資源簡介

(共33張PPT)
4.6 函數的應用（二）
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.了解冪函數、指數函數、對數函數的廣泛應用；
2.通過對數據的合理分析,能自己建立函數模型,解決實際問題.
知識點一 應用函數模型解決實際問題的步驟
用函數模型解應用題的四個步驟
（1）審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型；
（2）建模——將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用
數學知識建立相應的數學模型；
（3）求模——求解數學模型，得出數學結論；
（4）還原——將數學結論還原為實際問題的結論.
知識點二 幾類常見的函數模型
名稱 解析式 條件
指數函數模型 ,,為常數，且,
對數函數模型 ,,為常數，且,
冪函數模型 ,,為常數，,
探究點一 指數函數模型
例1 牛奶保鮮時間因儲藏時溫度的不同而不同，假定保鮮時間（單位： ）
與儲藏溫度（單位：）間的關系為指數型函數， 且
，且牛奶放在的冰箱中，保鮮時間是，而放在 的廚房中，
保鮮時間是 .
（1）寫出保鮮時間（單位：）關于儲藏溫度（單位： ）的函數解析式；
解：由題意知
.
（2）利用（1）中結論，求出儲藏溫度為和 時的保鮮時間
（精確到 ）.
（參考數據： ）
解：當時， ；
當時， .
故儲藏溫度為和時的保鮮時間分別約為和 .
變式 [2024·北京房山區高一期末] 保護環境功在當代，利在千秋，良好的生
態環境既是自然財富，也是經濟財富，關系社會發展的潛力和后勁.某工廠將生
產產生的廢氣經過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留量 （單位：毫
克/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數關系為 ，其
中為常數，， 為原污染物的量.該工廠某次過濾廢氣時，若前9個小時
廢氣中的污染物恰好被過濾掉 ，則再繼續過濾3個小時廢氣中污染物的殘留
量約為原污染物的（參考數據： ）( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因為前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，所以 ，
即,所以 .再繼續過濾3個小時，廢氣中污染物的殘留量約為
.故選A.
［素養小結］
確定指數函數模型的關鍵是確定底數,從而確定指數函數關系式.
探究點二 對數函數模型
例2 2020年12月17日凌晨，經過23天的月球采樣旅行，嫦娥五號返回器攜帶月
球樣品成功著陸預定區域，我國首次對外天體無人采樣返回任務取得圓滿成功，
成為時隔40多年來首個完成落月采樣并返回地球的國家，標志著我國探月工程
“繞、落、回”圓滿收官.近年來，得益于我國先進的運載火箭技術，我國在航天
領域取得了巨大成就.據了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態下，可
以用公式計算火箭的最大速度,其中 是噴流相對速
度，是火箭（除推進劑外）的質量， 是推進劑與火箭質量的總
和，稱為總質比，已知型火箭的噴流相對速度為 .
解：當總質比為200時， ,
由參考數據得 ,
故當總質比為200時，型火箭的最大速度約為 .
（1）當總質比為200時，利用給出的參考數據求 型火箭的最大速度；
（2）經過材料更新和技術改進后，型火箭的噴流相對速度提高到了原來的 倍，
總質比變為原來的，若要使火箭的最大速度至少增加 ,求在材料更新和
技術改進前總質比的最小整數值.
參考數據：, .
解：由題意，經過材料更新和技術改進后， 型火箭的噴流相對速度為
,總質比變為,要使火箭的最大速度至少增加 ,則需
,化簡得 ,即
,
整理得,所以,則,由參考數據，知 ,
所以 ,
故材料更新和技術改進前總質比的最小整數值為74.
變式 某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過8萬元
時，按銷售利潤的進行獎勵；當銷售利潤超過8萬元時，若超出 萬元，則
超出部分按 進行獎勵，不超過8萬元的部分仍按原方案獎勵.記獎金
為（單位：萬元），銷售利潤為 （單位：萬元）.
（1）寫出獎金關于銷售利潤 的函數關系式；
解:由題意，當時， ；
當時，.故獎金關于銷售利潤 的函數關系式為
（2）如果業務員小江獲得3.2萬元的獎金，那么他創造的銷售利潤是多少萬元？
解:由題意得，解得 ，
故小江創造的銷售利潤是20萬元.
