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(共37張PPT)
4.1 指數與指數函數
4.1.2 指數函數的性質與圖象
第2課時 指數函數的性質與圖象的應用
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.會應用指數函數的性質求復合函數的定義域、值域；
2.掌握指數型函數的單調區(qū)間的求法及單調性的判斷；
3.掌握指數函數在現實生活中的應用;
4.掌握指數函數的綜合性問題.
知識點一 與指數函數有關的復合函數
函數且的定義域、值域可轉化為函數 進行研究，其
中_____.若的定義域為，則的定義域為___.函數 的值
域要根據的值域及函數 的單調性研究.
【診斷分析】 函數 的定義域是___，值域是________.
知識點二 指數函數且 的單調性的應用
1. 的取值與單調性
當時,指數函數在上單調遞減，若,則___ ;
當時,指數函數在上單調遞增，若,則___ .
2.單調性的應用——解指數不等式
對形如 的不等式的討論：
當時， ____________；
當時， ____________.
【診斷分析】
（1）不等式 的解集是__________.
（2）若且，則實數 的取值范圍是__________.
探究點一 指數型函數的定義域和值域
例1 求下列函數的定義域和值域：
（1） ；
解：要使函數有意義，則,得,解得 ,故該函數的定義域為
.
當時，,則,則 ,故該函數的值域為
.
（2） ；
解：要使函數有意義，則,得,即,故該函數的定義域為 .當
時，,故該函數的值域為 .
（3） ；
解： ,則該函數的定義域
為 .
設,則,則,故該函數的值域為 .
（4） .
解：要使函數有意義,則,解得,所以函數 的定義域為
.因為,所以,則函數的值域為 且
.
變式（1） [2023·山東濱州北鎮(zhèn)中學高一期末]若函數 的
定義域為，則實數 的取值范圍為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由題意可得對任意恒成立，即 對任
意恒成立，因為在上單調遞增，所以 ，即
對任意恒成立，則，解得 ，
所以實數的取值范圍為 .故選B.
（2）[2023·江西新余高一期末]已知函數且 在區(qū)
間上的最大值是14，則 的值為( )
D
A.3 B. C. D.3或
[解析] 令，則.
當 時，由，得，因為函數在 上單
調遞增，所以，解得（舍去）.
當 時，由，得，因為函數在 上
單調遞增，所以，解得（舍去）.
綜上，或 .故選D.
［素養(yǎng)小結］
函數 的定義域與值域的求法：
（1）形如的函數的定義域就是 的定義域.
（2）形如的值域，應先求出的值域，再由函數 的單調性求
出的值域.若的取值范圍不確定，則需對 進行分類討論.
探究點二 簡單的指數不等式的解法
例2（1） 不等式 的解集為________________.
[解析] 因為，所以,因為在 上是增函數，所以
，解得.故原不等式的解集為 .
（2）已知且，求 的取值范圍.
解：①當時，因為，所以，解得
當時，因為，所以，解得 .
綜上所述，當時，的取值范圍是；
當時， 的取值范圍是 .
變式（1） 不等式 的解集為__________________.
[解析] 因為，所以，又在 上單調遞增，
所以，即，解得 或
，所以原不等式的解集為 .
（2）已知，則 的取值范圍是_________.
[解析] ，在 上是增函數，
又 ,，解得.故 的取值范
圍是 .
［素養(yǎng)小結］
簡單指數型不等式的解法：
（1）指數型不等式且 的解法：
當時，可化為 ；
當時，可化為 .
（2）當不等式的形式不是同底指數式的形式時，要先進行變形將不等式兩邊的
底數進行統(tǒng)一，此時常用到以下結論：且 ，
且 等.
探究點三 指數型函數的單調性
例3（1） [2024·云南昆明高一期末]函數 的單調遞增區(qū)間為 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 令，易知在 上單調遞減，在
上單調遞增，又在 上單調遞增，所以由復合函數的單調性可知，
函數的單調遞增區(qū)間為 .故選B.
（2）函數 的單調遞增區(qū)間是__________.
[解析] 設，，則在上單調遞減，在
上單調遞增.令，得，所以當 時，
，即，所以 ，所以
的單調遞增區(qū)間是 .
