資源簡介

(共32張PPT)
4.4 冪函數(shù)
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.掌握冪函數(shù)的概念、圖象和性質;
2.熟悉,2,3,, 時的五類冪函數(shù)的圖象、性質及其特點;
3.能利用冪函數(shù)的圖象與性質解決綜合問題.
知識點一 冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)________稱為冪函數(shù)，其中 為常數(shù).
注意：冪函數(shù)的系數(shù)為1.
知識點二 冪函數(shù)的圖象與性質
1.冪函數(shù)的圖象
在同一平面直角坐標系中，冪函數(shù),,,, 的圖象如圖
所示.
2.冪函數(shù)的性質
（1）所有的冪函數(shù)在區(qū)間________上都有定義,因此在第一象限內都有圖象，
并且圖象都通過點______.
（2）如果,那么冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間 上是______
__.當時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上的增長情況是__________；
當時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上的增長情況是__________.
增函數(shù)
先快后慢
先慢后快
（3）如果,那么冪函數(shù)在區(qū)間 上是________,且在第一象限內：當
從右邊趨向于原點時,圖象在軸右方且無限地逼近___軸；當 無限增大時,圖象
在 軸上方且無限逼近___軸.
減函數(shù)
3.冪函數(shù)之間的關系
當時，若，則 ；
當時，若，則 .
【診斷分析】
1.當時，若函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方，則與 的大
小關系是______________________.
或
2.冪函數(shù)的圖象能經(jīng)過第四象限嗎？為什么？
解:冪函數(shù)的圖象不能經(jīng)過第四象限，因為當時，（其中 ）.
探究點一 冪函數(shù)的概念
例1（1） 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則 ( )
A
A.3 B. C.9 D.
[解析] 設 ，因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以 ，解得
，所以 ，所以 ，故選A.
（2）（多選題）[2024·哈爾濱高一期末]下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是( )
BCD
A. B. C. D.
[解析] 根據(jù)冪函數(shù)的定義知B，C，D中的函數(shù)均是冪函數(shù)，A中的函數(shù)
為指數(shù)函數(shù)，故選 .
（3）已知函數(shù)，則當分別為何值時， 是：
①正比例函數(shù)；②反比例函數(shù)；③二次函數(shù)；④冪函數(shù)？
解：①若為正比例函數(shù)，則解得 .
②若為反比例函數(shù)，則解得 .
③若為二次函數(shù)，則解得 .
④若為冪函數(shù)，則，所以 .
變式（1） [2024·四川宜賓高一期末] 已知冪函數(shù)
為偶函數(shù)，則實數(shù) 的值為___.
1
[解析] 因為為冪函數(shù)，所以 ，解
得或，又為偶函數(shù)，所以 .
（2）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則 _____.
[解析] 設冪函數(shù) ，因為的圖象經(jīng)過點，所以 ，
解得，則
［素養(yǎng)小結］
判斷函數(shù)是冪函數(shù)的依據(jù)：
（1）指數(shù)為常數(shù);（2）底數(shù)為自變量;（3）系數(shù)為1.
探究點二 冪函數(shù)的圖象
例2（1） 如圖所示，，，為冪函數(shù) 在第一
象限內的圖象，則解析式中的指數(shù) 依次可以取( )
C
A.，， B.，， C.，， D.，，
[解析] 由冪函數(shù)的圖象特征可知，C選項正確.
（2）下列關于函數(shù) 與 的圖象正確的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函數(shù) 是冪函數(shù)，而 是一次函數(shù).
選項A中，直線對應的函數(shù)為，曲線對應的函數(shù)為；
選項B中，直線對應的函數(shù)為 ，曲線對應的函數(shù)為；
選項C中，直線對應的函數(shù)為 ，曲線對應的函數(shù)為；
選項D中，直線對應的函數(shù)為，曲線對應的函數(shù)為 .故選項C正確.
變式（1） [2024·北京海淀區(qū)高一期末]在同一直角坐標系中，函數(shù)
,, 的部分圖象可能是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函數(shù),的單調性一定相反，且, 的圖象均
不過原點，故排除A，D；
在B，C選項中，過原點的圖象為冪函數(shù) 的圖象，由的圖象可
知，所以單調遞減， 單調遞增，故排除B.故選C.
