資源簡介

(共37張PPT)
5.1 統(tǒng)計(jì)
5.1.3 數(shù)據(jù)的直觀表示
第2課時 頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖
◆ 課前預(yù)習(xí)
◆ 課中探究
◆ 課堂評價(jià)
◆ 備課素材
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
結(jié)合實(shí)際問題,理解頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方圖的特點(diǎn)及差異,體會頻
率分布直方圖在統(tǒng)計(jì)中的重要作用.
知識點(diǎn)一 頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖
1.頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的繪制步驟
（1）找出最值，計(jì)算______；
（2）合理分組，確定______；
（3）整理數(shù)據(jù)：逐個檢查原始數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)每個區(qū)間內(nèi)數(shù)的個數(shù)，并求出頻數(shù)與
數(shù)據(jù)個數(shù)的______；
（4）作出頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖.
極差
區(qū)間
比值
2.頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的表示
頻數(shù)分布直方 圖 縱坐標(biāo)是頻數(shù)，每一組數(shù)對應(yīng)的矩形______與______成正比
頻率分布直方 圖 縱坐標(biāo)是 ，每一組數(shù)對應(yīng)的矩形高度與頻率成正比，每
個矩形的面積等于這一組數(shù)對應(yīng)的頻率.所有矩形的面積之和
為1
高度
頻數(shù)
【診斷分析】 判斷正誤.（請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢保?br/>（1）頻率分布直方圖的高表示某組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻數(shù)與組距的比值.
( )
×
[解析] 頻率分布直方圖的高表示某組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值.
（2）若固定分組數(shù),隨著樣本容量的增加,頻率分布表中各個頻率會穩(wěn)定在某個
值的附近,從而頻率分布直方圖中的各個矩形的高度也會穩(wěn)定在特定的值上.( )
√
（3）在繪制頻率分布直方圖時，所分的組數(shù)越多越好.( )
×
（4）頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準(zhǔn)確，
后者直觀.( )
√
知識點(diǎn)二 頻數(shù)分布折線圖與頻率分布折線圖
作頻數(shù)分布折線圖與頻率分布折線圖的方法：把每個矩形上面一邊的中點(diǎn)用線
段連接起來.為了方便看圖，折線圖都畫成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左、
右兩個交點(diǎn)是沒有實(shí)際意義的.
探究點(diǎn)一 頻數(shù)與頻率
例1（1） 在100個人中,有40個學(xué)生,21個干部,29個工人,10個農(nóng)民,則0.29是工人
的( )
B
A.頻數(shù) B.頻率 C.累計(jì)頻率 D.累計(jì)頻數(shù)
[解析] ,表示工人的頻率.
（2）一個容量為32的樣本，已知某組數(shù)據(jù)的頻率為 ，則該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為
( )
B
A.4 B.8 C.12 D.16
[解析] 設(shè)該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為，則，解得 ，所以該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)
為8.故選B.
［素養(yǎng)小結(jié)］
注意頻數(shù)與頻率的區(qū)別：頻數(shù)是指出現(xiàn)的次數(shù)，頻率指頻數(shù)與總數(shù)的比值.
探究點(diǎn)二 頻率分布直方圖和頻率分布折線圖
例2 已知一組樣本數(shù)據(jù)如下:30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28,25,21,23,25,27,
29,25,28.各分組區(qū)間分別為,, , ,
.
（1）列出樣本的頻率分布表;
解：頻率分布表如下:
分組區(qū)間 個數(shù)累計(jì) 頻數(shù) 頻率
___________ 2 0.10
____________ 3 0.15
_______________ 8 0.40
__________ 4 0.20
__________ 3 0.15
合計(jì) 20 20 1.00
（2）畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.
解：由（1）中所得頻率分布表可畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖，如圖
所示.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）在列頻率分布表時，極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系：
①若為整數(shù)，則 組數(shù)；
②若不為整數(shù)，則的整數(shù)部分 組數(shù).
（2）組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)據(jù)分組時，組數(shù)力求合適，使數(shù)
據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來，組數(shù)太多或太少都會影響了解數(shù)據(jù)的分布
情況.若樣本容量不超過100，按照數(shù)據(jù)的多少常分為 組，一般樣本容量越
大，所分組數(shù)越多.
探究點(diǎn)三 頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的應(yīng)用
例3（1） （多選題）杭州某社區(qū)進(jìn)行了以“中國
特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味”為主題的知識競賽，
現(xiàn)隨機(jī)抽取30名選手，其得分如圖所示.設(shè)得分的
中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均數(shù)為 ，則( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 由圖可知，30名選手得分的中位數(shù)為按從小到大的順序排列的第15個數(shù)
和第16個數(shù)（分別是5和6）的平均數(shù)，則中位數(shù) ，故A錯誤；
由圖可知，5出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù) ，故B正確；
因?yàn)槠骄鶖?shù)
，所以，故C錯誤，D正確.故選 .
