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(共34張PPT)
4.3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
◆ 課前預(yù)習(xí)
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解反函數(shù)的概念,知道指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),弄清它們的圖象
間的對稱關(guān)系；
2.能結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決一些綜合問題.
知識點 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
1.反函數(shù)
（1）反函數(shù)的定義
一般地，如果在函數(shù)中，給定值域中任意一個 的值，只有唯一的___
與之對應(yīng)，那么是的函數(shù)，這個函數(shù)稱為 的________，函數(shù)
的反函數(shù)記作 .
反函數(shù)
（2）反函數(shù)的性質(zhì)
①函數(shù)的定義域與的______相同，函數(shù) 的值域與
的________相同.
②與 的圖象關(guān)于直線______對稱.
③如果是增函數(shù)，那么是____函數(shù)；如果 是減函
數(shù)，那么 是____函數(shù).
④若函數(shù)的圖象上有一點，則點______在其反函數(shù) 的
圖象上.
值域
定義域
增
減
2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
（1）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)且 ____________.
（2）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)且 的圖象關(guān)于
____________對稱.
互為反函數(shù)
直線
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）函數(shù)的反函數(shù)是 .( )
×
[解析] 函數(shù)的反函數(shù)是 .
（2）函數(shù)的反函數(shù)的值域為 .( )
×
[解析] 函數(shù)的反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域，故 的反函數(shù)
的值域為 .
（3）函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線 對稱.( )
×
[解析] 互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù) 的圖象與
的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象與 的圖象關(guān)于
直線 對稱.
2.函數(shù)與且 的定義域和值域有什么關(guān)系？
解:且的定義域為，值域為，
且的定義域為，值域為 ，即它們的定義域和值域互換.
探究點一 求簡單函數(shù)的反函數(shù)
例1 求下列函數(shù)的反函數(shù).
（1） ;
解：由得 ,
所以函數(shù)的反函數(shù)是 .
（2） ;
解：的底數(shù)是,它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù) .
（3） ;
解：由得，故，對調(diào)其中的和 得
.因為的值域是 ,所以它的反函數(shù)為
.
（4） .
解：因為,所以,故,對調(diào)其中的和 得
.因為函數(shù)的值域是 ，所以
的定義域為,即函數(shù) 的反函數(shù)是
.
變式（1） 已知是函數(shù)的反函數(shù)，則 的值為( )
A
A.0 B.1 C.10 D.100
[解析] 因為是函數(shù)的反函數(shù)，所以，所以
.故選A.
（2）函數(shù)與函數(shù) 的圖象關(guān)于( )
B
A.軸對稱 B.直線對稱 C.原點對稱 D. 軸對稱
[解析] 函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，故它們的圖象關(guān)于直線 對
稱.故選B.
［素養(yǎng)小結(jié)］
求反函數(shù)的一般步驟：
（1）先確定原函數(shù)的值域，即反函數(shù)的定義域.
（2）對調(diào)原函數(shù)解析式中的和，解出 .
（3）寫出反函數(shù).
注意：求反函數(shù)時，若原函數(shù) 的定義域有限制條件，則其反函數(shù)的定
義域只能是根據(jù)原函數(shù)的值域來求.
探究點二 反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
例2（1） 函數(shù)的反函數(shù) 的定義域為( )
C
A. B. C. D.
[解析] 的定義域即為函數(shù)的值域， ，
，故的定義域為 .
（2）已知函數(shù)是增函數(shù)，它的反函數(shù)是,若 （2）,
（3）,則, 的大小關(guān)系是( )
A
A. B. C. D.無法確定
[解析] 因為是增函數(shù)，所以其反函數(shù)也是增函數(shù)，所以 ,
(3)> (2),即 .故選A.
（3）[2023 遼寧沈陽實驗中學(xué)高一月考] 設(shè)函數(shù) 存在反函數(shù)
，且函數(shù)的圖象過點，則函數(shù) 的
圖象一定過點________.
[解析] 因為函數(shù)的圖象過點，所以，
解得 ，即的圖象過點，所以的圖象過點，
的圖象過點，所以的圖象過點 .
