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(共33張PPT)
5.1 統(tǒng)計
5.1.4 用樣本估計總體
第1課時 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.會用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征;
2.會應用相關(guān)知識解決實際統(tǒng)計問題.
知識點一 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
一般情況下，如果樣本的容量恰當，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反
映總體的特征.特別地，樣本平均數(shù)（也稱為樣本均值）、方差（也稱為樣本方
差）與總體對應的值相差不會太大.
需要強調(diào)的是，估計一般是有誤差的.例如，如果總體平均數(shù)記為 ，樣本均值
記為，一般來說，,, 都有可能.但是，大數(shù)定律可以保證，當樣
本的容量越來越大時，估計的誤差很小的可能性將越來越大.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）樣本容量越大，樣本平均數(shù)越接近總體平均數(shù).( )
√
（2）樣本的數(shù)字特征有隨機性.( )
√
[解析] 在抽樣過程中,抽取的樣本是具有隨機性的,因此樣本的數(shù)字特征也有隨機性.
知識點二 分層抽樣的數(shù)字特征
分層抽樣的平均數(shù)與方差（以分兩層抽樣的情況為例）
假設(shè)第一層有個數(shù)，分別為,, ,,平均數(shù)為,方差為; 第二層有 個
數(shù)，分別為,, ,,平均數(shù)為,方差為.則, ,
,.如果記樣本均值為，樣本方差為 ，則
,
.
探究點一 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
例1（1） （多選題）為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫
情況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)
（單位： ）制成如圖所示的莖葉圖.用樣本估計總體，
下列結(jié)論正確的是( )
AD
A.甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫
B.甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫
C.甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差
D.甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差
[解析] 因為， ，所以
.因為，，所以 ，所以
.故選 .
（2）（多選題）[2024·遼寧葫蘆島高一期末] 某校高
一年級部分學生的一次物理考試成績的頻率分布直方
圖如圖所示，已知成績在 內(nèi)的人數(shù)為30，則下
列說法正確的是( )
BD
A. 的值為0.15
B.學生成績的眾數(shù)估計為65
C.學生成績的中位數(shù)估計為66.6
D.學生成績的平均數(shù)估計為71
[解析] 對于A， ，解得
，故A錯誤；
對于B，成績在 內(nèi)的頻率最大，學生成績的眾數(shù)估計為65，故B正確；
對于C，因為 ，所以學生成績的中位數(shù)估計為70，故C錯誤；
對于D，學生成績的平均數(shù)估計為
，故D正確.故選 .
變式 [2023·上海楊浦中學高一月考] 為創(chuàng)建“全國文明城區(qū)”，某市隨機抽取了
甲、乙兩區(qū)，派出一個考核組對這兩個區(qū)的創(chuàng)建工作進行量化考核.量化考核過
程中，在兩個區(qū)各隨機抽取20個單位量化考核成績，得到如下數(shù)據(jù)及如圖所示
的頻率分布直方圖，以此作為依據(jù)對甲、乙兩個區(qū)的工作進行分析.關(guān)于甲、乙
兩個區(qū)的考核成績，下列結(jié)論正確的是( )
A.估計甲區(qū)考核成績的平均數(shù)是80
B.甲區(qū)考核成績的眾數(shù)小于乙區(qū)考核成績的眾數(shù)
C.甲區(qū)的考核成績比乙區(qū)的穩(wěn)定
D.甲區(qū)考核成績的 分位數(shù)是83
√
[解析] 對于A，甲區(qū)考核成績的平均數(shù)
，故估計甲區(qū)考核成績的平均數(shù)為 ，A錯誤；
對于B，由圖可知甲區(qū)考核成績的眾數(shù)為79,乙區(qū)考核成績的眾數(shù)為 ，
B錯誤；
對于C，由莖葉圖和頻率分布直方圖可知乙區(qū)的考核成績更集中，故乙區(qū)考核成
績比甲區(qū)穩(wěn)定，C錯誤；
對于D，因為,所以甲區(qū)考核成績的分位數(shù)為 ，D
正確.故選D.
［素養(yǎng)小結(jié)］
樣本的數(shù)字特征分為兩大類：一類是反映樣本數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)，例如平均
數(shù)；另一類是反映樣本數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)，例如方差、標準差.通常我們用樣
本的平均數(shù)和方差來近似代替總體的平均數(shù)和方差，從而實現(xiàn)對總體的估計.
