資源簡介

(共36張PPT)
4.2 對數與對數函數
4.2.1 對數運算
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.能夠在具體的數學問題情境中,得出對數的概念；
2.由指數運算與對數運算的關系,得出對數運算的性質；
3.能夠利用對數運算的性質進行對數運算.
知識點一 對數及相關概念
1.對數的概念：在表達式且,中，當與 確
定之后，只有唯一的能滿足這個式子，此時，冪指數稱為以為底 的______，
記作__________,其中稱為對數的______， 稱為對數的______.
對數
底數
真數
2.常用對數：以____為底的對數稱為常用對數,即 是常用對數,通常簡寫為
______.
3.自然對數：在科學技術中，常使用以無理數 為底的對數，以
__為底的對數稱為__________,自然對數 通常簡寫為_____.
10
自然對數
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）是與 的乘積.( )
×
（2）可化為 .( )
×
（3）對數運算的實質是求冪指數.( )
√
2.（1）如何準確理解指數式與對數式的關系？
解:指數式和對數式的關系如圖所示.
（2）在對數概念中,為什么規定且 呢
解:①若，則取某些數值時，不存在，因此規定 不能小于0.
②若，則當時，不存在，當時，則 有無數個值，
與函數定義不符，因此規定 .
③若，則當時，不存在，當時，則 有無數個值，
與函數定義不符，因此規定 .
知識點二 對數的性質
1.__________沒有對數.
負數和零
2.當且 時,
（1） ___;
（2） ___;
（3） ___;
（4） 的充要條件是________;
（5） ___.
0
1
探究點一 對數的概念
例1 已知函數且，若，則 _____.
[解析] 由題知，則 .
變式 [2023· 貴州貴陽高一期末] 使式子有意義的 的取值范
圍是 ( )
C
A. B.
C.且 D.
[解析] 要使式子有意義，則解得且 .
故選C.
［素養小結］
（1）要注意對數中的底數和真數與指數中的底數和冪指數的對應關系.
（2）在對數中，對底數和真數的范圍要求是求解自變量取值范圍的關鍵.
探究點二 指數式與對數式的互化
例2（1） [2024·石家莊精英中學高一期末] 已知,
且，則 的值為____.
54
[解析] 因為,且 ，
所以,，則 .
（2）將下列指數式與對數式互化：
① ;
解：化為指數式是 .
② ;
解：化為指數式是 .
③ ;
解：化為指數式是 .
④ ;
解：化為對數式是 .
⑤ ;
解：化為對數式是 .
⑥ .
解：化為對數式是 .
變式（1） 已知,,，則 ( )
D
A. B. C.2 D.3
[解析] 設，則, ,
， ，整理得
，又,， ，
，即 .故選D.
（2）將下列各等式化為相應的對數式或指數式：
① ；
解：因為，所以 .
② .
解：因為，所以 .
［素養小結］
指數式與對數式互化時應注意的問題：
（1）利用對數式與指數式間的互化公式互化時，要注意字母的位置改變.
（2）對數式的書寫要規范：底數要寫在符號“ ”的右下角，真數正常表示.
探究點三 利用對數的性質求值
例3（1） 求下列各式的值：
① ___；
② ___；
③ ____；
④ ___.
3
0
1
（2）求下列各式中 的值：
①， ______；
1000
[解析] 因為，所以，所以 .
②， ___；
9
[解析] 由，可得，所以 .
③, ___；
[解析] 由，可得 .
④， ___.
-4
[解析] 由,可得,所以,所以 .
（3）計算：
① ___;
4
[解析] .
② __.
[解析] 原式 .
變式（1） 已知 ，且
，則( )
C
A. B.
C. D.
[解析] ，
， ，
,,,, ,
,,,, .
故選C.
（2）求下列各式的值：
① ;
解：因為，，所以原式 .
② ;
解：原式 .
③ ;
解：原式 .
④ .
解：原式 .
［素養小結］
1.利用對數性質求解的兩類問題的解題方法：
（1）求多重對數式的值，應從內到外求，如求的值，先求 的
值，再求 的值；
（2）已知多重對數式的值，求變量的值，應從外到內求，逐步脫去“ ”后再求
解.
