資源簡介

(共35張PPT)
5.1 統計
5.1.2 數據的數字特征
第2課時 眾數、極差、方差與標準差
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.會求一組數據的眾數、極差、方差與標準差；
2.理解數字特征的意義,并能解決與之相關的實際問題.
知識點一 眾數
一組數據中，某個數據出現的次數稱為這個數據的頻數，出現次數______的數
據稱為這組數據的眾數.
最多
知識點二 極差、方差與標準差
1.一組數的極差指的是這組數的________減去________所得的差.
2.如果，， ，的平均數為，則方差可用求和符號表示為
_ ____________.
3.如果，， ，的方差為，且,為常數，則,, ,
的方差為______.
4.方差的____________稱為標準差.
最大值
最小值
算術平方根
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若一組數中，各數據值都相等，則標準差為0，表明數據沒有波動，數據
沒有離散性，反之也成立.( )
√
（2）甲組數據的每個數據比乙組數據的每個數據都大，那么甲組數據的方差大
于乙組數據的方差.( )
×
[解析] 方差可以衡量一組數據波動的大小，數據大不一定數據的波動大，即不
一定方差大.
探究點一 眾數、極差、方差與標準差的計算
例1（1） （多選題）[2024·貴州畢節高一期末] 某士官參加軍區射擊比賽，打
了6發子彈，報靶數據如下：7，8，9，10，6，8（單位：環），下列說法正確
的有( )
AB
A.這組數據的平均數是8 B.這組數據的極差是4
C.這組數據的 分位數是9 D.這組數據的方差是2
[解析] 對于A，這組數據的平均數是 ，故A正確；
對于B，這組數據的極差是 ，故B正確；
對于C，這組數據從小到大排列為6,7,8,8,9,10，因為，
所以這組數據的 分位數是8，故C錯誤；
對于D，這組數據的方差是 ，
故D錯誤.故選 .
（2）一組數據按從小到大的順序排列為1,4,4,,7,8（其中 ）,若該組數據
的中位數是眾數的 倍,則該組數據的標準差為_ ___.
[解析] 這組數據的中位數是眾數的倍,,解得, 該組數據的
平均數為, 該組數據的方差為
，則
標準差為 .
變式（1） 甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子出現的點數可能為1，2，3，
4，5，6），并分別記錄自己每次擲骰子出現的點數，四人根據統計結果對自己
的試驗數據分別進行如下描述，可以判斷一定出現6點的描述是( )
D
A.甲：中位數為4，眾數為4 B.乙：中位數為3，極差為4
C.丙：平均數為3，方差為2 D.丁：平均數為4， 分位數為2
[解析] 對于A，中位數為4，眾數為4，則這5個數可以為4,4,4,4,4，故A不符合題意；
對于B，中位數為3，極差為4，則這5個數可以是1,1,3,4,5，故B不符合題意；
對于C，平均數為3，方差為2，設這5個數分別為,,,, ，則
，
，若取，則 ，則
，所以 ,
,,，所以,,, 這四個數可以為
4,3,3,3或2,3,3,3，這與 矛盾，所以不存在6點，故C不符合
題意；
對于D，按從小到大的順序設這5個數依次為,,,, ，因為
，所以分位數為5個數中從小到大排列的第2個數，又
分位數為2，所以或, ，因為平均數為4，所以
，則或，若,, 三個數都
不是6，則，這與或矛盾，故,,
三個數中一定會出現6，故D符合題意.故選D.
（2）（多選題）已知數據，， ，的平均數為，方差為 ，中位數為
，極差為.由這組數據得到新數據，， ， ，其中
，則( )
ABD
A.新數據的平均數是 B.新數據的方差是
C.新數據的中位數是 D.新數據的極差是
[解析] ,, ,的平均數為 ，所以
，故A正確；
, ,, 的方差為，即 ，所以
，故B正確；
,, ,的中位數為 ，則,, ,的中位數為，故C錯誤；
,, , 的極差為，則,, ,的極差為，故D正確.故選 .
［素養小結］
計算標準差的五個步驟：
（1）算出樣本數據的平均數 .
（2）算出每個樣本數據與樣本數據平均數的差： .
（3）算出（2）中 的平方.
（4）算出（3）中 個平方數的平均數，即為樣本方差.
（5）算出（4）中方差的算術平方根，即為樣本標準差.
探究點二 數字特征的應用
例2 某校擬選派一名跳高運動員去參加一項校際比賽，對甲、乙兩名跳高運動
員分別進行了8次測試，他們的成績（單位： ）如下.
甲：，，，，，，， ；
乙：，，，，，，， .
