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(共42張PPT)
4.2 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
4.2.3 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
第1課時 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
◆ 課前預(yù)習(xí)
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解對數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)；
2.根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)；
3.初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),會解與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域、值域問題.
知識點一 對數(shù)函數(shù)的定義
一般地，函數(shù)__________稱為對數(shù)函數(shù)，其中 是常數(shù)，_____________.
且
知識點二 對數(shù)函數(shù)且 的圖象與性質(zhì)
解析式 底數(shù)
圖象 ______________________________________ ______________________________________
性質(zhì) 定義域 值域 ___ 單調(diào)性 增函數(shù) 減函數(shù)
過定點 函數(shù)值 特征
對稱性
0
續(xù)表
【診斷分析】
（1）對數(shù)函數(shù)的圖象一定在 軸的右側(cè)嗎？
解：因為對數(shù)函數(shù)的自變量要大于0，所以對數(shù)函數(shù)的圖象一定在 軸右側(cè).
（2）函數(shù)且 的底數(shù)變化對圖象位置有何影響？
解：觀察圖象，總結(jié)變化規(guī)律：
①上下比較：在直線的右側(cè)，當(dāng)
時，越大，圖象越靠近軸，當(dāng) 時，
越小，圖象越靠近 軸.
②左右比較（比較圖象與直線 的交點）：
交點的橫坐標(biāo)越大，對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越
大.
探究點一 對數(shù)函數(shù)的概念及其應(yīng)用
例1（1） 下列函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義知C中的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).故選C.
（2）已知函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則 ___.
2
[解析] 由對數(shù)函數(shù)的定義，可得解得 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法：
探究點二 對數(shù)函數(shù)的圖象
例2 如圖是四個對數(shù)函數(shù)的圖象，已知底數(shù) 的值可
取，，，，則，，，對應(yīng)的 的值
依次是( )
B
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
[解析] 當(dāng)時，圖象呈上升趨勢，在直線右側(cè)，越大，圖象越靠近
軸；當(dāng)時，圖象呈下降趨勢，在直線右側(cè)， 越小，圖象越靠近
軸.故，，，對應(yīng)的值依次是，，， .故選B.
變式（1） 若函數(shù)且的圖象過定點 ，則點
的坐標(biāo)是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 對于函數(shù)且，令，得 ，
此時，可得它的圖象過定點 .故選A.
（2）（多選題）[2024·河南南陽高一期末] 已知函數(shù) ，
，且 ，則下列式子可能成立的是( )
ABD
A.， B.
C. D.，
[解析] 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)
， 的圖象，如圖.
畫與軸平行的直線，由①可得 ，
，故A中式子可能成立；
由②可得，故B中式子可能成立；
由③可得 ， ，故D中式子可能成立；
對于C，若，則 ,
，即，故C中式子不可能成立.故選 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
在同一直角坐標(biāo)系中作出不同對數(shù)函數(shù)的圖象，則在第一象限按逆時針方向，
圖象對應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)從大到小排列.
探究點三 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
角度一 與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域
例3（1） 函數(shù) 的定義域是______.
[解析] 要使函數(shù)有意義，則解得 ，所以函數(shù)
的定義域為 .
（2）函數(shù) 的定義域是_____________.
[解析] 要使函數(shù)有意義，需解得 ，所以函數(shù)
的定義域是 .
變式 求下列函數(shù)的定義域：
（1） ；
解：由題意得即解得 ，
故函數(shù)的定義域為 .
（2） ；
解：由題意得解得且 ，
故函數(shù)的定義域為 .
（3） .
解：由題意得即
故函數(shù)的定義域為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域時應(yīng)注意的兩點：
（1）要遵循以前已學(xué)習(xí)過的求定義域的方法，如分式的分母不為零，偶次根式
被開方數(shù)（或式）大于或等于零等.
（2）遵循對數(shù)函數(shù)自身的要求：一是真數(shù)大于零；二是底數(shù)大于零且不等于1；
三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性，有針對性地解不等式.
注意：函數(shù)的定義域最后的結(jié)果一定要用集合或區(qū)間的形式表示.
