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22.2.1直接開平方法和因式分解法培優提升訓練華東師大版2025—2026學年九年級上冊
一、選擇題
1．方程有解的條件是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．用直接開方法解方程得方程的根為（ ）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程的解為（ ）
A．， B．， C． D．
5．已知菱形的邊長是一元二次方程的一個根，且兩條對角線長的和為，則菱形的邊長為（ ）
A． B． C． D．或
6．關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則m的值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．若關于的方程與有一個解相同，則的值為（ ）
A．6 B． C．6或 D．或2
8．若，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．若一元二次方程的兩個不相等的根分別是與，則為 ．
10．一個三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊是方程的一個根，則這個三角形的周長是 ．
11．方程的解是： ．
12．閱讀：因為，所以，這說明多項式有一個因式為，也說明當時，多項式的值為0．解答問題：方程的解是 ．
三、解答題
13．解一元二次方程：
(1)
(2)．
14．解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
15．已知多項式
(1)化簡多項式；
(2)若，求A的值．
16．解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
17．解方程或計算：
(1)
(2)
(3)先化簡再求值，其中滿足
．
18．解方程：．
19．定義：若關于x的一元二次方程的兩個實數根為和，分別以為橫、縱坐標得到點，則稱點P為該一元二次方程的“兩根點”．
(1)請你直接寫出方程的“兩根點”P的坐標；
(2)點P是關于x的一元二次方程的“兩根點”，若點P在直線上，求“兩根點”P的坐標．
20．材料閱讀：材料1：符號“”稱為二階行列式，規定它的運算法則為，如．
材料2：我們已經學習過求解一元一次方程、二元一次方程組、分式方程等方程的解法，雖然各類方程的解法不盡相同，但是蘊含了相同的基本數學思想——轉化，把未知轉化為已知．用“轉化”的數學思想，還可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程時，我們可以利用因式分解把它轉化為一元一次方程來求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，．
根據材料回答以下問題．
(1)二階行列式__________；
(2)求解中的值；
(3)結合材料，若，，且，求的值．
參考答案
一、選擇題
1．D
2．D
3．D
4．B
5．A
6．D
7．B
8．A
二、填空題
9．25
10．13
11．，
12．或或
三、解答題
13．【解】（1）∵
∴，
∴，
∴，
解得．
（2）∵
∴，
∴，
解得．
14．【解】（1）
解：
即
，
，；
（2）
解：
或
，；
（3）
解：
或
，．
15．【解】（1）解：
；
（2），
，
16．【解】（1）解：∵，
開平方，得，
∴，
∴
（2）解：∵，
分解因式，得，
∴，
∴
（3）解：∵，
分解因式，得，
即，
∴，
∴
（4）解：∵，
分解因式，得，
∴，
∴
17．【解】（1）解：∵，
移項，得．
提公因式，得．
提公因式，得．
即．
∴．
解得．
（2）解：∵，
去分母，得．
去括號，得．
移項，得．
合并同類項，得．
系數化成1，得．
當時，，
∴是原方程的解．
（3）解：∵
，
且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
18．【解】解：移項得：，
因式分解得：，即，
∴或，
解得：．
19．【解】（1）解：，
，
，
所以該方程的解為：，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵點P在直線上，
∴，
∴．
∴“兩根點”P的坐標為．
20．【解】（1）解：由題意得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．

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