（2）為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個
社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查，他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成
頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 ,
, ,則它們的大小關(guān)系為____________.
[解析] 根據(jù)三個頻率分布直方圖知，甲的數(shù)據(jù)兩端的數(shù)較多，絕大部分?jǐn)?shù)都處
在兩端，偏離平均數(shù)較遠(yuǎn)，最分散，其標(biāo)準(zhǔn)差最大；乙的數(shù)據(jù)不如甲偏離程度
大，標(biāo)準(zhǔn)差比甲小；丙的數(shù)據(jù)最集中，標(biāo)準(zhǔn)差最小.綜上可知 .
變式 （多選題）[2024·沈陽高一期末] 為了了解
某社區(qū)用水量情況，對該社區(qū)居民去年的月均用水
量進(jìn)行抽樣調(diào)查，整理該社區(qū)居民去年的月均用水
量的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.則下列
結(jié)論正確的是( )
BCD
A.該社區(qū)居民去年的月均用水量高于9噸的用戶比例估計(jì)為
B.估計(jì)該社區(qū)去年有一半的居民月均用水量在5噸到9噸之間
C.若該社區(qū)有1000戶居民，估計(jì)該社區(qū)去年的月均用水量不足3噸的用戶有100戶
D.估計(jì)該社區(qū)居民去年的月均用水量的平均數(shù)大于7（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間
的中點(diǎn)值代替）
[解析] 對于A，該社區(qū)居民去年的月均用水量高于9噸的比例估計(jì)為
，故A錯誤.
對于B，該社區(qū)居民去年的月均用水量在5噸到9噸之間的有 ，故B正確.
對于C，估計(jì)該社區(qū)去年的月均用水量不足3噸的戶數(shù)為 ，故C正確.
對于D，估計(jì)該社區(qū)居民去年的月均用水量的平均數(shù)為
，故D正確.故選 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖相似度極高，唯一的差異就是縱軸的意義不
同，頻數(shù)分布直方圖中縱軸表示的是頻數(shù)，頻率分布直方圖中縱軸表示的是
.
1.下列說法正確的是( )
C
A.頻率分布直方圖的每個矩形的高表示取某數(shù)的頻數(shù)
B.頻率分布直方圖的每個矩形的高表示該組個體在樣本中出現(xiàn)的頻率
C.頻率分布直方圖的每個矩形的高表示該組個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值
D.頻率分布直方圖的每個矩形的高表示該組個體在樣本中出現(xiàn)的頻數(shù)與組距的比值
[解析] 頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)（矩形的高）表示頻率與組距的比值,其相應(yīng)小
組的頻率等于該組對應(yīng)的矩形的面積.
2.某校高三年級共有600名學(xué)生選修地理，某次
考試地理成績的范圍為 （單位：分），
分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)后繪成頻率分布直方圖，如圖所示，
則成績在 內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為( )
C
A.380
B.420
C.450
D.480
[解析] 成績在內(nèi)的頻率為 ，所以成績在
內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為 .故選C.
3.某中學(xué)在高考分?jǐn)?shù)公布后對高三年級
各班的成績進(jìn)行分析.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某班有
50名學(xué)生，總分都在區(qū)間
內(nèi)，將得分區(qū)間平均分成5組，統(tǒng)計(jì)頻
A
A.653.6 B.653.7 C.653.8 D.653.9
[解析] 由圖知，該班學(xué)生成績的平均數(shù)為
.故選A.
數(shù)、頻率后，得到了如圖所示的頻率分布折線圖.根據(jù)頻率分布折線圖，估計(jì)該班學(xué)
生成績的平均數(shù)為( )
4.[2023·陜西寶雞中學(xué)高一月考] 某中學(xué)為了
解高一男生的體能情況，通過隨機(jī)抽樣，獲得
了200名男生的100米體能測試成績（單位：
秒），將數(shù)據(jù)按照， ，
分成9組，
0.63
[解析] 由頻率分布直方圖中各矩形面積之和為1，可得
，解得
，故體能測試成績大于13.25秒的頻率是
.
制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則這200名男生的100米體能測試成
績大于13.25秒的頻率是_____.
5.為開發(fā)出更滿足消費(fèi)者需求的房屋，某房
地產(chǎn)策劃部對2000名客戶的需求進(jìn)行了調(diào)查，
并繪成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）觀察直方圖，你認(rèn)為房地產(chǎn)商應(yīng)多開發(fā)_____平方米的房屋；
130
[解析] 由題圖可知，眾數(shù)為130，故應(yīng)多開發(fā)130平方米的房屋.