經預測，跳高成績達到 就很可能獲得這次校際比賽的冠軍，該校為了獲
得冠軍，可能選哪名運動員參賽？若預測跳高成績達到 方可獲得冠軍呢？
解：甲成績的平均數為
，標準
差為 .
乙成績的平均數為
，標準
差為 .
顯然，甲成績的平均數大于乙成績的平均數，而且甲成績的標準差小于乙成績
的標準差，說明甲的成績比乙穩定，所以若跳高成績達到 就很可能獲得
這次校際比賽的冠軍，則應派甲參賽.
在這8次測試中甲有3次成績在及以上，乙有5次成績在 及以上，雖
然乙成績的平均數小于甲，成績的穩定性也不如甲，但是若跳高成績達到
方可獲得冠軍，則應派乙參賽.
變式（1） 定義一個同學數學成績優秀的標準為“連續5次考試成績均不低于
120分”.現有甲、乙、丙三位同學連續5次數學考試成績的記錄數據（記錄數據都
是正整數）
①甲同學：5個數據的中位數為127，眾數為120；
②乙同學：5個數據的中位數為125，平均數為127；
③丙同學：5個數據的中位數為131，平均數為128，方差為13.8.
則可以判定數學成績優秀的同學為( )
C
A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲、丙 D.甲、乙、丙
[解析] 甲同學5個數據的中位數為127，眾數為120，所以前3個數為120，120，
127，后2個數肯定大于127，故甲同學數學成績優秀;
乙同學5個數據的中位數為125，平均數為127，則這5個數據可以為118，119，125，128，145，此時乙同學數學成績不優秀；
丙同學5個數據的中位數為131，平均數為128，方差為 ，設丙同學的另外4個數據分別為,,,,且 ,則
,即 ,所以
,得,所以 ,所以丙同學數學成
績優秀.所以可以判定數學成績優秀的同學有甲、丙.故選C.
（2）從甲、乙兩人中選拔一人參加射擊比賽，對他們的射擊水平進行了測試，
兩人在相同條件下各射擊10次，命中的環數如下.
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
①分別計算甲、乙兩人射擊命中環數的平均數.
解：由題得，甲射擊命中環數的平均數為 ，
乙射擊命中環數的平均數為
.
②選派誰去參賽更好？請說明理由.
解：甲射擊命中環數的方差為
，
乙射擊命中環數的方差為
.
由①知，而 ，所以選派乙去參賽更好.
［素養小結］
刻畫數據時,要根據不同的問題選擇不同的數字特征.平均數是數據的重心,它是
反映數據集中趨勢的一項指標,當需要刻畫數據集中程度的時候需要求平均數.方
差與標準差是反映數據離散與波動程度的,當需要刻畫數據穩定程度的時候通常
選擇方差或標準差.
1.甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環數及其方差 如下表所示,
則選派參加決賽的最佳人選應是( )
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
6.3 6.3 7 8.7
B
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
[解析] ,且 ,
應選派乙參加決賽.
2.樣本數據99,100，98,97,96的標準差為( )
A
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 平均數為 ,方差為
,標
準差為 .
3.（多選題）[2024·湖南邵陽高一期末] 如果將一組數據5，4，6，5，4，13，5
依次重復寫10次，會得到70個數組成的一組新數據，關于這組新數據的中位數、
眾數、極差、方差，下列說法正確的是( )
ABD
A.中位數是5 B.極差是9 C.方差變大 D.眾數是5
[解析] 將這組數據按從小到大的順序排列為4，4，5，5，5，6，13，處于中間
位置的那個數是5，每個數字重復寫10次，5依然處于中間位置，由中位數的定
義可知，這組新數據的中位數是5，故A正確；
這組新數據中出現次數最多的數是5，出現了30次，所以眾數是5，故D正確；
新數據的最大值與最小值分別是13，4，故極差是9，故B正確；
，原
數據的平均數與新數據的平均數相等，原數據的方差
，
新數據的方差
，
原數據的方差與新數據的方差相等，故C錯誤.故選 .
4.（多選題）有一組樣本數據，，，，，，，其中 是最小
值， 是最大值，則( )
BC
A.，，，，的眾數等于，，，，，， 的眾數
B.，，，，的中位數等于，，，，，， 的中位數
C.，，，，的方差不大于，，，，，， 的方差
D.，，，，的極差不小于，，，，，， 的極差
[解析] 不妨設 .