變式（1） 已知函數(shù)的圖象過點 ，且其反函數(shù)
的圖象過點，則 是( )
A
A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.奇函數(shù) D.偶函數(shù)
[解析] 因為函數(shù)的圖象過點，所以函數(shù)的圖象過點 ，又函
數(shù)的圖象過點，所以解得 即
.易知函數(shù) 為增函數(shù)，且為非奇非偶函數(shù).故選A.
（2）下列說法中正確的是( )
C
①偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)；
②若函數(shù)和其反函數(shù) 的圖象存在交點，則交點必定在直線
上；
③函數(shù)和其反函數(shù) 的圖象的交點可能有無數(shù)個；
④在定義域上單調(diào)遞增的函數(shù)必存在反函數(shù).
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
[解析] 因為函數(shù)， 是偶函數(shù)，且存在反函數(shù)，所以①錯誤；
因為函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，且點 為它們圖象的交點，
但不在直線上，所以②錯誤；
因為函數(shù) 的反函數(shù)就是其本身，兩函數(shù)圖象的交點有無數(shù)個，所以③正確；
根據(jù)反函數(shù)的定義，可知④正確.故選C.
［素養(yǎng)小結(jié)］
常用的互為反函數(shù)的函數(shù)間的關(guān)系及性質(zhì)有:
（1）一個函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱;
（2）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性一致;
（3）一個函數(shù)與其反函數(shù)的定義域、值域相反,對應(yīng)關(guān)系互逆等.
探究點三 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系
例3（1） 函數(shù) 的部分圖象是( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，，且 .令
且 ，則，
為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，排除A,C.
令， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，排除D.故選B.
（2）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱，則函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱知，
函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，所以 ,即
.
要使函數(shù)有意義，則 ,即,解得.
設(shè),則該函數(shù)在 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為函數(shù)
在定義域上為增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，所求函數(shù)的單調(diào)
遞減區(qū)間是 .故選D.
變式（1） 已知是， 的反函數(shù)，則函數(shù)
的最小值為___.
3
[解析] 易知在 上單調(diào)遞增，所以
， ，所以
的值域為,則的定義域為.
因為 在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以 在上單調(diào)遞增.因為，所以（1）,
所以 （1） .
（2）設(shè)方程的根為，方程的根為 ，則
的值為___.
[解析] 將方程整理得， 作出
，，， 的圖象，如圖所
示，是指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的交點
的橫坐標(biāo)，是對數(shù)函數(shù) 的圖象與直線
的交點的橫坐標(biāo).
由于函數(shù)與 互為反函數(shù)，所以它們的圖象關(guān)于直線對稱，
由題意可得，， 兩點也關(guān)于直線對稱，所以，兩點的坐標(biāo)分別為，
.而點， 都在直線上，所以（點坐標(biāo)代入）或
（ 點坐標(biāo)代入），故 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，二者的圖象關(guān)于直線 對稱，借
助圖象之間的關(guān)系及性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵.
1.若函數(shù)的圖象位于第一、二象限，則它的反函數(shù) 的圖象位
于( )
D
A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第二、三象限 D.第一、四象限
[解析] 結(jié)合函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱，可得其反函數(shù)的圖象位
于第一、四象限.
2.函數(shù) 的反函數(shù)的定義域為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域.因為,所以
,故的反函數(shù)的定義域為 .故選B.
3.[2023 河北滄州一中高一月考]已知函數(shù)，若 ，
則( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù),與 的圖象，如
圖所示.
因為與互為反函數(shù)，所以其圖象關(guān)于直線 對稱.
，在圖中作直線，則其與,, 的圖
象的交點的橫坐標(biāo)依次為,,，可得，又函數(shù) 是增函數(shù)，
所以 ，故選C.
4.[2024·云南師大附中高一期末] 若的反函數(shù)為 ，且
，則 的值為____.
16
[解析] 因為和且互為反函數(shù)，所以 的
反函數(shù)為，又 ，所以
，所以 .
5.若函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則 ___.
4
[解析] 因為函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以
的圖象經(jīng)過點，所以,解得 .
1.判斷一個函數(shù)是否存在反函數(shù)或求反函數(shù)時，均需明確原函數(shù)的值域.