（2）由圖計(jì)算，2000名客戶中需求房屋面積在 內(nèi)的人數(shù)是_____.
900
[解析] 2000名客戶中，需求房屋面積在 內(nèi)的人數(shù)為
.
1.直方圖與柱形圖的區(qū)別
（1）柱形圖是用柱形的長度表示各類別頻數(shù)的多少,其寬度（表示類別）是固
定的;頻率分布直方圖是用面積表示各組的頻率,矩形的高度表示每一組的頻率除
以組距,寬度則表示各組的組距,因此其高度與寬度均有意義.
（2）由于分組數(shù)據(jù)具有連續(xù)性,因此直方圖的各矩形通常是連續(xù)排列,而柱形圖
則是分開排列.
2.頻率與頻率比
3.與頻率分布直方圖計(jì)算有關(guān)的兩個關(guān)系式
（1） 組距 頻率；
（2）頻率，此關(guān)系式的變形為樣本容量，樣本容量×頻率
頻數(shù).
4.繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的兩個問題
（1）在繪制出頻率分布表后，畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定矩形的高.一
般地，頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長度是不一致的，合理的定高方法
是“以一個恰當(dāng)?shù)膯挝婚L度”（沒有統(tǒng)一規(guī)定），然后以各組的“頻率/組距”所占
的比例來定高.如我們預(yù)先設(shè)定以“ ”為一個單位長度，代表“0.1”，則若一個組
的為 ，則該小矩形的高就是“ ”（占兩個單位長度），以此類推.
（2）數(shù)據(jù)要合理分組，組距要選取恰當(dāng)，一般盡量取整，數(shù)據(jù)為 個左
右時，應(yīng)分成 組，在頻率分布直方圖中，各個矩形的面積等于各組的頻率，
矩形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和為1.
例1 下面按時間順序給出了某組織歷屆領(lǐng)導(dǎo)人就任時的年齡：
50，47，57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，
64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，57，60，
55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，54，
62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，47，70.
（1）將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖；
解：以4為組距，列頻率分布表如下：
分組 頻數(shù) 頻率
2 0.04
8 0.16
9 0.18
18 0.36
6 0.12
4 0.08
3 0.06
合計(jì) 50 1.00
畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖，如圖所示.
（2）用自己的語言描述一下該組織領(lǐng)導(dǎo)人就任時年齡的分布情況.
解：從頻率分布表中可以看出，的該組織領(lǐng)導(dǎo)人就任時的年齡在 內(nèi)，
且在 內(nèi)的人數(shù)最多，在46歲以下和66歲及66歲以上的相對較少.
5.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系
（1）最高的矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).
（2）中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和是相等的.
（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個矩形的面
積乘以矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
例2 某市教育局為得到高一年級學(xué)生身高的數(shù)據(jù)，對高一年級學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)
查，隨機(jī)抽取了1000名學(xué)生，他們的身高都在，，，， 五個層次內(nèi)，
分男、女生統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則 ( )
B
A.樣本中 層次的女生比相應(yīng)層次的男生人數(shù)多
B.估計(jì)樣本中男生身高的中位數(shù)比女生身高的中位數(shù)大
C.層次的女生和 層次的男生在整個樣本中頻率相等
D.樣本中層次的學(xué)生數(shù)和 層次的學(xué)生數(shù)一樣多
[解析] 設(shè)樣本中女生有人，則男生有 人，
設(shè)女生身高頻率分布直方圖中的組距為
由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得 ，
所以，所以女生身高頻率分布直方圖中A層次的頻率為 ，B層次的
頻率為，C層次的頻率為，D層次的頻率為，層次的頻率為 ，
所以樣本中A層次的女生人數(shù)為，男生人數(shù)為，由于 的取值
未知，所以無法比較A層次中男、女生人數(shù)，故A錯誤；
D層次女生在女生樣本中的頻率為，所以在整個樣本中的頻率為 ，
E層次男生在男生樣本中的頻率為，所以在整個樣本中的頻率為 ，
由于的值未知，所以無法比較D層次的女生和 層次的男生在整個樣本中頻率，
故C錯誤；
樣本中B層次的學(xué)生人數(shù)為 ，
樣本中C層次的學(xué)生人數(shù)為 ，
由于 的值未知，所以無法比較樣本中B層次的學(xué)生人數(shù)和C層次的學(xué)生人數(shù)的
大小，故D錯誤；
女生中A，B兩個層次的頻率之和為 ，所以女生的樣本身高中位數(shù)為B，C層
次的分界點(diǎn)，而男生A，B兩個層次的頻率之和為 ，A，B，C兩個層次的頻
率之和為 ，顯然中位數(shù)落在C層次內(nèi)，所以樣本中男生身高的中位數(shù)比女生
身高的中位數(shù)大，故B正確.故選B.第2課時　頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖
【課前預(yù)習(xí)】
知識點(diǎn)一
1.(1)極差　(2)區(qū)間　(3)比值　2.高度　頻數(shù)
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)頻率分布直方圖的高表示某組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值.