［素養小結］
（1）解決應用題的基礎是讀懂題意，理順數量關系，關鍵是正確建模，充分注
意數學模型中元素的實際意義.
（2）對數函數模型的一般表達式為：，， 為常數，
，， .
探究點三 建立擬合函數模型解決實際問題
例3 為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，聊城市環保部門近年來利用
水生植物（例如浮萍、蒲草、蘆葦等）對國家級濕地公園——東昌湖進行進一
步凈化和綠化.為了保持水生植物面積和開闊水面面積的合理比例，對水生植物
的生長進行了科學管控，并于2020年對東昌湖內某一水域浮萍的生長情況進行
了調查，測得該水域2月底浮萍覆蓋面積為，4月底浮萍覆蓋面積為 ，
8月底浮萍覆蓋面積為.浮萍覆蓋面積（單位：）與月份
年1月底記為，2021年1月底記為 的關系有兩個函數模型
與 可供選擇.
解：選擇數據和 ，
由解得則 ，
當時， ，與實際情況相符;
由解得則 ，
當時， ，與實際情況差別比較大，故選函數
模型 .
（1）你認為選擇哪個模型更符合實際？并解釋理由.
（2）利用你選擇的函數模型，試估算從2020年1月初起至少經過多少個月該水
域的浮萍覆蓋面積能達到 .
（參考數據： ）
解：因為 ，
，而 ，
所以至少經過16個月該水域的浮萍覆蓋面積能達到 .
變式 噪聲是指發聲體做無規則振動時發出的聲音.噪聲不但會對聽力造成損傷，
也會對人們的生活工作有所干擾，還能誘發多種疾病.科學家經過大量的分析發
現：聲音強度與聲音能量 之間存在函數關系.經測定，數據如下
表：
聲音能量
聲音強度 30 40
聲音能量
聲音強度
為了描述聲音強度與聲音能量 之間的函數關系，現有以下兩種
模型供選擇：
， .
（1）選出你認為符合實際的函數模型，簡單敘述理由，并寫出相應的解析式.
解：選擇 .
原因：對于自變量的取值，，,, ,
,當自變量增加量為常數 時，函數值增加量不是常數，
所以不選擇一次函數模型，而選擇 .
由已知可得
即解得
所以函數的解析式為 .
（2）對于人的耳朵，聲音強度在 內的聲音比較適宜室內談話，在
內的聲音比較適宜室外談話，試問聲音能量在什么范圍時適合人與人交
流談話？
解：由已知可得，當 時，適合人與人交流談話，
所以,即 ,
即,所以 ，
所以當聲音能量在 內時，適合人與人交流談話.
［素養小結］
當一組數據所對應的擬合函數關系不確定時,可根據題設條件,將這幾個擬合函數
求出來,再根據題中的其他條件,對這幾個擬合函數的可靠性進行評估,選出擬合
性最好的函數.
1.[2024·江西景德鎮高一期末]地震的震級直接與震源所釋放的能量大小有關，
可以用關系式表達，其中為震級， 為地震能量.11月21日某
地發生了3.6級地震，此前11月19日該地發生了5.0級地震，則第一次的地震能量
大約是第二次的地震能量的（參考數據：, ）( )
D
A.110倍 B.115倍 C.120倍 D.125倍
[解析] 設第一次的地震能量為，則 ，
設第二次的地震能量為，則 ，
由得，則，因為 ，所以
.故選D.
2.我們檢測視力時會發現對數視力表中有兩列數據，分別是小數記錄與五分記
錄，其部分數據如下表：
小數記錄 0.1 0.12 0.15 0.2 … ？ … 1.0 1.2 1.5 2.0
五分記錄 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3
現有如下函數模型：，，表示小數記錄數據，
表示五分記錄數據，請選擇最合適的模型解決如下問題：
小明同學檢測視力時，醫生告訴他視力為 ，則小明同學視力的小數記錄數據
為（附：，， ）( )
B
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8
[解析] 由數據可知，當時，，兩個函數都符合，但當 時，由
得，與表中的數據符合，而由 得
，與表中的數據不符合，所以選擇模型 更合適，
此時令，則，所以 .故選B.