2.注意對數恒等式 的應用.
探究點四 綜合應用
例4（1） 已知則 ___.
1
[解析] 因為 所以
.
（2）求下列各式中 的值：
① ；
解：由 ，
得解得 .
② .
解：， 由題意知 .
變式 已知符號表示“不超過的最大整數”，如 ，
，，則 的值為( )
A
A. B. C.0 D.1
[解析] 由題意可得
.
［素養小結］
在求解有關對數的化簡求值等問題時，首先要借助指數冪的運算性質，使其變
形為能夠直接運用對數恒等式的情況，再借助對數恒等式或指數冪的運算求值.
1.已知，則 的值為( )
B
A. B.2 C.3 D.4
[解析] 由，得， .
2.[2024·江蘇蘇州高一期末]若，則 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，，，則 .故選
C.
3.（多選題）下列說法中正確的是( )
ACD
A.零和負數沒有對數 B.任何一個指數式都可以化成對數式
C.以10為底的對數叫作常用對數 D.以 為底的對數叫作自然對數
[解析] A,C,D中說法正確,B中說法不正確,只有且時, 才能化為
對數式.故選 .
4.若，則 _ ___.
[解析] ，，， .
5.若關于實數的方程有解，則實數 的取值范圍為
________________.
[解析] 若方程有解，則 即
即解得或 .
1.對數概念與指數概念有關，指數式和對數式是互逆的，即
且， ，據此可得兩個常用恒等式：
（1）；（2） .
例1 [2024·成都高一期末] 蘇格蘭數學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了
簡化其中的大數之間的計算而發明了對數.利用對數運算可以求大數的位數.已知
，則 是( )
B
A.9位數 B.10位數 C.11位數 D.12位數
[解析] 記，則，則 ，則
，故 是10位數.故選B.
2.在關系式且，中，已知和求 的運算稱為求冪運
算，而如果已知和求 的運算就是對數運算，兩個式子實質相同而形式不同，
互為逆運算.
例2 [2024·江西南昌高一期末]納皮爾精確的對數定義來源于一個運動的幾何模
型：假設有兩個沿兩平行直線運動的動點和，其中點從線段的端點向
運動，點從射線的端點出發向運動，其中的長為.若 的長度滿足
在第秒時，的長度滿足在第秒時，記 ，
，則是關于的一個對數函數.根據以上定義，當時， ( )
B
A.15 B.18 C.21 D.24
[解析] 由題意得，所以當 時，
，解得 .故選B.4.2　對數與對數函數
4.2.1　對數運算
【課前預習】
知識點一
1.對數　b=logaN　底數　真數
2.10　lg N　3.e　自然對數　ln N
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.解:(1)指數式和對數式的關系如圖所示.
(2)①若a<0,則N取某些數值時,logaN不存在,因此規定a不能小于0.
②若a=0,則當N≠0時,logaN不存在,當N=0時,則logaN有無數個值,與函數定義不符,因此規定a≠0.
③若a=1,則當N≠1時,logaN不存在,當N=1時,則logaN有無數個值,與函數定義不符,因此規定a≠1.
知識點二
1.負數和零　2.(1)0　(2)1　(3)N　(4)ab=N　(5)b
【課中探究】
例1　10a　[解析] 由題知ab=10,則f(b+1)=ab+1=a×ab=10a.
變式　C　[解析] 要使式子log(3x-1)(2-x)有意義,則解得例2　(1)54　[解析] 因為logb3=m,logb2=n(b>0且b≠1),
所以bm=3,bn=2,則b3m+n=b3m·bn=·bn=33×2=54.
(2)解:①lg 100=2化為指數式是102=100.
②lo27=-3化為指數式是=27.
③log x=6化為指數式是()6=x.
④43=64化為對數式是log464=3.
⑤3-2=化為對數式是log3=-2.
⑥=16化為對數式是lo16=-2.
