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高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)
第三章 函數(shù)概念與性質(zhì)檢測(cè)卷
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1.函數(shù)的定義域?yàn)椋?）
A. B. C. D.
2.（2025黑龍江佳木斯期末）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，則（ ）
A. B. C. D.
3.（2024安慶一中期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則（ ）
A. B. 2 C. D. 1
4.（2024北京第十二中學(xué)月考）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
5.（2025山東淄博段考）已知，若，則（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
6.（2024天津南開(kāi)區(qū)期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，都有，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
7.（2025河北石家莊期中）若一些函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”。那么解析式為，值域?yàn)榈摹巴搴瘮?shù)”的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
8.（2024河北邢臺(tái)一中月考）已知，且在上單調(diào)遞減，則，，的大小順序是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，多選、少選、錯(cuò)選均不得分）
9.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若滿足，，都有，我們稱為“下凸函數(shù)”，比如函數(shù)即為“下凸函數(shù)”，對(duì)于“下凸函數(shù)”，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 一次函數(shù)有可能是“下凸函數(shù)”
B. 二次函數(shù)為“下凸函數(shù)”的充要條件是
C. 函數(shù)為“下凸函數(shù)”的充要條件是
D. 函數(shù)是“下凸函數(shù)”
10.（2024四川綿陽(yáng)期末統(tǒng)考）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的定義域?yàn)?br/>B. 函數(shù)的值域?yàn)?br/>C. 不等式的解集為
D. 函數(shù)是偶函數(shù)
11.（2024河北石家莊十七中期中）下列函數(shù)值域?yàn)榈氖牵?）
A. B. C. D.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.（2025北京四中期中）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開(kāi)_____
（出自文檔1（3.2.pdf）全章綜合檢測(cè)第12題）
13.（2024云南昆明期末統(tǒng)考）已知定義在上的函數(shù)，滿足，，若，則______
（出自文檔2（3.3.pdf）第12題）
14.（2025湖北重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟聯(lián)考）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，若存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，，都有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“衰減函數(shù)”。若函數(shù)是上的“衰減函數(shù)”，則的最大值為_(kāi)_____
（出自文檔1（3.2.pdf）章末培優(yōu)專練第3題）
四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15.（13分）（2025黑龍江大慶期中）已知二次函數(shù)滿足，且
(1)求的解析式；
(2)若在區(qū)間上，的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍。
16.（15分）（2024上海文來(lái)中學(xué)階段測(cè)試）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
(1)求該冪函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象。
17.（15分）（2024山東濰坊期中）已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，且
(1)求的值；
(2)令，求證：函數(shù)為奇函數(shù)；
(3)求的值。
18.17分）（2024馬鞍山二中階段檢測(cè)）若在上的值域是的子集，則稱函數(shù)在上是封閉的
(1)若在上是封閉的，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若在上是封閉的，求實(shí)數(shù)的最大值。
19.（17分）（2025廣東惠州中學(xué)期中）對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“局部反比例對(duì)稱函數(shù)”
(1)已知函數(shù)，試判斷是不是“局部反比例對(duì)稱函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
(2)用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(3)若是定義在區(qū)間上的“局部反比例對(duì)稱函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)第三章 函數(shù)概念與性質(zhì)檢測(cè)卷標(biāo)準(zhǔn)答案
一、單選題（每小題5分，共40分）
1.答案：C
解析：求定義域需滿足兩個(gè)條件：
零次冪底數(shù)不為0：；
根號(hào)下分式非負(fù)：且分母不為0，即。
綜上，定義域?yàn)椤?br/>2.答案：D
解析：由奇函數(shù)性質(zhì)（時(shí)）：
當(dāng)時(shí)，，代入的解析式：
；
故。
3.答案：C
解析：冪函數(shù)需滿足系數(shù)為1：
，故；
代入得。
4.答案：D