探究點二 分層抽樣的均值
例2 為了了解某校甲、乙兩個班某次數(shù)學考試的成績，用分層抽樣的方法從兩
個班抽取25人進行成績統(tǒng)計，得到如下結(jié)果.
甲班：46，58，61，64，69，71，72，74，76，77，78，84，84，87，96.
乙班：57，62，65，72，75，77，81，84，84，92.
已知甲、乙兩個班共有100人，則估計甲、乙兩個班該次數(shù)學考試成績的平均數(shù)
約為( )
B
A.73.2 B.73.8 C.74.1 D.74.9
[解析] 由題意可知，從甲班抽取了15人，從乙班抽取了10人.因為甲、乙兩個班共有100人，所以甲班有 （人），乙班有 （人）.
樣本中甲班學生成績的平均數(shù)為
，
樣本中乙班學生成績的平均數(shù)為
，
可以估計總體平均數(shù)為 .故選B.
變式 [2024·重慶八中高一期末] 為迎接冬季長跑比
賽，某校對全體高二學生舉行了一次關(guān)于冬季長跑相
關(guān)知識的測試，統(tǒng)計人員從高二學生中隨機抽取100名
學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計，測試滿分為100分，統(tǒng)
（1）估計這100名學生的平均成績；
解:由題圖可知，這100名學生的平均成績?yōu)?br/>.
計后發(fā)現(xiàn)所有學生的測試成績都在區(qū)間 內(nèi)，并制成如圖所示的頻率分布
直方圖.
（2）若在區(qū)間內(nèi)的學生測試成績的平均數(shù)為74，在區(qū)間 內(nèi)的學
生測試成績的平均數(shù)為89，據(jù)此估計在 內(nèi)的所有學生測試成績的平均數(shù).
解:在區(qū)間 內(nèi)的學生測試成績的平均數(shù)為74，
在區(qū)間的學生頻率為 ，
在區(qū)間 內(nèi)的學生測試成績的平均數(shù)為89，
在區(qū)間的學生頻率為 ，
所以在 內(nèi)的所有學生測試成績的平均數(shù)為
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
求分層抽樣的均值,有以下兩步:（1）確定樣本是由幾層構(gòu)成;（2）根據(jù)分層抽
樣的均值公式求解.
探究點三 分層抽樣的方差
例3 在某項活動中，設(shè)計了由7位評委打分和8位熱心觀眾打分的環(huán)節(jié)，經(jīng)統(tǒng)計
得選手甲的得分情況如下：
平均數(shù) 方差
評委打分情況 8.7 0.01
熱心觀眾打分情況 9.0 1.40
（1）計算選手甲得分的平均數(shù);
解：由分層抽樣平均數(shù)的計算公式知，
選手甲得分的平均數(shù)為 .
（2）計算選手甲得分的方差（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
解：選手甲得分的方差為
.
變式 在例3的前提下，若評委打分的平均數(shù)與熱心觀眾打分的平均數(shù)分別按
, 的比例記入選手甲得分的綜合平均數(shù).
（1）計算選手甲得分的綜合平均數(shù);
解：選手甲得分的綜合平均數(shù) .
（2）計算選手甲得分的方差（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
解：選手甲得分的方差
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
求分層抽樣的方差,有三步:（1）確定總平均數(shù);（2）確定各層數(shù)據(jù)的方差;（3）
根據(jù)分層抽樣的方差公式求出樣本數(shù)據(jù)的方差.
1.某校有兩個興趣小組，甲小組30人，平均年齡為16.5歲，乙小組25人，平均
年齡為17.2歲，則兩個小組成員的平均年齡大約為( )
B
A.16歲 B.17歲 C.18歲 D.19歲
[解析] 根據(jù)分層抽樣平均數(shù)的計算公式得平均年齡
.故選B.
2.某校為了解學生的課外鍛煉身體的情況，隨機抽取了部分學生，對他們一周
的課外鍛煉時間（單位： ）進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示，據(jù)此估計該
校學生一周進行課外鍛煉的時間的 分位數(shù)是( )
7 8 9 10 11
人數(shù) 6 10 9 8 7
B
A.9 B.8.5 C.8 D.7
[解析] 由已知得，從該校抽取的學生人數(shù)為 ，
，那么 分位數(shù)是第16和第17個數(shù)的平均數(shù)，第16和第17個數(shù)
分別為8，9，所以分位數(shù)是 ，所以估計該校學生一周進行課外鍛
煉的時間的 分位數(shù)是8.5.故選B.