3.[2024·貴州畢節高一期末]中國唐代著名的天文學家張遂發明了一種內插法近
似計算原理，廣泛應用于現代建設工程費用估算.近似計算公式如下：
，其中為計費額的區間， ，
為對應于,的收費基價，為該區間內的插入值，為對應于 的收
費基價.如下表所示，則 的值估計為( )
計費額 （單位：萬元） 500 700 1000
收費基價 （單位：萬元） 16.5 30.1
C
A.18.53 B.19.22 C.21.94 D.28.22
[解析] 結合題意可知，，, ,
, ，則
.故選C.
4.酒駕是嚴重的違法行為.為了保障交通安全，根據國家有關規定：血液中酒精
含量低于 的駕駛員可以駕駛汽車，酒精含量大于或等于
且小于的駕駛員為酒后駕車， 及以
上為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時 的
速度減少，那么他至少經過___個小時才能駕駛汽車.（結果取整數，參考數
據：， ）
5
[解析] 設他至少經過個小時才能駕駛汽車，則 ，即
，所以 ，
故他至少經過5個小時才能駕駛汽車.
1.函數模型的應用實例主要包括三個方面：
（1）利用給定的函數模型解決實際問題；
（2）建立確定性的函數模型解決實際問題；
（3）建立擬合函數模型解決實際問題.
例1 [2024·四川綿陽高一期末] 火箭必須達到第一宇宙速度 才可以
繞地球軌道飛行.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度 （單位：
）、燃料的質量（單位：）和火箭（除燃料外）的質量（單位： ）
滿足（ 為自然對數的底數）.當火箭的最大速度可以達到
時，的值約為，結果精確到 ( )
C
A.48.5 B.51.2 C.53.8 D.58.4
[解析] 由題知，則 .故選C.
2.在引入自變量建立函數解決函數應用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二
是要檢驗所得結果，必要時運用估算和近似計算，以使結果符合實際問題的要求.
例2 黎曼猜想是一個眾所周知的數學難題，著名的數學家歐拉也曾研究過這個
問題，并得到小于數字的素數個數大約可以表示為 的結論.根據歐拉
得出的結論，估計10 000以內的素數個數為（ ，計算結果取整數）
( )
B
A.1079 B.1075 C.434 D.2500
[解析] .故選B.4.6　函數的應用(二)
【課中探究】
例1　解:(1)由題意知∴
∴y=192×.
(2)當x=30時,y=192×≈192×0.13≈25;
當x=11時,y=192×≈192×0.47≈90.
故儲藏溫度為30 ℃和11 ℃時的保鮮時間分別約為25 h和90 h.
變式　A　[解析] 因為前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉80%,所以P0·e-9k=P0,即e-9k=,所以e-3k=.再繼續過濾3個小時,廢氣中污染物的殘留量約為P0·e-12k=P0×=P0×≈×0.585×P0≈12%P0.故選A.
例2　解:(1)當總質比為200時,v=1000·ln 200,
由參考數據得v≈1000×5.3=5300(m/s),
故當總質比為200時,A型火箭的最大速度約為5300 m/s.
(2)由題意,經過材料更新和技術改進后,A型火箭的噴流相對速度為1500 m/s,總質比變為,要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,則需1500·ln-1000·ln≥500,化簡得3ln-2ln≥1,即ln-ln≥1,
整理得ln≥1,所以≥e,則≥27×e,由參考數據,知2.718故材料更新和技術改進前總質比的最小整數值為74.
變式　解:(1)由題意,當0≤x≤8時,y=0.15x;
當x>8時,y=1.2+log5(2x-15).故獎金y關于銷售利潤x的函數關系式為y=
(2)由題意得1.2+log5(2x-15)=3.2,解得x=20,
故小江創造的銷售利潤是20萬元.
例3　解:(1)選擇數據(2,45)和(4,80),
由解得則y=35log2x+10,
當x=8時,y=35log28+10=115,與實際情況相符;
由解得則y=×,
當x=8時,y=×=>115,與實際情況差別比較大,故選函數模型y=35log2x+10.
(2)因為35log215+10≈35×3.9+10=146.5,
35log216+10=150,而146.5<148<150,
所以至少經過16個月該水域的浮萍覆蓋面積能達到148 m2.
變式　解:(1)選擇D=Mlg I+N.
原因:對于自變量的取值10-13,10-12,×10-12,×10-12,×10-12,×10-12,當自變量增加量為常數×10-12時,函數值增加量不是常數,
所以不選擇一次函數模型,而選擇D=Mlg I+N.