解析：分情況討論二次函數(shù)單調(diào)性：
當(dāng)時(shí)：，一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合；
當(dāng)時(shí)：開(kāi)口向上，對(duì)稱軸需（保證遞增），解得；
當(dāng)時(shí)：開(kāi)口向下，對(duì)稱軸需（保證遞增），化簡(jiǎn)得，因恒成立。
綜上，。
5.答案：B
解析：分段函數(shù)，分析變量范圍：
恒成立（為實(shí)數(shù)時(shí)，需，但，仍需驗(yàn)證）；
當(dāng)（即）時(shí)，，，故；
解方程，得（舍去，因）；
故。
6.答案：B
解析：構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與奇偶性：
由，得，故在上遞減；
是奇函數(shù)，故是偶函數(shù)（）；
不等式即，故且，解得且。
7.答案：D
解析：“同族函數(shù)”需滿足定義域包含中至少一個(gè)（取到1）、中至少一個(gè)（取到4）：
含1的定義域子集：（3種）；
含2的定義域子集：（3種）；
共種。
8.答案：A
解析：由知對(duì)稱軸為，利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化：
；
；
因在上遞減，故，即。
二、多選題（每小題6分，共18分）
9.答案：BCD
解析：根據(jù)“下凸函數(shù)”定義：
A錯(cuò)誤：一次函數(shù)滿足，不滿足“<”；
B正確：二次函數(shù)，時(shí)恒負(fù)；
C正確：，化簡(jiǎn)差值為，時(shí)恒負(fù)；
D正確：求二階導(dǎo)數(shù)，故下凸。
10.答案：BCD
解析：冪函數(shù)過(guò)，得，故：
A錯(cuò)誤：定義域?yàn)椋?br/>B正確：值域?yàn)椋?br/>C正確：且，解集為；
D正確：，是偶函數(shù)。
11.答案：BD
解析：逐一驗(yàn)證值域：
A錯(cuò)誤：值域?yàn)椋?br/>B正確：，值域；
C錯(cuò)誤：值域?yàn)椋?br/>D正確：在上遞增，時(shí)，值域。
三、填空題（每小題5分，共15分）
12.答案：
解析：
冪函數(shù)系數(shù)，故；
點(diǎn)在圖象上，得；
區(qū)間上，，，值域?yàn)椤?br/>13.答案：
解析：
由知對(duì)稱軸為，故；
由，得。
14.答案：2
解析：
由（），化簡(jiǎn)得；
因，需；
時(shí)，，故的最大值為2（保證對(duì)所有成立）。
四、解答題（共77分）
15.解：
(1) 設(shè)二次函數(shù)為（），根據(jù)條件列方程求解：
利用求和：
先展開(kāi)：。
作差得：。
對(duì)比右邊，系數(shù)需滿足：
，解得，。
利用求：
代入、到中：，即，解得。
綜上，。
(2) 先通過(guò)配方分析的單調(diào)性與最值，再結(jié)合值域確定：
配方找最值與對(duì)稱軸：
，圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，最小值為（在處取得）。
找值域上限對(duì)應(yīng)的：
令，解方程，化簡(jiǎn)得，解得或。
結(jié)合區(qū)間確定：
值域需包含最小值，故（對(duì)稱軸需在區(qū)間內(nèi)）；
值域上限不能超過(guò)2，故（若，則，超出值域）。
綜上，的取值范圍為。
16.解：
(1)由冪函數(shù)定義求：
冪函數(shù)形式為，故系數(shù)。
解方程，得或。
結(jié)合對(duì)稱性篩選：
若，則，滿足（奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），符合條件；
若，則，滿足（偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱），不符合。
綜上，。
(2)
17.解：
(1) 利用抽象函數(shù)的“賦值法”：
令，代入，得：
。
已知，代入得，解得。
(2) 根據(jù)奇函數(shù)定義（對(duì)任意，），步驟如下：
求確定：
令，代入抽象函數(shù)式：，解得。
故，滿足奇函數(shù)在處的性質(zhì)（若有定義則）。
證：
令，代入抽象函數(shù)式：。
代入，得，即。
因此。
綜上，為奇函數(shù)。
(3)利用的奇函數(shù)性質(zhì)分組求和：
轉(zhuǎn)化與的關(guān)系：
由，得。
分組計(jì)算和式：
和式為，可分為：
中間項(xiàng)：；
對(duì)稱項(xiàng)：（）。
計(jì)算對(duì)稱項(xiàng)和：
因是奇函數(shù)，，故：
。
總求和：
共有2023組對(duì)稱項(xiàng)，總和為。
18.解：
(1) “封閉函數(shù)”定義：在上的值域。（），開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，分情況討論：
情況1：（對(duì)稱軸在左半段）
最小值：在處，（需，否則超出值域下限）；
最大值：在處（開(kāi)口向上，遠(yuǎn)離對(duì)稱軸端點(diǎn)值更大），（需，否則超出值域上限）。
列不等式組：，解得，即。
情況2：（對(duì)稱軸在中點(diǎn)）
最小值，最大值，值域?yàn)椋蠗l件。
情況3：（對(duì)稱軸在右半段）
最小值（時(shí)，，超出下限），不符合。
綜上，的取值范圍為。
(2) “封閉函數(shù)”需滿足：在上的值域，分析如下：
初步確定的下限：
，因值域，故（否則，超出上限）。
利用值域上限列不等式：
開(kāi)口向上，值域上限為（因），故，即：
。
結(jié)合與值域下限：
值域下限（因），故。
解不等式求：
由，得（）。
兩邊乘（）：，解方程，得根為。
因，故，即的最大值為。
19.解：
(1) “局部反比例對(duì)稱函數(shù)”定義：存在（定義域內(nèi)），滿足。
列方程：
，，令兩者相等：
，整理得。
判斷方程是否有實(shí)根：
判別式，無(wú)實(shí)根。
綜上，不是“局部反比例對(duì)稱函數(shù)”。
(2)用單調(diào)性定義證明（任取，證）：
取值：任取，且；
作差：，整理得：
；
分析符號(hào)：
；
；
結(jié)論：，即。
綜上，在上單調(diào)遞增。
(3) （定義域），需存在，滿足：
列方程并整理：
，令其等于，整理得：
。
換元簡(jiǎn)化：
設(shè)（），由均值不等式得（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），且。
代入方程得：，即。
分析方程有解條件：
需存在使方程成立，設(shè)（開(kāi)口向上）：
判別式非負(fù)（有實(shí)根）：；
至少一個(gè)根：
若：對(duì)稱軸在，最小值（已由判別式保證），故；
若：需（開(kāi)口向上，端點(diǎn)值≤0則有根≥2），代入得，結(jié)合得。
綜上，的取值范圍為。

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