角度二 對數(shù)函數(shù)的值域與最值
例4（1） 函數(shù),, 的值域是 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因為函數(shù)，單調(diào)遞增,所以 ，
即,所以函數(shù)的值域為 ,故選B.
（2）若函數(shù)在區(qū)間 上的最大值與最小值之和
為1，則 __.
[解析] 因為，所以在上為減函數(shù)，所以 在
上的最大值為，最小值為 .由題意得
，解得 .
變式（1） [2024·陜西西安高一期末] 已知函數(shù) 且
在區(qū)間，上的最大值是2，則 ______.
或4
[解析] 當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞減，故
，即，可得 ；
當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
故，即，可得. 綜上，的值為 或4.
（2）[2024·貴州畢節(jié)高一期末] 已知函數(shù)且 的
定義域和值域都是，則 ______.
2或
[解析] 當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，因為的定義域和值域都是 ，
所以解得所以.
當(dāng)時，函數(shù) 單調(diào)遞增，因為的定義域和值域都是，
所以 解得所以 .
綜上，或 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
對數(shù)函數(shù)的值域和最值主要是根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解的，必要時注意對
對數(shù)的底數(shù)進(jìn)行分類討論.
角度三 對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
例5 比較下列各組數(shù)的大小:
（1）與 ;
解:方法一：因為對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，而 ，所以
.
方法二：因為，，所以 .
（2）與 ;
解:， ，
因為對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，且 ，
所以，所以 ，
所以 .
（3）與 .
解:因為，所以 .
變式（1） [2024·湖北宜昌高一期末]已知,, ，
則,, 的大小關(guān)系為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因為,,，所以 ，
又， ，且
，所以 .故選A.
（2）設(shè)，，，則，， 的大小關(guān)系是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由于且， ，
，因此，，的大小關(guān)系是 ，故選B.
（3）若,則 的取值范圍是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 因為，所以.當(dāng)時，對數(shù)函數(shù) 是增
函數(shù)，可得，舍去;當(dāng)時，對數(shù)函數(shù) 是減函數(shù)，所以
.故選C.
［素養(yǎng)小結(jié)］
利用函數(shù)的單調(diào)性可進(jìn)行對數(shù)大小的比較，常用的方法如下：
（1）同底數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較.
（2）底數(shù)不同而真數(shù)相同的兩個對數(shù)值的大小比較，常用數(shù)形結(jié)合思想來解決，
也可用換底公式化為同底，再進(jìn)行比較.
（3）底數(shù)不同且真數(shù)也不同的兩個對數(shù)值的大小比較，常引入中間量進(jìn)行比較，
通常取中間量 ，0，1等.
拓展 已知，，， ，則( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由已知可得，， ，所以
.因為， ，
所以，又，，所以 ，即
，同理可得，即.綜上， ，故選C.
1.函數(shù) 的定義域是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 要使函數(shù)有意義，則解得且 ，所以函數(shù)
的定義域為 .故選C.
2.已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過點，則函數(shù) 的圖
象大致為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，所以 ，
所以所求函數(shù)為，顯然為奇函數(shù)，排除A，C；
又因為 為增函數(shù)，所以排除D.故選B.
3.已知函數(shù)且 ，則該函數(shù)的圖象恒過定點( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因為函數(shù)的圖象經(jīng)過定點,所以函數(shù)
且的圖象經(jīng)過定點 .故選C.
4.[2024·上海吳淞中學(xué)高一期末]已知函數(shù)（ 且
, 為實數(shù)），則下列說法正確的是( )
D
A.函數(shù)的單調(diào)性只與有關(guān)，與 無關(guān)
B.函數(shù)的單調(diào)性只與有關(guān)，與 無關(guān)
C.函數(shù)的單調(diào)性與， 都有關(guān)
D.函數(shù)的單調(diào)性與， 都無關(guān)
[解析] 當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)
時，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)且 時，
都單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)性與， 都無關(guān).故
選D.
5.若函數(shù)且在區(qū)間 上的最大值比最小值大
2，則 _______.
2或
[解析] 由,得且.①當(dāng) 時，由
,得；②當(dāng)時，由 ,得
.故或 .
1.底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響
對數(shù)函數(shù)且的圖象與直線的交點是 ，交點的
橫坐標(biāo)越大，對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.也就是說，沿直線 由左向右看，
底數(shù) 增大.