對于A，設這組數據為1,2,2,3,4,4,4，此時,,,,,,的眾數為4，
,,,, 的眾數為2和4，故A錯誤；
對于B，,,,,,,的中位數為，,,,,的中位數為 ，
故B正確；
對于C，因為是最小值，是最大值，所以,,,, 的波動程
度不大于,,,,,,的波動程度，故C正確；
對于D，因為,,, ,,,的極差為，,,,,的極差
為，且, ，所以，故D錯誤.故選 .
5.一組樣本數據按從小到大的順序排列為，0，4，， ，14，若這組數據
的平均數與中位數均為5，則其方差為___.
[解析] 數據，0，4，，，14的中位數為5，，， 這組
數據的平均數是， ，故這組數據的方差是
.
1.眾數
眾數體現數據中最大集中點，但無法客觀地反映總體特點.確定眾數的關鍵是統
計各數據出現的頻數，頻數最大的數據就是眾數，當一組數據中有較多數據多
次重復出現時，眾數往往更能反映數據的集中趨勢.
2.方差和標準差
（1）方差的簡化計算公式： ，或寫成
，即方差等于原數據平方的平均數減去平均數的
平方.
（2）當一組數據均較大或較小時,將這組數據都同時減去或加上同一個常數后,
所得方差、標準差與原始數據的方差、標準差相同.
（3）標準差和方差的異同：
相同點:標準差和方差都可以描述一組數據圍繞平均數波動的大小.
不同點:方差與原始數據的單位不同,且方差可能夸大了偏差程度,標準差則不然.
3.平均數與標準差（方差）這兩個數字特征在實際問題中如何應用？
平均數反映的是數據的平均水平，在實際應用中，平均數常被理解為平均水平，
標準差反映的是數據的離散程度的大小，反映了各個樣本數據在樣本平均數周
圍的集中程度.標準差越小，表明各個樣本數據在樣本平均數的周圍越集中；反
之，標準差越大，表明各個樣本數據在樣本平均數的周圍越分散.在實際應用中，
標準差常被理解為穩定性，常常與平均數結合起來解決問題.
例如：要從甲、乙兩名射擊運動員中選一名參加運動會，如果你是教練，你會
制定怎樣的選拔標準？制定怎樣的選拔方案？
選拔標準：要先考慮射擊運動員射擊的平均水平，即平均射擊環數，再考慮射
擊運動員發揮的穩定性.當射擊環數的平均數不相同時，選擇平均數較大的運動
員；當射擊環數的平均數相同時，選擇發揮更穩定（標準差較小）的運動員.
選拔方案：讓這兩名射擊運動員在相同的環境下進行相同次數的射擊，并記錄
每次射擊的環數，然后計算兩名運動員射擊環數的平均數和方差，再根據選拔
標準進行選擇.第2課時　眾數、極差、方差與標準差
【課前預習】
知識點一
最多
知識點二
1.最大值　最小值　2.　3.a2s2　4.算術平方根
診斷分析
(1)√　(2)×　[解析] (2)方差可以衡量一組數據波動的大小,數據大不一定數據的波動大,即不一定方差大.
【課中探究】
例1　(1)AB　(2)　[解析] (1)對于A,這組數據的平均數是×(7+8+9+10+6+8)=8,故A正確;對于B,這組數據的極差是10-6=4,故B正確;對于C,這組數據從小到大排列為6,7,8,8,9,10,因為6×40%=2.4,所以這組數據的40%分位數是8,故C錯誤;對于D,這組數據的方差是×[(-1)2+02+12+22+(-2)2+02]=,故D錯誤.故選AB.
(2)∵這組數據的中位數是眾數的倍,∴=4×,解得x=6,∴該組數據的平均數為×(1+4+4+6+7+8)=5,∴該組數據的方差為×[(1-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=,則標準差為.
變式　(1)D　(2)ABD　[解析] (1)對于A,中位數為4,眾數為4,則這5個數可以為4,4,4,4,4,故A不符合題意;對于B,中位數為3,極差為4,則這5個數可以是1,1,3,4,5,故B不符合題意;對于C,平均數為3,方差為2,設這5個數分別為x1,x2,x3,x4,x5,則x1+x2+x3+x4+x5=15,×[++++]=2,若取x1=6,則x2+x3+x4+x5=9,則+++=1,所以≤1,≤1,≤1,≤1,所以x2,x3,x4,x5這四個數可以為4,3,3,3或2,3,3,3,這與x2+x3+x4+x5=9矛盾,所以不存在6點,故C不符合題意;對于D,按從小到大的順序設這5個數依次為a,b,c,d,e,因為5×25%=1.25,所以25%分位數為5個數中從小到大排列的第2個數,又25%分位數為2,所以a=1或a=2,b=2,因為平均數為4,所以a+b+c+d+e=20,則c+d+e=17或c+d+e=16,若c,d,e三個數都不是6,則c+d+e≤15,這與c+d+e=17或c+d+e=16矛盾,故c,d,e三個數中一定會出現6,故D符合題意.故選D.