2.若函數(shù)（定義域為，值域為）存在反函數(shù) ，則
（1）的圖象與 的圖象不一定有交點，若有交點，則交點不
一定在直線上，當(dāng)交點唯一時，則交點一定在直線 上.
（2）若，則，， .
（3）的圖象與的圖象關(guān)于直線 對稱.
[解析] 考慮函數(shù)與函數(shù) 的圖象的公共點，易知B，D兩項錯誤.
又和的圖象除了在直線 上存在一個公共點外，還存在
,和, 兩個公共點，故選C.
例 當(dāng)時，方程 的實數(shù)解( )
C
A.有且只有一個 B.可能沒有 C.可能有3個 D.一定有3個4.3　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
【課前預(yù)習(xí)】
知識點
1.(1)x　反函數(shù)
(2)①值域　定義域　②y=x　③增　減　④(y,x)
2.(1)互為反函數(shù)　(2)直線y=x
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)函數(shù)y=的反函數(shù)是y=lox(x>0).
(2)函數(shù)y=log3x的反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域,故y=log3x的反函數(shù)的值域為(0,+∞).
(3)互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,所以函數(shù)y=ex的圖象與y=ln x的圖象關(guān)于直線y=x對稱,函數(shù)y=lg x的圖象與y=10x的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
2.解:y=ax(a>0且a≠1)的定義域為R,值域為(0,+∞),y=logax(a>0且a≠1)的定義域為(0,+∞),值域為R,即它們的定義域和值域互換.
【課中探究】
例1　解:(1)由y=2x+3得x=y-,
所以函數(shù)y=2x+3的反函數(shù)是y=x-.
(2)y=lox的底數(shù)是,它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=.
(3)由y=-1得y+1=,故x=lo(y+1),對調(diào)其中的x和y得y=lo(x+1).因為y=-1的值域是(-1,+∞),所以它的反函數(shù)為y=lo(x+1)(x>-1).
(4)因為y=0.2x+1,所以y-1=0.2x,故x=log0.2(y-1),對調(diào)其中的x和y得y=log0.2(x-1).因為函數(shù)y=0.2x+1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2},所以y=log0.2(x-1)的定義域為{x|x≥1.2},即函數(shù)y=0.2x+1(x≤1)的反函數(shù)是y=log0.2(x-1)(x≥1.2).
變式　(1)A　(2)B　[解析] (1)因為f-1(x)是函數(shù)f(x)=10x的反函數(shù),所以f-1(x)=lg x,所以f-1(1)=lg 1=0.故選A.
(2)函數(shù)y=ex與函數(shù)y=ln x互為反函數(shù),故它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.故選B.
例2　(1)C　(2)A　(3)(1,-1)　[解析] (1)y=f-1(x)的定義域即為函數(shù)f(x)的值域,∵3x+1>1,∴l(xiāng)og2(3x+1)>0,故y=f-1(x)的定義域為(0,+∞).
(2)因為f(x)是增函數(shù),所以其反函數(shù)f-1(x)也是增函數(shù),所以f(3)>f(2),f-1(3)>f-1(2),即b>a.故選A.
(3)因為函數(shù)y=x2-f(x)的圖象過點(2,3),所以22-f(2)=3,解得f(2)=1,即y=f(x)的圖象過點(2,1),所以y=f-1(x)的圖象過點(1,2),y=-f-1(x)的圖象過點(1,-2),所以y=-f-1(x)的圖象過點(1,-1).
變式　(1)A　(2)C　[解析] (1)因為函數(shù)f-1(x)的圖象過點(1,7),所以函數(shù)f(x)的圖象過點(7,1),又函數(shù)f(x)=loga(x-k)的圖象過點(4,0),所以解得即f(x)=log4(x-3).易知函數(shù)f(x)為增函數(shù),且為非奇非偶函數(shù).故選A.
(2)因為函數(shù)y=1,x∈{0}是偶函數(shù),且存在反函數(shù),所以①錯誤;因為函數(shù)y=和函數(shù)y=x互為反函數(shù),且點為它們圖象的交點,但不在直線y=x上,所以②錯誤;因為函數(shù)y=的反函數(shù)就是其本身,兩函數(shù)圖象的交點有無數(shù)個,所以③正確;根據(jù)反函數(shù)的定義,可知④正確.故選C.