（2）已知冪函數(shù)的圖象關于 軸對稱，如圖
所示，則( )
D
A.為奇數(shù)，且 B.為奇數(shù)，且
C.為偶數(shù)，且 D.為偶數(shù)，且
[解析] 因為函數(shù)的圖象關于 軸對稱，所以函數(shù)
為偶函數(shù)，即為偶數(shù)，又函數(shù)的定義域為 ，且在
上單調遞減，所以，即 .故選D.
［素養(yǎng)小結］
解決冪函數(shù)的圖象問題需把握兩個原則:
（1）依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)的大小，相關結論為：在 上，指數(shù)越大，冪
函數(shù)的圖象越靠近軸（簡記為“指大圖低”）；在 上，指數(shù)越大，冪函
數(shù)圖象越遠離 軸（簡記為“指大圖高”）.
（2）由圖象確定冪指數(shù) 與0，1的大小關系，需根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內的圖
象來判斷.
探究點三 冪函數(shù)的性質
例3（1） 設，，，則，， 的大小關系是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因為為增函數(shù)，所以.又, ,
所以,所以 .
（2）（多選題）[2023·山東青島高一期末] 下列關于冪函數(shù)（ 為常數(shù)）
的性質說法不正確的有 ( )
AB
A.當 時，函數(shù)在其定義域上為減函數(shù)
B.當 時，函數(shù)不是冪函數(shù)
C.當 時，函數(shù)是偶函數(shù)
D.當時，函數(shù)圖象與 軸有且只有一個交點
[解析] 對于A，在, 上單調遞減，但在定義域上不單調，
故A中說法不正確；
對于B，根據(jù)冪函數(shù)的定義知 是冪函數(shù)，故B中說法不正確；
對于C，是偶函數(shù)，故C中說法正確；
對于D， 單調遞增，當且僅當時，故函數(shù)的圖象與 軸
有且只有一個交點，故D中說法正確.故選 .
變式（1） 下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)且其圖象關于 軸對稱的是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 對于A，設，該函數(shù)的定義域為 ，因為
，所以函數(shù) 為偶函數(shù)，函數(shù)
在上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù)，故A不符合題意；
對于B，設，該函數(shù)的定義域為，則函數(shù) 為非奇非
偶函數(shù)，故B不符合題意；
對于C，設 ，該函數(shù)的定義域為，因為
，所以函數(shù) 為偶函數(shù)，函數(shù)在上為減
函數(shù)，在 上為增函數(shù)，故C符合題意；
對于D，設，函數(shù)的定義域為，則函數(shù) 為非奇非
偶函數(shù)，故D不符合題意.故選C.
（2）[2023·吉林白山高一期末]已知冪函數(shù)在 上
是減函數(shù)，則 的解集為( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 是冪函數(shù)，，解得 或
，又在上是減函數(shù)，.不等式 等價于
，解得，的解集為 .故選A.
［素養(yǎng)小結］
（1）冪函數(shù) 的單調性：如果，那么冪函數(shù)在 上為增函
數(shù);如果，那么冪函數(shù)在 上為減函數(shù).
（2）利用冪函數(shù)的單調性比較大小時要注意的問題：比較大小的兩個實數(shù)必須
在同一函數(shù)的同一單調區(qū)間內.
1.在函數(shù)，，， 中冪函數(shù)的個數(shù)是( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 只有和 是冪函數(shù)，故選C.
2.已知冪函數(shù)的圖象過點 ，則下列說法正確的是( )
C
A.是偶函數(shù)，其單調遞增區(qū)間為
B.是偶函數(shù)，其單調遞減區(qū)間為
C.是偶函數(shù)，其單調遞增區(qū)間為
D.是奇函數(shù)，其單調遞增區(qū)間為
[解析] 設 ，則，解得，所以 ，其定義域為
.因為，所以 為偶函數(shù)，顯然其單調
遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為 .故選C.
3.函數(shù) 的大致圖象是( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，由，得，即函數(shù)的定義域為 ，且在
定義域上單調遞增，故B正確.
4.（多選題）[2023· 云南昆明十四中高一月考]下列說法正確的是( )
AB
A.若冪函數(shù)的圖象過點，則
B.函數(shù) 表示冪函數(shù)
C.函數(shù)在 上單調遞增
D.冪函數(shù)的圖象都過點,
[解析] 設 ，則，解得，所以 ，故A正確；
是冪函數(shù)，故B正確；
因為，所以函數(shù) 在上單調遞減，故C錯誤；
冪函數(shù)的圖象不過點 ，故D錯誤.故選 .
