，
又, 函數在區間 內一定有零點.故填④.
14.（15分）已知函數 .
（1）證明:方程在區間 內有實數解；
證明：， ， ，
又函數 的圖象是連續不斷的，
由函數的零點存在定理可得方程在區間 內有實數解.
（2）請使用二分法，取區間的中點兩次，指出方程 ，
的實數解 在哪個較小的區間內.
解：取，得 ，
由此可得 ，則下一個有解區間為 .
再取，得 ，
由，得下一個有解區間為 .
綜上所述，所求的實數解在區間 內.
14.（15分）已知函數 .
15.若函數有三個零點,1, ，且
，則實數 的取值范圍是______.
[解析] 因為,1是函數的零點，所以
所以所以.
令 ，即，即，
又因為是函數 的零點，所以，
因為，所以.因此，實數 的取值范圍為 .
16.（15分）已知函數， ，
，，證明，并利用二分法證明方程
在區間 內有兩個實根．
證明：， ，
即 .
，， ，
，即 .
，， .
取區間的中點，則 .
， ， 函數在區間和 上有零點．
又為二次函數，最多有兩個零點,在 內有兩個實根．
快速核答案(導學案)
課前預習 知識點一 連續不斷 ,
【診斷分析】不一定
知識點二 一分為二 逐步逼近零點 近似值
知識點三 【診斷分析】 略
課中探究 探究點一 例1 （1）C （2）C 變式 A
探究點二 例2 （1）B （2）
探究點三 例3 變式
課堂評價 1.C 2.C 3.C 4.C 5.
備用習題 例 B
快速核答案(練習冊)
基礎鞏固
1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.BD
8. 9. 10. >
綜合提升
11.C 12.ABD 13.④ 14.（1）略 > （2）思維探索
15. 16.略第3課時　零點的存在性及其近似值的求法
1.C　[解析] 因為f(-1)>0,f(-2)<0,且函數f(x)=x3-2x+2圖象連續不斷,所以函數f(x)=x3-2x+2在區間(-2,-1)內有零點,所以下一步應計算f(x1),x1==-.故選C.
2.D　[解析] 由圖象知函數f(x)的圖象與x軸有4個交點,因此零點的個數為4.從左往右數第4個與x軸的交點兩側不滿足函數值異號,因此不能用二分法求零點近似解,而其余3個均可使用二分法求零點近似解.
3.C　[解析] 根據題意,f(2)·f(4)<0,根據零點存在定理,得函數y=f(x)在(2,4)上存在零點,取區間的中點x1==3,且f(2)·f(x1)<0,即f(2)·f(3)<0,所以x0∈(2,3).故選C.
4.B　[解析] 由函數f(x)唯一的一個零點同時在區間(0,2),(0,4),(0,8),(0,16)內,可確定零點在區間(0,2)內,故f(x)在區間[2,16)內無零點,故選項B正確;當f(x)的零點在區間(1,2)時,選項A,C錯誤;f(x)的零點可能為1,故選項D錯誤.故選B.
[易錯點] 在用零點存在定理判斷函數零點時,要注意:在函數的圖象是連續不斷的前提下, “f(a)f(b)<0”是“函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點”的充分不必要條件.
5.A　[解析] 當f(x)在[1,3]上存在零點時,不一定能得到f(1)+f(2)+f(3)=0,例如f(x)=(x-2)2,此時f(x)的零點為2,但f(1)+f(2)+f(3)=2≠0,所以必要性不成立.當f(1)+f(2)+f(3)=0時,若f(1),f(2),f(3)三個值中存在0,則f(x)在[1,3]上存在零點,若f(1),f(2),f(3)三個值均不為0,不妨設f(1)≥f(2)≥f(3),因為f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)>0,f(3)<0,取等號時f(1)=f(2)=f(3)=0不滿足條件,所以f(1)>0,f(3)<0,則f(1)f(3)<0,根據函數零點存在定理可知f(x)在[1,3]上存在零點,所以充分性成立.所以“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零點”的充分不必要條件,故選A.
6.D　[解析] ∵f(1.406 25)=-0.054<07.BD　[解析] ∵第一次所取的區間是(-2,4),∴第二次所取的區間可能為(-2,1),(1,4),∴第三次所取的區間可能為,,,.故選BD.
