資源簡介

(共37張PPT)
4.1 指數與指數函數
4.1.1 實數指數冪及其運算
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.理解 次方根及根式的概念，正確運用根式的運算性質進行根式運算；
2.掌握根式與分數指數冪的互化，掌握有理指數冪的運算性質.
知識點一 有理指數冪
1.根式
（1）次方根：一般地,給定大于1的正整數和實數,如果存在實數 ,使得
________,則稱為 的_________.
次方根
（2）根式：當有意義的時候,____稱為根式,稱為________, 稱為_______
___.
一般地,根式具有以下性質:
根指數
被開方數
① ___.
②當為奇數時,___;當為偶數時, ____.
2.分數指數冪
正分數指數冪
負分數指數冪
3.分數指數冪（有理數指數冪）的運算法則
_____,____,______.
【診斷分析】
1.我們已經知道,若,則,那么等于什么 呢 呢
解:，， .
2.我們知道,那么 成立嗎
解:成立. ，
，所以 .
3.任何有意義的根式都能化為有理數指數冪的形式嗎
解:能.引入分數指數冪后,任何有意義的根式都能夠化為分數指數冪的形式,即
，即任何有意義的根式都能化為有理數指數冪的形式.
知識點二 實數指數冪
無理指數冪（， 是無理數）是一個確定的______，有理指數冪的運算
性質對于無理指數冪同樣適用.因此當，為任意實數時，實數指數冪 都
有意義，對任意實數和 ，類似有理指數冪的運算法則仍然成立.
實數
探究點一 根式的概念與性質
例1（1） [2023·湖南汨羅一中高一月考]已知函數 ，
則 ( )
C
A. B. C.3 D.
[解析] ，所以，所以 ，
故選C.
（2）計算下列各式的值：
① ____；
[解析]
② ____.
[解析] .
（3）若有意義，則實數 的取值范圍是________.
[解析] 要使有意義，則，即.故實數的取值范圍是 .
變式（1） 計算下列各式的值:
① ______；
[解析] .
② ______.
[解析] .
（2）若，則實數 的取值范圍為________.
[解析] 因為, ，所以
，所以，解得.故實數的取值范圍為 .
［素養小結］
進行根式的計算時應先考慮根指數的形態，再考慮被開方數應符合的范圍，然
后進行有效的變形再化簡、計算.
探究點二 根式與分數指數冪的互化
例2（1） （多選題）下列運算中正確的是( )
BCD
A. B.
C. D.
[解析] 對于A，因為，所以，所以 ，故A錯誤；
對于B，因為，所以 ，故B正確；
對于C， ，故C正確；
對于D，，故D正確.故選 .
（2）根式 的分數指數冪的形式為_____.
[解析] .
變式（1） （多選題）下列各式中一定成立的有( )
BD
A. B.
C. D.
[解析] ，故A不一定成立；
，故B一定成立；
,故C不一定成立；
，故D一定成立.故選 .
（2）[2024·上海黃浦區光明中學高一月考] 已知， ，若
，則 ___.
[解析] 因為，，所以，所以， ，
所以 .
［素養小結］
根式與分數指數冪互化的規律及技巧：
（1）規律：根指數 分數指數冪的分母.
被開方數（式）的指數 分數指數冪的分子.
（2）技巧：當表達式中的根號較多時，由里向外用分數指數冪的形式寫出來，
然后再利用相關的運算性質進行化簡.
探究點三 指數冪的運算
例3 化簡求值:
（1） ;
解： .
（2） .
解： .
變式（1） [2023·江西撫州高一期末]有的科學計算器無法直接計算很大的數，
我們可以設計一下計算方法，以便利用科學計算器進行近似計算.利用計算器計
算得到，，則 的近似值是( )
D
A. B.
C. D.
[解析]
.故選D.
（2）已知，，且，則 _ _____________.
[解析] 由，可得 .
［素養小結］
實數指數冪運算的基本原則和常規方法:
（1）基本原則:式子里既有分數指數冪又有根式時,一般把根式統一化為分數指
數冪的形式,再利用運算法則化簡.
（2）常規方法:①化負指數冪為正指數冪;
②化根式為分數指數冪;
③化小數為分數.