(2)x1,x2,…,x60的平均數為a,所以
=2×+1=2a+1,故A正確;x1,x2,…,x60的方差為b,即=b,所以
==4×
=4b,故B正確;x1,x2,…,x60的中位數為c,則2x1+1,2x2+1,…,2x60+1的中位數為2c+1,故C錯誤;x1,x2,…,x60的極差為d,則2x1+1,2x2+1,…,2x60+1的極差為2d,故D正確.故選ABD.
例2　解:甲成績的平均數為=×(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69,標準差為s甲=≈0.024.
乙成績的平均數為=×(1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68,標準差為s乙=≈0.056.
顯然,甲成績的平均數大于乙成績的平均數,而且甲成績的標準差小于乙成績的標準差,說明甲的成績比乙穩定,所以若跳高成績達到1.65 m就很可能獲得這次校際比賽的冠軍,則應派甲參賽.
在這8次測試中甲有3次成績在1.70 m及以上,乙有5次成績在1.70 m及以上,雖然乙成績的平均數小于甲,成績的穩定性也不如甲,但是若跳高成績達到1.70 m方可獲得冠軍,則應派乙參賽.
變式　(1)C　[解析] 甲同學5個數據的中位數為127,眾數為120,所以前3個數為120,120,127,后2個數肯定大于127,故甲同學數學成績優秀;乙同學5個數據的中位數為125,平均數為127,則這5個數據可以為118,119,125,128,145,此時乙同學數學成績不優秀;丙同學5個數據的中位數為131,平均數為128,方差為13.8,設丙同學的另外4個數據分別為x1,x2,x3,x4,且x1≤x2≤x3≤x4,則[(x1-128)2+(x2-128)2+(x3-128)2+(x4-128)2+(131-128)2]=13.8,即(x1-128)2+(x2-128)2+(x3-128)2+(x4-128)2=60,所以(x1-128)2≤60,得|x1-128|≤7,所以x1≥128-7>120,所以丙同學數學成績優秀.所以可以判定數學成績優秀的同學有甲、丙.故選C.
(2)解:①由題得,甲射擊命中環數的平均數為==7,
乙射擊命中環數的平均數為==7.
②甲射擊命中環數的方差為=×[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=×(0+1+1+1+1+4+4+9+0+9)=3,
乙射擊命中環數的方差為=×[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=×(4+4+0+1+0+1+1+1+0+0)=1.2.
由①知=,而>,所以選派乙去參賽更好.
【課堂評價】
1.B　[解析] ∵=>=,且=<<,∴應選派乙參加決賽.
2.A　[解析] 平均數為×(99+100+98+97+96)=98,方差為×[(99-98)2+(100-98)2+(98-98)2+(97-98)2+(96-98)2]=2,標準差為.
3.ABD　[解析] 將這組數據按從小到大的順序排列為4,4,5,5,5,6,13,處于中間位置的那個數是5,每個數字重復寫10次,5依然處于中間位置,由中位數的定義可知,這組新數據的中位數是5,故A正確;這組新數據中出現次數最多的數是5,出現了30次,所以眾數是5,故D正確;新數據的最大值與最小值分別是13,4,故極差是9,故B正確;==6,原數據的平均數與新數據的平均數相等,原數據的方差=×[(5-6)2+(4-6)2+(6-6)2+(5-6)2+(4-6)2+(13-6)2+(5-6)2]=,新數據的方差=×[(5-6)2×10+(4-6)2×10+(6-6)2×10+(5-6)2×10+(4-6)2×10+(13-6)2×10+(5-6)2×10]=,原數據的方差與新數據的方差相等,故C錯誤.故選ABD.
4.BC　[解析] 不妨設x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7.對于A,設這組數據為1,2,2,3,4,4,4,此時x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的眾數為4,x2,x3,x4,x5,x6的眾數為2和4,故A錯誤;對于B,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的中位數為x4,x2,x3,x4,x5,x6的中位數為x4,故B正確;對于C,因為x1是最小值,x7是最大值,所以x2,x3,x4,x5,x6的波動程度不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的波動程度,故C正確;對于D,因為x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的極差為x7-x1,x2,x3,x4,x5,x6的極差為x6-x2,且x1≤x2,x6≤x7,所以x7-x1≥x6-x2,故D錯誤.故選BC.