【課中探究】
例1　(1)B　(2)B　[解析] (1)0.29=,表示工人的頻率.
(2)設(shè)該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為n,則=0.25,解得n=8,所以該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為8.故選B.
例2　解:(1)頻率分布表如下:
分組區(qū)間 個數(shù)累計(jì) 頻數(shù) 頻率
[20.5,22.5) 2 0.10
[22.5,24.5) 3 0.15
[24.5,26.5) 8 0.40
[26.5,28.5) 4 0.20
[28.5,30.5] 3 0.15
合計(jì) 20 20 1.00
(2)由(1)中所得頻率分布表可畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖,如圖所示.
例3　(1)BD　(2)s1>s2>s3　[解析] (1)由圖可知,30名選手得分的中位數(shù)為按從小到大的順序排列的第15個數(shù)和第16個數(shù)(分別是5和6)的平均數(shù),則中位數(shù)m=5.5,故A錯誤;由圖可知,5出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以眾數(shù)n=5,故B正確;因?yàn)槠骄鶖?shù)=×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)≈5.97,所以n(2)根據(jù)三個頻率分布直方圖知,甲的數(shù)據(jù)兩端的數(shù)較多,絕大部分?jǐn)?shù)都處在兩端,偏離平均數(shù)較遠(yuǎn),最分散,其標(biāo)準(zhǔn)差最大;乙的數(shù)據(jù)不如甲偏離程度大,標(biāo)準(zhǔn)差比甲小;丙的數(shù)據(jù)最集中,標(biāo)準(zhǔn)差最小.綜上可知s1>s2>s3.
變式　BCD　[解析] 對于A,該社區(qū)居民去年的月均用水量高于9噸的比例估計(jì)為(0.050+0.075)×2=25%,故A錯誤.對于B,該社區(qū)居民去年的月均用水量在5噸到9噸之間的有(0.100+0.150)×2=50%,故B正確.對于C,估計(jì)該社區(qū)去年的月均用水量不足3噸的戶數(shù)為1000×0.050×2=100,故C正確.對于D,估計(jì)該社區(qū)居民去年的月均用水量的平均數(shù)為(0.050×2+0.075×4+0.100×6+0.150×8+0.075×10+0.050×12)×2=7.1,故D正確.故選BCD.
【課堂評價(jià)】
1.C　[解析] 頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)(矩形的高)表示頻率與組距的比值,其相應(yīng)小組的頻率等于該組對應(yīng)的矩形的面積.
2.C　[解析] 成績在[70,85)內(nèi)的頻率為5×(0.04+0.06+0.05)=0.75,所以成績在[70,85)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為600×0.75=450.故選C.
3.A　[解析] 由圖知,該班學(xué)生成績的平均數(shù)為(610×0.004+630×0.007+650×0.020+670×0.014+690×0.005)×20=653.6.故選A.
4.0.63　[解析] 由頻率分布直方圖中各矩形面積之和為1,可得0.5×(0.08+0.16+0.30+a+0.52+0.30+0.12+0.08+0.04)=1,解得a=0.40,故體能測試成績大于13.25秒的頻率是0.5×(0.40×0.5+0.52+0.30+0.12+0.08+0.04)=0.63.
5.130　900　[解析] (1)由題圖可知,眾數(shù)為130,故應(yīng)多開發(fā)130平方米的房屋.
(2)2000名客戶中,需求房屋面積在[100,140)內(nèi)的人數(shù)為2000×(0.007 5+0.015)×20=900.第2課時　頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
結(jié)合實(shí)際問題,理解頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方圖的特點(diǎn)及差異,體會頻率分布直方圖在統(tǒng)計(jì)中的重要作用.
◆ 知識點(diǎn)一　頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖
1.頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的繪制步驟
(1)找出最值,計(jì)算　　　　;
(2)合理分組,確定　　　　;
(3)整理數(shù)據(jù):逐個檢查原始數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)每個區(qū)間內(nèi)數(shù)的個數(shù),并求出頻數(shù)與數(shù)據(jù)個數(shù)的　　　　;
(4)作出頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖.