3.高一（1）班某次考試中，30名男生的平均成績?yōu)?5分，方差為161，20名女
生的平均成績?yōu)?0分，方差為96，則高一（1）班全班同學這次考試成績的方差
為( )
C
A.135 B.138 C.141 D.146
[解析] 全班同學的平均成績 ，所以全班同
學考試成績的方差 .
4.（多選題） [2024·重慶八中高一期末] 某校組織全體
學生參加了主題為“奮斗百年路，啟航新征程”的知識競
賽，隨機抽取200名學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計，發(fā)
現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當
分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分
布直方圖，如圖所示，則下列說法正確的是( )
BC
A.成績在區(qū)間 內(nèi)的學生有46人
B.圖中 的值為0.030
C.估計全校學生成績的中位數(shù)約為86.67
D.估計全校學生成績的 分位數(shù)為90
[解析] 對于A，成績在區(qū)間內(nèi)的學生有 （人），
故A錯誤；
對于B，由圖可知， ，解得
，故B正確；
對于C， ，
，設(shè)全校學生成績的中位數(shù)為
，則，解得 ，故C正確；
對于D，設(shè)全校學生成績的分位數(shù)為，則 ，解
得，故D錯誤.故選 .
5.某校有高中生500人，其中男生320人，女生180人.為了獲得全體高中生身高
的信息，按照分層抽樣的方法抽取樣本，男生的樣本量為32，女生的樣本量為
18，通過計算得男生身高的樣本均值為 ，方差為17，女生身高的樣本均值
為，方差為 ，則所有數(shù)據(jù)的樣本均值為_______，方差為______.
170.02
43.24
[解析] 所有數(shù)據(jù)的樣本均值為 ，
方差為
.
分層隨機抽樣的平均數(shù)與方差的應用
例 [2023·陜西咸陽實驗中學高一月考] 某市
為了了解學生的體能情況，從全市所有高一學
生中按 的比例隨機抽取了200人進行一分
鐘跳繩測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，分為6組畫
出頻率分布直方圖（如圖所示），由于操作失
誤，第一組和第二組的數(shù)據(jù)丟失，但知道第二
組的頻率是第一組的2倍.
（1）求和 的值.
解：由題意得
解得
（2）若次數(shù)在120以上（含120次）為優(yōu)秀，試估計全市高一學生的優(yōu)秀率是多
少？全市高一學生中優(yōu)秀學生的人數(shù)約為多少？
解：由圖可知，優(yōu)秀率為 ，
所以全市高一學生中優(yōu)秀學生的人數(shù)約為 .
（3）估計全市高一學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù).
解：前三組的頻率和為 ，
則中位數(shù)約為 .
平均數(shù)約為5.1.4　用樣本估計總體
第1課時　用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
【課前預習】
知識點一
診斷分析
(1)√　(2)√　[解析] (2)在抽樣過程中,抽取的樣本是具有隨機性的,因此樣本的數(shù)字特征也有隨機性.
【課中探究】
例1　(1)AD　(2)BD　[解析] (1)因為==29,==30,所以<.因為==,==2,所以>,所以s甲>s乙.故選AD.
(2)對于A,(0.005+0.010+2a+0.025+0.030)×10=1,解得a=0.015,故A錯誤;對于B,成績在(60,70]內(nèi)的頻率最大,學生成績的眾數(shù)估計為65,故B正確;對于C,因為(0.005+0.015+0.030)×10=0.5,所以學生成績的中位數(shù)估計為70,故C錯誤;對于D,學生成績的平均數(shù)估計為(45×0.005+55×0.015+65×0.030+75×0.025+85×0.015+95×0.010)×10=71,故D正確.故選BD.
變式　D　[解析] 對于A,甲區(qū)考核成績的平均數(shù)=(57×2+58+59+67+68×2+69×2+79×6+87+88×2+89+98)÷20=74.8,故估計甲區(qū)考核成績的平均數(shù)為74.8,A錯誤;
對于B,由圖可知甲區(qū)考核成績的眾數(shù)為79,乙區(qū)考核成績的眾數(shù)為=75,B錯誤;
對于C,由莖葉圖和頻率分布直方圖可知乙區(qū)的考核成績更集中,故乙區(qū)考核成績比甲區(qū)穩(wěn)定,C錯誤;
對于D,因為75%×20=15,所以甲區(qū)考核成績的75%分位數(shù)為=83,D正確.故選D.