例3　(1)B　(2)D　[解析] (1)∵ex-e-x≠0,∴x≠-x,∴x∈R且x≠0.令G(x)=ln|ex-e-x|(x∈R且x≠0),則G(-x)=ln|e-x-ex|=ln|ex-e-x|=G(x),∴G(x)=ln|ex-e-x|為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,排除A,C.令H(x)=ex-e-x(x>0),∵函數(shù)H(x)=ex-在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴函數(shù)y=ln|ex-e-x|在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,排除D.故選B.
(2)由函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱知,函數(shù)f(x)是函數(shù)g(x)=ex的反函數(shù),所以f(x)=ln x,即f(4+3x-x2)=ln(4+3x-x2).要使函數(shù)有意義,則4+3x-x2>0,即x2-3x-4<0,解得-1變式　(1)3　(2)3　[解析] (1)易知f(x)=2x+x在[0,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(0)=20+0=1,f(x)max=f(2)=22+2=6,所以f(x)=2x+x的值域為[1,6],則y=f-1(x)的定義域為[1,6].因為f(x)=2x+x在[0,2]上單調(diào)遞增,所以y=f-1(x)在[1,6]上單調(diào)遞增,所以y=f(x)+f-1(x)在[1,2]上單調(diào)遞增.因為f(0)=1,所以f-1(1)=0,所以ymin=f(1)+f-1(1)=21+1+0=3.
(2) 將方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.作出y=2x,y=log2x,y=x,y=-x+3的圖象,如圖所示,a是指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象與直線y=-x+3的交點A的橫坐標(biāo),b是對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象與直線y=-x+3的交點B的橫坐標(biāo).由于函數(shù)y=2x與y=log2x互為反函數(shù),所以它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱,由題意可得,A,B兩點也關(guān)于直線y=x對稱,所以A,B兩點的坐標(biāo)分別為A(a,b),B(b,a).而點A,B都在直線y=-x+3上,所以b=-a+3(A點坐標(biāo)代入)或a=-b+3(B點坐標(biāo)代入),故a+b=3.
【課堂評價】
1.D　[解析] 結(jié)合函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,可得其反函數(shù)的圖象位于第一、四象限.
2.B　[解析] 反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域.因為03.C　[解析] 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x,y=x與y=log2x的圖象,如圖所示.因為y=2x與y=log2x互為反函數(shù),所以其圖象關(guān)于直線y=x對稱.2a=log2b=c>0,在圖中作直線y=c,則其與y=2x,y=x,y=log2x的圖象的交點的橫坐標(biāo)依次為a,c,b,可得a4.16　[解析] 因為y=ax和y=logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù),所以f(x)=的反函數(shù)為f-1(x)=lox,又f-1(a)+f-1(b)=-4,所以loa+lob=lo(ab)=-4,所以ab=16.
5.4　[解析] 因為函數(shù)f(x)=3-log2(x+a)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,0),所以f(x)的圖象經(jīng)過點(0,1),所以f(0)=3-log2a=1,解得a=4.4.3　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解反函數(shù)的概念,知道指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),弄清它們的圖象間的對稱關(guān)系;
2.能結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決一些綜合問題.
◆ 知識點　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
1.反函數(shù)
(1)反函數(shù)的定義
一般地,如果在函數(shù)y=f(x)中,給定值域中任意一個y的值,只有唯一的　　　　與之對應(yīng),那么x是y的函數(shù),這個函數(shù)稱為y=f(x)的　　　　　　,函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)記作y=f-1(x).
(2)反函數(shù)的性質(zhì)
①函數(shù)y=f(x)的定義域與y=f-1(x)的　　　　相同,函數(shù)y=f(x)的值域與y=f-1(x)的　　　　　相同.
②y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線　　　　　對稱.
③如果y=f(x)是增函數(shù),那么y=f-1(x)是　　　函數(shù);如果y=f(x)是減函數(shù),那么y=f-1(x)是　　　函數(shù).
④若函數(shù)y=f(x)的圖象上有一點(x,y),則點　　　　在其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上.
2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
(1)指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)　　　　　　　.