例1 如圖所示，曲線,,,是,,, 時對數(shù)函數(shù)
的圖象，則對應(yīng)于,,,的 值依次為
( )
A
A.,,, B.,,, C.,,, D.,,,
[解析] 在圖象上畫出直線 ，如圖所示，與各個曲線的交
點的橫坐標(biāo)即為對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)，
所以對應(yīng)于,,,的值依次為,,, ,故選A.
2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的關(guān)系
圖象特征 函數(shù)性質(zhì)
例2 已知函數(shù)，若,且,則 的取值范圍
是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因為,所以,所以（舍去）或 ,所以
,又,所以.令 ,由對勾函數(shù)的性
質(zhì)知在上為減函數(shù)，所以，即 的取值
范圍是 ,故選C.4.2.3　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
第1課時　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
y=logax　a>0且a≠1
知識點二
R　(1,0)　0　(-∞,0)　(0,+∞)　(0,+∞)　(-∞,0)
x
診斷分析
解:(1)因為對數(shù)函數(shù)的自變量要大于0,所以對數(shù)函數(shù)的圖象一定在y軸右側(cè).
(2)觀察圖象,總結(jié)變化規(guī)律:
①上下比較:在直線x=1的右側(cè),當(dāng)a>1時,a越大,圖象越靠近x軸,當(dāng)0②左右比較(比較圖象與直線y=1的交點):交點的橫坐標(biāo)越大,對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.
【課中探究】
例1　(1)C　(2)2　[解析] (1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義知C中的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).故選C.
(2)由對數(shù)函數(shù)的定義,可得解得m=2.
例2　B　[解析] 當(dāng)a>1時,圖象呈上升趨勢,在直線x=1右側(cè),a越大,圖象越靠近x軸;當(dāng)0變式　(1)A　(2)ABD　[解析] (1)對于函數(shù)y=loga(x-3)+1(a>0且a≠1),令x-3=1,得x=4,此時y=1,可得它的圖象過定點P(4,1).故選A.
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)=,g(x)=lox的圖象,如圖.
畫與x軸平行的直線,由①可得a<0,01,0b>1,則f(a)=>0,g(b)=lob<0,即f(a)≠g(b),故C中式子不可能成立.故選ABD.
例3　(1)(0,1]　(2)x(2)要使函數(shù)有意義,需解得變式　解:(1)由題意得即解得x≤1,
故函數(shù)y=的定義域為(-∞,1].
(2)由題意得解得x<4且x≠3,
故函數(shù)y=的定義域為(-∞,3)∪(3,4).
(3)由題意得即
故函數(shù)y=log(2x-1)(-4x+8)的定義域為∪(1,2).
例4　(1)B　(2)　[解析] (1)因為函數(shù)f(x)=log2x,x∈單調(diào)遞增,所以log2≤f(x)≤log28,即-2≤f(x)≤3,所以函數(shù)f(x)的值域為[-2,3],故選B.
(2)因為0變式　(1)或4　(2)2或　[解析] (1)當(dāng)0當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間上單調(diào)遞增,
故f(16)=loga16=2,即a2=16,可得a=4.
綜上,a的值為或4.
(2)當(dāng)01時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,因為f(x)的定義域和值域都是(1,2),所以解得所以ab=21=2.
綜上,ab=2或.
例5　解:(1)方法一:因為對數(shù)函數(shù)y=log5x在(0,+∞)上是增函數(shù),而<,所以log5方法二:因為log5<0,log5>0,所以log5(2)lo2=,lo2=,
因為對數(shù)函數(shù)y=log2x在(0,+∞)上是增函數(shù),且>,
所以0>log2>log2,所以<,
所以lo2(3)因為log23>log22=1=log55>log54,所以log23>log54.
變式　(1)A　(2)B　(3)C　[解析] (1)因為lg 2>0,lg 5>0,lg 2≠lg 5,所以b=lg 2·lg 5<=,又a=log163=>=,c=log92>log9=,且c=log92=<=,所以a>c>b.故選A.
