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單元素養測評卷(一)
1.B　[解析] 因為log3(log2x)=0,所以log2x=1,所以x=2.故選B.
2.B　[解析] 因為f(2)=log33=1,所以f[f(2)]=f(1)=20=1.
3.D　[解析] 對于A,y=2x不是冪函數,故A錯誤;對于B,y=-x3不是冪函數,故B錯誤;對于C,y=2x是指數函數,故C錯誤;對于D,y=是冪函數且在(0,+∞)上是減函數,故D正確.故選D.
4.D　[解析] A={x|ln(x-2)>0}={x|x-2>1}=(3,+∞),B={x|2x2-9x-5<0}={x|(x-5)(2x+1)<0}=,所以A∩B=(3,5).故選D.
5.B　[解析] 當a>1時,函數y=logax是增函數,排除C,D;當a>1時,函數y=(1-a)x是減函數,排除A.故選B.
6.B　[解析] 由題意可得t1=250,t2=50,r1=60,r2=60+75=135,Φ=150,則150=,得2πλ=ln=ln.當管道壁的厚度為120 mm時,r2=60+120=180,則Φ==ln×===300(1-log32)≈300×(1-0.63)=111.故選B.
7.B　[解析] 令f(x)=(x2-4x+m)=0,得m=-x2+4x或m=-1.作出g(x)=-x2+4x,h(x)=-1的大致圖象,如圖所示,這兩個函數的圖象的交點坐標為(0,0),(3,3),因為g(x)max=4,h(x)>-1,所以由圖可知m的取值范圍是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4),又m為整數,所以m=1或m=2.故選B.
8.D　[解析] 方程x·3x=4可變形為3x=,方程x·log3x=4可變形為log3x=,所以x1是函數y=3x的圖象與函數y=的圖象的交點的橫坐標,x2是函數y=log3x的圖象與函數y=的圖象的交點的橫坐標.
因為y=3x與y=log3x互為反函數,所以這兩個函數的圖象關于直線y=x對稱,在函數y=的圖象上任取一點(a,b),該點關于直線y=x的對稱點的坐標為(b,a),由b=,可得a=,則點(b,a)也在函數y=的圖象上,故函數y=的圖象關于直線y=x對稱,所以點與點關于直線y=x對稱,所以x1=,所以x1x2=4.故選D.
9.AC　[解析] 對于A選項,根據logab·logba=1可知,A選項符合題意;對于B選項,原式=log6(2×4)=log68≠1,B選項不符合題意;對于C選項,原式=[(2+)×(2-)==1,C選項符合題意;對于D選項,因為[(2+-(2-]2=2++2--2(2+×(2-=4-2=2,所以(2+-(2-≠1,D選項不符合題意.故選AC.
10.BC　[解析] 對于A,y=cx為減函數,所以cab>1,所以logca,即logac>logbc,故B正確;對于C,y=lox在定義域上單調遞減,且當x>1時,lox<0,y=在定義域上單調遞增,且當x>1時,>1,所以loa<,故C正確;對于D,y=在(0,+∞)上單調遞增,所以>,故D錯誤.故選BC.
11.ABD　[解析] 作出函數f(x)=|2x-1|的圖象,如圖所示.
當m=n時,由f(a)=f(b)=m(a0, 則1-2a=2b-1,即2a+2b=2,所以2=2a+2b>2=2,即2a+b<1,所以a+b<0,故A,B正確;當m>n時,f(a)>f(b),又a12.4　[解析] 易知f(-1)=f(1)=2+2=4.
13.　[解析] 由-x2+6x-5>0,解得114.(-∞,]　[解析] 當a=0時,f(a)=0,f[f(a)]=f(0)=0≤2,符合題意.當a>0時,f(a)=-a2<0,則f[f(a)]=f(-a2)=a4-a2≤2,解得-≤a≤,則015.解:(1)原式=3+-4=-.
(2)原式=0.5×+lg 5+lg 2-2log23×log32=+1-2=-.
16.解:(1)依題意,一年后這種珍稀鳥類的只數為1000+1000×8%=1080,
兩年后這種珍稀鳥類的只數為1080+1080×8%≈1166.
(2)所求的函數關系式為y=1000×1.08x,x∈N.
(3)令1000×1.08x≥3×1000,得1.08x≥3,兩邊取常用對數,得lg 1.08x≥lg 3,即xlg 1.08≥lg 3,即x≥,即x≥=,因為lg 108=lg(33×22)=3lg 3+2lg 2,所以x≥≈≈14.3.
故至少經過15年以后,這種鳥類的只數達到現有只數的3倍及以上.
17.解:(1)因為f(x)的圖象經過第一、二、三象限,所以-1因為y=2x在R上單調遞增,y=x在R上單調遞增,所以y=2x+x在R上單調遞增,因為-1(2)因為a=0,所以f(x)=2x,
則|mf(x)-3|≤f(x)-1對任意的x∈[2,+∞)恒成立等價于|m·2x-3|≤2x-1對任意的x∈[2,+∞)恒成立.
由|m·2x-3|≤2x-1,得-(2x-1)≤m·2x-3≤2x-1,
則即
因為x≥2,所以2x≥4,m≤,m≥,
因為1+>1,-1≤0,所以0≤m≤1.
故存在滿足條件的實數m,且m∈[0,1].
18.解:(1)∵f(x)=是奇函數,∴f(0)=1+a=0,解得a=-1.