5.　[解析] ∵數據-1,0,4,x,y,14的中位數為5,∴=5,∴x=6,∴這組數據的平均數是=5,∴y=7,故這組數據的方差是×(36+25+1+1+4+81)=.第2課時　眾數、極差、方差與標準差
【學習目標】
1.會求一組數據的眾數、極差、方差與標準差;
2.理解數字特征的意義,并能解決與之相關的實際問題.
◆ 知識點一　眾數
一組數據中,某個數據出現的次數稱為這個數據的頻數,出現次數　　　　的數據稱為這組數據的眾數.
◆ 知識點二　極差、方差與標準差
1.一組數的極差指的是這組數的　　　　　減去　　　　　所得的差.
2.如果x1,x2,…,xn的平均數為,則方差可用求和符號表示為s2=　　　　　　　　　.
3.如果x1,x2,…,xn的方差為s2,且a,b為常數,則ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差為　　　　.
4.方差的　　　　　　　稱為標準差.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若一組數中,各數據值都相等,則標準差為0,表明數據沒有波動,數據沒有離散性,反之也成立. (　 )
(2)甲組數據的每個數據比乙組數據的每個數據都大,那么甲組數據的方差大于乙組數據的方差.(　 )
◆ 探究點一　眾數、極差、方差與標準差的計算
例1 (1)(多選題)[2024·貴州畢節高一期末] 某士官參加軍區射擊比賽,打了6發子彈,報靶數據如下:7,8,9,10,6,8(單位:環),下列說法正確的有 (　 )
A.這組數據的平均數是8
B.這組數據的極差是4
C.這組數據的40%分位數是9
D.這組數據的方差是2
(2)一組數據按從小到大的順序排列為1,4,4,x,7,8(其中x≠7),若該組數據的中位數是眾數的倍,則該組數據的標準差為　　　　.
變式 (1)甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次(骰子出現的點數可能為1,2,3,4,5,6),并分別記錄自己每次擲骰子出現的點數,四人根據統計結果對自己的試驗數據分別進行如下描述,可以判斷一定出現6點的描述是 (　 )
A.甲:中位數為4,眾數為4
B.乙:中位數為3,極差為4
C.丙:平均數為3,方差為2
D.丁:平均數為4,25%分位數為2
(2)(多選題)已知數據x1,x2,…,x60的平均數為a,方差為b,中位數為c,極差為d.由這組數據得到新數據y1,y2,…,y60,其中yi=2xi+1(i=1,2,…,60),則 (　 )
A.新數據的平均數是2a+1
B.新數據的方差是4b
C.新數據的中位數是2c
D.新數據的極差是2d
[素養小結]
計算標準差的五個步驟:
(1)算出樣本數據的平均數.
(2)算出每個樣本數據與樣本數據平均數的差:xi-(i=1,2,3,…,n).
(3)算出(2)中xi-(i=1,2,3,…,n)的平方.
(4)算出(3)中n個平方數的平均數,即為樣本方差.
(5)算出(4)中方差的算術平方根,即為樣本標準差.
◆ 探究點二　數字特征的應用
例2 某校擬選派一名跳高運動員去參加一項校際比賽,對甲、乙兩名跳高運動員分別進行了8次測試,他們的成績(單位:m)如下.
甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67;
乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
經預測,跳高成績達到1.65 m就很可能獲得這次校際比賽的冠軍,該校為了獲得冠軍,可能選哪名運動員參賽 若預測跳高成績達到1.70 m方可獲得冠軍呢
變式 (1)定義一個同學數學成績優秀的標準為“連續5次考試成績均不低于120分”.現有甲、乙、丙三位同學連續5次數學考試成績的記錄數據(記錄數據都是正整數):
①甲同學:5個數據的中位數為127,眾數為120;
②乙同學:5個數據的中位數為125,平均數為127;
③丙同學:5個數據的中位數為131,平均數為128,方差為13.8.
則可以判定數學成績優秀的同學為 (　 )
A.甲、乙 B.乙、丙
C.甲、丙 D.甲、乙、丙
(2)從甲、乙兩人中選拔一人參加射擊比賽,對他們的射擊水平進行了測試,兩人在相同條件下各射擊10次,命中的環數如下.
甲:7　8　6　8　6　5　9　10　7　4
乙:9　5　7　8　7　6　8　6　7　7
①分別計算甲、乙兩人射擊命中環數的平均數.
②選派誰去參賽更好 請說明理由.
[素養小結]
刻畫數據時,要根據不同的問題選擇不同的數字特征.平均數是數據的重心,它是反映數據集中趨勢的一項指標,當需要刻畫數據集中程度的時候需要求平均數.方差與標準差是反映數據離散與波動程度的,當需要刻畫數據穩定程度的時候通常選擇方差或標準差.