變式 若函數在區(qū)間 上是減函數，請寫出一個符合條件的區(qū)間
______________________.
（答案不唯一）
[解析] 設，則函數可以看成由與 復
合而成.
因為在上是減函數，所以要使函數在區(qū)間 上是減函數，
則函數在區(qū)間 上是增函數.
易知函數在區(qū)間上是增函數，所以 即可.
［素養(yǎng)小結］
與指數型函數有關的復合函數的單調性的求解步驟和一般結論：
（1）求解步驟：①求定義域，依據題意明確研究范圍；②拆分，把原函數拆分
為幾個基本函數；③定性質，分層逐一求單調性；④下結論，根據復合函數的
單調性法則，即“同增異減”，得出原函數的單調性.
（2）一般結論：形如且的函數的單調性，令 ，
，若兩個函數與的單調性相同，則函數 在
上是增函數；若兩者的單調性相異（即一增一減），則函數 在
上是減函數.
探究點四 指數函數的實際應用
例4 某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下，測得空氣中一氧化碳含量達到了
危險狀態(tài)，經搶修，排氣扇恢復正常.排氣后4分鐘測得車庫內的一氧化碳濃度
為（為濃度單位，一個 表示百萬分之一），再過4分鐘又測得車
庫內的一氧化碳濃度為.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度 與排
氣時間（分鐘）存在函數關系（， 為常數）.
（1）求， 的值；
解：由題知函數（,為常數）的圖象經過點, ,所以
解得
（2）若空氣中一氧化碳濃度不高于 為正常，問至少排氣多少分鐘，這
個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài)？
解：由（1）得,令,解得 .
故至少排氣32分鐘,這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài).
變式 （多選題）如圖，某池塘里浮萍的面積
（單位：）與時間 （單位：月）的關系為
且， 則下列說法正確的是( )
BD
A.浮萍每月的增長率為2
B.第6個月時，浮萍的面積為
C.浮萍每月增加的面積都相等
D.若浮萍面積長到,, 所經過的時間分別是
,,，則
[解析] 由題圖可知，函數的圖象經過點，則，得 ，所以
，因為 不是常數，所以浮萍每個月的面積是上個月的2倍，
則每個月的增長率為，故A錯誤，C錯誤；
當時， ，故B正確；
若浮萍面積長到,,所經過的時間分別是,, ，
則，，，則 ，
由指數函數的單調性知，故D正確.故選 .
［素養(yǎng)小結］
解決指數函數的應用問題的步驟：
（1）審題：理解題意，弄清楚關鍵字詞和字母的意義，從題意中提取信息；
（2）建模：根據已知條件，列出指數函數的關系式；
（3）解模：運用數學知識解決問題；
（4）回歸：還原為實際問題，歸納得出結論.
1.[2023·四川成都高一期中]函數 的定義域為( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 要使函數有意義，則解得且 .故選D.
2.已知指數函數單調遞減，則實數 的取值范圍是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 若指數函數單調遞減，則，得，所以實數
的取值范圍是 .故選C.
3.已知函數且,的值域是, ，則實數
的值為( )
C
A.3 B. C.3或 D.或
[解析] 當時，函數在 上單調遞減，值域是
,所以即 解得；
當 時，函數在上單調遞增，值域是,
所以 即 解得.綜上所述，或 .故選C.
4.若函數在區(qū)間上單調遞增，則實數 的取值范圍為
________.
[解析] 因為函數在 上單調遞減，所以由復合函數的單調性可知，函數
在區(qū)間上單調遞減.因為函數 的圖象的對稱軸
為直線，且函數的圖象開口向下，所以 ，解得
.故實數的取值范圍為 .
5.已知,當時，恒成立，則實數 的取
值范圍是________.
[解析] 由題知，即 恒成立,因為
，當且僅當，即 時，等號成立,所以
，即.故實數的取值范圍是 .
1.換元法
對于與指數函數復合的函數，求其值域時一般考慮換元法，即通過換元將復合
函數轉化為簡單函數，再利用簡單函數的單調性求其值域.
例1 求函數 的值域.
解：，令,則 ，
所以 ，
當時，取得最小值，所以函數的值域為， .