5.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍是
_________.
[解析] 因為函數(shù)是 上的減函數(shù)，所以
解得，所以實數(shù)的取值范圍是 .
性質法
利用冪函數(shù)的性質求參數(shù),主要是利用冪函數(shù) 的單調性和奇偶性確定 的
取值,利用單調性求參數(shù)時，注意自變量在單調區(qū)間中的位置，需要進行分類討論.
解:因為函數(shù)在 上單調遞減,所以,解得 .
又 ,所以或 .
因為函數(shù)的圖象關于 軸對稱,
所以為偶數(shù),故, 所以原不等式為 .
又因為函數(shù)在,上均單調遞減, 所以 或
或,解得或, 即 的取值范
圍為, .
例 已知冪函數(shù)的圖象關于軸對稱,且冪函數(shù) 在
上單調遞減,求滿足的 的取值范圍.4.4　冪函數(shù)
【課前預習】
知識點一
y=xα
知識點二
2.(1)(0,+∞)　(1,1)　(2)增函數(shù)　先快后慢　先慢后快　(3)減函數(shù)　y　x
診斷分析
1.m>n>0或n2.解:冪函數(shù)的圖象不能經(jīng)過第四象限,因為當x>0時,xα>0(其中α∈R).
【課中探究】
例1　(1)A　(2)BCD　[解析] (1)設f(x)=xα,因為函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,),所以4α=,解得α=,所以f(x)= ,所以f(81)==3,故選A.
(2)根據(jù)冪函數(shù)的定義知B,C,D中的函數(shù)均是冪函數(shù),A中的函數(shù)y=ex為指數(shù)函數(shù),故選BCD.
(3)解:①若f(x)為正比例函數(shù),則解得m=1.
②若f(x)為反比例函數(shù),則解得m=-1.
③若f(x)為二次函數(shù),則解得m=.
④若f(x)為冪函數(shù),則m2+2m=1,所以m=-1±.
變式　(1)1　(2)-8　[解析] (1)因為f(x)=(m2-3m+3)xm+1為冪函數(shù),所以m2-3m+3=1,解得m=2或m=1,又f(x)為偶函數(shù),所以m=1.
(2)設冪函數(shù)f(x)=xα,因為f(x)的圖象經(jīng)過點(2,8),所以f(2)=2α=8,解得α=3,則f(lo4)=f(-2)=(-2)3=-8.
例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)由冪函數(shù)的圖象特征可知,C選項正確.
(2)函數(shù)y=xα是冪函數(shù),而y=αx是一次函數(shù).選項A中,直線對應的函數(shù)為y=x,曲線對應的函數(shù)為y=x-1;選項B中,直線對應的函數(shù)為y=2x,曲線對應的函數(shù)為y=;選項C中,直線對應的函數(shù)為y=2x,曲線對應的函數(shù)為y=x2;選項D中,直線對應的函數(shù)為y=-x,曲線對應的函數(shù)為y=x3.故選項C正確.
變式　(1)C　(2)D　[解析] (1)函數(shù)f(x)=logax,g(x)=a-x的單調性一定相反,且f(x),g(x)的圖象均不過原點,故排除A,D;在B,C選項中,過原點的圖象為冪函數(shù)h(x)=xa的圖象,由h(x)的圖象可知0(2)因為函數(shù)y=的圖象關于y軸對稱,所以函數(shù)y=為偶函數(shù),即p為偶數(shù),又函數(shù)y=的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上單調遞減,所以<0,即p<0.故選D.
例3　(1)A　(2)AB　[解析] (1)因為y=(x>0)為增函數(shù),所以a>c.又<=1,=>1,所以b>a,所以b>a>c.
(2)對于A,y=x-1在(-∞,0),(0,+∞)上單調遞減,但在定義域上不單調,故A中說法不正確;對于B,根據(jù)冪函數(shù)的定義知y=x0是冪函數(shù),故B中說法不正確;對于C,y=x2是偶函數(shù),故C中說法正確;對于D,y=x3單調遞增,當且僅當x=0時y=0,故函數(shù)y=x3的圖象與x軸有且只有一個交點,故D中說法正確.故選AB.