探究點四 條件求值
例4（1） 已知，，則___， ____.
8
72
[解析] 因為，，所以 .因為
，所以
.
（2）已知,,且,則 _____.
[解析] ,因為, ,所以
,又,所以 ,所
以 .
變式（1） （多選題）[2023·江蘇淮安高一期末] 規定， 之間的一種運算，
記作，若，則 ，則下列結論正確的是( )
BCD
A.
B.
C.
D.若，，則
[解析] 對于A，令，，則，，所以 ，即
，所以，即 ，故A錯誤；
對于B，因為，所以，故B正確；
對于C，令， ，，則，，，
所以，即 ，所以，即，
故C正確；
對于D，令 ，則且，所以，則 ，所以
，當且僅當，即 時取等號，故D正
確.故選 .
（2）已知，則 _____.
[解析] 由，得，即 ，則
，則，即 .
［素養小結］
解決此類問題時,先將所求的式子化簡,再將已知條件代入.在化簡過程中，要注
意平方差公式及完全平方公式的靈活應用.
拓展 已知,,則 _____.
[解析] 由,得,由,得 ,所以
,所以 .
1. 的值是( )
D
A.1 B. C. D.
[解析] 原式 .故選D.
2.下列運算正確的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 對于A,，故A錯誤；
對于B, ，故B錯誤；
對于C,故C錯誤；
對于D, ，故D正確.故選D.
3.已知，，則 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因為， ，所以
.故選D.
4.已知，則 的值為( )
C
A. B.6 C. D.8
[解析] ， ，
，
，
則 .
故選C.
5.化簡： _________.
[解析] .
1.指數式的化簡求值
（1）一般地,進行指數冪運算時,化負指數為正指數、化根式為分數指數冪、化
小數為分數進行運算,便于進行乘除、乘方、開方運算,可以達到化繁為簡的目的.
（2）對“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯系,然后采取“整體代換”或
“求值后代換”兩種方法求值.
（3）分式化簡的方法與技巧:
①將分子、分母分解因式,可約分的先約分;
②利用公式的基本性質,化繁分式為簡分式,化異分母為同分母;
③把其中適當的幾個分式先化簡,重點突破;
④可考慮整體思想,用換元法使分式簡化.
2.“湊公式”法
在本節的試題中,有些式子直接計算比較麻煩,此時我們要善于觀察所求式子的結
構特征,“湊”出乘法公式或因式分解公式的形式,再充分利用這些公式進行冪的綜
合運算.
例 化簡: .
解:原式 .4.1　指數與指數函數
4.1.1　實數指數冪及其運算
【課前預習】
知識點一
1.(1)xn=a　n次方根　(2)　根指數　被開方數　①a
②a　|a|
2.　
3.as+t　ast　asbs
診斷分析
1.解:()2=3,==3,==3.
2.解:成立.6×6=×=×=8×4=32,6=6===25=32,所以6×6=6.
3.解:能.引入分數指數冪后,任何有意義的根式都能夠化為分數指數冪的形式,即=,即任何有意義的根式都能化為有理數指數冪的形式.
知識點二
實數
【課中探究】
例1　(1)C　(2)①　②-6　(3)(3,+∞)
[解析] (1)f(x-1)=x-π+π=x-1+1,所以f(x)=x+1,所以f(2)=3,故選C.
(2)①=.②=-6.
(3)要使有意義,則a-3>0,即a>3.故實數a的取值范圍是(3,+∞).
變式　(1)①π-3　②3-π　(2)
[解析] (1)①=|3-π|=π-3.
②=3-π.
(2)因為=|2a-1|,=1-2a,所以|2a-1|=1-2a,所以2a-1≤0,解得a≤.故實數a的取值范圍為.
例2　(1)BCD　(2)-　[解析] (1)對于A,因為->0,所以a<0,所以=-,故A錯誤;
對于B,因為π-2>0,所以=π-2,故B正確;
對于C,==,故C正確;
對于D,=x9-8=x,故D正確.故選BCD.
(2)==-=-.
變式　(1)BD　(2)2　[解析] (1)=n7m-7,故A不一定成立;==,故B一定成立;=(x3+y3,故C不一定成立;=(=(=,故D一定成立.故選BD.