2.頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的表示
頻數(shù)分布 直方圖 縱坐標(biāo)是頻數(shù),每一組數(shù)對應(yīng)的矩形　　　　與　　　　成正比
頻率分布 直方圖 縱坐標(biāo)是,每一組數(shù)對應(yīng)的矩形高度與頻率成正比,每個矩形的面積等于這一組數(shù)對應(yīng)的頻率.所有矩形的面積之和為1
【診斷分析】 判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)頻率分布直方圖的高表示某組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻數(shù)與組距的比值. (　 )
(2)若固定分組數(shù),隨著樣本容量的增加,頻率分布表中各個頻率會穩(wěn)定在某個值的附近,從而頻率分布直方圖中的各個矩形的高度也會穩(wěn)定在特定的值上. (　 )
(3)在繪制頻率分布直方圖時,所分的組數(shù)越多越好. (　 )
(4)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式,前者準(zhǔn)確,后者直觀.(　 )
◆ 知識點(diǎn)二　頻數(shù)分布折線圖與頻率分布折線圖
作頻數(shù)分布折線圖與頻率分布折線圖的方法:把每個矩形上面一邊的中點(diǎn)用線段連接起來.為了方便看圖,折線圖都畫成與橫軸相交,所以折線圖與橫軸的左、右兩個交點(diǎn)是沒有實(shí)際意義的.
◆ 探究點(diǎn)一　頻數(shù)與頻率
例1 (1)在100個人中,有40個學(xué)生,21個干部,29個工人,10個農(nóng)民,則0.29是工人的(　 )
A.頻數(shù) B.頻率
C.累計(jì)頻率 D.累計(jì)頻數(shù)
(2)一個容量為32的樣本,已知某組數(shù)據(jù)的頻率為0.25,則該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為 (　 )
A.4 B.8
C.12 D.16
[素養(yǎng)小結(jié)]
注意頻數(shù)與頻率的區(qū)別:頻數(shù)是指出現(xiàn)的次數(shù),頻率指頻數(shù)與總數(shù)的比值.
◆ 探究點(diǎn)二　頻率分布直方圖和頻率分布折線圖
例2 已知一組樣本數(shù)據(jù)如下:30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28,25,21,23,25,27,29,25,28.各分組區(qū)間分別為[20.5,22.5),[22.5,24.5),[24.5,26.5),[26.5,28.5),[28.5,30.5].
(1)列出樣本的頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)在列頻率分布表時,極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系:
①若為整數(shù),則=組數(shù);
②若不為整數(shù),則的整數(shù)部分+1=組數(shù).
(2)組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn),將數(shù)據(jù)分組時,組數(shù)力求合適,使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來,組數(shù)太多或太少都會影響了解數(shù)據(jù)的分布情況.若樣本容量不超過100,按照數(shù)據(jù)的多少常分為5~12組,一般樣本容量越大,所分組數(shù)越多.
◆ 探究點(diǎn)三　頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的應(yīng)用
例3 (1)(多選題)杭州某社區(qū)進(jìn)行了以“中國特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味”為主題的知識競賽,現(xiàn)隨機(jī)抽取30名選手,其得分如圖所示.設(shè)得分的中位數(shù)為m,眾數(shù)為n,平均數(shù)為,
則 (　 )
A.m=5 B.n=5
C.m> D.n<
(2)為了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查,他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1,s2,s3,則它們的大小關(guān)系為　　　　　　.
變式 (多選題)[2024·沈陽高一期末] 為了了解某社區(qū)用水量情況,對該社區(qū)居民去年的月均用水量進(jìn)行抽樣調(diào)查,整理該社區(qū)居民去年的月均用水量的數(shù)據(jù),得到如圖所示的頻率分布直方圖.則下列結(jié)論正確的是(　 )
A.該社區(qū)居民去年的月均用水量高于9噸的用戶比例估計(jì)為12.5%
B.估計(jì)該社區(qū)去年有一半的居民月均用水量在5噸到9噸之間
C.若該社區(qū)有1000戶居民,估計(jì)該社區(qū)去年的月均用水量不足3噸的用戶有100戶
D.估計(jì)該社區(qū)居民去年的月均用水量的平均數(shù)大于7(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)
[素養(yǎng)小結(jié)]
頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖相似度極高,唯一的差異就是縱軸的意義不同,頻數(shù)分布直方圖中縱軸表示的是頻數(shù),頻率分布直方圖中縱軸表示的是.