1.甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環數及其方差s2如下表所示,則選派參加決賽的最佳人選應是 (　 )
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 6.3 6.3 7 8.7
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.樣本數據99,100,98,97,96的標準差為(　 )
A. B.0 C.1 D.2
3.(多選題)[2024·湖南邵陽高一期末] 如果將一組數據5,4,6,5,4,13,5依次重復寫10次,會得到70個數組成的一組新數據,關于這組新數據的中位數、眾數、極差、方差,下列說法正確的是(　 )
A.中位數是5 B.極差是9
C.方差變大 D.眾數是5
4.(多選題)有一組樣本數據x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,其中x1是最小值,x7是最大值,則 (　 )
A.x2,x3,x4,x5,x6的眾數等于x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的眾數
B.x2,x3,x4,x5,x6的中位數等于x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的中位數
C.x2,x3,x4,x5,x6的方差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的方差
D.x2,x3,x4,x5,x6的極差不小于x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7的極差
5.一組樣本數據按從小到大的順序排列為-1,0,4,x,y,14,若這組數據的平均數與中位數均為5,則其方差為　　　　. 第2課時　眾數、極差、方差與標準差
1.B　[解析] 反映一組數據x1,x2,…,xn的穩定程度的是方差或標準差.故選B.
2.B　[解析] 這組數據的平均數=×(12+8+10+9+11)=10,所以這組數據的方差s2=×[(12-10)2+(8-10)2+(10-10)2+(9-10)2+(11-10)2]=2.因為這組數據的最大值為12,最小值為8,所以極差為4.
3.D　[解析] 將數據按從小到大的順序排列,可得10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,則a=×(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,b=×(15+15)=15,c=17,所以c>b>a.故選D.
4.C　[解析] 最后確定售價時眾數最重要,也最能說明問題.眾數是500,意味著每套這種西服人們普遍能接受的價格是500元.故選C.
5.B　[解析] 因為78+90=88+80,所以更正前后樣本的平均數不發生改變,即=90.又(90-78)2+(90-90)2>(90-88)2+(90-80)2,所以更正后樣本的方差變小,即s2<65.故選B.
6.C　[解析] 設樣本數據x1,x2,…,xn的平均數是,方差是s2,則s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=0.01,則數據10x1,10x2,…,10xn的平均數是10,方差s'2=[(10x1-10)2+(10x2-10)2+…+(10xn-10)2]=100s2=1.故選C.
7.C　[解析] 設正數x1,x2,x3的平均數為,則s2=(++-12)=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2]=(++-+3)=(++-3),所以3=12,可得=2,所以數據3x1-1,3x2-1,3x3-1的平均數為3·-1=3×2-1=5.故選C.
8.AD　[解析] 由數據x1,x2,…,xn的平均數為,可得=(x1+x2+…+xn),其方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].對于數據x1,x2,…,xn,,其平均數=(x1+x2+…+xn+)=,其方差=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2+(-)2]=s2.兩組數據的平均數相同,方差不相同,故C錯誤,D正確;易知兩組數據的最大值和最小值不變,則兩組數據的極差相同,故A正確;兩組數據的中位數不一定相同,故B錯誤.故選AD.
9.AC　[解析] 對于A,中位數為2,極差為5,所以最大值不會超過7,故A正確;
對于B,若過去10天體溫高于37.3 ℃的人數分別為0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,滿足平均數為2,眾數為2,但有一天體溫高于37.3 ℃的人數超過7,故B錯誤;
對于C,因為平均數為2,標準差為,所以方差s2=(ai-2)2=3,假設有一天體溫高于37.3 ℃的人數超過7,設為8,則(8-2)2=36,與s2=3矛盾,故C正確;
對于D,若過去10天體溫高于37.3 ℃的人數分別為0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,滿足平均數為1,方差大于0,但有一天體溫高于37.3 ℃的人數超過7,故D錯誤.故選AC.
10.甲成績的方差大于乙成績的方差(或甲成績的標準差大于乙成績的標準差)　乙　[解析] 設甲、乙兩名學生成績的平均數分別為,,標準差分別為s甲,s乙,則==74,==74,所以==104,==34,顯然<,即s乙11.6.8　[解析] 由題意得,該組數據的平均數為,眾數為5.
當a≤4時,該組數據的中位數為4.5,所以+5=2×4.5,解得a=0,此時該組數據的方差為×(16+9+4+1+0+1+1+1+9+16)=5.8;
當4當a≥5時,該組數據的中位數為5,所以+5=10,解得a=10,此時該組數據的方差為×(16+9+4+1+0+0+0+4+9+25)=6.8.故該組數據方差的最大值為6.8.