8.(0,0.5)　f(0.25)　[解析] 由零點存在定理可知,x0∈(0,0.5),取該區間的中點=0.25,所以第二次應計算f(0.25).
9.a2=4b　[解析] ∵函數f(x)=x2+ax+b有零點,但不能用二分法求出,∴函數f(x)=x2+ax+b的圖象與x軸相切,∴Δ=a2-4b=0,∴a2=4b.
10.解:令f(x)=x2-8.因為f(x)為偶函數,所以只要求出一個正實數解即可.
因為f(2)=-4<0,f(3)=1>0,所以方程x2-8=0在(2,3)內有解,所以取區間(2,3)為初始區間,用二分法逐步計算,列表如下:
零點所 在區間 區間中點 中點對應的 函數值 取中點作為近似值 時誤差小于的值
(2,3) 2.5 -1.75 0.5
(2.5,3) 2.75 -0.437 5 0.25
(2.75,3) 2.875 0.265 625 0.125
(2.75, 2.875) 2.812 5 -0.089 844 0.062 5
(2.812 5, 2.875) 2.843 75 0.086 914 0.031 25
(2.812 5, 2.843 75) 2.828 125 -0.001 709 0.015 625
由于|2.828 125-2.843 75|<0.02,所以可取=2.835 937 5作為方程的一個近似解,則方程的近似解是±2.835 937 5.
11.C　[解析] f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,|-2-(-1)|=1>0.2,取區間(-2,-1)的中點x1==-, 因為f=--+5=-<0,所以零點在區間上.=>0.2,取區間的中點x2==-,因為f=-+5>0,所以零點在區間上.=>0.2,取區間的中點x3==-,因為f=-+5>0,所以零點在區間上.因為=<0.2,所以區間的中點x4==-,即為零點的近似值,即函數f(x)的零點x0≈-,所以至少需進行4次區間中點的計算.故選C.
12.ABD　[解析] 因為函數f(x)的唯一異號零點同在(0,4),(0,2),內,所以函數f(x)的零點在(1,2)內,所以f(0)·f(4)<0,f(0)·f(2)<0,f(1)·f(2)<0,f(1)·f<0,所以與f(0)符號不同的是f(4),f(2),f.故選ABD.
13.④　[解析] ∵f(1)f(2)f(4)<0,∴f(1),f(2),f(4)中有一個小于0,兩個大于0或三個都小于0,又f(0)>0,∴函數f(x)在區間(0,4)內一定有零點.故填④.
14.解:(1)證明:∵f(0)=1>0,f(2)=-<0,
∴f(0)·f(2)=-<0,
又函數f(x)=x3-x2+1的圖象是連續不斷的,
∴由函數的零點存在定理可得方程f(x)=0在區間(0,2)內有實數解.
(2)取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0,
由此可得f(1)·f(2)=-<0,
則下一個有解區間為(1,2).
再取x2=×(1+2)=,得f=-<0,由f(1)·f=-<0,得下一個有解區間為.
綜上所述,所求的實數解x0在區間內.
15.(2,3)　[解析] 因為-1,1是函數的零點,所以所以所以f(x)=x3-cx2-x+c.令f(x)=0,即x3-cx2-x+c=0,即(x-c)(x2-1)=0,又因為x0是函數f(x)的零點,所以x0=c,因為x0∈(2,3),所以216.證明:∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
∴-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.
取區間[0,1]的中點,則f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
∵f(0)>0,f(1)>0,
∴函數f(x)在區間和上有零點.
又f(x)為二次函數,最多有兩個零點,∴f(x)=0在[0,1]內有兩個實根.第3課時　零點的存在性及其近似值的求法
【課前預習】
知識點一
連續不斷　f(a)f(b)<0　 x0∈(a,b),f(x0)=0
診斷分析
解:不一定.可能y=f(x)在x=a或x=b處無定義,即使有定義,也可能f(a)·f(b)>0.如函數f(x)=(x-1)2在(0,2)內有零點,但f(0)·f(2)>0.