(2)因為p>0,q>0,所以==pq=paqb,所以a=1,b=1,所以a+b=2.
例3　解:(1)+-+=8+1-+=9-8+4×27=109.
(2)×b-1÷=×b-1×=×b-1×=×=1.
變式　(1)D　(2)　[解析] (1)2500=(210)50=(1.024×103)50=1.02450×(103)50≈3.273 4×10150.故選D.
(2)由b-3m=56,可得b==.
例4　(1)8　72　(2)-　[解析] (1)因為3x=4,3y=2,所以32x-y====8.因為3x-y===2,所以92x-y+27x-y=(32)2x-y+(33)x-y=(32x-y)2+(3x-y)3=82+23=72.
(2)==,因為x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,又x變式　(1)BCD　(2)194　[解析] (1)對于A,令(4,6)=x,(2,3)=y,則4x=6,2y=3,所以=2,即22x-y=2,所以2x-y=1,即2×(4,6)-(2,3)=1,故A錯誤;對于B,因為21=2,所以(2,2)=1,故B正確;對于C,令(4,5)=m,(4,6)=n,(4,30)=s,則4m=5,4n=6,4s=30,所以4m×4n=4s,即4m+n=4s,所以m+n=s,即(4,5)+(4,6)=(4,30),故C正確;對于D,令(a,b)=t,則at=b且t>0,所以a=,則(b,a)=,所以(a,b)+(b,a)=t+≥2=2,當且僅當t=1,即a=b時取等號,故D正確.故選BCD.
(2)由+=4,得=a+2+=16,即a+=14,則=a2+2+=196,則a2+=194,即a2+a-2=194.
拓展　-2　[解析] 由67x=27=33,得67=,由603y=81=34,得603=,所以===3-2,所以-=-2.
【課堂評價】
1.D　[解析] 原式=(23a3·2-1·2-1=22-1-1=.故選D.
2.D　[解析] 對于A,a2·a3=a5,故A錯誤;對于B,(3a)3=27a3,故B錯誤;對于C,=|a|=故C錯誤;對于D,(-2a2)3=-8a6,故D正確.故選D.
3.D　[解析] 因為a>0,b>0,所以()·(-)÷=-3·=-3a.故選D.
4.C　[解析] ∵x+x-1=4(0∴+====,
x-x-1=-=-=-2,
則===-4.
故選C.
5.(a-b)2　[解析] =(a-b=(a-b)2.4.1　指數與指數函數
4.1.1　實數指數冪及其運算
【學習目標】
1.理解n次方根及根式的概念,正確運用根式的運算性質進行根式運算;
2.掌握根式與分數指數冪的互化,掌握有理指數冪的運算性質.
◆ 知識點一　有理指數冪
1.根式
(1)n次方根:一般地,給定大于1的正整數n和實數a,如果存在實數x,使得　　　　　,則x稱為a的　　　　　　.
(2)根式:當有意義的時候,　　　　稱為根式,n稱為　　　　　,a稱為　　　　　　.
一般地,根式具有以下性質:
①()n=　　　　.
②當n為奇數時,=　　　　;當n為偶數時,=　　　　.
2.分數指數冪
正分數 指數冪 ①=(a>0); ②=()m=　　　
負分數 指數冪 =　　　　(a>0,n,m∈N+)
3.分數指數冪(有理數指數冪)的運算法則
asat=　　　　,(as)t=　　　,(ab)s=　　　. (s,t∈Q)
【診斷分析】 1.我們已經知道,若x2=3,則x=±,那么()2等于什么 呢 呢
2.我們知道32×33=,那么6×6=6成立嗎
3.任何有意義的根式都能化為有理數指數冪的形式嗎
◆ 知識點二　實數指數冪
無理指數冪at(a>0,t是無理數)是一個確定的　　　　,有理指數冪的運算性質對于無理指數冪同樣適用.因此當a>0,t為任意實數時,實數指數冪at都有意義,對任意實數s和t,類似有理指數冪的運算法則仍然成立.
◆ 探究點一　根式的概念與性質
例1 (1)[2023·湖南汨羅一中高一月考] 已知函數f(x-1)=+π,則f(2)= (　 )
A.2π-3 B.-3
C.3 D.3-2π
(2)計算下列各式的值:
①=　　　　;②=　　　　.