變式　(1)C　(2)A　[解析] (1)對于A,設f1(x)==,該函數(shù)的定義域為R,因為f1(-x)===f1(x),所以函數(shù)f1(x)=為偶函數(shù),函數(shù)f1(x)=在(0,+∞)上為增函數(shù),在(-∞,0)上為減函數(shù),故A不符合題意;對于B,設f2(x)==,該函數(shù)的定義域為[0,+∞),則函數(shù)f2(x)為非奇非偶函數(shù),故B不符合題意;對于C,設f3(x)=x-2=,該函數(shù)的定義域為{x|x≠0},因為f3(-x)===f3(x),所以函數(shù)f3(x)為偶函數(shù),函數(shù)f3(x)=x-2在(0,+∞)上為減函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù),故C符合題意;對于D,設f4(x)==,函數(shù)f4(x)的定義域為(0,+∞),則函數(shù)f4(x)為非奇非偶函數(shù),故D不符合題意.故選C.
(2)∵f(x)=(m2+m-1)xm是冪函數(shù),∴m2+m-1=1,解得m=1或m=-2,又f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),∴m=-2.不等式|-2x+1|<1等價于-1<-2x+1<1,解得0【課堂評價】
1.C　[解析] 只有y=和y=x0是冪函數(shù),故選C.
2.C　[解析] 設f(x)=xα,則2α=,解得α=-2,所以f(x)=x-2,其定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).因為f(-x)=x-2=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),顯然其單調遞增區(qū)間為(-∞,0),單調遞減區(qū)間為(0,+∞).故選C.
3.B　[解析] y==,由x3≥0,得x≥0,即函數(shù)的定義域為[0,+∞),且在定義域上單調遞增,故B正確.
4.AB　[解析] 設f(x)=xα,則=,解得α=-4,所以f(x)=x-4,故A正確;y==是冪函數(shù),故B正確;因為-<0,所以函數(shù)y=在(0,+∞)上單調遞減,故C錯誤;冪函數(shù)y=x-1的圖象不過點(0,0),故D錯誤.故選AB.
5.[-7,-2)　[解析] 因為函數(shù)f(x)=是R上的減函數(shù),所以解得-7≤a<-2,所以實數(shù)a的取值范圍是[-7,-2).4.4　冪函數(shù)
【學習目標】
1.掌握冪函數(shù)的概念、圖象和性質;
2.熟悉α=1,2,3,,-1時的五類冪函數(shù)的圖象、性質及其特點;
3.能利用冪函數(shù)的圖象與性質解決綜合問題.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 知識點一　冪函數(shù)的概念
一般地,函數(shù)　　　　稱為冪函數(shù),其中α為常數(shù).
注意:冪函數(shù)的系數(shù)為1.
◆ 知識點二　冪函數(shù)的圖象與性質
1.冪函數(shù)的圖象
在同一平面直角坐標系中,冪函數(shù)y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的圖象如圖所示.
2.冪函數(shù)的性質
(1)所有的冪函數(shù)在區(qū)間　　　　上都有定義,因此在第一象限內都有圖象,并且圖象都通過點　　　　.
(2)如果α>0,那么冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間[0,+∞)上是　　　　　.當0<α<1時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,+∞)上的增長情況是　　　　　　;當α>1時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間[0,+∞)上的增長情況是　　　　　　.
(3)如果α<0,那么冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是　　　　　,且在第一象限內:當x從右邊趨向于原點時,圖象在y軸右方且無限地逼近　　　　軸;當x無限增大時,圖象在x軸上方且無限逼近　　　　軸.
3.冪函數(shù)之間的關系
當x>1時,若α1<α2,則<;
當0.
【診斷分析】 1.當x>1時,若函數(shù)y=xm的圖象在函數(shù)y=xn的圖象的上方,則m與n的大小關系是　　　　　　　　　　　　.
2.冪函數(shù)的圖象能經(jīng)過第四象限嗎 為什么
◆ 探究點一　冪函數(shù)的概念
例1 (1)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,),則f(81)= (　 )
A.3 B.3
C.9 D.9
(2)(多選題)[2024·哈爾濱高一期末] 下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是 (　 )
A.y=ex B.y=x3
C.y= D.y=
(3)已知函數(shù)f(x)=(m2+2m)·,則當m分別為何值時,f(x)是:①正比例函數(shù);②反比例函數(shù);③二次函數(shù);④冪函數(shù)
變式 (1)[2024·四川宜賓高一期末] 已知冪函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)xm+1為偶函數(shù),則實數(shù)m的值為　　　　.
