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24.4直線與圓的位置關系 同步練
一、單選題
1．如圖，已知的半徑為5，直線經過上一點P，下列條件不能判定直線與相切的是（ ）
A． B． C．點O到直線的距離是5 D．
2．如圖1，這是陜西寶雞團結大橋上的“日月同輝”造型，圖2是它的示意圖，其中小圓和橋面直線的位置關系是（ ）

A．相交 B．相切 C．相離 D．垂直
3．如圖，是的直徑，C是上一點，D是外一點，過點A作，垂足為E，連接．若使切于點C，添加的下列條件中，不正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．以等腰直角直角頂點C為圓心，的一半長為半徑畫圓，則與的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定
5．如圖，中為直徑，， 分別切于點 ，．，則 的大小為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，為的直徑，點在的延長線上，切于點，若，，那么的周長是（ ）
A．2a B．(1+)a C．(2+)a D．3a
7．如圖，□ABCD中，以邊BC為直徑的⊙O與邊AD相切于點A，則∠B的大小為 （ ）
A．60° B．55° C．45° D．30°
8．如圖，PA，PB為⊙O的兩條切線，點A，B是切點，OP交⊙O于點C，交弦AB于點D．下列結論中錯誤的是（　　）
A．PA＝PB B．AD＝BD C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
二、填空題
9．如圖，內接于，直線與相切于點B，若，則＝ ．
10．如圖，P為正比例函數y＝x圖像上的一個動點，⊙P的半徑為3，設點P的坐標為(x，y)．當⊙P與直線x＝2相交時x的取值范圍為 ．
11．如圖，為的直徑，，當 時，直線與相切．
12．在平面直角坐標系中，以點為圓心，5為半徑的圓與y軸所在直線的位置關系是 .
13．如圖，AB為⊙O的直徑，圓周角∠ABC＝40°，當∠BCD＝ 時，CD為⊙O的切線．
14．如圖，CB切⊙O于點B，CA交⊙O于點D且AB為⊙O的直徑，點E是上異于點A、D的一點．若∠C＝40°，則∠E的度數為 ．
三、解答題
15．如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一點E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
(1)求⊙O的直徑BE的長；
(2)計算△ABC的面積．
16．如圖，在中，為的直徑，為上一點，是的中點，過點作的垂線，交的延長線于點．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
17．如圖，以的邊上一點O為圓心，為半徑的經過B點與交于D點，連接，已知，．
(1)求證：為的切線；
(2)若，求；
(3)設為的平分線，，求的半徑．
18．如圖，AB是半圓O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．
（1）求證：BC是半圓O的切線；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的長．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B D C C D
1．A
【分析】依據切線的判定定理“經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線”或“圓心到直線的距離等于半徑”進行判斷即可．
【詳解】解：A、，不能判定直線與相切，符合題意；
B、由，得到，且點P在上，能判定直線與相切，不符合題意；
C、點O到直線的距離是5，等于半徑，能判定直線與相切，不符合題意；
D、且點P在上，能判定直線與相切，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了切線的判定；熟練掌握切線的判定是解題的關鍵．
2．B
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，根據直線與圓的交點個數即可得到結論．
【詳解】解：由圖可得，直線與小圓有1個交點，
∴小圓和橋面直線的位置關系是相切，
故選：B．
3．D
【分析】根據圓的切線的判定、平行線的判定與性質，逐項判定即可得到答案．
【詳解】解：A、∵，
∴，
當時，則，即，
∴切于點C，該選項正確，不符合題意；