1.下列說法正確的是 (　 )
A.頻率分布直方圖的每個矩形的高表示取某數(shù)的頻數(shù)
B.頻率分布直方圖的每個矩形的高表示該組個體在樣本中出現(xiàn)的頻率
C.頻率分布直方圖的每個矩形的高表示該組個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值
D.頻率分布直方圖的每個矩形的高表示該組個體在樣本中出現(xiàn)的頻數(shù)與組距的比值
2.某校高三年級共有600名學(xué)生選修地理,某次考試地理成績的范圍為[60,90](單位:分),分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)后繪成頻率分布直方圖,如圖所示,則成績在[70,85)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為 (　 )
A.380 B.420
C.450 D.480
3.某中學(xué)在高考分?jǐn)?shù)公布后對高三年級各班的成績進(jìn)行分析.經(jīng)統(tǒng)計(jì),某班有50名學(xué)生,總分都在區(qū)間[600,700]內(nèi),將得分區(qū)間平均分成5組,統(tǒng)計(jì)頻數(shù)、頻率后,得到了如圖所示的頻率分布折線圖.根據(jù)頻率分布折線圖,估計(jì)該班學(xué)生成績的平均數(shù)為 (　 )
A.653.6 B.653.7
C.653.8 D.653.9
4.[2023·陜西寶雞中學(xué)高一月考] 某中學(xué)為了解高一男生的體能情況,通過隨機(jī)抽樣,獲得了200名男生的100米體能測試成績(單位:秒),將數(shù)據(jù)按照[11.5,12),[12,12.5),…,[15.5,16)分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖,則這200名男生的100米體能測試成績大于13.25秒的頻率是　　　　.
5.為開發(fā)出更滿足消費(fèi)者需求的房屋,某房地產(chǎn)策劃部對2000名客戶的需求進(jìn)行了調(diào)查,并繪成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)觀察直方圖,你認(rèn)為房地產(chǎn)商應(yīng)多開發(fā)　　　　平方米的房屋;
(2)由圖計(jì)算,2000名客戶中需求房屋面積在[100,140)內(nèi)的人數(shù)是　　　第2課時　頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖
1.A　[解析] 易知所求頻率為=.故選A.
2.B　[解析] 由題意知=h,故|a-b|=組距==.故選B.
3.D　[解析] 樣本數(shù)據(jù)在[5.5,7.5)內(nèi)的頻數(shù)為2,頻率為0.1;樣本數(shù)據(jù)在[7.5,9.5)內(nèi)的頻數(shù)為6,頻率為0.3;樣本數(shù)據(jù)在[9.5,11.5)內(nèi)的頻數(shù)為7,頻率為0.35;樣本數(shù)據(jù)在[11.5,13.5)內(nèi)的頻數(shù)為5,頻率為0.25.故選D.
4.C　[解析] 由題意可知樣本數(shù)據(jù)在[8,10)內(nèi)的頻率為1-(0.02+0.05+0.09+0.15)×2=1-0.62=0.38,所以樣本數(shù)據(jù)在[8,10)內(nèi)的頻數(shù)為0.38×200=76.故選C.
5.C　[解析] 這100名教師的測試成績的最高分和最低分都無法確定,所以極差也不確定,選項(xiàng)A不正確;
由圖可知,這100名教師的測試成績的眾數(shù)為87.5,選項(xiàng)B不正確;
設(shè)這100名教師測試成績的中位數(shù)為a,則(0.02+0.04)×5+(a-85)×0.08=0.5,解得a=87.5,選項(xiàng)C正確;
這100名教師中,測試成績不低于90分的人數(shù)的占比為(0.03+0.03)×5×100%=30%,選項(xiàng)D不正確.故選C.
6.A　[解析] 因?yàn)榍?組的頻數(shù)為2+3+10=15,所以由中位數(shù)的定義,得M=5,眾數(shù)N=4.5,平均數(shù)=×(2×2.5+3×3.5+10×4.5+6×5.5+3×6.5+2×7.5+2×8.5+2×9.5)≈5.47,所以N7.B　[解析] 根據(jù)頻率分布直方圖可知,評分在區(qū)間[94,96]內(nèi)的個數(shù)為0.012 5×2×40=1,故A錯誤;
前五組的頻率之和為(0.037 5+0.062 5+0.075 0+0.100 0+0.112 5)×2=0.775,前六組的頻率之和為(0.037 5+0.062 5+0.075 0+0.100 0+0.112 5+0.075 0)×2=0.925,故評分的90%分位數(shù)為90+×2≈91.7,故B正確;
評分的眾數(shù)為89,評分的平均數(shù)為81×0.037 5×2+83×0.062 5×2+85×0.075 0×2+87×0.100 0×2+89×0.112 5×2+91×0.075 0×2+93×0.025 0×2+95×0.012 5×2=87.3,故C,D錯誤.故選B.
8.ABC　[解析] 對于A,該班一共有2+4+10+12+14+8=50(名)學(xué)生,故A正確;
對于B,該班的及格率為×100%=88%,故B正確;
對于C,由題圖可知,人數(shù)最多的分?jǐn)?shù)段是[80,90),故C正確;
對于D,80分及以上的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的×100%=44%,故D不正確.故選ABC.