變式　(1)D　[解析] 設loa=log3b=lo(6a+b)=k,則a==,b=3k,6a+b==.∵·=32k=,∴a(6a+b)=b2,整理得b2-ab-6a2=(b-3a)(b+2a)=0,又a>0,b>0,∴b+2a>0,∴b=3a,即=3.故選D.
(2)解:①因為10-3=,所以lg =-3.
②因為ln 2=x,所以ex=2.
例3　(1)①3　②0　③-2　④1　(2)①1000　②9　③　④-4　(3)①4　②　[解析] (2)①因為log3(lg x)=1,所以lg x=3,所以x=103=1000.
②由logx27=,可得=27,所以x=2=(33=32=9.
③由ln x=-,可得x===.
④由x=lo16,可得=16,所以2-x=24,所以x=-4.
(3)①=(==4.
②原式=×=3×(3-1=3×()-1=3×2-1=.
變式　(1)C　[解析] ∵loga(lox)=logb(loy)=
logc(loz)=0,∴loga(lox)=0,logb(loy)=0,
logc(loz)=0,∴lox=1,loy=1,loz=1,∴x=>0,
y=>0,z=>0,∵a>b>c>1,∴0<<<<1,∴0(2)解:①因為=3,=2,所以原式=3+2=5.
②原式=22×=4×=.
③原式=10×10lg 2=10×2=20.
④原式=e-1×eln 3=×3=.
例4　(1)1　[解析] 因為f(x)=所以f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=ln 1+1=1.
(2)解:①由lo(3x2+2x-1)=1,
得解得x=-2.
②∵=7+4=,∴由題意知x=2.
變式　A　[解析] 由題意可得+++[log21]+[log22]+[log23]+[log24]=(-2)+(-2)+(-1)+0+1+1+2=-1.
【課堂評價】
1.B　[解析] 由logx8=3,得x3=8,∴x=2.
2.C　[解析] ∵log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=23=8,則x==.故選C.
3.ACD　[解析] A,C,D中說法正確,B中說法不正確,只有a>0且a≠1時,ax=N才能化為對數式.故選ACD.
4.　[解析] ∵a=log43,∴4a=3,∴2a=,∴2a+2-a=+=.
5.(-∞,-1)∪(0,1)　[解析] 若方程log2(x-2k)=log2有解,則即即解得04.2.1　對數運算
【學習目標】
1.能夠在具體的數學問題情境中,得出對數的概念;
2.由指數運算與對數運算的關系,得出對數運算的性質;
3.能夠利用對數運算的性質進行對數運算.
◆ 知識點一　對數及相關概念
1.對數的概念:在表達式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,當a與N確定之后,只有唯一的b能滿足這個式子,此時,冪指數b稱為以a為底N的　　　　,記作　　　　　　,其中a稱為對數的　　　　,N稱為對數的　　　　.
2.常用對數:以　　　　為底的對數稱為常用對數,即log10N是常用對數,通常簡寫為　　　　.
3.自然對數:在科學技術中,常使用以無理數e=2.718 28…為底的對數,以 　　　　為底的對數稱為　　　　　　,自然對數logeN通常簡寫為　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)logaN是loga與N的乘積. (　 )
(2)(-2)3=-8可化為log(-2)(-8)=3. (　 )
(3)對數運算的實質是求冪指數. (　 )
2.(1)如何準確理解指數式與對數式的關系
(2)在對數概念中,為什么規定a>0且a≠1呢
◆ 知識點二　對數的性質
1.　　　　　　沒有對數.
2.當a>0且a≠1時,
(1)loga1=　　　　;
(2)logaa=　　　　;
(3)=　　　　;
(4)b=logaN的充要條件是　　　　;
(5)logaab=　　　　.
◆ 探究點一　對數的概念
例1 已知函數f(x)=ax(a>0且a≠1),若b=loga10,則f(b+1)=　　　　.
變式 [2023·貴州貴陽高一期末] 使式子log(3x-1)(2-x)有意義的x的取值范圍是　 (　 )
A.x>2
B.C.D.x<2
[素養小結]
(1)要注意對數中的底數和真數與指數中的底數和冪指數的對應關系.
