資源簡介

2025年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽）
暨2025年全國高中數學聯合競賽
一試試題（B卷)
一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分
1.設集合A={a21a∈Z,a2≥2025}，B={21b∈Z,9≤b≤14}，則A∩B的
元素個數為
2.若sin20°sin25°+sina=cos20°cos25°，則cos2a的值為
3.若1ogx,log(3x),l1og27(9x)成等比數列，則正數x的值為
4.設復數z滿足z+i與z2+2i均為實數（i為虛數單位)，則23+3i的值
為
5.若x,y>0且x+y=1,則y+1+x+2的最小值為
y
6.設上E分別為橢圓T去大
+爾=1(a>b>0)的左、右焦點，若T上存在
一點P,使得直線FP,FP的斜率分別為，2，則r的離心率為
7平面中的3個單位向量a瓜：清足a不2分，B,c≤-，則6+6+的最
大值與最小值之和為
8.從20個數1,2,3，…，20中選出4個不同的數（不計順序），使它們的乘積為
2025的倍數，則不同選法的數目為
二、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應寫出文字說明、證明過
程或演算步驟。
9.(本題滿分16分)設f(x)是定義域為R的函數，g(x)=(x-1)f(x),
x)=fx)+.若g(x)為奇函數，hMx)為偶函數，求03)f9)的值.
f(2)f(4)…f(100)
10.（本題滿分20分)在平面直角坐標系中，一條過點(0,1)的直線1經過點
集r={《x,川y=x+3引x劃中的四個點(xy)=1,2,34).求1+L+⊥+1
X X2 X3 X4
的取值范圍.
11.(本題滿分20分)對整數n≥3，在一個棱長均為1的正n棱柱的所有3n
條棱中，隨機選取兩條不同的棱1,2，將事件“1所在直線與，所在直線平行”發
生的概率記為P,.是否存在兩個不同的正整數k,1(化，1≥3)滿足P=P？證明你
的結論
2025年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽）
暨2025年全國高中數學聯合競賽
加試試題(B卷)
一.（本題滿分40分)設a,b,c>0,a+b+c=3,記
S=a+ab+abc+bc+c.
(1)證明：S≤5；
(2)若S=3,求b的取值范圍.
二.（本題滿分40分）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，∠BAC平
分線上的兩點E,F滿足∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圓與
△AEC的外接圓交于A及另一點P.證明：A,P,D三點共線，
(答題時請將圖畫在答卷紙上)
三.（本題滿分50分）給定整數n≥2.設A是由n個不同的正整數構成的
集合，記m為集合B={x+z|x,y,z∈A的元素個數.證明：m≥n2+n-1,并
且存在集合A使得m=n2+n-1.
四.（本題滿分50分）求具有下述性質的所有正整數n:存在n的一個倍數
N,其在十進制表示下含有0,1,2，…，9中每一個數碼，并且對任意
i∈{0,1,2，…，9}，可以刪去N的十進制表示中的一個數碼i,使所得的數仍是n
的倍數.

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