(2)若冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(2,8),則f(lo4)=　　　　.
[素養(yǎng)小結]
判斷函數(shù)是冪函數(shù)的依據(jù):
(1)指數(shù)為常數(shù);(2)底數(shù)為自變量;(3)系數(shù)為1.
◆ 探究點二　冪函數(shù)的圖象
例2 (1)如圖所示,C1,C2,C3為冪函數(shù)y=xα在第一象限內的圖象,則解析式中的指數(shù)α依次可以取 (　 )
A.,-2, B.-2,,
C.-2,, D.,,-2
(2)下列關于函數(shù)y=xα與y=αx的圖象正確的是 (　 )
A B C D
變式 (1)[2024·北京海淀區(qū)高一期末] 在同一直角坐標系中,函數(shù)f(x)=logax,g(x)=a-x,h(x)=xa的部分圖象可能是 (　 )
A　　B
C　　D
(2)已知冪函數(shù)y=(p∈Z)的圖象關于y軸對稱,如圖所示,則(　 )
A.p為奇數(shù),且p>0
B.p為奇數(shù),且p<0
C.p為偶數(shù),且p>0
D.p為偶數(shù),且p<0
[素養(yǎng)小結]
解決冪函數(shù)的圖象問題需把握兩個原則:
(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)的大小,相關結論為:在(0,1)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);在(1,+∞)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).
(2)由圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關系,需根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內的圖象來判斷.
◆ 探究點三　冪函數(shù)的性質
例3 (1)設a=,b=,c=,則a,b,c的大小關系是 (　 )
A.b>a>c B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
(2)(多選題)[2023·山東青島高一期末] 下列關于冪函數(shù)y=xa(a為常數(shù))的性質說法不正確的有　 (　 )
A.當a=-1時,函數(shù)在其定義域上為減函數(shù)
B.當a=0時,函數(shù)不是冪函數(shù)
C.當a=2時,函數(shù)是偶函數(shù)
D.當a=3時,函數(shù)圖象與x軸有且只有一個交點
變式 (1)下列函數(shù)中,在區(qū)間(-∞,0)上是增函數(shù)且其圖象關于y軸對稱的是 (　 )
A.y= B.y=
C.y=x-2 D.y=
(2)[2023·吉林白山高一期末] 已知冪函數(shù)f(x)=(m2+m-1)xm在(0,+∞)上是減函數(shù),則|mx+1|<1的解集為 (　 )
A.(0,1)
B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-2,0)
D.(0,2)
[素養(yǎng)小結]
(1)冪函數(shù)f(x)=xα的單調性:如果α>0,那么冪函數(shù)在(0,+∞)上為增函數(shù);如果α<0,那么冪函數(shù)在(0,+∞)上為減函數(shù).
(2)利用冪函數(shù)的單調性比較大小時要注意的問題:比較大小的兩個實數(shù)必須在同一函數(shù)的同一單調區(qū)間內.
1.在函數(shù)y=,y=2x3,y=-1,y=x0中冪函數(shù)的個數(shù)是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點,則下列說法正確的是 (　 )
A.f(x)是偶函數(shù),其單調遞增區(qū)間為(0,+∞)
B.f(x)是偶函數(shù),其單調遞減區(qū)間為[0,+∞)
C.f(x)是偶函數(shù),其單調遞增區(qū)間為(-∞,0)
D.f(x)是奇函數(shù),其單調遞增區(qū)間為(-∞,+∞)
3.函數(shù)y=的大致圖象是(　 )
A B C D
4.(多選題)[2023·云南昆明十四中高一月考] 下列說法正確的是 (　 )
A.若冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點,則f(x)=x-4
B.函數(shù)y=表示冪函數(shù)
C.函數(shù)y=在(0,+∞)上單調遞增
D.冪函數(shù)的圖象都過點(0,0),(1,1)
5.已知函數(shù)f(x)=是R上的減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是　　　　. 4.4　冪函數(shù)
1.D　[解析] 由冪函數(shù)的定義知,冪函數(shù)滿足三個條件:①系數(shù)為1;②底數(shù)為自變量;③指數(shù)為常數(shù).故選D.