知識點二
f(a)f(b)<0　一分為二　逐步逼近零點　近似值
知識點三
x1=　f=0
診斷分析
解:根據精確度決定,當零點所在的區間為[a,b],且|b-a|≤2ε時,取x1=,步驟結束.
【課中探究】
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)顯然函數y=,y=-都是(0,+∞)上的增函數,所以f(x)=-在(0,+∞)上單調遞增,且f(x)在(0,+∞)上是連續函數,所以f(x)只有一個零點,又f(2)=-=-<0,f(3)=-1>0,所以f(2)·f(3)<0,根據零點存在定理,得f(x)的零點所在的區間是(2,3).故選C.
(2)若a=0,則f(x)=bx+c是一次函數,因為f(1)>0,f(2)<0,所以f(1)·f(2)<0,可得f(x)在(1,2)上的零點只有一個.若a≠0,則f(x)=ax2+bx+c是二次函數,假設f(x)在(1,2)上有兩個零點,則必有f(1)·f(2)>0,與已知矛盾,故f(x)在(1,2)上有且只有一個零點.綜上所述,f(x)在(1,2)上的零點有且僅有一個.故選C.
變式　A　[解析] 由題意得f(1)f(2)=5×<0,f(2)f(3)=×>0,f(-2)f(-1)=×7>0,f(-3)f(-2)=×>0,所以一定包含f(x)零點的區間是(1,2).故選A.
例2　(1)B　(2)(2,2.5)　[解析] (1)函數圖象連續不斷,函數零點附近的函數值異號,這樣的函數零點才能使用二分法求解,觀察四個函數圖象,只有B選項符合.
(2)因為f(2)=23-2×2-5=-1<0,f(2.5)>0,f(3)=33-2×3-5=16>0,所以f(2)·f(2.5)<0,所以方程x3-2x-5=0在區間(2,2.5)內有實根.
例3　解:令f(x)=x2-5,由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,因此取區間(-3,-2)作為計算的初始區間,用二分法逐次計算,列表如下:
零點所在區間 區間中點 中點對應的函數近似值 取中點作為近似值時誤差小于的值
(-3,-2) -2.5 1.25 0.5
(-2.5,-2) -2.25 0.062 5 0.25
(-2.25,-2) -2.125 -0.484 4 0.125
(-2.25,-2.125) -2.187 5 -0.214 8 0.062 5
因為|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,所以方程的一個近似解為=-2.218 75.
變式　解:令=x,則x3=3.令f(x)=x3-3,則就是函數f(x)=x3-3的零點.因為f(1)=-2<0,f(2)=5>0,所以可取初始區間為(1,2),用二分法逐次計算,列表如下:
零點所在區間 區間中點 中點對應的函數近似值 取中點作為近似值時誤差小于的值
(1,2) =1.5 0.375 0.5
(1,1.5) =1.25 -1.047 0.25
(1.25,1.5) =1.375 -0.4 0.125
(1.375,1.5) =1.437 5 -0.03 0.062 5
因為|1.5-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以的近似值可取為=1.468 75.
【課堂評價】
1.C　[解析] 根據函數零點存在定理進行判斷,若f(a)·f(b)<0,則一定存在實數c∈(a,b),使得f(c)=0,但c的個數不確定,故B,D錯誤;若f(a)·f(b)>0,則有可能存在實數c∈(a,b),使得f(c)=0,如f(x)=x2-1,f(-2)f(2)>0,但f(x)=x2-1在區間(-2,2)內有兩個零點,故A錯誤,C正確.故選C.
2.C　[解析] 由f(x)=3ax-1-2a在區間(-1,1)上存在零點,得a≠0且f(-1)·f(1)=(-3a-1-2a)(3a-1-2a)=(-5a-1)·(a-1)<0,解得a>1或a<-.故選C.
3.C　[解析] 觀察圖象可知,x3附近兩邊的函數值都為負數,所以x3不能用二分法求得.故選C.
4.C　[解析] 因為f(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零點在區間(0.68,0.72)內.因為0.72-0.68=0.04<0.05,所以所求零點的近似值為=0.7.
