資源簡介

2025年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽)
暨2025年全國高中數學聯合競賽
加試試題(B卷)
一.（本題滿分40分）設a,b,c>0,a+b+c=3,記
S=a+ab+abc+bc+c.
(1)證明：S≤5；
(2)若S=3,求b的取值范圍，
二.（本題滿分40分）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，∠BAC平
分線上的兩點E,F滿足∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圓與
△AEC的外接圓交于A及另一點P.證明：A,P,D三點共線，
(答題時請將圖畫在答卷紙上)
三.（本題滿分50分）給定整數n≥2.設A是由n個不同的正整數構成的
集合，記m為集合B={x+yzx,y,z∈A的元素個數.證明：m≥n2+n-1,并
且存在集合A使得m=n2+n-1.
四.（本題滿分50分）求具有下述性質的所有正整數n:存在n的一個倍數
N,其在十進制表示下含有0,1,2，，9中每一個數碼，并且對任意
i∈{0,1,2，…，9}，可以刪去N的十進制表示中的一個數碼i,使所得的數仍是n
的倍數.

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