(3)若有意義,則實數a的取值范圍是　　　　.
變式 (1)計算下列各式的值:
①=　　　　;②=　　　　.
(2)若=,則實數a的取值范圍為　　　　　　　.
[素養小結]
進行根式的計算時應先考慮根指數的形態,再考慮被開方數應符合的范圍,然后進行有效的變形再化簡、計算.
◆ 探究點二　根式與分數指數冪的互化
例2 (1)(多選題)下列運算中正確的是 (　 )
A.=-
B.=π-2
C.=
D.=x
(2)根式的分數指數冪的形式為　　　　.
變式 (1)(多選題)下列各式中一定成立的有(　 )
A.=n7
B.=
C.=(x+y
D.=
(2)[2024·上海黃浦區光明中學高一月考] 已知p>0,q>0,若=paqb,則a+b=　　　　.
[素養小結]
根式與分數指數冪互化的規律及技巧:
(1)規律:根指數分數指數冪的分母.
被開方數(式)的指數分數指數冪的分子.
(2)技巧:當表達式中的根號較多時,由里向外用分數指數冪的形式寫出來,然后再利用相關的運算性質進行化簡.
◆ 探究點三　指數冪的運算
例3 化簡求值:
(1)+-+(×)6;
(2)×b-1÷.
變式 (1)[2023·江西撫州高一期末] 有的科學計算器無法直接計算很大的數,我們可以設計一下計算方法,以便利用科學計算器進行近似計算.利用計算器計算得到210=1.024×103,1.02450≈3.273 4,則2500的近似值是 (　 )
A.1.024×1053 B.3.273 4×1053
C.1.024×10150 D.3.273 4×10150
(2)已知b>0,m∈N*,且b-3m=56,則b=　　　　.
[素養小結]
實數指數冪運算的基本原則和常規方法:
(1)基本原則:式子里既有分數指數冪又有根式時,一般把根式統一化為分數指數冪的形式,再利用運算法則化簡.
(2)常規方法:①化負指數冪為正指數冪;
②化根式為分數指數冪;
③化小數為分數.
◆ 探究點四　條件求值
例4 (1)已知3x=4,3y=2,則32x-y=　　　　,92x-y+27x-y=　　　　.
(2)已知x+y=12,xy=9,且x變式 (1)(多選題)[2023·江蘇淮安高一期末] 規定a,b之間的一種運算,記作(a,b),若ac=b,則(a,b)=c,則下列結論正確的是 (　 )
A.(4,6)=2×(2,3)
B.(2,2)=1
C.(4,5)+(4,6)=(4,30)
D.若a>1,b>1,則(a,b)+(b,a)≥2
(2)已知+=4,則a2+a-2=　　　　.
[素養小結]
解決此類問題時,先將所求的式子化簡,再將已知條件代入.在化簡過程中,要注意平方差公式及完全平方公式的靈活應用.
拓展 已知67x=27,603y=81,則-=
　　　　.
1.(a>0)的值是 (　 )
A.1 B.a
C. D.
2.下列運算正確的是 (　 )
A.a2·a3=a6 B.(3a)3=9a3
C.=a D.(-2a2)3=-8a6
3.已知a>0,b>0,則()·(-)÷= ( 　 )
A.- B.-3
C.-a D.-3a
4.已知x+x-1=4(0A. B.6
C.-4 D.8
5.化簡:=　　　　. 4.1　指數與指數函數
4.1.1　實數指數冪及其運算
1.C　[解析] ===.
2.A　[解析] =(k×k)k=k2k.故選A.
3.C　[解析] (3-2x==,要使該式有意義,需3-2x>0,即x<;要使(x-1)0有意義,需x-1≠0,即x≠1.綜上,x的取值范圍是(-∞,1)∪,故選C.
4.C　[解析] 因為m-2n=1,所以2n-m=-1,所以===22n-m=2-1=.故選C.
5.B　[解析] 若+有意義,則解得≤x≤2,所以x-2≤0,2x-1≥0,所以+2=+2|x-2|=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.故選B.
[技巧] 在進行根式的化簡時,要注意根指數的奇偶及被開方數的正負.