(2)在對數中,對底數和真數的范圍要求是求解自變量取值范圍的關鍵.
◆ 探究點二　指數式與對數式的互化
例2 (1)[2024·石家莊精英中學高一期末] 已知logb3=m,logb2=n(b>0且b≠1),則b3m+n的值為　　　　　.
(2)將下列指數式與對數式互化:
①lg 100=2;②lo27=-3;③logx=6;
④43=64;⑤3-2=;⑥=16.
變式 (1)已知a>0,b>0,loa=log3b=lo(6a+b),則= (　 )
A. B. C.2 D.3
(2)將下列各等式化為相應的對數式或指數式:
①10-3=;②ln 2=x.
[素養小結]
指數式與對數式互化時應注意的問題:
(1)利用對數式與指數式間的互化公式互化時,要注意字母的位置改變.
(2)對數式的書寫要規范:底數a要寫在符號“log”的右下角,真數正常表示.
◆ 探究點三　利用對數的性質求值
例3 (1)求下列各式的值:
①log464=　　　　;②log530=　　　　;
③lg 0.01=　　　　;④log1212=　　　　.
(2)求下列各式中x的值:
①log3(lg x)=1,x=　　　　;
②logx27=,x=　　　　;
③ln x=-,x=　　　　;
④x=lo16,x=　　　　.
(3)計算:①=　　　　;
②=　　　　.
變式 (1)已知a>b>c>1,且loga(lox)=logb(loy)=logc(loz)=0,則 (　 )
A.1C.0(2)求下列各式的值:
①+;②;③101+lg 2;④e-1+ln 3.
[素養小結]
1.利用對數性質求解的兩類問題的解題方法:
(1)求多重對數式的值,應從內到外求,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值;
(2)已知多重對數式的值,求變量的值,應從外到內求,逐步脫去“log”后再求解.
2.注意對數恒等式=N的應用.
◆ 探究點四　綜合應用
例4 (1)已知f(x)=則f(-3)=　　　　.
(2)求下列各式中x的值:
①lo(3x2+2x-1)=1;
②lo=x.
變式 已知符號[x]表示“不超過x的最大整數”,如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2,則+++[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值為 (　 )
A.-1 B.-2
C.0 D.1
[素養小結]
在求解有關對數的化簡求值等問題時,首先要借助指數冪的運算性質,使其變形為能夠直接運用對數恒等式的情況,再借助對數恒等式或指數冪的運算求值.
1.已知logx8=3,則x的值為 (　 )
A. B.2 C.3 D.4
2.[2024·江蘇蘇州高一期末] 若log3(log2x)=1,則等于 (　 )
A. B. C. D.
3.(多選題)下列說法中正確的是 (　 )
A.零和負數沒有對數
B.任何一個指數式都可以化成對數式
C.以10為底的對數叫作常用對數
D.以e為底的對數叫作自然對數
4.若a=log43,則2a+2-a=　　　　.
5.若關于實數x的方程log2(x-2k)=log2有解,則實數k的取值范圍為　　　　. 4.2　對數與對數函數
4.2.1　對數運算
1.C　[解析] 由a=b2(b>0且b≠1),得logba=2.故選C.
2.D　[解析] 要使式子log(2x-1)有意義,需滿足即解得3.D　[解析] 由已知得am=,an=3,所以am+2n=am×a2n=am×(an)2=×32=.故選D.
4.C　[解析] 根據指數式與對數式互化可知,e0=1等價于ln 1=0,故A中互化正確;=等價于log8=-,故B中互化正確;log39=2等價于32=9,故C中互化錯誤;log77=1等價于71=7,故D中互化正確.故選C.
5.A　[解析] 令t=3x>0,則原方程可化為t2-3t-4=0,解得t=4或t=-1(舍去),所以3x=4,所以x=log34.
6.B　[解析] 由ln a7.D　[解析] 由題知2Θ4=log24=2,所以8Θ(2Θ4)=8Θ2=log28=3.