2.C　[解析] 因為函數(shù)f(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù),03.C　[解析] 對于A,y=2x在(0,+∞)上單調遞增,在(0,+∞)上的取值范圍為(1,+∞),故A錯誤;
對于B,y=-在(0,+∞)上單調遞增,在(0,+∞)上的取值范圍為(-∞,0),故B錯誤;
對于C,y=在(0,+∞)上單調遞增,在(0,+∞)上的取值范圍為(0,+∞),故C正確;
對于D,y=log2x在(0,+∞)上單調遞增,在(0,+∞)上的取值范圍為R,故D錯誤.故選C.
4.D　[解析] 因為冪函數(shù)f(x)=(k2-2k-14)xk在(0,+∞)上單調遞增,所以k2-2k-14=1且k>0,所以k=5.故選D.
5.B　[解析] 結合冪函數(shù)的性質可知,在第一象限內,直線x=1的右側部分的圖象由下至上冪指數(shù)增大,所以a>1>b>0>c>d,故選B.
6.D　[解析] 函數(shù)y=ax-2+3中,令x-2=0,解得x=2,此時y=1+3=4,所以定點P(2,4).設冪函數(shù)f(x)=xα,則2α=4,解得α=2,所以f(x)=x2,所以f(3)=32=9,所以log3f(3)=log39=2.
7.C　[解析] 由y=(x>0)單調遞增,得c=0)單調遞增,b15=()15=46=(43)2=642,c15=()15=310==2432,可得b8.BCD　[解析] 設冪函數(shù)f(x)=xa,函數(shù)f(x)的圖象過點(2,8),即f(2)=2a=8,解得a=3,即f(x)=x3.
對于A,函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(-x)=-x3=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),故A錯誤;
對于B,易知函數(shù)f(x)是增函數(shù),故B正確;
對于C,由f(x)=x3>-8,解得x>-2,故C正確;
對于D,f===2,故D正確.故選BCD.
9.ABD　[解析] 由題意知1-|x|≠0,則x≠±1,當x∈(0,1)時,1-|x|>0,xα>0,f(x)>0,
當x∈(1,+∞)時,1-|x|<0,xα>0,f(x)<0,
所以f(x)的大致圖象不可能為C選項中的圖象.
當α=時,f(x)的定義域為[0,1)∪(1,+∞),此時A選項符合要求.
當α=1時,f(x)的定義域為{x|x≠±1},且f(-x)===-f(x),故函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),此時B選項符合要求.
當α=2時,f(x)的定義域為{x|x≠±1},且f(-x)===f(x),故函數(shù)f(x)=為偶函數(shù),此時D選項符合要求.故選ABD.
10.　[解析] 設f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)=xα,
由題得=2,=2,解得a=4,α=-1,
所以f(x)=4x,g(x)=x-1.由=4,x2-1=4,解得x1=1,x2=,所以x1x2=.
11.(2,6)　[解析] ∵冪函數(shù)f(x)=x2m+1的圖象過點(3,27),∴32m+1=33,∴m=1,冪函數(shù)f(x)=x3,顯然f(x)是奇函數(shù),且在R上單調遞增.若f(k2+3)+f(9-8k)<0,則 f(k2+3)12.[0,2]　[解析] y==.
由-x2+4x≥0,解得0≤x≤4,
令u=-x2+4x=-(x-2)2+4,易知u=-x2+4x在[0,2]上單調遞增,在[2,4]上單調遞減,
又y=在定義域上單調遞增,
所以函數(shù)y=的單調遞增區(qū)間是[0,2].
13.解:(1)設冪函數(shù)f(x)=xα(α為常數(shù)),
由題意得f(2)=2α=,即α=-3,
故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x-3.
(2)∵f(x)=x-3=,∴要使函數(shù)有意義,則x≠0,
即f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關于原點對稱.
∵f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),∴該冪函數(shù)為奇函數(shù).
當x>0時,根據(jù)冪函數(shù)的性質可知f(x)=x-3在(0,+∞)上為減函數(shù),
∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),∴f(x)在(-∞,0)上也為減函數(shù),
故f(x)的單調遞減區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),無單調遞增區(qū)間.
14.解:(1)依題意得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.
當m=2時,f(x)=x-2在(0,+∞)上單調遞減,與題設矛盾,舍去.
當m=0時,f(x)=x2在(0,+∞)上單調遞增,故m=0.