例2　B　[解析] 由題意可知,從甲班抽取了15人,從乙班抽取了10人.
因為甲、乙兩個班共有100人,所以甲班有100×=60(人),乙班有100×=40(人).
樣本中甲班學生成績的平均數(shù)為×(46+58+61+64+69+71+72+74+76+77+78+84+84+87+96)=,
樣本中乙班學生成績的平均數(shù)為×(57+62+65+72+75+77+81+84+84+92)=74.9,
可以估計總體平均數(shù)為=73.84≈73.8.故選B.
變式　解:(1)由題圖可知,這100名學生的平均成績?yōu)?0×(45×0.005+55×0.020+65×0.025+75×0.030+85×0.015+95×0.005)=69.5.
(2)在區(qū)間[70,80)內(nèi)的學生測試成績的平均數(shù)為74,
在區(qū)間[70,80)的學生頻率為0.030×10=0.3,
在區(qū)間[80,100]內(nèi)的學生測試成績的平均數(shù)為89,
在區(qū)間[80,100]的學生頻率為(0.015+0.005)×10=0.2,
所以在[70,100]內(nèi)的所有學生測試成績的平均數(shù)為74×+89×=80.
例3　解:(1)由分層抽樣平均數(shù)的計算公式知,
選手甲得分的平均數(shù)為×(7×8.7+8×9.0)=8.86.
(2)選手甲得分的方差為×[0.01+(8.7-8.86)2]+×[1.40+(9.0-8.86)2]≈0.77.
變式　解:(1)選手甲得分的綜合平均數(shù)=8.7×70%+9.0×30%=8.79.
(2)選手甲得分的方差=×[0.01+(8.7-8.79)2]+×[1.40+(9.0-8.79)2]≈0.78.
【課堂評價】
1.B　[解析] 根據(jù)分層抽樣平均數(shù)的計算公式得平均年齡=×(30×16.5+25×17.2)≈17.故選B.
2.B　[解析] 由已知得,從該校抽取的學生人數(shù)為6+10+9+8+7=40,40×40%=16,那么40%分位數(shù)是第16和第17個數(shù)的平均數(shù),第16和第17個數(shù)分別為8,9,所以40%分位數(shù)是=8.5,所以估計該校學生一周進行課外鍛煉的時間的40%分位數(shù)是8.5.故選B.
3.C　[解析] 全班同學的平均成績=×(30×95+20×90)=93,所以全班同學考試成績的方差s2=×[161+(95-93)2]+×[96+(90-93)2]=141.
4.BC　[解析] 對于A,成績在區(qū)間[90,100)內(nèi)的學生有200×(0.040×10)=80(人),故A錯誤;對于B,由圖可知,10×(0.005+0.010+0.015+x+0.040)=1,解得x=0.030,故B正確;對于C,10×(0.005+0.010+0.015)=0.3,10×(0.005+0.010+0.015+0.030)=0.6,設(shè)全校學生成績的中位數(shù)為a(805.170.02　43.24　[解析] 所有數(shù)據(jù)的樣本均值為×173.5+×163.83≈170.02,
方差為×[17+(173.5-170.02)2]+×[30.03+(163.83-170.02)2]≈43.24.5.1.4　用樣本估計總體
第1課時　用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
【學習目標】
1.會用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征;
2.會應用相關(guān)知識解決實際統(tǒng)計問題.
◆ 知識點一　用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
一般情況下,如果樣本的容量恰當,抽樣方法又合理的話,樣本的特征能夠反映總體的特征.特別地,樣本平均數(shù)(也稱為樣本均值)、方差(也稱為樣本方差)與總體對應的值相差不會太大.