6.D　[解析] 對于A,===22=4,故A錯誤;
對于B,=23=8,故B錯誤;
對于C,=|π-4|=4-π,故C錯誤;
對于D,===,故D正確.故選D.
7.A　[解析] ==,故選A.
8.ABD　[解析] 對于A,∵a>0,m,n是正整數,且n>1,
∴=,故A正確;對于B,顯然a0=1,故B正確;對于C,==,故C不正確;對于D,當n為偶數時,=|a|=a,當n為奇數時,=a,綜上,=a,故D正確.故選ABD.
9.BC　[解析] 對于A,====,故A錯誤;對于B,()(-3)÷==-9a,故B正確;對于C,====,故C正確;對于D,因為(x+x-1)2=x2+2+x-2=4,所以x+x-1=±2,故D錯誤.故選BC.
10.　[解析] ====.
11.9　[解析] =(ax)2·(ay=32×=9.
12.2　[解析] -+=-+=+-(2-)+(2-)=2.
13.解:(1)32a-b=32a·3-b===.
(2)===·3b=,又+b=1,所以==3.
(3)·b·=·b·=·b1+1=a3b2=×=×=.
(4)·=·=·====4.
14.解:∵a,b是方程x2-6x+4=0的兩個實根,∴
∵a>b>0,∴>.
∵===,
∴==.
15.BD　[解析] 當n為奇數時,a的n次方根只有1個,為x,故A錯誤,B正確;當n為偶數時,因為(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2個,為±x,故C錯誤,D正確.故選BD.
16.解:(1)由x=a-3+b-2,得x-a-3=b-2,
所以===.
(2)(a4b-4×a0-()6÷(ab4)+=ab-1-a2b3÷(ab4)+|-a|=ab-1-ab-1+a=a.
(3)由(+)2=32=9可得a+a-1=7,由(a+=72=49可得a2+a-2=47,
則a3+a-3=(a+a-1)(a2-aa-1+a-2)=7×(47-1)=322,
由=a2-2aa-1+a-2=47-2=45,得a-a-1=±3,所以a3-a-3=(a-a-1)(a2+aa-1+a-2)=±3×(47+1)=±144.4.1　指數與指數函數
4.1.1　實數指數冪及其運算
一、選擇題
1.= (　 )
A. B.-
C. D.-
2.若k為正整數,則= (　 )
A.k2k B.k2k+1
C.2kk D.k2+k
3.(3-2x+(x-1)0中x的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,+∞)
B.∪
C.(-∞,1)∪
D.
4.[2024·廣東茂名高一期末] 若m-2n=1,則= (　 )
A.1 B.
C. D.
★5.若代數式+有意義,則+2= (　 )
A.2 B.3
C.2x-1 D.x-2
6.下列各式正確的是 (　 )
A.=2
B.=-
C.=π-4
D.=
7.根式化為分數指數冪的形式為(　 )
A. B.
C. D.
8.(多選題)已知a>0,m,n是正整數,且n>1,則下列各式中正確的是 (　 )
A.=
B.a0=1
C.=-
D.=a
9.(多選題)下列說法正確的是 (　 )
A.=
B.已知a>0,b>0,則()(-3)÷=-9a
C.=
D.已知x2+x-2=2,則x+x-1=2
二、填空題
10.若a>0,則根式的分數指數冪的形式為　　　　.
11.若a>0,且ax=3,ay=5,則
12.-+=　　　　.
三、解答題
13.(1)若3a=2,3b=5,求32a-b的值;
(2)若+b=1,求的值;
(3)若a=,b=,求·b·的值;
(4)若a=2.5,b=20,求·的值.
14.已知a,b是方程x2-6x+4=0的兩個實根,且a>b>0,求的值.
15.(多選題)若xn=a(x≠0,n>1,n∈Z),則下列說法中正確的是 (　 )
A.當n為奇數時,x的n次方根為a
B.當n為奇數時,a的n次方根為x
C.當n為偶數時,x的n次方根為±a
D.當n為偶數時,a的n次方根為±x
16.(1)已知x=a-3+b-2(a≠0,b≠0),化簡.
(2)化簡:(a4b-4×a0-()6÷(ab4)+(a>0,b>0).
(3)已知+=3,求a3+a-3,a3-a-3的值.

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