例2 [2023·安徽馬鞍山二中高一月考]函數 的單調遞增區(qū)間為
( )
D
A., B. C., D.,
[解析] 令，解得， 函數 的定
義域為.易知在,上單調遞增，在, 上單調遞減,
在,上單調遞增，在,上單調遞減, 函數 在
定義域上為減函數, 函數的單調遞增區(qū)間為, .故選D.
2.復合函數法
對于與指數函數相關的復合函數的單調性，一般用復合函數法判斷其單調性.
3.中間量法
當兩個式子底數不同且指數也不同時，常將它們都與一個中間量進行比較，常
用的中間量有0，1，原數據同底數不同指數或者同指數不同底數的一些數據等.
例3 比較與 的大小.
解：方法一：， ，
.
方法二：， .第2課時　指數函數的性質與圖象的應用
【課前預習】
知識點一
f(x)　R
診斷分析
R　[3,+∞)
知識點二
1.>　<　2.f(x)g(x)
診斷分析
(1)(-4,+∞)　(2)0【課中探究】
例1　解:(1)要使函數有意義,則1-3x≥0,得3x≤1,解得x≤0,故該函數的定義域為(-∞,0].
當x≤0時,0<3x≤1,則0≤1-3x<1,則0≤<1,故該函數的值域為[0,1).
(2)要使函數有意義,則-|x|≥0,得|x|≤0,即x=0,故該函數的定義域為{0}.當x=0時,y==1,故該函數的值域為{1}.
(3)y=4x+2x+1+2=(2x)2+2×2x+2=(2x+1)2+1,則該函數的定義域為R.
設t=2x,則t>0,則y=(t+1)2+1>1+1=2,故該函數的值域為(2,+∞).
(4)要使函數有意義,則x-4≠0,解得x≠4,所以函數y=的定義域為{x∈R|x≠4}.因為≠0,所以≠1,則函數y=的值域為{y|y>0且y≠1}.
變式　(1)B　(2)D　[解析] (1)由題意可得-2≥0對任意x∈R恒成立,即≥2對任意x∈R恒成立,因為y=2x在R上單調遞增,所以x2-2ax+3≥1,即x2-2ax+2≥0對任意x∈R恒成立,則Δ=4a2-8≤0,解得-≤a≤,所以實數a的取值范圍為[-,].故選B.
(2)令t=ax,則y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.當a>1時,由x∈[-1,1],得t∈,因為函數y=(t+1)2-2在上單調遞增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(a=-5舍去).當0例2　(1){x|-1(2)解:①當a>1時,因為a-5x>a3x+12,所以-5x>3x+12,解得x<-.②當0a3x+12,所以-5x<3x+12,解得x>-.綜上所述,當a>1時,x的取值范圍是;當0變式　(1)∪[1,+∞) 　(2)
[解析] (1)因為≤33x-4,所以≤33x-4,又y=3x在R上單調遞增,所以1-2x2≤3x-4,即2x2+3x-5=(x-1)(2x+5)≥0,解得x≤-或x≥1,所以原不等式的解集為∪[1,+∞).
(2)∵a2-a+2=+>1,∴y=(a2-a+2)x在R上是增函數,又(a2-a+2)2x>(a2-a+2)1-3x ,∴2x>1-3x,解得x>.故x的取值范圍是.
例3　(1)B　(2)[-2,+∞)　[解析] (1)令u=x(x-2)=x2-2x,易知u=x2-2x在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,又y=3u在R上單調遞增,所以由復合函數的單調性可知,函數f(x)=3x(x-2)的單調遞增區(qū)間為(1,+∞).故選B.
(2)設t=,t>0,則y=t2-8t+17在(0,4]上單調遞減,在(4,+∞)上單調遞增.令≤4,得x≥-2,所以當-2≤x1,即4≥t1>t2,所以-8t1+17<-8t2+17,所以y=-8·+17的單調遞增區(qū)間是[-2,+∞).
變式　(-∞,0](答案不唯一)　[解析] 設t=2-3x2,則函數y=可以看成由y=與t=2-3x2復合而成.
因為y=在R上是減函數,所以要使函數y=在區(qū)間D上是減函數,
則函數t=2-3x2在區(qū)間D上是增函數.
易知函數t=2-3x2在區(qū)間(-∞,0]上是增函數,
所以D (-∞,0]即可.