(2)由于a=log32log31=0,b=log3<0,c==>1,因此a,b,c的大小關(guān)系是b(3)因為loga>1,所以loga>logaa.當(dāng)a>1時,對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù),可得a<,舍去;當(dāng)0拓展　C　[解析] 由已知可得a=,b=,c=,所以3a-4b=-==.因為00,又logt3<0,logt4<0,所以3a-4b>0,即3a>4b,同理可得4b-5c>0,即4b>5c.綜上,3a>4b>5c,故選C.
【課堂評價】
1.C　[解析] 要使函數(shù)f(x)有意義,則解得02.B　[解析] 因為函數(shù)y=logax的圖象經(jīng)過點P(3,1),所以loga3=1,所以a=3,所以所求函數(shù)為y=x3,顯然y=x3為奇函數(shù),排除A,C;又因為y=x3為增函數(shù),所以排除D.故選B.
3.C　[解析] 因為函數(shù)y=logax的圖象經(jīng)過定點(1,0),所以函數(shù)y=logax-1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過定點(1,-1).故選C.
4.D　[解析] 當(dāng)01時,a-1>0,f(x)=(a-1)logax+b單調(diào)遞增.所以當(dāng)a>0且a≠1時,f(x)=(a-1)logax+b都單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)性與a,b都無關(guān).故選D.
5.2或　[解析] 由2a2-a=a(2a-1)>0,得a>且a≠1.①當(dāng)a>1時,由loga(2a2)-logaa=2,得a=2;②當(dāng)第1課時　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解對數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì);
2.根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù);
3.初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),會解與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域、值域問題.
◆ 知識點一　對數(shù)函數(shù)的定義
一般地,函數(shù)　　　　　　稱為對數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),　　　　　　.
◆ 知識點二　對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象與性質(zhì)
解析式 y=logax(a>0且a≠1)
底數(shù) a>1 0圖象
性 質(zhì) 定義域 (0,+∞)
值域 　　　
單調(diào)性 增函數(shù) 減函數(shù)
過定點 圖象過定點　　　　,即loga1=　　　　
函數(shù)值 特征 x∈(0,1)時,y∈　　　　;x∈(1,+∞)時,y∈　 　　 x∈(0,1)時,y∈ 　　　　;x∈(1,+∞)時,y∈　 　　
對稱性 y=logax與y=lox的圖象關(guān)于　　軸對稱
【診斷分析】 (1)對數(shù)函數(shù)的圖象一定在y軸的右側(cè)嗎
(2)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的底數(shù)變化對圖象位置有何影響
◆ 探究點一　對數(shù)函數(shù)的概念及其應(yīng)用
例1 (1)下列函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的是 (　 )
A.y=lo(-x) B.y=2log4(1-x)
C.y=ln x D.y=lox
(2)已知函數(shù)f(x)=(m2-3m+2)+logmx是對數(shù)函數(shù),則m=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法:
◆ 探究點二　對數(shù)函數(shù)的圖象
例2 如圖是四個對數(shù)函數(shù)的圖象,已知底數(shù)a的值可取,,,,則C1,C2,C3,C4對應(yīng)的a的值依次是 (　 )
A.,,, B.,,,
C.,,, D.,,,
變式 (1)若函數(shù)y=loga(x-3)+1(a>0且a≠1)的圖象過定點P,則點P的坐標(biāo)是 (　 )
A.(4,1) B.(3,1)
C.(4,0) D.(3,0)
(2)(多選題)[2024·河南南陽高一期末] 已知函數(shù)f(x)=,g(x)=lox,且f(a)=g(b),則下列式子可能成立的是 (　 )
A.a<0,0C.a>b>1 D.a>1,0[素養(yǎng)小結(jié)]
在同一直角坐標(biāo)系中作出不同對數(shù)函數(shù)的圖象,則在第一象限按逆時針方向,圖象對應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)從大到小排列.
◆ 探究點三　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
角度一　與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域
例3 (1)函數(shù)f(x)=+ln x的定義域是　　　　.
(2)函數(shù)y=的定義域是　　　　　　　.
變式 求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=log(2x-1)(-4x+8).
[素養(yǎng)小結(jié)]
求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域時應(yīng)注意的兩點:
(1)要遵循以前已學(xué)習(xí)過的求定義域的方法,如分式的分母不為零,偶次根式被開方數(shù)(或式)大于或等于零等.