12.10.5,10.5　[解析] 由樣本數據的中位數為10.5可知=10.5,即a+b=21,可得樣本數據的平均數為=10.若要使該組數據的方差最小,只需(a-10)2+(b-10)2最小即可,又b=21-a,故(a-10)2+(b-10)2=2a2-42a+221(7≤a≤10.5),當上式取最小值時a=10.5,此時b=10.5,該組數據的方差最小.
13.解:甲機床的樣本數據從小到大排列為98,99,100,100,100,103,則眾數為100,中位數為100,
平均數為=100,方差為×[(-2)2+(-1)2+3×02+32]=.
乙機床的樣本數據從小到大排列為99,99,100,100,100,102,則眾數為100,中位數為100,
平均數為=100,方差為×[2×(-1)2+3×02+22]=1.
故甲機床樣本數據的眾數、中位數、平均數都為100,方差為,
乙機床樣本數據的眾數、中位數、平均數都為100,方差為1.
因為乙機床樣本數據的方差小于甲機床樣本數據的方差,所以乙機床加工零件的質量更穩定.
14.解:(1)設第一階段、第二階段得分的平均數分別為E1,E2.
由題可知,第一階段得分的平均數E1=10+×=10+=,
第二階段得分的平均數E2=10+×=10+=.
因為E1>E2,所以該選手在第一階段的發揮狀態更好.
(2)由(1)可得=≈10.48,故s2=×=×=,于是s=≈0.31,則-2s≈10.48-2×0.31=9.86,+2s≈10.48+2×0.31=11.10,
故[-2s,+2s]即為[9.86,11.10],
因為9.8<9.86,所以該選手最后一槍在第二階段的6個數據中不正常.
15.8　[解析] 設樣本數據為x1,x2,x3,x4,x5,則平均數=(x1+x2+x3+x4+x5)=5,方差s2=[(x1-5)2+(x2-5)2+(x3-5)2+(x4-5)2+(x5-5)2]=4,則x1+x2+x3+x4+x5=25①,(x1-5)2+(x2-5)2+(x3-5)2+(x4-5)2+(x5-5)2=20②.若樣本數據中的最大值為9,不妨設x5=9,則②式可變為(x1-5)2+(x2-5)2+(x3-5)2+(x4-5)2=4,由于樣本數據互不相同,所以這是不可能成立的,若樣本數據為2,4,5,6,8,代入驗證知①②式均成立,此時樣本數據中的最大值為8.
16.解:(1)可以用方差來度量每一組評委打分的相似性,方差越小,相似程度越高.
小組A打分的平均數=×(85+91+87+93+88+84+97+94+95+86)=90,
小組A打分的方差=×[(85-90)2+(91-90)2+(87-90)2+(93-90)2+(88-90)2+(84-90)2+(97-90)2+(94-90)2+(95-90)2+(86-90)2]=19;
小組B打分的平均數=×(84+87+92+96+89+95+92+91+94+90)=91,
小組B打分的方差=×[(84-91)2+(87-91)2+(92-91)2+(96-91)2+(89-91)2+(95-91)2+(92-91)2+(91-91)2+(94-91)2+(90-91)2]=12.2;
小組C打分的平均數=×(95+89+95+96+97+93+92+90+89+94)=93,
小組C打分的方差=×[(95-93)2+(89-93)2+(95-93)2+(96-93)2+(97-93)2+(93-93)2+(92-93)2+(90-93)2+(89-93)2+(94-93)2]=7.6.