需要強調(diào)的是,估計一般是有誤差的.例如,如果總體平均數(shù)記為μ,樣本均值記為,一般來說,μ>,μ=,μ<都有可能.但是,大數(shù)定律可以保證,當樣本的容量越來越大時,估計的誤差很小的可能性將越來越大.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)樣本容量越大,樣本平均數(shù)越接近總體平均數(shù).(　 )
(2)樣本的數(shù)字特征有隨機性. (　 )
◆ 知識點二　分層抽樣的數(shù)字特征
分層抽樣的平均數(shù)與方差(以分兩層抽樣的情況為例):
假設(shè)第一層有m個數(shù),分別為x1,x2,…,xm,平均數(shù)為,方差為s2; 第二層有n個數(shù),分別為y1,y2,…,yn,平均數(shù)為,方差為t2.　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 探究點一　用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
例1 (1)(多選題)為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況,隨機選取該月中的5天,將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖.用樣本估計總體,下列結(jié)論正確的是(　 )
A.甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫
B.甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫
C.甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差
D.甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差
(2)(多選題)[2024·遼寧葫蘆島高一期末] 某校高一年級部分學生的一次物理考試成績的頻率分布直方圖如圖所示,已知成績在(80,90]內(nèi)的人數(shù)為30,則下列說法正確的是 (　 )
A.a的值為0.15
B.學生成績的眾數(shù)估計為65
C.學生成績的中位數(shù)估計為66.6
D.學生成績的平均數(shù)估計為71
變式 [2023·上海楊浦中學高一月考] 為創(chuàng)建“全國文明城區(qū)”,某市隨機抽取了甲、乙兩區(qū),派出一個考核組對這兩個區(qū)的創(chuàng)建工作進行量化考核.量化考核過程中,在兩個區(qū)各隨機抽取20個單位量化考核成績,得到如下數(shù)據(jù)及如圖所示的頻率分布直方圖,以此作為依據(jù)對甲、乙兩個區(qū)的工作進行分析.關(guān)于甲、乙兩個區(qū)的考核成績,下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.估計甲區(qū)考核成績的平均數(shù)是80
B.甲區(qū)考核成績的眾數(shù)小于乙區(qū)考核成績的眾數(shù)
C.甲區(qū)的考核成績比乙區(qū)的穩(wěn)定
D.甲區(qū)考核成績的75%分位數(shù)是83
[素養(yǎng)小結(jié)]
樣本的數(shù)字特征分為兩大類:一類是反映樣本數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù),例如平均數(shù);另一類是反映樣本數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù),例如方差、標準差.通常我們用樣本的平均數(shù)和方差來近似代替總體的平均數(shù)和方差,從而實現(xiàn)對總體的估計.
◆ 探究點二　分層抽樣的均值
例2 為了了解某校甲、乙兩個班某次數(shù)學考試的成績,用分層抽樣的方法從兩個班抽取25人進行成績統(tǒng)計,得到如下結(jié)果.
甲班:46,58,61,64,69,71,72,74,76,77,78,84,84,87,96.
乙班:57,62,65,72,75,77,81,84,84,92.
已知甲、乙兩個班共有100人,則估計甲、乙兩個班該次數(shù)學考試成績的平均數(shù)約為 (　 )
A.73.2 B.73.8
C.74.1 D.74.9
變式 [2024·重慶八中高一期末] 為迎接冬季長跑比賽,某校對全體高二學生舉行了一次關(guān)于冬季長跑相關(guān)知識的測試,統(tǒng)計人員從高二學生中隨機抽取100名學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計,測試滿分為100分,統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)所有學生的測試成績都在區(qū)間[40,100]內(nèi),并制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計這100名學生的平均成績;
(2)若在區(qū)間[70,80)內(nèi)的學生測試成績的平均數(shù)為74,在區(qū)間[80,100]內(nèi)的學生測試成績的平均數(shù)為89,據(jù)此估計在[70,100]內(nèi)的所有學生測試成績的平均數(shù).
[素養(yǎng)小結(jié)]
求分層抽樣的均值,有以下兩步:(1)確定樣本是由幾層構(gòu)成;(2)根據(jù)分層抽樣的均值公式求解.
◆ 探究點三　分層抽樣的方差
例3 在某項活動中,設(shè)計了由7位評委打分和8位熱心觀眾打分的環(huán)節(jié),經(jīng)統(tǒng)計得選手甲的得分情況如下:
平均數(shù) 方差
評委打分情況 8.7 0.01
熱心觀眾打分情況 9.0 1.40
(1)計算選手甲得分的平均數(shù);
(2)計算選手甲得分的方差(結(jié)果保留兩位小數(shù)).
變式 在例3的前提下,若評委打分的平均數(shù)與熱心觀眾打分的平均數(shù)分別按70%,30%的比例記入選手甲得分的綜合平均數(shù).
(1)計算選手甲得分的綜合平均數(shù);
(2)計算選手甲得分的方差(結(jié)果保留兩位小數(shù)).