例4　解:(1)由題知函數y=c(c,m為常數)的圖象經過點(4,64),(8,32),所以解得
(2)由(1)得y=128,令128≤0.5,解得t≥32.
故至少排氣32分鐘,這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài).
變式　BD　[解析] 由題圖可知,函數y=at的圖象經過點(1,2),則a1=2,得a=2,所以y=2t,因為2t+1-2t=2t不是常數,所以浮萍每個月的面積是上個月的2倍,則每個月的增長率為100%,故A錯誤,C錯誤;當t=6時,y=26=64(m2),故B正確;若浮萍面積長到3 m2,5 m2,15 m2所經過的時間分別是t1,t2,t3,則=3,=5,=15,則·==3×5=15=,由指數函數的單調性知t1+t2=t3,故D正確.故選BD.
【課堂評價】
1.D　[解析] 要使函數有意義,則解得x≥2且x≠5.故選D.
2.C　[解析] 若指數函數y=單調遞減,則0<<1,得03.C　[解析] 當01時,函數y=ax-2在[-1,1]上單調遞增,值域是[a-1-2,a-2],所以即 解得a=3.綜上所述,a=或a=3.故選C.
4.　[解析] 因為函數y=在R上單調遞減,所以由復合函數的單調性可知,函數y=-x2+4ax在區(qū)間(1,2)上單調遞減.因為函數y=-x2+4ax的圖象的對稱軸為直線x=2a,且函數y=-x2+4ax的圖象開口向下,所以2a≤1,解得a≤.故實數a的取值范圍為.
5.(-∞,5)　[解析] 由題知f(x)=32x-(k+1)3x+9>0,即k+1<3x+恒成立,因為3x+≥2=6,當且僅當3x=,即x=1時,等號成立,所以k+1<6,即k<5.故實數k的取值范圍是(-∞,5).第2課時　指數函數的性質與圖象的應用
【學習目標】
1.會應用指數函數的性質求復合函數的定義域、值域;
2.掌握指數型函數的單調區(qū)間的求法及單調性的判斷;
3.掌握指數函數在現實生活中的應用;
4.掌握指數函數的綜合性問題.
◆ 知識點一　與指數函數有關的復合函數
函數y=af(x)(a>0且a≠1)的定義域、值域可轉化為函數y=at進行研究,其中t=　　　.若f(x)的定義域為R,則y=af(x)的定義域為　　　.函數y=af(x)的值域要根據f(x)的值域及函數y=at的單調性研究.
【診斷分析】 函數y=的定義域是　　　　,值域是　　　　.
◆ 知識點二　指數函數y=ax(a>0且a≠1)的單調性的應用
1.a的取值與單調性
當0當a>1時,指數函數y=ax在R上單調遞增,若x12.單調性的應用——解指數不等式
對形如af(x)>ag(x)的不等式的討論:
當0ag(x) 　　　　　　　　;
當a>1時,af(x)>ag(x) 　　　　　　　　.
【診斷分析】 (1)不等式22x+3>的解集是　　　　.
(2)若a30且a≠1),則實數a的取值范圍是　　　　.
◆ 探究點一　指數型函數的定義域和值域
例1 求下列函數的定義域和值域:
(1)y=;(2)y=;
(3)y=4x+2x+1+2;(4)y=.
變式 (1)[2023·山東濱州北鎮(zhèn)中學高一期末] 若函數f(x)=的定義域為R,則實數a的取值范圍為 (　 )
A.[-1,0] B.[-,]
C.(0,] D.R
(2)[2023·江西新余高一期末] 已知函數y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,則a的值為 (　 )
A.3 B.
C.-5 D.3或
[素養(yǎng)小結]
函數y=af(x)的定義域與值域的求法:
(1)形如y=af(x)的函數的定義域就是f(x)的定義域.
(2)形如y=af(x)的值域,應先求出f(x)的值域,再由函數y=ax的單調性求出y=af(x)的值域.若a的取值范圍不確定,則需對a進行分類討論.
◆ 探究點二　簡單的指數不等式的解法
例2 (1)不等式<4的解集為　　　　　　.
(2)已知a-5x>a3x+12(a>0且a≠1),求x的取值范圍.
變式 (1)不等式≤33x-4的解集為　　　　　　　.