5.1.421 875　[解析] 設方程x3+x2-2x-2=0的解為x0.因為f(1)f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5);因為f(1.25)≈-0.984,所以x0∈(1.25,1.5);因為f(1.375)≈-0.26,所以x0∈(1.375,1.5);因為f(1.437 5)≈0.162,所以x0∈(1.375,1.437 5);因為f(1.406 25)≈-0.054<0,f(1.437 5)≈0.162>0,所以x0∈(1.406 25,1.437 5),此時|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.04,所以x0==1.421 875.第3課時　零點的存在性及其近似值的求法
【學習目標】
1.掌握函數零點存在定理,并會判斷函數零點的個數;
2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,掌握用二分法求函數零點近似值的步驟;
3.理解函數與方程之間的聯系,并能用函數與方程思想分析問題、解決問題.
◆ 知識點一　函數零點存在定理
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是　　　　　　的,并且　　　　　　　　(即在區間兩個端點處的函數值異號),則函數y=f(x)在區間(a,b)中至少有一個零點,即　　　　　　　　　　　　　.
【診斷分析】 若函數y=f(x)在(a,b)內有零點,則f(a)·f(b)<0一定成立嗎
◆ 知識點二　二分法定義
對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且　　　　　　　的函數y=f(x),通過不斷地把它的零點所在的區間　　　　　　　,使所得區間的兩個端點　　　　　　　　　　,進而得到零點　　　　　的方法叫作二分法.
◆ 知識點三　用二分法求函數零點近似值的步驟
在函數零點存在定理的條件滿足時,給定近似的精確度ε,用二分法求零點x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步驟如下:
第一步,檢查|b-a|≤2ε是否成立,如果成立,取　　　　　,計算結束;如果不成立,轉到第二步.
第二步,計算區間(a,b)的中點對應的函數值,若　　　　　　,取x1=,計算結束;若f≠0,轉到第三步.
第三步,若f(a)f<0,將的值賦給b,回到第一步;否則必有ff(b)<0,將的值賦給a,回到第一步.
【診斷分析】 用二分法求方程的近似解時,如何決定步驟的結束
◆ 探究點一　零點存在定理的應用
例1 (1)[2025·福建泉州高一期中] 函數f(x)=-的零點所在的區間為 (　 )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函數f(x)=ax2+bx+c滿足f(1)>0,f(2)<0,則f(x)在(1,2)上的零點 (　 )
A.至多有一個
B.有一個或兩個
C.有且僅有一個
D.一個也沒有
變式 [2025·遼寧朝陽高一期中] 已知函數f(x)=-x,在下列區間中,一定包含f(x)的零點的區間是 (　 )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(-2,-1) D.(-3,-2)
[素養小結]
若連續函數f(x)滿足f(a)f(b)<0,則函數f(x)在(a,b)內存在零點,若此時f(x)在(a,b)上單調,則此零點唯一.
◆ 探究點二　二分法的概念及應用
例2 (1)下列圖象所表示的函數中,能用二分法求零點的是 (　 )
A B C D
(2)已知函數f(x)=x3-2x-5,f(2.5)>0,用二分法求方程x3-2x-5=0在區間(2,3)內的實根,取區間中點為x0=2.5,那么下一個有根的區間是　　　　.
[素養小結]
用二分法求函數零點時需要注意:
(1)函數圖象在零點附近連續;
(2)該零點左右函數值異號.
◆ 探究點三　求方程的近似解
例3 用二分法求方程x2-5=0的一個近似解.(精確度為0.05)
變式 求的近似值.(精確度為0.05)
[素養小結]
利用二分法求方程零點的近似值時,首先構造一個函數,然后利用二分法,求解函數值的近似值,不斷把零點所在區間“二分”,直到|a-b|<2ε為止,ε是題目給定的精確度,然后取x1=即可.