[素養(yǎng)小結(jié)]
求分層抽樣的方差,有三步:(1)確定總平均數(shù);(2)確定各層數(shù)據(jù)的方差;(3)根據(jù)分層抽樣的方差公式求出樣本數(shù)據(jù)的方差.
1.某校有兩個興趣小組,甲小組30人,平均年齡為16.5歲,乙小組25人,平均年齡為17.2歲,則兩個小組成員的平均年齡大約為 (　 )
A.16歲 B.17歲
C.18歲 D.19歲
2.某校為了解學生的課外鍛煉身體的情況,隨機抽取了部分學生,對他們一周的課外鍛煉時間(單位:h)進行了統(tǒng)計,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示,據(jù)此估計該校學生一周進行課外鍛煉的時間的40%分位數(shù)是 (　 )
鍛煉時間/h 7 8 9 10 11
人數(shù) 6 10 9 8 7
A.9 B.8.5
C.8 D.7
3.高一(1)班某次考試中,30名男生的平均成績?yōu)?5分,方差為161,20名女生的平均成績?yōu)?0分,方差為96,則高一(1)班全班同學這次考試成績的方差為 (　 )
A.135 B.138
C.141 D.146
4.(多選題) [2024·重慶八中高一期末] 某校組織全體學生參加了主題為“奮斗百年路,啟航新征程”的知識競賽,隨機抽取200名學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間,進行適當分組后(每組的取值區(qū)間均為左閉右開),畫出頻率分布直方圖,如圖所示,則下列說法正確的是 (　 )
A.成績在區(qū)間[90,100)內(nèi)的學生有46人
B.圖中x的值為0.030
C.估計全校學生成績的中位數(shù)約為86.67
D.估計全校學生成績的80%分位數(shù)為90
5.某校有高中生500人,其中男生320人,女生180人.為了獲得全體高中生身高的信息,按照分層抽樣的方法抽取樣本,男生的樣本量為32,女生的樣本量為18,通過計算得男生身高的樣本均值為173.5,方差為17,女生身高的樣本均值為163.83,方差為30.03,則所有數(shù)據(jù)的樣本均值為　　　　,方差為　　　　. 5.1.4　用樣本估計總體
第1課時　用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
1.B　[解析] 這位同學該科目的最終成績?yōu)?0×20%+90×30%+95×50%=90.5(分).
2.A　[解析] 由莖葉圖得a==75,b==76,則a3.D　[解析] 因為抽樣比例為,所以樣本中男生有30×=12(人),女生有20×=8(人),所以樣本的平均身高為=,由此估計該班全體學生的平均身高約為.故選D.
4.D　[解析] 對于A,該地初一年級學生做作業(yè)的時間超過3小時的概率估計為(0.3+0.2+0.1+0.1)×0.5=0.35=35%,故A中結(jié)論正確.對于B,該地初一年級學生做作業(yè)的時間超過2小時的概率估計為(0.5+0.4+0.3+0.2+0.1+0.1)×0.5=0.8,所以估計該地初一年級有一半以上的學生做作業(yè)的時間超過2小時,故B中結(jié)論正確.對于C,該地初一年級學生做作業(yè)的時間超過4小時的概率估計為(0.1+0.1)×0.5=0.1=10%,故C中結(jié)論正確.對于D,該地初一年級學生做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間的概率估計為(0.5+0.4)×0.5=0.45,所以估計該地初一年級沒有一半以上的學生做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間,故D中結(jié)論錯誤.故選D.
5.D　[解析] M=×[24+(15-12)2]+×[29+(10-12)2]=33.
6.C　[解析] 根據(jù)題意,估計甲廠所生產(chǎn)的袋裝食品的質(zhì)量的平均數(shù)=×(5×7+5×8+5×9+5×10)=8.5,方差=×[5×(7-8.5)2+5×(8-8.5)2+5×(9-8.5)2+5×(10-8.5)2]=1.25;乙廠所生產(chǎn)的袋裝食品的質(zhì)量的平均數(shù)=×(4×7+6×8+6×9+4×10)=8.5,方差=×[4×(7-8.5)2+6×(8-8.5)2+6×(9-8.5)2+4×(10-8.5)2]=1.05;丙廠所生產(chǎn)的袋裝食品的質(zhì)量的平均數(shù)=×(6×7+4×8+4×9+6×10)=8.5,方差=×[6×(7-8.5)2+4×(8-8.5)2+4×(9-8.5)2+6×(10-8.5)2]=1.45.因為>>,所以s3>s1>s2,故選C.