(2)已知(a2-a+2)2x>(a2-a+2,則x的取值范圍是　　　　.
[素養(yǎng)小結]
簡單指數型不等式的解法:
(1)指數型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法:
當a>1時,可化為f(x)>g(x);
當0(2)當不等式的形式不是同底指數式的形式時,要先進行變形將不等式兩邊的底數進行統(tǒng)一,此時常用到以下結論:1=a0(a>0且a≠1),a-x=(a>0且a≠1)等.
◆ 探究點三　指數型函數的單調性
例3 (1)[2024·云南昆明高一期末] 函數f(x)=3x(x-2)的單調遞增區(qū)間為 (　 )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.R D.(-∞,1)
(2)函數y=-8·+17的單調遞增區(qū)間是　　　　.
變式 若函數y=在區(qū)間D上是減函數,請寫出一個符合條件的區(qū)間D=　　　　.
[素養(yǎng)小結]
與指數型函數有關的復合函數的單調性的求解步驟和一般結論:
(1)求解步驟:①求定義域,依據題意明確研究范圍;②拆分,把原函數拆分為幾個基本函數;③定性質,分層逐一求單調性;④下結論,根據復合函數的單調性法則,即“同增異減”,得出原函數的單調性.
(2)一般結論:形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函數的單調性,令u=f(x),x∈[m,n],若兩個函數y=au與u=f(x)的單調性相同,則函數y=af(x)在[m,n]上是增函數;若兩者的單調性相異(即一增一減),則函數y=af(x)在[m,n]上是減函數.
◆ 探究點四　指數函數的實際應用
例4 某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下,測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài),經搶修,排氣扇恢復正常.排氣后4分鐘測得車庫內的一氧化碳濃度為64 ppm(ppm為濃度單位,一個ppm表示百萬分之一),再過4分鐘又測得車庫內的一氧化碳濃度為32 ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時間t(分鐘)存在函數關系y=c(c,m為常數).
(1)求c,m的值;
(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5 ppm為正常,問至少排氣多少分鐘,這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài)
變式 (多選題)如圖,某池塘里浮萍的面積y(單位:m2)與時間t(單位:月)的關系為y=at(a>0且a≠1),則下列說法正確的是 (　 )
A.浮萍每月的增長率為2
B.第6個月時,浮萍的面積為64 m2
C.浮萍每月增加的面積都相等
D.若浮萍面積長到3 m2,5 m2,15 m2所經過的時間分別是t1,t2,t3,則t1+t2=t3
[素養(yǎng)小結]
解決指數函數的應用問題的步驟:
(1)審題:理解題意,弄清楚關鍵字詞和字母的意義,從題意中提取信息;
(2)建模:根據已知條件,列出指數函數的關系式;
(3)解模:運用數學知識解決問題;
(4)回歸:還原為實際問題,歸納得出結論.
1.[2023·四川成都高一期中] 函數f(x)=的定義域為(　 )
A.(-∞,2]
B.(-∞,5)∪(5,+∞)
C.[2,+∞)
D.[2,5)∪(5,+∞)
2.已知指數函數y=單調遞減,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(0,1) B.(-∞,2)
C.(0,2) D.(-2,0)
3.已知函數y=ax-2(a>0且a≠1,-1≤x≤1)的值域是-,1,則實數a的值為 (　 )
A.3 B.
C.3或 D.或
4.若函數f(x)=在區(qū)間(1,2)上單調遞增,則實數a的取值范圍為　　　　.
5.已知f(x)=32x-(k+1)3x+9, 當x∈R時,f(x)>0恒成立,則實數k的取值范圍是　　　　. 第2課時　指數函數的性質與圖象的應用
1.A　[解析] 由題意得,自變量x應滿足解得-32.A　[解析] 原不等式即34x-2<,可得4x-2<,解得x<.故選A.
3.B　[解析] 函數y=的定義域為[-1,3],設t=,∵t=在[-1,1]上單調遞增,在[1,3]上單調遞減,y=2t在定義域上單調遞增,∴y=的單調遞增區(qū)間為[-1,1].故選B.
4.D　[解析] 根據題意,當x>0時,(a2-1)x>1,則a2-1>1,可得|a|>.故選D.