9.BC　[解析] 樣本中支出在[50,60]內(nèi)的頻率為1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A錯誤;樣本中支出不少于40元的人數(shù)為×60+60=132,故B正確;n==200,故n的值為200,故C正確;若該校有2000名學(xué)生,則支出在[50,60]內(nèi)的學(xué)生可能有0.3×2000=600(名),故D錯誤.故選BC.
10.(1)3　(2)6000　[解析] (1)由頻率分布直方圖可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3.
(2)消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的頻率為0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10 000=6000.
11.700　[解析] 根據(jù)頻率分布直方圖可知,該校的學(xué)生成績不低于60分的學(xué)生人數(shù)為1000×(0.015+0.020)×20=700.
12.100　0.15　[解析] 第二小組的頻率為1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.4,則參賽的學(xué)生人數(shù)是=100,成績優(yōu)秀的頻率為0.10+0.05=0.15.
13.解:(1)由頻數(shù)分布直方圖可知b=8,則a=40-(4+8+14+3)=11.
(2)頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充如下:
14.解:(1)依題意得(2x+0.015+0.020+0.025+0.030)×10=1,解得x=0.005.
(2)由頻率分布直方圖知,評分在[40,50)內(nèi)的市民人數(shù)為100×0.005×10=5;
評分在[50,60)內(nèi)的市民人數(shù)為100×0.015×10=15;
評分在[60,70)內(nèi)的市民人數(shù)為100×0.02×10=20.
故抽取的人中評分在[50,60)內(nèi)的市民人數(shù)為×8=3.
(3)由頻率分布直方圖可得滿意程度的平均數(shù)為45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72,
則滿意指數(shù)==0.72<0.8,故該市“創(chuàng)衛(wèi)”工作需要進(jìn)一步整改.
15.100　[解析] 由頻率分布直方圖可得支出的錢數(shù)在[30,40)內(nèi)的學(xué)生有0.038×10n=0.38n(人),支出的錢數(shù)在[10,20)內(nèi)的學(xué)生有0.012×10n=0.12n(人),因?yàn)橹С龅腻X數(shù)在[30,40)內(nèi)的學(xué)生比支出的錢數(shù)在[10,20)內(nèi)的學(xué)生多26人,所以0.38n-0.12n=0.26n=26,所以n=100.
16.解:(1)報(bào)名的學(xué)生共有540+360+180=1080(人),抽樣比例為=,
所以從高一年級報(bào)名的學(xué)生中抽取540×=60(人),從高二年級報(bào)名的學(xué)生中抽取360×=40(人),從高三年級報(bào)名的學(xué)生中抽取180×=20(人).
(2)①第三組的頻率為1-(0.01+0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.15,
補(bǔ)全頻率分布直方圖,如圖所示.
②各組的頻率分別為0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05,
前四組的頻率之和為0.1+0.15+0.15+0.3=0.7,
前五組的頻率之和為0.1+0.15+0.15+0.3+0.25=0.95,
所以80%分位數(shù)為79.5+×10=83.5,
所以這120名學(xué)生參加活動時間的80%分位數(shù)是83.5.第2課時　頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖
一、選擇題
1.某學(xué)校舉辦環(huán)保知識競答,隨機(jī)選取20名學(xué)生,分析他們的得分情況,并作出了頻數(shù)分布直方圖,如圖所示,則樣本數(shù)據(jù)在[10,50)內(nèi)的頻率為　 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.在抽查產(chǎn)品尺寸的過程中,將其尺寸分成若干組,[a,b)是其中的一組,該組的頻率為m,該組在頻率分布直方圖中對應(yīng)矩形的高為h,則|a-b|= (　 )
A.hm B. C. D.h+m
3.已知樣本數(shù)據(jù)為12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10,那么頻率為0.25的樣本數(shù)據(jù)的分組是 (　 )
A.[5.5,7.5) B.[7.5,9.5)
C.[9.5,11.5) D.[11.5,13.5)
4.有一個容量為200的樣本,按[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]分組后所得頻率分布直方圖如圖所示,則樣本數(shù)據(jù)在[8,10)內(nèi)的頻數(shù)為(　 )
A.38 B.57 C.76 D.95
5.某市教育部門組織高中教師在暑假期間進(jìn)行培訓(xùn),培訓(xùn)后統(tǒng)一舉行測試.隨機(jī)抽取100名教師的測試成績(滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布折線圖,則下列說法正確的是(　 )
A.這100名教師的測試成績的極差是20
B.這100名教師的測試成績的眾數(shù)是90
C.這100名教師的測試成績的中位數(shù)是87.5
D.這100名教師中,測試成績不低于90分的人數(shù)占比超過50%
6.“遠(yuǎn)離毒品,珍愛生命”,某校為強(qiáng)化禁毒教育,掌握學(xué)生對禁毒宣傳資料的了解程度,隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加禁毒知識測試,得分情況如圖所示,若所有得分的中位數(shù)為M,眾數(shù)為N,平均數(shù)為,則 (　 )
A.NC.M7.某校高一(3)班的40位同學(xué)對班委會組織的主題班會進(jìn)行了評分(滿分100分),并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖,則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.評分在區(qū)間[94,96]內(nèi)的有2個