8.AB　[解析] lg(lg 10)=lg 1=0,故A正確;ln(ln e)=ln 1=0,故B正確;若10=lg x,則x=1010,故C錯誤;若e=ln x,則x=ee,故D錯誤.故選AB.
9.ACD　[解析] 100=1對應的對數式為lg 1=0,故A中互化正確;2=對應的對數式應為log27=-,故B中互化不正確;log39=2對應的指數式為32=9,故C中互化正確;log55=1對應的指數式為51=5,故D中互化正確.故選ACD.
10.4　[解析] ∵==,∴a=,∴loa=4.
11.　[解析] ∵4a=2=,∴a=,∴x=1,解得x=.
12.-3　[解析] 令1+loa=2+lob=lo(a-b)=k,則a=,b=,a-b=,所以-== ==-3.
13.解:(1)x=6=(43=4-2=.
(2)因為x6=8,x>0且x≠1,所以x=(x6==(23==.
(3)因為10x=100=102,所以x=2.
(4)由-ln e2=x,得-x=ln e2,即e-x=e2,所以x=-2.
(5)因為lo=x,
所以(-1)x====-1,所以x=1.
14.解:(1)∵lox=m,∴=x,∴x2=.
∵loy=m+2,∴=y,∴y=.
故====16.
(2)由題知f(x)=lg a-+4lg a.
∵f(x)有最大值3,∴lg a<0,且-+4lg a=3,
整理得4(lg a)2-3lg a-1=0,解得lg a=1或lg a=-.
又∵lg a<0,∴lg a=-,∴a=1.
15.D　[解析] ∵logab=2,∴a2=b,∴ab=ba=(a2)a=a2a,
∴b=2a,可得a2=2a,又a≠0,∴a=2,∴b=4,∴ab=8.故選D.
16.解:(1)由題知18a=9,18b=54,∴182a-b====.
(2)∵logx27==3×=3×2=6,∴x6=27,
∴x=2=(33==.4.2　對數與對數函數
4.2.1　對數運算
一、選擇題
1.若a=b2(b>0且b≠1),則有 (　 )
A.log2a=b B.log2b=a
C.logba=2 D.logb2=a
2.[2024·福建福州高一期末] 使式子log(2x-1)有意義的x的取值范圍是 (　 )
A.(2,+∞) B.
C.(-∞,2) D.∪(1,2)
3.已知loga=m,loga3=n(a>0且a≠1),則am+2n等于(　 )
A.3 B. C.9 D.
4.下列指數式與對數式互化不正確的一組是 (　 )
A.e0=1與ln 1=0
B.=與log8=-
C.log39=2與=3
D.log77=1與71=7
5.方程9x-3x+1-4=0的實數解是 (　 )
A.log34 B.4
C.-1 D. log43
6.“<”是“ln aA.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
7.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),定義運算:aΘb=則8Θ(2Θ4)= (　 )
A.-3 B. C.log34 D.3
8.(多選題)下列說法正確的是 (　 )
A.lg(lg 10)=0
B.ln(ln e)=0
C.若10=lg x,則x=10
D.若e=ln x,則x=e2
9.(多選題)下列指數式與對數式的互化正確的是　　 (　 )
A.100=1與lg 1=0
B.=與log27=-3
C.log39=2與32=9
D.log55=1與51=5
二、填空題
10.已知=,則loa=　　　　.
11.已知4a=2,logax=2a,則x=　　　　.
12.[2024·廣西桂林高一期末] 已知a>b>0,且1+loa=2+lob=lo(a-b),則-的值為　　　　.
三、解答題
13.求下列各式中x的值.
(1)log64x=-;(2)logx8=6;(3)lg 100=x;
(4)-ln e2=x;(5)lo=x.
14.(1)若lox=m,loy=m+2,求的值.
(2)已知二次函數f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最大值為3,求a的值.
15.已知實數a,b滿足ab=ba,且logab=2(a>0且a≠1),則ab= (　 )
A. B.2 C.4 D.8
16.(1)已知log189=a,log1854=b,求182a-b的值.
(2)已知logx27=,求x的值.

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