7.A　[解析] 由已知得,中位數(shù)為=99.5,故A中說法錯誤;因為120×0.75=90,第90,91個數(shù)據(jù)分別為120,120,=120,所以居民用電量在第一階梯的范圍為(0,120],故B中說法正確;因為120×0.95=114,第114,115個數(shù)據(jù)分別為135,135,=135,所以居民用電量在第二階梯的范圍為(120,135],故D中說法正確;居民用電量在第三階梯的范圍為(135,+∞),故C中說法正確.故選A.
8.ACD　[解析] 對于A,圖②中5月份有AQI值超過200的異常值,故A正確;對于B,C,圖②中5月份的箱體高度比6月份的箱體高度小,說明5月的AQI比6月的AQI集中,故B錯誤,C正確;對于D,雖然5月有嚴重污染天氣,但從圖②中5月份箱體整體上比6月份箱體偏下且箱體高度小,AQI整體集中于較小值,說明從整體上看,該地區(qū)2023年5月的空氣質(zhì)量略好于6月,故D正確.故選ACD.
9.BCD　[解析] 對于A,由=+=+,可得(-)=0,則=或m=n,故A不正確.對于B,因為=+,所以-=(-),若>,則<,故B正確.對于C,因為=,所以=+=,因為s2=故選BCD.
10.156　[解析] 根據(jù)題意,估計該校初一年級學生的平均身高為=156(cm).
11.甲　[解析] ∵=9.00,=×0.34≈0.057,=9.00,=×1.04≈0.173,<,∴甲的技術(shù)更穩(wěn)定.
12.5.7%　[解析] 該地擁有2套或2套以上住房的家庭估計有99 000×+1000×=5700(戶),則該地擁有2套或2套以上住房的家庭所占比例的合理估計為×100%=5.7%.
13.解:(1)∵0.04+0.14+10a+0.22+0.20+10a+0.08=1,∴a=0.016.
估計調(diào)查的500位同學中每天戶外鍛煉時長在40 min~70 min的人數(shù)為500×(0.20+0.16+0.08)=220.
(2)高一年級同學每天進行戶外鍛煉的平均時長估計為5×0.04+15×0.14+25×0.16+35×0.22+45×0.20+55×0.16+65×0.08=37(min).
(3)∵0.04+0.14+0.16+0.22=0.56,0.04+0.14+0.16+0.22+0.20=0.76,
∴高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù)在(40,50]之間.
設(shè)高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù)為x,
則0.56+0.020(x-40)=0.75,解得x=49.5.
14.解:(1)抽樣比為=,
則樣本中男生的人數(shù)為900×=45,女生的人數(shù)為(1500-900)×=30.
(2)抽取的樣本中男生坐位體前屈成績的平均數(shù)=13.2,方差=13.36,
抽取的樣本中女生坐位體前屈成績的平均數(shù)=15.2,方差=17.56,
則總體樣本的平均數(shù)=×(45×13.2+30×15.2)=14,
總體樣本的方差s2=×{45×[13.36+(13.2-14)2]+30×[17.56+(15.2-14)2]}=×(630+570)=16.
估計全體學生的坐位體前屈成績的方差為16.5.1.4　用樣本估計總體
第1課時　用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
一、選擇題
1.一位同學某一科的考試成績(單位:分)為:單元測驗80,期中成績90,期末成績95.學校規(guī)定的最終成績的計算方式是:單元測驗占20%,期中成績占30%,期末成績占50%.則這位同學該科目的最終成績是 (　 )
A.92分 B.90.5分
C.90分 D.88.5分
2.為全面地了解學生對任課教師教學的滿意程度,特在某班開展教學調(diào)查.采用簡單隨機抽樣的方法,從該班抽取20名學生,根據(jù)他們對語文、數(shù)學教師教學的滿意度評分(百分制),繪制出莖葉圖(如圖所示).設(shè)該班學生對語文、
數(shù)學教師教學的滿意度評分的中位數(shù)的估計值分別為a,b,則(　 )
A.ab
C.a=b D.無法確定
3.某中學高二(1)班共有50名學生,其中男生30名,女生20名,采用分層抽樣的方法,從全班學生中抽取20人測量其身高.已知在抽取的樣本中,男生的平均身高為a,女生的平均身高為b,由此估計該班全體學生的平均身高約為 (　 )