(2)指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于　　　　　　對稱.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=的反函數(shù)是y=logx. (　 )
(2)函數(shù)y=log3x的反函數(shù)的值域為R. (　 )
(3)函數(shù)y=ex的圖象與y=lg x的圖象關(guān)于直線y=x對稱. (　 )
2.函數(shù)y=ax與y=logax(a>0且a≠1)的定義域和值域有什么關(guān)系
◆ 探究點一　求簡單函數(shù)的反函數(shù)
例1 求下列函數(shù)的反函數(shù).
(1)y=2x+3;(2)y=lox;(3)y=-1;(4)y=0.2x+1(x≤1).
變式 (1)已知f-1(x)是函數(shù)f(x)=10x的反函數(shù),則f-1(1)的值為 (　 )
A.0 B.1 C.10 D.100
(2)函數(shù)y=ex與函數(shù)y=ln x的圖象關(guān)于 (　 )
A.x軸對稱 B.直線y=x對稱
C.原點對稱 D.y軸對稱
[素養(yǎng)小結(jié)]
求反函數(shù)的一般步驟:
(1)先確定原函數(shù)的值域,即反函數(shù)的定義域.
(2)對調(diào)原函數(shù)解析式中的x和y,解出y.
(3)寫出反函數(shù).
注意:求反函數(shù)時,若原函數(shù)y=f(x)的定義域有限制條件,則其反函數(shù)的定義域只能是根據(jù)原函數(shù)的值域來求.
◆ 探究點二　反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
例2 (1)函數(shù)f(x)=log2(3x+1)的反函數(shù)y=f-1(x)的定義域為 (　 )
A.(1,+∞) B.[0,+∞)
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
(2)已知函數(shù)f(x)是增函數(shù),它的反函數(shù)是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),則a,b的大小關(guān)系是 (　 )
A.aC.a>b D.無法確定
(3)[2023·遼寧沈陽實驗中學(xué)高一月考] 設(shè)函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)y=f-1(x),且函數(shù)y=x2-f(x)的圖象過點(2,3),則函數(shù)y=-f-1(x)的圖象一定過點　　　　.
變式 (1)已知函數(shù)f(x)=loga(x-k)的圖象過點(4,0),且其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象過點(1,7),則f(x)是(　 )
A.增函數(shù) B.減函數(shù)
C.奇函數(shù) D.偶函數(shù)
(2)下列說法中正確的是 (　 )
①偶函數(shù)一定不存在反函數(shù);
②若函數(shù)y=f(x)和其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象存在交點,則交點必定在直線y=x上;
③函數(shù)y=f(x)和其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象的交點可能有無數(shù)個;
④在定義域上單調(diào)遞增的函數(shù)必存在反函數(shù).
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
[素養(yǎng)小結(jié)]
常用的互為反函數(shù)的函數(shù)間的關(guān)系及性質(zhì)有:
(1)一個函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;
(2)一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性一致;
(3)一個函數(shù)與其反函數(shù)的定義域、值域相反,對應(yīng)關(guān)系互逆等.
◆ 探究點三　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系
例3 (1)函數(shù)y=ln|ex-e-x|的部分圖象是(　 )
A B C D
(2)函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則函數(shù)y=f(4+3x-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (　 )
A.
C.
變式 (1)已知y=f-1(x)是f(x)=2x+x,x∈[0,2]的反函數(shù),則函數(shù)y=f(x)+f-1(x)的最小值為　　　　.
(2)設(shè)方程2x+x-3=0的根為a,方程log2x+x-3=0的根為b,則a+b的值為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),二者的圖象關(guān)于直線y=x對稱,借助圖象之間的關(guān)系及性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵.
1.若函數(shù)y=f(x)的圖象位于第一、二象限,則它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象位于 (　 )
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第二、三象限 D.第一、四象限
2.函數(shù)y=3x(0A.(0,+∞) B.(1,9]
C.(0,1) D.[9,+∞)
3.[2023·河北滄州一中高一月考] 已知函數(shù)f(x)=3x+1,若2a=log2b=c,則 (　 )
A.f(a)B.f(b)C.f(a)D.f(c)4.[2024·云南師大附中高一期末] 若f(x)=的反函數(shù)為f-1(x),且f-1(a)+f-1(b)=-4,則ab的值為　　　　.