(2)遵循對數(shù)函數(shù)自身的要求:一是真數(shù)大于零;二是底數(shù)大于零且不等于1;三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性,有針對性地解不等式.
注意:函數(shù)的定義域最后的結(jié)果一定要用集合或區(qū)間的形式表示.
角度二　對數(shù)函數(shù)的值域與最值
例4 (1)函數(shù)f(x)=log2x,x∈,8的值域是　 (　 )
A.[-3,-2] B.[-2,3]
C.[-3,3] D.[-2,2]
(2)若函數(shù)f(x)=logax(0變式 (1)[2024·陜西西安高一期末] 已知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)在區(qū)間,16上的最大值是2,則a=　　　　.
(2)[2024·貴州畢節(jié)高一期末] 已知函數(shù)f(x)=logax+b(a>0且a≠1)的定義域和值域都是(1,2),則ab=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
對數(shù)函數(shù)的值域和最值主要是根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解的,必要時注意對對數(shù)的底數(shù)進(jìn)行分類討論.
角度三　對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
例5 比較下列各組數(shù)的大小:
(1)log5與log5;(2)lo2與lo2;
(3)log23與log54.
變式 (1)[2024·湖北宜昌高一期末] 已知a=log163,b=lg 2·lg 5,c=log92,則a,b,c的大小關(guān)系為 (　 )
A.a>c>b B.c>b>a
C.a>b>c D.c>a>b
(2)設(shè)a=log32,b=log3,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是 (　 )
A.aC.b(3)若loga>1,則a的取值范圍是 (　 )
A. B.(0,1)∪
C. D.∪(1,+∞)
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用函數(shù)的單調(diào)性可進(jìn)行對數(shù)大小的比較,常用的方法如下:
(1)同底數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較.
(2)底數(shù)不同而真數(shù)相同的兩個對數(shù)值的大小比較,常用數(shù)形結(jié)合思想來解決,也可用換底公式化為同底,再進(jìn)行比較.
(3)底數(shù)不同且真數(shù)也不同的兩個對數(shù)值的大小比較,常引入中間量進(jìn)行比較,通常取中間量-1,0,1等.
拓展 已知0A.4b<5c<3a B.5c<3a<4b
C.5c<4b<3a D.4b<3a<5c
1.函數(shù)f(x)=的定義域是 (　 )
A.(0,2] B.(0,2)
C.(0,1)∪(1,2] D.(0,1)∪(1,2)
2.已知函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點P(3,1),則函數(shù)y=xa的圖象大致為 (　 )
ABCD
3.已知函數(shù)y=logax-1(a>0且a≠1),則該函數(shù)的圖象恒過定點 (　 )
A.(0,-1) B.(1,1)
C.(1,-1) D.(1,0)
4.[2024·上海吳淞中學(xué)高一期末] 已知函數(shù)f(x)=(a-1)logax+b(a>0且a≠1,b為實數(shù)),則下列說法正確的是 (　 )
A.函數(shù)f(x)的單調(diào)性只與a有關(guān),與b無關(guān)
B.函數(shù)f(x)的單調(diào)性只與b有關(guān),與a無關(guān)
C.函數(shù)f(x)的單調(diào)性與a,b都有關(guān)
D.函數(shù)f(x)的單調(diào)性與a,b都無關(guān)
5.若函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)在區(qū)間[a,2a2]上的最大值比最小值大2,則a=　　　　. 4.2.3　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
第1課時　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
1.B　[解析] 要使函數(shù)f(x)有意義,則即∴-1≤x<1,即函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1).
2.D　[解析] 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義知,D中函數(shù)是對數(shù)函數(shù).故選D.
3.A　[解析] 依題意有所以x>2.
4.A　[解析] 函數(shù) y=ln ex=x的定義域為R,值域為R.對于A,y=x的定義域為R,值域為R,故A正確;對于B,y=ln x的定義域為(0,+∞),故B錯誤;對于C,y=e4為常函數(shù),定義域為R,值域為{e4},故C錯誤;對于D,y=的定義域為(0,+∞),故D錯誤.故選A.