B.由此估計(jì)評分的90%分位數(shù)為91.7分
C.評分的眾數(shù)小于平均數(shù)
D.評分的平均數(shù)大于90分
8.(多選題)某班學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測驗(yàn)成績(滿分100分)的頻數(shù)分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是(　 )
A.該班一共有50名學(xué)生
B.若60分為及格,則該班的及格率為88%
C.人數(shù)最多的分?jǐn)?shù)段是[80,90)
D.80分及以上的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的40%
9.(多選題)某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生生活一周的支出情況,抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到頻率分布直方圖如圖所示,其中支出(單位:元)在[50,60]內(nèi)的學(xué)生有60名,則下列說法正確的是 (　 )
A.樣本中支出在[50,60]內(nèi)的頻率為0.03
B.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132
C.n的值為200
D.若該校有2000名學(xué)生,則一定有600人的支出在[50,60]內(nèi)
二、填空題
10.某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2023年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位:萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi),其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)直方圖中的a=　　　　;
(2)在這些購物者中,消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的人數(shù)為　　　　.
11.某學(xué)校組織全校學(xué)生參加網(wǎng)絡(luò)安全知識競賽,成績(單位:分)的頻率分布直方圖如圖所示,數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若該校的學(xué)生總?cè)藬?shù)為1000,則成績不低于60分的學(xué)生人數(shù)為　　　　.
12.某中學(xué)舉辦電腦知識競賽,滿分為100分,80分以上(含80分)為優(yōu)秀.現(xiàn)將高一年級兩個班參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成5組,繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).已知圖中從左到右的第一、三、四、五小組的頻率分別為0.30,0.15,0.10,0.05,而第二小組的頻數(shù)是40,則參賽的學(xué)生人數(shù)是　　　　,成績優(yōu)秀的頻率是　　　　.
三、解答題
13.某老師為了了解某班學(xué)生的身體素質(zhì)情況,對該班40名學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩測試,根據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖(如圖所示).
組別 次數(shù)x 頻數(shù)
第1組 80≤x<100 4
第2組 100≤x<120 b
第3組 120≤x<140 a
第4組 140≤x<160 14
第5組 160≤x≤180 3
請結(jié)合圖表完成下列問題:
(1)表中a=　　　　,b=　　　　;
(2)請把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整.
14.[2023·云南大理下關(guān)一中高一月考] 某市在創(chuàng)建國家級衛(wèi)生城(簡稱“創(chuàng)衛(wèi)”)的過程中,相關(guān)部門需了解市民對“創(chuàng)衛(wèi)”工作的滿意程度,若市民滿意指數(shù)不低于0.8,“創(chuàng)衛(wèi)”工作按原方案繼續(xù)實(shí)施,否則需進(jìn)一步整改.為此該部門隨機(jī)調(diào)查了100名市民,根據(jù)這100名市民對“創(chuàng)衛(wèi)”工作滿意程度給出的評分,分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中x的值.
(2)為了解部分市民給“創(chuàng)衛(wèi)”工作評分較低的原因,該部門從評分低于70分的市民中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8人進(jìn)行座談,求抽取的人中評分在[50,60)內(nèi)的市民人數(shù).
(3)根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識,判斷該市“創(chuàng)衛(wèi)”工作是否需要進(jìn)一步整改 并說明理由.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
15.某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在學(xué)科教輔書方面的支出情況,抽出了一個容量為n的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出的錢數(shù)在[30,40)內(nèi)的學(xué)生比支出的錢數(shù)在[10,20)內(nèi)的學(xué)生多26人,則n的值為　　　　.
16.某高中從學(xué)生中招收志愿者參加迎環(huán)保專題活動,現(xiàn)已有高一540人、高二360人、高三180人報(bào)名參加志愿活動.根據(jù)活動安排,擬采用分層抽樣的方法,從已報(bào)名的志愿者中抽取120人.對抽出的120名同學(xué)某天參加活動的時間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),活動時間均在39.5至99.5分鐘之間,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)需從高一、高二、高三年級報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人
(2)①請補(bǔ)全圖中的頻率分布直方圖;
②求這120名學(xué)生參加活動時間的80%分位數(shù).

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