5.若函數(shù)f(x)=3-log2(x+a)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,0),則a=　　　　. 4.3　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
1.A　[解析] 由原函數(shù)與反函數(shù)間的關(guān)系知,反函數(shù)的值域為原函數(shù)的定義域.故選A.
2.D　[解析] 由f(x)=,x∈(0,+∞),得f-1(x)=,x∈(0,+∞).故選D.
3.C　[解析] 令=9,解得x=-2,∴f-1(9)=-2.
∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴函數(shù)y=f-1(x)也是奇函數(shù),則f-1(-9)=-f-1(9)=2,故選C.
4.D　[解析] f(x)=2lox=log2x,f(x)與g(x)=2x互為反函數(shù),所以它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.故選D.
5.C　[解析] ∵y=log2x的反函數(shù)為y=f-1(x)=2x,∴y=f-1(1-x)=21-x=2·2-x=2·,該函數(shù)為減函數(shù),故排除選項A,B,又此函數(shù)的圖象過點(0,2),∴排除選項D.故選C.
6.D　[解析] 設(shè)可得a=,故y=與其反函數(shù)y=x的圖象的公共點是N.經(jīng)檢驗P,Q,M均不符合題干的要求.故選D.
7.D　[解析] 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=ex,y=ln x的圖象及直線y=-x+2和直線y=x,如圖所示.
∵y=ex與y=ln x 互為反函數(shù),∴y=ex與y=ln x的圖象關(guān)于直線y=x對稱,易知直線y=-x+2 與y=x垂直,且交點坐標(biāo)為(1,1),則點(1,1)為A(x1,y1),B(x2,y2)的中點,∴x1+x2=2,故選D.
8.BC　[解析] ∵f(x)=ax(a>1),∴f-1(x)=logax,又實數(shù)t滿足f-1(t)<1-t∴l(xiāng)ogat<1-t1.
當(dāng)t≤0時,顯然不符合題意;
當(dāng)01,∴l(xiāng)ogat<1-t當(dāng)t=1時,logat=0,1-t=0,at=a,不符合題意;
當(dāng)t>1時,logat>0,1-t<0,at>a,不符合題意.故選BC.
9.BC　[解析] 因為函數(shù)f(x)=2-x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,所以g(x)=lox,則h(x)=g=lo=log2(x2+2),因為h(x)的定義域為R,且h(-x)=log2[(-x)2+2]=log2(x2+2)=h(x),所以函數(shù)y=h(x)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,所以A錯誤,B正確;函數(shù)y=x2+2在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得,函數(shù)y=h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(0)=1,所以C正確,D錯誤.故選BC.
10.(1,0)　[解析] 易知函數(shù)g(x)=(a+1)-x(a>-1且a≠0)的圖象過定點(0,1).因為函數(shù)f(x)是函數(shù)g(x)=(a+1)-x(a>-1且a≠0)的反函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象過定點(1,0).
11.12　[解析] 因為函數(shù)y=f(x)的圖象與y=lg x的圖象關(guān)于直線y=x對稱,所以函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=lg x互為反函數(shù),所以f(x)=10x,所以f(lg 3)·f(lg 4)=10lg 3×10lg 4=3×4=12.
12.4　[解析] 因為f(x)=2x-2+在[0,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)的值域為,所以f-1(x)在上單調(diào)遞增,因此y=f(x)+f-1(x)在上單調(diào)遞增,其最大值為f(2)+f-1(2)=2+2=4.
13.解:(1)∵y=f(x)=lg(x+1),∴當(dāng)x∈[1,9]時,y∈[lg 2,1],且x+1=10y,即x=10y-1,
互換x,y,得y=10x-1,
故f-1(x)=10x-1,x∈[lg 2,1].
(2)不等式0等價于1<<10且x+1>0,解得-故x的取值范圍為.
14.解:(1)因為f-1(1)=2,所以f(2)=loga2=1,所以a=2.