5.C　[解析] 在同一直角坐標(biāo)系中畫出f(x)=ln x與g(x)=lg x的圖象,如圖所示.當(dāng)x=1時,f(1)=g(1)=0,故m=n=1,故A中結(jié)論可能成立;當(dāng)01時,若f(m)=g(n),則16.B　[解析] 由解得1≤x≤2,所以g(x)=[f(x)]2+f(x2)的定義域為[1,2].
令f(x)=t,t∈[0,1],則f(x2)=log2x2=2log2x=2f(x)=2t,所以g(x)=[f(x)]2+f(x2)=t2+2t,令h(t)=t2+2t=(t+1)2-1,0≤t≤1,易知h(t)在[0,1]上單調(diào)遞增,則當(dāng)t=0時,h(t)min=0,當(dāng)t=1時,h(t)max=3,所以g(x)=[f(x)]2+f(x2)的值域是[0,3].
7.D　[解析] 因為0>log15=,所以a8.AB　[解析] 對于函數(shù)y=ax+2-a=a(x-1)+2,令x-1=0,可得x=1,此時y=2,故該函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(1,2);對于函數(shù)y=logax+2(a>0,a≠1),令x=1,可得y=2,故該函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(1,2);對于函數(shù)y=ax-3+1(a>0,a≠1),令x-3=0,可得x=3,此時y=2,故該函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(3,2);對于函數(shù)y=loga(2-x)+1(a>0,a≠1),令2-x=1,可得x=1,此時y=1,故該函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(1,1).故選AB.
9.ACD　[解析] 由題知2=loga4,得a=2,故f(x)=log2x.對于A,函數(shù)f(x)為增函數(shù),故A正確;對于B,f(x)=log2x不為偶函數(shù),故B錯誤;對于C,當(dāng)x>1時,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正確;對于D,f(x)=log2x的圖象往上凸,若010.[0,+∞)　[解析] 當(dāng)x<-1時,0<3x<3-1=;當(dāng)x≥1時,log2x≥log21=0.故函數(shù)的值域為∪[0,+∞)=[0,+∞).
11.或　[解析] 當(dāng)01時,f(x)=logax在[2,4]上單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在[2,4]上的最大值為f(4),最小值為f(2),則f(4)-f(2)=loga4-loga2=loga2=2,解得a=.故a的值是或.
12.(0,1)∪(2,+∞)　[解析] 函數(shù)f(x)=log2x-x+1的定義域為(0,+∞),f(1)=log21-1+1=0,f(2)=log22-2+1=0.由f(x)<0,得log2x由圖知不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,+∞).
13.解:(1)由題得b=2,所以f(x)=+2,其圖象如圖所示.
(2)由圖知函數(shù)f(x)=+2為偶函數(shù)且在[0,+∞)上單調(diào)遞減.
因為f>f(-1)(m>0且m≠1),所以<1,即-1當(dāng)0當(dāng)m>1時,<2.
綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為∪(2,+∞).
14.解:(1)∵f(1)=1,∴l(xiāng)oga(1-a)+loga(1-3a)=1,且∴(1-a)(1-3a)=a且a<,即3a2-5a+1=0且a<,∴a=.
(2)若a=2,則f(x)=log2(x-2)+log2(x-6)的定義域為(6,+∞).
由f(x)得解得6故所求不等式的解集為(6,9).
15.BC　[解析] 由表格可知,當(dāng)I=1時,LI=a+blg 1=120,得a=120,當(dāng)I=10-12時,LI=120+blg 10-12=120-12b=0,得b=10,所以LI=120+10lg I=10(12+lg I)=10lg(1012I),故A錯誤;lg I=,則I=1=(,故B正確;當(dāng)I=10-6時,L正常=120+10lg 10-6=120-60=60,故C正確;當(dāng)LI=80時,80=120+10lg IT,得lg IT=-4,則IT=10-4,故D錯誤.故選BC.
16.解:(1)當(dāng)x+2=1,即x=-1時,f(x)=1+loga1=1,
故A(-1,1).
(2)∵f(x)=1+loga(x+2),∴g(x)=f(x-2)=1+logax.