由已知可得
即解得
所以函數的解析式為D=10lg I+160.
(2)由已知可得,當40所以40<10lg I+160≤70,即-120<10lg I≤-90,
即-12所以當聲音能量在(10-12,10-9]內時,適合人與人交流談話.
【課堂評價】
1.D　[解析] 設第一次的地震能量為E1,則lg E1=4.8+1.5×5①,
設第二次的地震能量為E2,則lg E2=4.8+1.5×3.6②,
由①-②得lg=2.1,則=102.1,因為102.09<102.1<102.2,所以123<<158.故選D.
2.B　[解析] 由數據可知,當x=1時,y=5,兩個函數都符合,但當x=0.1時,由y=5+lg x得y=5+lg 0.1=4,與表中的數據符合,而由y=5+lg得y=5+lg 10=5.1,與表中的數據不符合,所以選擇模型y=5+lg x更合適,此時令y=4.7,則lg x=-0.3,所以x=10-0.3≈0.5.故選B.
3.C　[解析] 結合題意可知,x=700∈[500,1000],x1=500,x2=1000,f(x1)=16.5,f(x2)=30.1,則m=f(700)≈16.5+×(700-500)=21.94.故選C.
4.5　[解析] 設他至少經過x個小時才能駕駛汽車,則150(1-36%)x<20,即0.64x<,所以x>log0.64==≈≈4.51,故他至少經過5個小時才能駕駛汽車.4.6　函數的應用(二)
【學習目標】
1.了解冪函數、指數函數、對數函數的廣泛應用;
2.通過對數據的合理分析,能自己建立函數模型,解決實際問題.
◆ 知識點一　應用函數模型解決實際問題的步驟
用函數模型解應用題的四個步驟
(1)審題——弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系,初步選擇模型;
(2)建模——將自然語言轉化為數學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用數學知識建立相應的數學模型;
(3)求模——求解數學模型,得出數學結論;
(4)還原——將數學結論還原為實際問題的結論.
◆ 知識點二　幾類常見的函數模型
名稱 解析式 條件
指數函數模型 y=b·ax+c a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0
對數函數模型 y=mlogax+n m,n,a為常數,a>0且a≠1,m≠0
冪函數模型 y=axn+m a,m,n為常數,a≠0,n≠1
◆ 探究點一　指數函數模型
例1 牛奶保鮮時間因儲藏時溫度的不同而不同,假定保鮮時間y(單位:h)與儲藏溫度x(單位:℃)間的關系為指數型函數y=k·ax(k≠0,a>0且a≠1),且牛奶放在0 ℃的冰箱中,保鮮時間是192 h,而放在22 ℃的廚房中,保鮮時間是42 h.
(1)寫出保鮮時間y(單位:h)關于儲藏溫度x(單位:℃)的函數解析式;
(2)利用(1)中結論,求出儲藏溫度為30 ℃和11 ℃時的保鮮時間(精確到1 h).
變式 [2024·北京房山區高一期末] 保護環境功在當代,利在千秋,良好的生態環境既是自然財富,也是經濟財富,關系社會發展的潛力和后勁.某工廠將生產產生的廢氣經過過濾后排放,已知過濾過程中的污染物的殘留量P(單位:毫克/升)與過濾時間t(單位:小時)之間的函數關系為P=P0·e-kt(t≥0),其中k為常數,k>0,P0為原污染物的量.該工廠某次過濾廢氣時,若前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉80%,則再繼續過濾3個小時廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的 (　 )
A.12% B.10% C.9% D.6%
[素養小結]
確定指數函數模型的關鍵是確定底數,從而確定指數函數關系式.
◆ 探究點二　對數函數模型
例2 2020年12月17日凌晨,經過23天的月球采樣旅行,嫦娥五號返回器攜帶月球樣品成功著陸預定區域,我國首次對外天體無人采樣返回任務取得圓滿成功,成為時隔40多年來首個完成落月采樣并返回地球的國家,標志著我國探月工程“繞、落、回”圓滿收官.近年來,得益于我國先進的運載火箭技術,我國在航天領域取得了巨大成就.據了解,在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態下,可以用公式v=v0·ln計算火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是噴流相對速度,m(kg)是火箭(除推進劑外)的質量,M(kg)是推進劑與火箭質量的總和,稱為總質比,已知A型火箭的噴流相對速度為1000 m/s.