5.A　[解析] 由題意知,y=的圖象與直線y=k有兩個不同的交點,函數y==的圖象如圖所示,由圖知06.A　[解析] 依題意得,m·-=m·-,即m(-)=-.因為x0≠0,所以-≠0,所以m=,又因為+>2,顯然m>0,所以07.B　[解析] 令g(x)=f(x)-2=3x-(x∈R),則g(-x)=3-x-=-3x=-g(x),
所以g(x)是奇函數.又y=3x和y=-都是R上的增函數,所以g(x)是R上的增函數, 所以f(a2)+f(a-2)>4可化為g(a2)+g(a-2)>0,所以g(a2)>g(2-a),所以a2+a-2>0,解得a<-2或a>1.故選B.
【技巧】 結合題干信息及已知函數來構造函數,并對所構造函數的單調性、奇偶性進行討論,最后回歸到題干所求中去.
8.ACD　[解析] 令f(m)=2x·m-(2x+2),則f(m)是關于m的一次函數,因為2x>0恒成立,所以f(m)在[1,2]上單調遞增.要使2x·m-(2x+2)<0對一切的m∈[1,2]恒成立,則f(2)<0,即f(2)=2x+1-(2x+2)<0,可得020=1,因為函數y=3x在R上單調遞增,所以0<3-0.2<30=1.故選ACD.
【點睛】 本題指定m為自變量,構造了關于m的函數,相比較于將x視為自變量,降低了計算量.
9.ABC　[解析] 對于A,f(x)的定義域為R,若f(x)是偶函數,則f(x)===f(-x),
所以-x2-2ax=-x2+2ax,可得a=0,故A正確;對于B,f(x)的圖象不過點(0,0),故B正確;
對于C,y=-x2-2ax在[-a,+∞)上單調遞減,又y=ex在R上單調遞增,
所以f(x)在[-a,+∞)上單調遞減,故C正確;對于D,y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2≤a2,又y=ex在R上單調遞增,所以f(x)的最大值為,所以f(x)的最大值大于或等于1,故D錯誤.故選ABC.
10.c2,即b>2,0<<=1,即011.(-∞,0)　[解析] f(x)的圖象如圖所示,
由圖可知解得x<0.故x的取值范圍是(-∞,0).
12.(-∞,0)　[解析] 函數f(x)=|2x-1|,f(a)=f(b)(a≠b),不妨設a2=2,∴2a+b<1=20,∴a+b<0.故a+b的取值范圍是(-∞,0).
13.解:(1)設森林面積的年增長率為x,根據題意可得a(1+x)10=3a,即(1+x)10=3,則1+x=,
故x=-1.故森林面積的年增長率為-1.
(2)設該地已經植樹造林t年,根據題意可得a(1+x)t=a,即=,則=,解得t=5.
故該地已經植樹造林5年.
14.解:(1)顯然f(x)的定義域為R.
∵f(x)是奇函數,∴f(x)+f(-x)=3x+k·3-x+3-x+k·3x=(k+1)(3x+3-x)=0對一切實數x都成立,∴k=-1.
(2)由(1)知,f(x)=3x-3-x,易知f(x)為R上的增函數,
又f(x)是奇函數,且f(-1)+f(1-3ax-2)<0,
∴-1<3ax-2-1,即<3ax-2,即2ax2-4x當a≤0時,顯然不符合題意;
當a>0時,由不等式只有一個整數解,可知不等式的解集為,
由題意得1<≤2,即1≤a<2.綜上,實數a的取值范圍是[1,2).
15.(-1,+∞)　[解析] 因為對任意x1,x2,x3∈[0,1],總有f(x1),f(x2),f(x3)為某一個三角形的邊長,
所以2f(x)min>f(x)max.f(x)==3+,x∈[0,1].
當a=3時,f(x)=3,滿足題意;
當a>3時,易知f(x)單調遞減,所以f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(0)=,所以2×>,所以a>3滿足題意;
當a<3時,f(x)單調遞增,所以f(x)min=f(0)=, f(x)max=f(1)=,所以2×>,所以a>-1,所以-1【技巧】 對于f(x1),f(x2),f(x3)為某一個三角形的邊長,只需2f(x)min>f(x)max,即將多變量的問題轉換為函數求最值的問題.