當(dāng)0故當(dāng)x=a時,函數(shù)g(x)在[a,2a]上取得最大值g(a)=2,
當(dāng)x=2a時,函數(shù)g(x)在[a,2a]上取得最小值g(2a)=1+loga(2a),
則2-[1+loga(2a)]=,故a=.
當(dāng)a>1時,函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,2a]上單調(diào)遞增,
故當(dāng)x=a時,函數(shù)g(x)在[a,2a]上取得最小值g(a)=2,
當(dāng)x=2a時,函數(shù)g(x)在[a,2a]上取得最大值g(2a)=1+loga(2a),
則[1+loga(2a)]-2=,解得a=4.
綜上,a=或a=4.4.2.3　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
第1課時　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
一、選擇題
1.函數(shù)f(x)=ln(1-x)的定義域是(　 )
A.(-1,1) B.[-1,1)
C.[-1,1] D.(-1,1]
2.下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是 (　 )
A.y=loga(2x)
B.y=lg 10x
C.y=loga(x2+x)
D.y=ln x
3.已知f(x)為R上的增函數(shù),且f(log2x)>f(1),則x的取值范圍為 (　 )
A.(2,+∞)
B.∪(2,+∞)
C.
D.(0,1)∪(2,+∞)
4.[2024·內(nèi)蒙古呼和浩特高一期末] 下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù) y=ln ex的定義域和值域相同的是 (　 )
A.y=x B.y=ln x
C.y=e4 D.y=
5.[2024·廣東深圳高一期末] 已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=lg x,若f(m)=g(n),則下列結(jié)論不可能成立的是 (　 )
A.m=n B.nC.m<16.[2023·江蘇蘇州昆山震川高級中學(xué)高一期末] 已知f(x)=log2x,x∈[1,4],則g(x)=[f(x)]2+f(x2)的值域是 (　 )
A.(-∞,-3] B.[0,3]
C.[3,+∞) D.[-3,0]
7.設(shè)a=log52,b=log93,c=log154,則 (　 )
A.cC.a8.(多選題)下列四個函數(shù)的圖象中過相同定點的函數(shù)有 (　 )
A.y=ax+2-a
B.y=logax+2(a>0,a≠1)
C.y=ax-3+1(a>0,a≠1)
D.y=loga(2-x)+1(a>0,a≠1)
9.(多選題)已知函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)的圖象經(jīng)過點(4,2),則下列說法中正確的有 (　 )
A.函數(shù)f(x)為增函數(shù)
B.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)
C.若x>1,則f(x)>0
D.若0二、填空題
10.函數(shù)y=的值域為　　　　　.
11.已知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)在區(qū)間[2,4]上的最大值與最小值的差為2,則a的值是　　　　.
12.[2024·北京石景山區(qū)高一期末] 已知函數(shù)f(x)=log2x-x+1,則不等式f(x)<0的解集是　　　　　　.
三、解答題
13.[2023·貴州六盤水高一期末] 已知函數(shù)f(x)=+b的圖象無限接近直線y=2但又不與該直線相交.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并畫出圖象;
(2)若f>f(-1)(m>0且m≠1),求實數(shù)m的取值范圍.
14.已知函數(shù)f(x)=loga(x-a)+loga(x-3a),其中a>0且a≠1.
(1)若f(1)=1,求a的值;
(2)若a=2,求不等式f(x)15.(多選題)[2024·貴州貴陽高一期末] 聲強(qiáng)級LI(單位:dB)由公式LI=a+blg I給出,其中I為聲強(qiáng)(單位:W/m2),不同聲的聲強(qiáng)級如下表,則　 (　 )
I (W/m2) 正常人能忍受最高聲強(qiáng)1 W/m2 正常人能忍受最低聲強(qiáng)10-12 W/m2 正常人平時談話聲強(qiáng)10-6 W/m2 某人談 話聲強(qiáng) IT W/m2
LI(dB) 120 0 L正常 80
A.LI=10lg B.I=(
C.L正常=60 D.IT=10-8
16.已知f(x)=1+loga(x+2)(a>0且a≠1),g(x)=f(x-2).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過定點A,求點A的坐標(biāo);
(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,2a]上的最大值比最小值大,求a的值.

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