(1)當總質比為200時,利用給出的參考數據求A型火箭的最大速度;
(2)經過材料更新和技術改進后,A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的倍,總質比變為原來的,若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,求在材料更新和技術改進前總質比的最小整數值.
參考數據:ln 200≈5.3,2.718變式 某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案:當銷售利潤不超過8萬元時,按銷售利潤的15%進行獎勵;當銷售利潤超過8萬元時,若超出A萬元,則超出部分按log5(2A+1)進行獎勵,不超過8萬元的部分仍按原方案獎勵.記獎金為y(單位:萬元),銷售利潤為x(單位:萬元).
(1)寫出獎金y關于銷售利潤x的函數關系式;
(2)如果業務員小江獲得3.2萬元的獎金,那么他創造的銷售利潤是多少萬元
[素養小結]
(1)解決應用題的基礎是讀懂題意,理順數量關系,關鍵是正確建模,充分注意數學模型中元素的實際意義.
(2)對數函數模型的一般表達式為:f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數,a>0,a≠1,m≠0).
◆ 探究點三　建立擬合函數模型解決實際問題
例3 為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念,聊城市環保部門近年來利用水生植物(例如浮萍、蒲草、蘆葦等)對國家級濕地公園——東昌湖進行進一步凈化和綠化.為了保持水生植物面積和開闊水面面積的合理比例,對水生植物的生長進行了科學管控,并于2020年對東昌湖內某一水域浮萍的生長情況進行了調查,測得該水域2月底浮萍覆蓋面積為45 m2,4月底浮萍覆蓋面積為80 m2,8月底浮萍覆蓋面積為115 m2.浮萍覆蓋面積y(單位:m2)與月份x(2020年1月底記為x=1,2021年1月底記為x=13)的關系有兩個函數模型y=kax(k>0,a>1)與y=mlog2x+n(m>0)可供選擇.
(1)你認為選擇哪個模型更符合實際 并解釋理由.
(2)利用你選擇的函數模型,試估算從2020年1月初起至少經過多少個月該水域的浮萍覆蓋面積能達到148 m2.
變式 噪聲是指發聲體做無規則振動時發出的聲音.噪聲不但會對聽力造成損傷,也會對人們的生活工作有所干擾,還能誘發多種疾病.科學家經過大量的分析發現:聲音強度D(dB)與聲音能量I(W/cm2)之間存在函數關系.經測定,數據如下表:
聲音能量I 10-13 10-12 ×10-12
聲音強度D 30 40 42.787 5
聲音能量I ×10-12 ×10-12 ×10-12
聲音強度D 44.471 6 45.682 0 46.627 6
為了描述聲音強度D(dB)與聲音能量I(W/cm2)之間的函數關系,現有以下兩種模型供選擇:
D=KI+B,D=Mlg I+N.
(1)選出你認為符合實際的函數模型,簡單敘述理由,并寫出相應的解析式.
(2)對于人的耳朵,聲音強度在(40,60]內的聲音比較適宜室內談話,在(60,70]內的聲音比較適宜室外談話,試問聲音能量在什么范圍時適合人與人交流談話
[素養小結]
當一組數據所對應的擬合函數關系不確定時,可根據題設條件,將這幾個擬合函數求出來,再根據題中的其他條件,對這幾個擬合函數的可靠性進行評估,選出擬合性最好的函數.