16.解:(1)設f(x)=的圖象的對稱中心為(a,b),
則h(x)=f(x+a)-b=-b的圖象關于原點中心對稱,
因為h(x)的定義域為R,所以h(-x)+h(x)=-b+-b=0恒成立,
即(1-2b)(3x+a+3-x+a)+2-2b-2b·32a=0恒成立,
所以解得所以f(x)的圖象的對稱中心為.
(2)函數f(x)=在區(qū)間[1,+∞)上單調遞減,則f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的取值范圍為,
由題意可知g(x)≤對任意的x∈[-1,1]恒成立.
函數g(x)=-x2+mx的圖象開口向下,對稱軸為直線x=.
當≤-1,即m≤-2時,g(x)在[-1,1]上單調遞減,則-1-m≤,解得m≥-,不符合題意;
當-1<<1,即-2則-+≤,解得-1≤m≤1;
當≥1,即m≥2時,g(x)在[-1,1]上單調遞增,
則-1+m≤,解得m≤,不符合題意.
綜上所述,實數m的取值范圍為[-1,1]第2課時　指數函數的性質與圖象的應用
一、選擇題
1.函數f(x)=+的定義域為 (　 )
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
2.使不等式92x-1<成立的x的取值范圍是(　 )
A. B.
C. D.
3.函數y=的單調遞增區(qū)間為 (　 )
A.(-∞,1] B.[-1,1]
C.[1,3] D.[-1,3]
4.已知函數f(x)=(a2-1)x,若x>0時總有f(x)>1,則實數a滿足的條件是 (　 )
A.1<|a|<2 B.|a|<2
C.|a|>1 D.|a|>
5.[2023·江蘇宿遷高一期末] 若關于x的方程=k有兩個不等實根,則實數k的取值范圍為 (　 )
A.(0,1) B.(-1,0)
C. (-∞,-1) D. (1,+∞)
6.已知函數f(x)=m·4x-2x,若存在非零實數x0,使得f(-x0)=f(x0)成立,則實數m的取值范圍是(　 )
A. B.(0,2)
C. D.[2,+∞)
★7.已知函數f(x)=3x-+2,若f(a2)+f(a-2)>4,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-2,1)
D.(-1,2)
★8.(多選題)若不等式m·2x<2x+2對一切的m∈[1,2]恒成立,則實數x的值可能是 (　 )
A. B.20.1
C.3-0.2 D.
9.(多選題)已知函數f(x)=(a∈R),則 (　 )
A.若f(x)是偶函數,則a=0
B.無論a取何值,f(x)都不可能是奇函數
C.f(x)在區(qū)間[-a,+∞)上單調遞減
D.f(x)的最大值小于1
二、填空題
10.[2024·廣東東莞高一期末] 設a=20.6,b=,c=,則a,b,c的大小關系是　　　　　　.(用“<”連接)
11.設函數f(x)=則滿足f(x+1)12.已知f(x)=|2x-1|,若f(a)=f(b)(a≠b),則a+b的取值范圍是 　　　　.
三、解答題
13.某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念,大力開展植樹造林.假設一片森林原來的面積為a畝,計劃每年種植一些樹苗,且森林面積的年增長率相同,當面積是原來的3倍時,所用時間是10年.
(1)求森林面積的年增長率;
(2)到今年為止,森林面積為原來的倍,則該地已經植樹造林多少年
14.已知函數f(x)=3x+k·3-x為奇函數.
(1)求實數k的值;
(2)若關于x的不等式f(-1)+f(1-)<0只有一個整數解,求實數a的取值范圍.
★15.已知函數f(x)=,x∈[0,1],若對任意x1,x2,x3∈[0,1],總有f(x1),f(x2),f(x3)為某一個三角形的邊長,則實數a的取值范圍是　　　　.
16.[2023·江蘇蘇州中學高一月考] “函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形”的充要條件是“函數y=f(x)為奇函數”,可以將其推廣為:“函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形”的充要條件是“函數y=f(x+a)-b為y關于x的奇函數”.給定函數f(x)=.
(1)求f(x)的圖象的對稱中心;
(2)已知函數g(x)=-x2+mx,若對任意的x1∈[-1,1],總存在x2∈[1,+∞),使得g(x1)≤f(x2),求實數m的取值范圍.

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