∵g(x)=log2(2x+1)-bx是偶函數,∴g(1)=g(-1),
即log23-b=log2+b,解得b=,故a-b=-1-=-.
(2)由(1)知f(x)=ex-e-x,易知f(x)在R上單調遞增.
由f(x)是奇函數可知,不等式f(t2-2t-1)+f(2t2-k)<0等價于f(t2-2t-1)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),∴t2-2t-1即k>3t2-2t-1 對任意的t∈[-1,2]恒成立.
令h(t)=3t2-2t-1,t∈[-1,2],則k>h(t)max.
易知h(t)=3t2-2t-1在上單調遞減,在上單調遞增,
又h(-1)=4,h(2)=7,∴h(t)max=h(2)=7,∴k>7,
∴實數k的取值范圍是(7,+∞).
19.解:(1)由題意可得4-ax>0,即ax<4,
因為a>0,所以x<,故f(x)的定義域為.
(2)假設存在實數a,使函數f(x)在區間上單調遞減且最大值為1.
設函數g(x)=4-ax,由a>0,得-a<0,
所以g(x)在區間上單調遞減且g(x)>0恒成立,
因為f(x)在區間上單調遞減,所以a>1且4-a>0,解得1因為f(x)在區間上的最大值為1,所以f(1)=loga(4-a)=1,解得a=2,因為2∈,
所以存在實數a=2,使函數f(x)在區間上單調遞減且最大值為1.單元素養測評卷(一)
第四章
時間:120分鐘　分值:150分
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知log3(log2x)=0,那么x= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.設函數f(x)=則f[f(2)]= (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
3.下列函數中,既是冪函數又在(0,+∞)上是減函數的是(　　)
A.y=2x B.y=-x3
C.y=2x D.y=
4.已知集合A={x|ln(x-2)>0},B={x|2x2-9x-5<0},則A∩B= (　　)
A.(2,5) B.[2,5)
C.[3,5) D.(3,5)
5.當a>1時,函數y=logax和y=(1-a)x的圖象只可能是　(　　)
A B C D
6.[2024·湖南衡陽高一期末] 某種用保溫材料制成的管道在單位長度上的熱損失Φ(單位:W/m)滿足Φ=,其中r1,r2分別為管道的內外半徑(單位:mm),t1,t2分別為管道內外表面的溫度(單位:℃),λ為保溫材料的導熱系數(單位:W/(m·℃)).某工廠準備用這種管道傳輸250 ℃的高溫蒸汽,根據安全操作規定,管道外表面溫度應控制為50 ℃,已知管道內半徑為60 mm,當管道壁的厚度為75 mm時,Φ=150 W/m,則當管道壁的厚度為120 mm時,Φ約為(參考數據:log32≈0.63)(　　)
A.98 W/m B.111 W/m
C.118 W/m D.126 W/m
7.[2024·陜西榆林高一期末] 已知函數f(x)=(x2-4x+m)·恰有3個零點,則整數m的取值個數是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知x1是方程x·3x=4的根,x2是方程x·log3x=4的根,則x1x2= (　　)
A.16 B.8
C.6 D.4
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.下列各選項中值為1的是 (　　)
A.log26·log62
B.log62+log64
C.(2+×(2-
D.(2+-(2-
10.已知實數a,b,c滿足a>b>1>c>0,則下列結論正確的是　 (　　)
A.ca>cb B.logac>logbc
C.loa< D.<
11.已知函數f(x)=|2x-1|,且f(a)=m,f(b)=n(aA.若m=n,則2a+2b=2
B.若m=n,則a+b<0
C.若m>n,則b>1
D.若m>n,則b<1
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.若f(x)為偶函數,且當x≥0時,f(x)=2x+log2(x+3),則f(-1)=　　　　.
13.[2024·湖北宜昌高一期末] 若函數f(x)=lo(-x2+6x-5)在區間(3m-2,m+2)上單調遞增,則實數m的取值范圍為　　　　.
14.設函數f(x)=若f[f(a)]≤2,則實數a的取值范圍是　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)計算:
(1)log28+-;
(2)0.2×+lg 25+lg 2-log29×log32.
16.(15分)據觀測統計,某濕地公園內某種珍稀鳥類的現有只數為1000,并以平均每年8%的速度增加.
(1)求兩年后這種珍稀鳥類的大約只數;
(2)寫出y(這種珍稀鳥類的只數)關于x(經過的年數)的函數關系式;
(3)經過多少年以后,這種鳥類的只數達到現有只數的3倍及以上 (結果為整數,參考數據:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
17.(15分)[2024·浙江杭州高一期末] 已知函數f(x)=2x+a.
(1)若f(x)的圖象經過第一、二、三象限,求f(a)的取值范圍.
(2)當a=0時,是否存在實數m,使得|mf(x)-3|≤f(x)-1對任意的x∈[2,+∞)恒成立 若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.
18.(17分)已知函數f(x)=是奇函數,g(x)=log2(2x+1)-bx是偶函數.
(1)求a-b;
(2)若對任意的t∈[-1,2],不等式f(t2-2t-1)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數k的取值范圍.
19.(17分)已知函數f(x)=loga(4-ax)(a>0且a≠1).
(1)求函數f(x)的定義域.
(2)是否存在實數a,使函數f(x)在區間上單調遞減且最大值為1 若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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