1.[2024·江西景德鎮高一期末] 地震的震級直接與震源所釋放的能量大小有關,可以用關系式lg E=4.8+1.5M表達,其中M為震級,E為地震能量.11月21日某地發生了3.6級地震,此前11月19日該地發生了5.0級地震,則第一次的地震能量大約是第二次的地震能量的(參考數據:102.09≈123,102.2≈158)(　 )
A.110倍 B.115倍
C.120倍 D.125倍
2.我們檢測視力時會發現對數視力表中有兩列數據,分別是小數記錄與五分記錄,其部分數據如下表:
小數記錄 0.1 0.12 0.15 0.2 … … 1.0 1.2 1.5 2.0
五分記錄 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3
現有如下函數模型:①y=5+lg x,②y=5+lg ,x表示小數記錄數據,y表示五分記錄數據,請選擇最合適的模型解決如下問題:
小明同學檢測視力時,醫生告訴他視力為4.7,則小明同學視力的小數記錄數據為(附:10-0.3≈0.5,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8) (　 )
A.0.3 B.0.5
C.0.7 D.0.8
3.[2024·貴州畢節高一期末] 中國唐代著名的天文學家張遂發明了一種內插法近似計算原理,廣泛應用于現代建設工程費用估算.近似計算公式如下:f(x)≈f(x1)+(x-x1),其中[x1,x2]為計費額的區間,f(x1),f(x2)為對應于x1,x2的收費基價,x為該區間內的插入值,f(x)為對應于x的收費基價.如下表所示,則m的值估計為(　 )
計費額x(單位:萬元) 500 700 1000
收費基價f(x)(單位:萬元) 16.5 m 30.1
A.18.53 B.19.22
C.21.94 D.28.22
4.酒駕是嚴重的違法行為.為了保障交通安全,根據國家有關規定:血液中酒精含量低于20 mg/100 ml的駕駛員可以駕駛汽車,酒精含量大于或等于20 mg/100 ml且小于80 mg/100 ml的駕駛員為酒后駕車,80 mg/100 ml及以上為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了150 mg/100 ml,如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量會以每小時36%的速度減少,那么他至少經過　　　　個小時才能駕駛汽車.(結果取整數,參考數據:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) 4.6　函數的應用(二)
1.D　[解析] 設初始荒漠化土地的面積為a(a≠0),則y=a(1+9.8%)x,y是關于x的指數型函數.故選D.
2.D　[解析] 當=1000時,C=Wlog21001;當=4000,信道帶寬W變為原來的2倍時,C=2Wlog24001.=-1≈-1=+1=lg 2+1≈1.4.故選D.
3.B　[解析] 拉面師傅拉7次面共有1×27-1=26=64(根)面條,在7次拉面過程中共對折6次,則去掉面團的總質量為6×18=108(g),剩下64根面條的總質量為300-108=192(g),則每根面條的質量為=3(g).故選B.
4.C　[解析] 設經過n年之后,每年度平均每戶收入增加y元,由題得y=4000·(1+10%)n>12 000,即1.1n>3,則nln 1.1>ln 3,即n>=≈11,又n∈N*,所以所求年份大約是2036年.故選C.
5.AB　[解析] 因為花鰱魚的游速v與log2(x≥100)成正比,所以設v=k·log2,又因為當x=200時,v=,所以=k·log2,解得k=,所以v=log2(x≥100),故A中說法正確;當花鰱魚靜止時,即v=0,得log2=0,解得x=100,故B中說法正確;當花鰱魚的耗氧量為400單位時,即x=400,得v=log2=log24=1,故C中說法錯誤;設花鰱魚開始的游速為v0,耗氧量的單位數為x0,提速后的游速為v1,提速后的耗氧量的單位數為x1,因為v1=v0+1=log2+1==log2,v1=log2,所以log2=log2,所以x1=4x0,即耗氧量的單位數是原來的4倍,故D中說法錯誤.故選AB.
6.ABC　[解析] 對于A,若a=b,則f(x)=aex+be-x=aex+ae-x,其定義域為R,
因為f(-x)=ae-x+aex=f(x),所以f(x)是偶函數,故A正確.對于B,若a=-b>0,則函數y=aex和y=be-x=-ae-x均為增函數,則f(x)=aex+be-x為增函數;若a=-b<0,則函數y=aex和y=be-x=-ae-x均為減函數,則f(x)=aex+be-x為減函數,故B正確.對于C,若a=1,b=2,則y=ex+2e-x-3,令ex+2e-x-3=0,得-3ex+2=0,解得ex=1或ex=2,所以x=0或x=ln 2,所以函數y=f(x)-3的零點為0和ln 2,故C正確.對于D,當a=b=-1時,f(x)=-ex-=-,顯然f(x)<0,故D錯誤.故選ABC.
7.36.72　[解析] 當N=40時,t=-144lg=-144lg=-144(lg 5-2lg 3)≈36.72.
8.5　[解析] ∵5秒后兩桶水量相等,∴ae5n=a,則n=-ln 2.若k秒后甲桶中的水有升,則aenk=a=,即-kln 2=-2ln 2,則k=10,故m=10-5=5.