1.若函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續的曲線,則下列說法正確的是 (　 )
A.若f(a)·f(b)>0,則不存在實數c∈(a,b),使得f(c)=0
B.若f(a)·f(b)<0,則存在且只存在一個實數c∈(a,b),使得f(c)=0
C.若f(a)·f(b)>0,則有可能存在實數c∈(a,b),使得f(c)=0
D.若f(a)·f(b)<0,則有可能不存在實數c∈(a,b),使得f(c)=0
2.已知函數f(x)=3ax-1-2a在區間(-1,1)上存在零點,則 (　 )
A.a<-1或a> B.a>
C.a<-或a>1 D.a<-
3.用二分法求如圖所示的圖象所表示的函數f(x)的零點時,不可能求出的零點是(　 )
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
4.用二分法求函數f(x)的一個正實數零點時,經計算,得f(0.72)>0,f(0.68)<0,f(0.76)>0,則函數的一個精確度為0.025的正實數零點的近似值為 (　 )
A.0.64 B.0.74
C.0.7 D.0.6
5.若函數f(x)=x3+x2-2x-2的一個零點(正數)附近的函數值用二分法逐次計算,參考數據如下表(函數值為近似值):
x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5 1.406 25
f(x) -2 0.625 -0.984 -0.26 0.162 -0.054
則方程x3+x2-2x-2=0的一個近似解為　　　　.(精確度為0.02) 第3課時　零點的存在性及其近似值的求法
1.[2025·山東德州高一期中] 用二分法研究函數f(x)=x3-2x+2的零點時,通過計算得f(-1)>0,f(-2)<0,則下一步應計算f(x1),則x1= (　 )
A.0 B.- C.- D.-
2.已知函數f(x)的圖象如圖所示,其中零點的個數及可以用二分法求近似解的零點的個數分別為 (　 )
A.4,4 B.3,4
C.5,4 D.4,3
3.[2025·寧夏銀川高一期中] 用二分法求函數y=f(x)在區間[2,4]上零點的近似值時,經驗證有f(2)·f(4)<0,取區間的中點x1==3,計算得f(2)·f(x1)<0,則此時零點x0滿足 (　 )
A.x0=x1 B.x0>x1
C.2★4.若函數f(x)唯一的一個零點同時在區間(0,2),(0,4),(0,8),(0,16)內,則下列說法中正確的是 (　 )
A.函數f(x)在區間(0,1)內有零點
B.函數f(x)在區間[2,16)內無零點
C.函數f(x)在區間(1,16)內無零點
D.函數f(x)在區間(0,1)或(1,2)內有零點
5.已知函數f(x)的圖象在區間[1,3]上連續不斷,則“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零點”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
6.若函數f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算,參考數據如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260
f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似解(精確度為0.025)為 (　 )
A.1.25 B.1.40 625
C.1.437 5 D.1.421 875
7.(多選題)用二分法求方程f(x)=0的近似解時,第一次所取的區間是(-2,4),則第三次所取的區間可能是 (　 )
A.(1,4) B.
C. D.
8.用二分法研究函數f(x)=x2+3x-1的零點時,第一次經過計算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一個零點x0∈　　　　,第二次應計算　　　　.
9.已知函數f(x)=x2+ax+b有零點,但不能用二分法求出,則a,b的關系是　　　　.
10.(13分)用二分法求方程x2-8=0的近似解.(精確度為0.01)
11.函數f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零點,用二分法求零點的近似值(精確度小于0.1)時,至少需要計算區間中點的次數為 (　 )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(多選題)若函數f(x)的圖象是連續的,且函數f(x)的唯一異號零點同在(0,4),(0,2),內,則與f(0)符號不同的是 (　 )
A.f(4) B.f(2)
C.f(1) D.f
13.若函數f(x)的圖象是連續不斷的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,則下列說法中一定正確的是　　　　.(填序號)
①函數f(x)在區間(0,1)內有零點;
②函數f(x)在區間(1,2)內有零點;
③函數f(x)在區間(0,2)內有零點;
④函數f(x)在區間(0,4)內有零點.
14.(15分)已知函數f(x)=x3-x2+1.
(1)證明:方程f(x)=0在區間(0,2)內有實數解;
(2)請使用二分法,取區間[0,2]的中點兩次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的實數解x0在哪個較小的區間內.
15.若函數f(x)=x3+ax2+bx+c有三個零點-1,1,x0,且x0∈(2,3),則實數c的取值范圍是　　　　.
16.(15分)已知函數f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,證明a>0,并利用二分法證明方程f(x)=0在區間[0,1]內有兩個實根.

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