B、∵，
∴，則，
∵，
∴，
當時，則，即，
∴切于點C，該選項正確，不符合題意；
C、當時，，
∵，
∴，
∴，即，
∴切于點C，該選項正確，不符合題意；
D、當時，由得到，
∴是等腰三角形，無法確定，
∴不能得到切于點C，該選項不正確，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查切線的判定，平行線的判定與性質，熟記圓的切線的判定是解決問題的關鍵．
4．B
【分析】如圖，取AB的中點D，連接CD，再根據等腰直角三角形的性質證得 CD=BD=AD=AB，求出，即可判斷與相切
【詳解】解：如圖，取AB的中點D，連接CD，則BD=AD=AB，
在等腰直角中，CD=BD=AD=AB，
∴，
∴，
∴以點C為圓心，的一半長為半徑畫圓，與相切，
故選：B．
【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質，等邊對等角求角度，直線與圓的位置關系，熟記等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．
5．D
【分析】此題考查了切線的性質、切線長定理等知識，根據切線的性質定理得到，求出，根據切線長定理求出，利用三角形內角和定理即可求出答案．
【詳解】解： 切 于點 ，
，
又 ，
，
， 分別切 于點 ，，
，
，
．
故選：D
6．C
【分析】連接，結合已知條件推出在中，，，從而推出，即可得出周長．
【詳解】解：連接，
為的直徑，
為直角三角形，
，，
，
，
，
，
的周長是．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了切線的性質、解直角三角形、等邊三角形的性質，解題的關鍵在于作輔助線構建直角三角形，解直角三角形求相關邊的長度．
7．C
【分析】連接OA，由切線的性質得∠DAO=90 ，由平行四邊形的對邊平行可得∠BAO=∠DAO=90 ，由等邊對等角得∠B =45 .
【詳解】解：連接OA，則OA=OB，
∵AD與⊙O相切與點A，
∴∠DAO=90 ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠BAO=∠DAO=90 ，
∵OA=OB，
∠B=∠BAO=45 ，
故選：C
【點睛】此題考查了切線的性質定理、平行四邊形的性質、等邊對等角等知識點，掌握相應的性質定理是解答此題的關鍵.
8．D
【分析】利用切線長定理、等腰三角形的性質即可得出答案．
【詳解】解：由切線長定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，從而AB⊥OP，AD=BD．
因此A．B．C都正確．
無法得出∠PAB=∠APB，可知：D是錯誤的．
綜上可知：只有D是錯誤的．
故選：D．
【點睛】本題考查了切線長定理、等腰三角形的性質，關鍵是利用切線長定理、等腰三角形的性質解答．
9．/40度
【分析】先根據切線的性質可得，由可得，由此可以求出的度數，根據角的和差可以求出的度數．
【詳解】解：∵直線與相切于點B，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴∠OBA=∠OAB，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理等知識．熟練掌握直線與圓相切的性質，圓周角定理是解題的關鍵．
10．－1＜x＜5
【分析】根據直線和圓相切應滿足圓心到直線的距離等于半徑，首先求得點P的橫坐標，然后可求出相交時x的取值范圍．
【詳解】設P點的橫坐標為x，過P作直線x=2的垂線，垂足為A；
當點P在直線x=2右側時，AP=x-2=3，得x=5；
當點P在直線x=2左側時，PA=2-x=3，得x=-1，
∴當⊙P與直線x=2相交時x的取值范圍為－1＜x＜5.
故答案是：－1＜x＜5．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系的知識，若圓心到直線的距離d，圓的半徑r，①當d＞r時，直線與圓相離，此時直線與圓沒有公共點；②當d=r時，直線與圓相切，此時直線與圓有一個公共點；③當d＜r時，直線與圓相交，此時直線與圓有兩個公共點.
11．1
【分析】直線與相切時，，根據勾股定理即可求出．
【詳解】解：當時，直線與相切，
∴（cm），
故答案為：1．
【點睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定和性質是解題關鍵．
12．相交
【分析】本題可先求出圓心到y軸的距離，再根據半徑比較.