9.3.9　[解析] 設耕地平均每年至多只能減少x公頃,該地區現有人口數量為P,糧食單產為M噸/公頃.依題意得≥×(1+16%),
化簡得x≤103-=103×≈103×≈103×0.003 9=3.9.
10.解:由f(x)=>8得1+tx-4<,即tx-4<,
∵t=e-0.5∈(0,1),∴x-4>logt.∵logt==-=4ln 2,∴x>4ln 2+4.
又∵ln 2≈0.693,∴x>6.772,即至少需要6.8年,該生物的身長才能超過8米.
11.解:(1)由圖可知,c1(t)的圖象經過(4,8),(8,12)兩點,將兩點坐標代入c1(t)=N0(1-2-kt),
得可得
所以c1(t)=16×.
(2)因為有治療效果的濃度在4到15之間,所以濃度為15時為最遲停止注射時間,
令c1(t)=16×=15,解得t=16.濃度從15降到4為最長間隔時間,
令c2(t)=15×=4,得=,兩邊同時取以2為底的對數,則log2=log2,
即-=log24-log215=2-=2-=2-≈2-≈-1.93,所以t≈1.93×4=7.72.
所以最遲隔16個小時停止注射,為保證治療效果,最多再隔7.72個小時開始進行第二次注射.
12.2027　[解析] 從2022年開始第n(n∈N*)年,設該行業產生的包裝垃圾為y萬噸.由題意可得y=400×(1+50%)n=400×.當y>4000時,有>10,兩邊取對數可得n(lg 3-lg 2)>1,可得n≥6,∴從2027年開始,該行業產生的包裝垃圾將超過4000萬噸.
13.解:(1)由題意得f(0)=1,f(1)=,
f(0)的值表示的含義是沒有用洗滌溶液漂洗,殘留污漬沒有變化.
(2)①f(0)=t=1,f(1)==,則k=2,所以f(x)=.
②設清洗前物品上污漬殘留量為1,
用m(m>0)個單位量的洗滌溶液漂洗一次后殘留污漬量y1=f(m)=,
用個單位量的洗滌溶液漂洗兩次后殘留污漬量y2===,
y1-y2=-=.
當m>2時,y1>y2,則“用 個單位量的洗滌溶液漂洗兩次”去污效果更好;
當m=2時,y1=y2,兩種方案去污效果相同;
當0一、選擇題
1.我國大西北某地區荒漠化土地面積每年比上一年平均增長9.8%,專家預測經過x年的增長,荒漠化土地面積為y(平方千米),則函數y=f(x)的大致圖象為 (　 )
A B C D
2.香農公式C=Wlog2是香農提出并嚴格證明的,它表示:在受高斯白噪聲干擾的信道中,最大信息傳遞速率C(單位:bit/s)取決于信道帶寬W(單位:HZ)、信道內信號的平均功率S(單位:dB)、信道內部的高斯噪聲功率N(單位:dB)的大小,其中叫作信噪比.按照香農公式,若信道帶寬W變為原來的2倍,而將信噪比從1000提升至4000,則C大約增加了(附:lg 2≈0.3) (　 )
A.110% B.120%
C.130% D.140%
3.拉面是很多食客喜好的食物.師傅在制作拉面的時候,將面團先拉到一定長度,然后對折(對折后面條根數變為原來的2倍),再拉到上次面條的長度.每次對折后,師傅都要去掉捏在一只手里的面團.如果拉面師傅將300 g面團拉成細絲面條,每次對折后去掉捏在手里的面團都是18 g,第一次拉的長度是1 m,共拉了7次,則最后每根1 m長的細絲面條的質量是(假定所有細絲面條粗細均勻,質量相等) (　 )
A. g B.3 g
C.1.5 g D.3.5 g
4.推動小流域綜合治理提質增效,推進生態清潔小流域建設是助力鄉村振興和建設美麗中國的重要途徑之一.某鄉村落實該舉措后因地制宜,發展旅游業,預計2024年平均每戶將增加4000元收入,以后每年平均每戶較上一年增長的收入是在前一年每戶增長收入的基礎上以10%的增速增長的,則該鄉村每年度平均每戶較上一年增加的收入開始超過12 000元的年份大約是(參考數據:ln 3≈1.10,ln 10≈2.30,ln 11≈2.40)(　 )
A.2034年 B.2035年
C.2036年 D.2037年