(2)由(1)得f(x)=x2,
當x∈[1,2)時,f(x)∈[1,4),即A=[1,4).
當x∈[1,2)時,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k).
∵p是q的必要條件,∴B A,∴∴0≤k≤1,
故實數(shù)k的取值范圍是[0,1].
15.C　[解析] 令(m-1)2=1,解得m=2或m=0.
當m=2時,f(x)=x-4,函數(shù)f(x)=x-4在(0,+∞)上單調遞減,滿足要求;
當m=0時,f(x)=x2,函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)上單調遞增,不滿足要求,
故f(x)=x-4,其定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),
且f(-x)=(-x)-4=x-4=f(x),
故f(x)=x-4為偶函數(shù).
a=0.812∈(0.5,1),b=lo1.41∈=,c=20.31>20=1,|b|∈,其中f(b)=f(|b|).由于0<|b|f(a)>f(c),即f(c)16.解:易知|x|≠0.
∵方程|x|(x-a)=1在(-2,+∞)上有三個相異實根,∴函數(shù)f(x)=x-a與g(x)=的圖象在(-2,+∞)上有三個不同交點.如圖,在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象.由圖可知,要使兩函數(shù)的圖象在(-2,+∞)上有三個不同的交點,則在(-2,0)上,函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個不同的交點,在(0,+∞)上,函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有一個交點.
∵g(x)=∴由整理得x2-ax+1=0,
∴即又易知a<0,∴-故實數(shù)a的取值范圍為4.4　冪函數(shù)
一、選擇題
1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是 (　 )
A.y=xx B.y=3
C.y=+1 D.y=
2.已知f(x)=,若0A.f(a)B.fC.f(a)D.f3.下列函數(shù)中,在(0,+∞)上單調遞增且在(0,+∞)上的取值范圍為(0,+∞)的是 (　 )
A.y=2x B.y=-
C.y= D.y=log2x
4.[2024·山東威海高一期末] 已知冪函數(shù)f(x)=(k2-2k-14)xk在(0,+∞)上單調遞增,則k= (　 )
A.-3 B.3 C.-5 D.5
5.若四個冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐標系中的部分圖象如圖所示,則a,b,c,d的大小關系正確的是 (　 )
A.a>b>1 B.a>1>b
C.0>b>c D.0>d>c
6.已知函數(shù)y=ax-2+3(a>0且a≠1)的圖象過定點P,點P在冪函數(shù)y=f(x)的圖象上,則log3f(3)= (　 )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7.[2023·西南大學附中高一月考] 已知a=,b=,c=,則 (　 )
A.aC.b8.(多選題)[2024·福建漳州高一期末] 已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(2,8),則下列說法正確的是 (　 )
A.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
B.函數(shù)f(x)是增函數(shù)
C.f(x)>-8的解集為(-2,+∞)
D.f=2
★9.(多選題)函數(shù)f(x)=(α∈R)的大致圖象可能是(　 )
A B
C D
二、填空題
10.[2024·廣東廣州高一期末] 已知指數(shù)函數(shù)y=f(x)和冪函數(shù)y=g(x)的圖象都過點P,若f(x1)=g(x2)=4,則x1x2=　　　　.
11.已知冪函數(shù)f(x)=x2m+1的圖象過點(3,27),若f(k2+3)+f(9-8k)<0,則實數(shù)k的取值范圍是　　　　.
12.[2023·臺州黃巖中學高一期末] 函數(shù)y=(-x2+4x的單調遞增區(qū)間是　　　　.
三、解答題
13.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點.
(1)試求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并寫出函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.
14.[2023·山東日照實驗高級中學高一月考] 已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2在(0,+∞)上單調遞增,函數(shù)g(x)=2x-k.
(1)求m的值;
(2)當x∈[1,2)時,記f(x),g(x)的值域分別為集合A,B,設p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要條件,求實數(shù)k的取值范圍.
15.[2024·江蘇常州高一期末] 已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2(m∈R)在(0,+∞)上單調遞減,設a=0.812,b=lo1.41,c=20.31,則f(a),f(b),f(c)的大小關系為 (　 )
A.f(a)B.f(c)C.f(c)D.f(b)16.已知關于x的方程|x|(x-a)=1在(-2,+∞)上有三個相異實根,求實數(shù)a的取值范圍.

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