(2)g(x)=f·f=log2·log2=(log2x-1)(log2x-2),令t=log2x,因為x∈,所以t∈[-1,3],則y=t2-3t+2=-,t∈[-1,3],
所以當(dāng)t=,即x==2時,g(x)取得最小值-,
當(dāng)t=-1,即x=時,g(x)取得最大值6.
15.[6,+∞)　[解析] 由題得g(x)=ex,因為g[f(a)+f(b)]=f[g(a)g(b)]+3,所以eln a+ln b=ln(eaeb)+3,即eln(ab)=ln(ea+b)+3,即ab=a+b+3,且a>0,b>0,又ab=a+b+3≤,所以a+b≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時等號成立.
16.解:(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=,所以f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱.
又因為f(x)+f(-x)=+=+=0,
所以f(-x)=-f(x),即f(x)為奇函數(shù).
(2)因為y=f(x)==1-,
所以2x=(-1(3)因為f-1(x)>log2,即log2>log2,
所以解得
所以當(dāng)0一、選擇題
1.函數(shù)y=log3x的定義域為(0,+∞),則其反函數(shù)的值域是 (　 )
A.(0,+∞) B.R
C.(-∞,0) D.(0,1)
2.下列函數(shù)中,反函數(shù)是其自身的函數(shù)為(　 )
A.f(x)=x2,x∈[0,+∞)
B.f(x)=x3,x∈(-∞,+∞)
C.f(x)=ex,x∈(-∞,+∞)
D.f(x)=,x∈(0,+∞)
3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=,f-1(x)是f(x)的反函數(shù),那么f-1(-9)= (　 )
A.3 B.-3
C.2 D.-2
4.函數(shù)f(x)=2log4x與函數(shù)g(x)=2x的圖象(　 )
A.關(guān)于x軸對稱
B.關(guān)于y軸對稱
C.關(guān)于原點對稱
D.關(guān)于直線y=x對稱
5.已知y=log2x的反函數(shù)是y=f-1(x),則函數(shù)y=f-1(1-x)的圖象是圖中的(　 )
A B C D
6.在P(1,1),Q(1,2),M(2,3),N四點中,函數(shù)y=ax的圖象與其反函數(shù)的圖象的公共點只可能是點 (　 )
A.P B.Q C.M D.N
7.[2023·河北廊坊高一期末] 已知直線y=-x+2分別與函數(shù)y=ex和y=ln x的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2的值是(　 )
A.1 B.e2
C.ln 2 D.2
8.(多選題)已知函數(shù)f(x)=ax(a>1),其反函數(shù)為f-1(x),實數(shù)t滿足f-1(t)<1-tA.-1 B.
C. D.
9.(多選題)[2023·江蘇南京高一期末] 已知函數(shù)f(x)=2-x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,令h(x)=g,則下列說法正確的是 (　 )
A.函數(shù)y=h(x)的圖象關(guān)于原點對稱
B.函數(shù)y=h(x)的圖象關(guān)于y軸對稱
C.函數(shù)y=h(x)的最小值為1
D.函數(shù)y=h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減
二、填空題
10.[2023·安徽合肥六中高一月考] 已知函數(shù)f(x)是函數(shù)g(x)=(a+1)-x(a>-1且a≠0)的反函數(shù),則f(x)的圖象過定點　　　　.
11.已知函數(shù)y=f(x)的圖象與y=lg x的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則f(lg 3)·f(lg 4)=　　　　.
12.設(shè)f-1(x)為f(x)=2x-2+(x∈[0,2])的反函數(shù),則y=f(x)+f-1(x)的最大值為　　　　.
三、解答題
13.已知函數(shù)f(x)=lg(x+1).
(1)當(dāng)x∈[1,9]時,求函數(shù)f(x)的反函數(shù);
(2)若014.已知函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1),f-1(1)=2.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若g(x)=f·f,x∈,求g(x)的最小值、最大值及對應(yīng)的x的值.
15.[2024·河南開封高一期中] 已知函數(shù)f(x)=ln x,函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)互為反函數(shù),若g[f(a)+f(b)]=f[g(a)g(b)]+3,則a+b的取值范圍是　　　　.
16.已知函數(shù)f(x)=(a∈R),f(0)=0.
(1)求a的值,并判斷f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);
(3)對任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.

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