5.(多選題) 江蘇省高郵市素有“魚米之鄉”之稱,高郵城西有風光秀麗的高郵湖,湖內盛產花鰱魚,記花鰱魚在湖中的游速為v m/s,花鰱魚在湖中的耗氧量的單位數為x,經研究發現,花鰱魚的游速v與log2(x≥100)成正比.經測定,當花鰱魚的耗氧量為200單位時,其游速為 m/s,則下列說法正確的是 (　 )
A.v=log2 (x≥100)
B.當花鰱魚靜止時,耗氧量為100單位
C.當花鰱魚的耗氧量為400單位時,其游速為2 m/s
D.若某條花鰱魚的游速提高了1 m/s,則它的耗氧量的單位數是原來的2倍
6.(多選題)[2024·長沙明德中學高一期末] 空曠的田野上兩根電線桿之間的電線有相似的曲線形態,這些曲線在數學上稱為懸鏈線,懸鏈線在工程上有廣泛的應用.在恰當的坐標系中,這類函數的表達式可以為f(x)=aex+be-x(其中a,b為非零常數),則下列結論正確的是 (　 )
A.若a=b,則f(x)為偶函數
B.若a=-b,則f(x)為單調函數
C.若a=1,b=2,則函數y=f(x)-3的零點為0和ln 2
D.若ab=1,則函數f(x)的最小值為2
二、填空題
7.“學習曲線”可以用來描述學習某一任務的速度,假設函數t=-144lg中,t表示達到某一英文打字水平所需的學習時間,N表示每分鐘打出的字數,則當N=40時,t≈　　　　.(參考數據:lg 5≈0.699,lg 3≈0.477)
8.將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中,t秒后甲桶剩余的水量符合指數衰減曲線y=aent,假設過5秒后甲桶和乙桶的水量相等,若再過m秒甲桶中的水只有升,則m的值為　　　　.
9.某地現有耕地10 000公頃,規劃10年后糧食單產比現在增加20%,人均糧食占有量比現在至少提高16%.如果人口年增長率為3‰(即千分之三),那么耕地平均每年至多只能減少　　　　公頃.(附:1.00310≈1.030 4,精確到小數點后一位)
三、解答題
10.某種生物的身長f(x)(單位:米)與其生長年限x(單位:年)之間的關系為f(x)=(其中t=e-0.5,e為自然對數的底數,該生物出生時x=0),則至少需要經過多少年,該生物的身長才能超過8米 (精確到0.1,ln 2≈0.693)
11.[2023·上海南匯中學高一月考] 用打點滴的方式治療“支原體感染”病患時,血藥濃度(血藥濃度是指藥物吸收后,在血漿內的總濃度)隨時間變化的函數符合c1(t)=N0(1-2-kt),其函數圖象如圖所示,其中N0為與環境相關的常數.此種藥物在人體內有治療效果的濃度在4到15之間,當達到上限濃度時,必須馬上停止注射,之后血藥濃度隨時間變化的函數符合c2(t)=c·2-kt,其中c為停藥時的人體血藥濃度.
(1)求出函數c1(t)的解析式.
(2)一名病患開始注射后,最遲隔多長時間停止注射 為保證治療效果,最多再隔多長時間開始進行第二次注射 (參考數據:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
12.有關數據顯示,中國某行業產生的包裝垃圾在2021年約為400萬噸,2022年的年增長率為50%,有專家預測,如果不采取措施,未來包裝垃圾還將以此增長率增長,那么從　　　　年開始,該行業產生的包裝垃圾將超過4000萬噸.(參考數據:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
13.[2024·福建泉州高一期末] 某物品上的特殊污漬需用一種特定的洗滌溶液直接漂洗,f(x)表示用x個單位量的洗滌溶液漂洗一次以后殘留污漬量與原污漬量之比.已知用1個單位量的洗滌溶液漂洗一次,可洗掉該物品原污漬量的.
(1)寫出f(0),f(1)的值,并對f(0)的值給出一個合理的解釋.
(2)已知f(x)=.
①求t,k.
②“用m(m>0)個單位量的洗滌溶液漂洗一次”與“用 個單位量的洗滌溶液漂洗兩次”,哪種方案去污效果更好

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