(2)由于專業評委打分更符合專業規則,相似程度應該更高,即方差更小,因而C組評委更像是由專業人士組成的.第2課時　眾數、極差、方差與標準差
一、選擇題
1.某公司為評估共享單車的使用情況,選了n座人口大致相同的城市作為實驗基地,這n座城市共享單車的使用量(單位:人次/天)分別為x1,x2,…,xn,下面給出的指標中可以用來評估共享單車使用量的穩定程度的是 (　 )
A.x1,x2,…,xn的平均數
B.x1,x2,…,xn的標準差
C.x1,x2,…,xn的最大值
D.x1,x2,…,xn的中位數
2.某同學5天上學途中所花費的時間(單位:分鐘)分別為12,8,10,9,11,則這組數據的極差、方差分別為 (　 )
A.3,4 B.4,2
C.5,9 D.4,3
3.10名工人某天生產同一種零件,生產的件數分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.設其平均數為a,中位數為b,眾數為c,則 (　 )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
4.某服裝店新購進一批西服,每套的成本為300元,為獲得一個合理的定價,該店在零售標簽上標價進行試銷,一段時間后實際銷售情況統計如下表:
每套售價(元) 700 600 500 400
套數 3 5 15 12
最后確定售價時最關心這組數據的 (　 )
A.平均數 B.中位數
C.眾數 D.極差
5.某次考試后計算出全體學生成績的平均數為90,方差為65.后來有兩位學生反應,自己的成績被登記錯誤,一位學生的成績為88分,記錄成78分,另一位學生的成績為80分,記錄成90分,更正后,得到的平均數為,方差為s2,則(　 )
A.=90,s2>65 B.=90,s2<65
C.>90,s2<65 D.=90,s2=65
6.設一組樣本數據x1,x2,…,xn的方差為0.01,則數據10x1,10x2,…,10xn的方差為 (　 )
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
7.已知一組正數x1,x2,x3的方差s2=(++-12),則數據3x1-1,3x2-1,3x3-1的平均數為(　 )
A.1 B.3 C.5 D.7
8.(多選題)[2024·山東煙臺高一期末] 已知數據x1,x2,…,xn的平均數為,則數據x1,x2,…,xn, (　 )
A.與原數據的極差相同
B.與原數據的中位數相同
C.與原數據的方差相同
D.與原數據的平均數相同
9.(多選題)[2024·四川涼山高一期末] 秋末冬初,人們受冷空氣的影響容易遭到各種流行病毒的侵襲,影響到正常的工作以及生活.健康部門認為:某群體若任意連續10天,每天不超過7人體溫高于37.3 ℃,則稱沒有發生群體性發熱.已知四個學校在過去10天體溫高于37.3 ℃的人數統計數據,能判定該學校沒有發生群體性發熱的為　 (　 )
A.甲學校:中位數為2,極差為5
B.乙學校:平均數為2,眾數為2
C.丙學校:平均數為2,標準差為
D.丁學校:平均數為1,方差大于0
二、填空題
10.甲、乙兩名學生某門課程的5次測試成績依次分別為60,80,70,90,70和80,65,70,80,75,因為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,所以學生　　　　的成績更穩定.
11.已知一組數據為1,2,3,5,a,4,5,5,7,8,若該組數據的平均數與眾數之和等于中位數的2倍,則該組數據方差的最大值為　　　　.
12.已知一組樣本數據由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且樣本數據的中位數為10.5.若要使該組數據的方差最小,則a,b的值分別是　　　　.
三、解答題
13.[2023·遼寧阜新高一期末] 甲、乙兩機床同時加工直徑為100 mm的零件,為檢驗質量,從中各抽取6件,測量數據如下:
甲 99 100 98 100 100 103
乙 99 100 102 99 100 100
分別計算甲、乙機床樣本數據的眾數、中位數、平均數和方差,并判斷哪臺機床加工零件的質量更穩定.
14.某選手進行射擊訓練,訓練一共分兩個階段進行:第一階段,前4輪(第1~8槍,每輪2槍);第二階段,后3輪(第9~14槍,每輪2槍).此次訓練成績如下.
輪數 1 2 3 4 5 6 7
槍數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
得分 10.5 10.4 10.8 10.9 10.2 10.8 10.0 10.6 10.6 10.5 10.7 10.6 10.7 9.8
(1)計算第一階段和第二階段得分的平均數,試根據此結果分析該選手在哪個階段的發揮狀態更好.
(2)設第二階段得分的平均數為,標準差為s,若數據落在[-2s,+2s]內記為正常,否則記為不正常,請根據此結論判斷該選手最后一槍在第二階段6個數據中是否為正常 (參考數據:≈18.79,計算結果精確到0.01)
15.水痘是一種傳染性很強的病毒性疾病,容易在春天爆發,武漢疾控中心為了調查某中學高一年級學生注射水痘疫苗的人數,在高一年級隨機抽取了5個班級,每個班級抽取的人數互不相同,若把每個班級抽取的人數作為樣本數據,已知樣本平均數為5,樣本方差為4,則樣本數據中的最大值為　　　　.
16.在一次文藝比賽中,由10名專業評審、10名媒體評審和10名大眾評審各組成一個評委小組,給參賽選手打分.打分均采用100分制,下面是三組評委對選手小明的打分.
小組A 85 91 87 93 88 84 97 94 95 86
小組B 84 87 92 96 89 95 92 91 94 90
小組C 95 89 95 96 97 93 92 90 89 94
(1)選擇一個可以度量每一組評委打分相似性的量,并對每組評委的打分計算度量值.
(2)你能依據(1)的度量值判斷小組A,B,C中哪一個更像是由專業人士組成的嗎

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