【詳解】圓心到y軸的距離是3<5，
則圓的y軸所在直線的位置關系是相交．
故答案是：相交．
【點睛】此題考查的是圓與直線的關系，即圓心到直線的距離大于圓心距，直線與圓相離；小于圓心距，直線與圓相交；等于圓心距，則直線與圓相切．
13．
【分析】首先連接OC，易得∠OCB=∠ABC=40゜，即可得當∠BCD=50°時，∠BCD+∠OCB=90°，即此時CD為⊙O的切線．
【詳解】解：連接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC=40°，
∴當∠BCD=50°時，∠BCD+∠OCB=90°，
即OC⊥CD，
∴當∠BCD=50°時，CD為⊙O的切線．
故答案為50°．
【點睛】此題考查了切線的判定．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．
14．40°
【詳解】連接BD，根據直徑所對的圓周角是直角，利用切線的性質得到∠ABD的度數，然后用同弧所對的圓周角相等，求出∠E的度數．
解：如圖：連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于點B，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠BAC=50°，
∴∠ABD=40°，
∴∠E=∠ABD=40°．
故答案為40°．
15．（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24.
【分析】（1）連接OD，由切線的性質得OD⊥AC，，在Rt△ODA中運用勾股定理可以求出半徑OD，即可求得直徑BE的長；
（2）由切線長定理知，CD=BC，在Rt△ABC中運用勾股定理可以求出BC，則可由直角三角形的面積公式求得△ABC的面積．
【詳解】（1）連接OD，
∴OD⊥AC
∴△ODA是直角三角形
設半徑為r
∴AO＝r＋2
∴
解之得：r＝3
∴BE＝6
(2)∵∠ABC＝900
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切線
∵CD切⊙O于D
∴CB＝CD
令CB＝x
∴AC＝x＋4， CB＝x，AB＝8
∵
∴x＝6.
∴S△ABC＝24（cm2）.
故答案為（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24
【點睛】本題考查勾股定理，切線的定義，切線長定理.
16．(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據題意連接，直接利用切線的定理進行分析證明即可；
（2）根據題意連接，交于于點，利用三角函數和勾股定理以及矩形的性質進行綜合分析計算即可．
【詳解】（1）解：證明：連接；
∵；
∴；
又∵為的中點；
∴
∴；
∴；
∴；
∵；
∴；
又∵為半徑；
∴為的切線；
（2）連接，交于于點，則，
∵是圓的直徑；
∴；
∴四邊形為矩形；
∵
∴，
∴，
∵，則，
由勾股定理的，
∴
又∵四邊形為矩形；
∴
【點睛】本題考查圓的綜合問題，熟練掌握圓的切線定理和勾股定理以及三角函數和矩形的性質是解題的關鍵．
17．(1)見解析
(2)3
(3)
【分析】（1）根據圓周角定理，等腰三角形的性質以及切線的判定方法進行解答即可；
（2）根據相似三角形的判定和性質，以及即可求出，進而求出；
（3）根據角平分線的定義，直角三角形的兩銳角互余以及三角形內角和定理可得，進而求出，再根據相似三角形的性質求出，由勾股定理求出，進而求出半徑即可．
【詳解】（1）∵
∴
∵是的直徑，
∴，即
又∵
∴
即
∵是的半徑，
∴是⊙的切線；
（2）∵
∴，
∴
∵ ，
∴
∴
（3）如圖，過點A作，交的延長線于點N，
∵平分
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
在中，
∴的半徑為．
【點睛】本題考查切線的判定，直角三角形的邊角關系以及相似三角形的判定和性質，掌握切線的判定方法，相似三角形的判定和性質以及直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．
18．（1）見解析；（2）AD=4.5.
【分析】（1）若證明BC是半圓O的切線，利用切線的判定定理：即證明AB⊥BC即可；
（2）因為OC∥AD，可得∠BEC=∠D=90°，再有其他條件可判定△BCE∽△BAD，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可求出AD的長．
【詳解】（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，
∴BD⊥AD，
∴∠DBA+∠A=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBA+∠DBC=90°即AB⊥BC，
∴BC是半圓O的切線；
（2）解：∵OC∥AD，
∴∠BEC=∠D=90°，
∵BD⊥AD，BD=6，
∴BE=DE=3，
∵∠DBC=∠A，
∴△BCE∽△BAD，
，即；
∴AD=4.5
【點睛】本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了相似三角形的判定和性質．

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