A. B.
C. D.
4.[2024·陜西咸陽實驗中學高一月考] 某地教育局為了解“雙減”政策的落實情況,在轄區(qū)內(nèi)初一年級在校學生中抽取了100名學生,調(diào)查了他們做作業(yè)的時間,得到如圖所示的頻率分布直方圖,則下列結(jié)論不正確的是 (　 )
A.該地初一年級學生做作業(yè)的時間超過3小時的概率估計為35%
B.估計該地初一年級有一半以上的學生做作業(yè)的時間超過2小時
C.估計該地初一年級有10%的學生做作業(yè)的時間超過4小時
D.估計該地初一年級有一半以上的學生做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間
5.下表為某同學統(tǒng)計并計算得出的一些數(shù)據(jù):
數(shù)據(jù) 平均數(shù) 方差 總平均數(shù) 總方差
A組(10個數(shù)據(jù)) 15 24 12 M
B組(15個數(shù)據(jù)) 10 29
總方差一欄M處的數(shù)據(jù)應為 (　 )
A.26 B.28 C.30 D.33
6.對甲廠、乙廠、丙廠所生產(chǎn)的袋裝食品各抽檢20袋,稱其質(zhì)量(單位:kg),得到如圖所示的統(tǒng)計圖.
甲廠、乙廠、丙廠所生產(chǎn)的袋裝食品的質(zhì)量的標準差分別用s1,s2,s3表示,用樣本估計總體,則(　 )
A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2
C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1
7.為了解某市家庭用電量的情況,該市統(tǒng)計局調(diào)查了120戶居民去年一年的月均用電量(單位:kW·h),數(shù)據(jù)從小到大排序如下表.為了既滿足居民的基本用電需求,又提高能源的利用效率,市政府計劃采用階梯電價,使75%的居民用電量在第一階梯內(nèi),20%的居民用電量在第二階梯內(nèi),其余5%的居民用電量在第三階梯內(nèi),則下列說法不正確的是 (　 )
8 18 22 31 42 48 49 50 51 56 57 57 60 61 61
61 62 62 63 63 65 66 67 69 70 70 71 72 72 74
76 77 77 78 78 80 80 82 82 82 83 84 84 88 88
89 90 91 93 93 94 95 96 96 96 97 98 98 98 99
100 100 100 101 101 101 105 106 106 106 107 107 107 107 108
108 109 109 110 110 110 111 112 113 113 114 115 116 118 120
120 120 121 123 124 127 127 127 130 130 130 131 131 132 132
132 133 133 134 134 134 135 135 135 135 136 137 137 138 139
A.該市居民用電量的中位數(shù)為99
B.估計該市居民用電量在(0,120]為第一階梯
C.估計該市居民在第三階梯用電量不少于135 kW·h
D.若該市某家庭用電量為123 kW·h,則估計該家庭將按第二階梯電價繳費
8.(多選題)箱線圖是用來表示一組或多組數(shù)據(jù)分布情況的統(tǒng)計圖,因形似箱子而得名.在箱線圖中(如圖①),箱體中部的粗實線表示中位數(shù);中間箱體的上、下底分別是數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)(75%分位數(shù))和第一四分位數(shù)(25%分位數(shù));整個箱體的高度為四分位距,位于最下面和最上面的實橫線分別表示最小值和最大值(有時候箱子外部會有一些點,它們是數(shù)據(jù)中的異常值).圖②為某地區(qū)2023年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)箱線圖.AQI越小,空氣質(zhì)量越好;AQI超過200,說明污染嚴重.據(jù)此估計 (　 )
A.該地區(qū)2023年5月有嚴重污染天氣
B.該地區(qū)2023年6月的AQI比5月的AQI集中
C.該地區(qū)2023年5月的AQI比6月的AQI集中
D.從整體上看,該地區(qū)2023年5月的空氣質(zhì)量略好于6月
9.(多選題)記男生樣本x1,x2,…,xm的平均數(shù)為,方差為;女生樣本y1,y2,…,yn的平均數(shù)為,方差為;男女總樣本x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn的平均數(shù)為,方差為s2.則下列說法正確的是 (　 )
A.若=(+),則=
B.若>,則<
C.若=,=,則s2=
D.s2=[+]+[+(-)2]
二、填空題
10.某校為了解初一年級學生的平均身高,按分層抽樣的方法抽取了150名男生,100名女生,他們的平均身高分別為160 cm和150 cm,則估計該校初一年級學生的平均身高為　　　　 cm.
11.從甲、乙兩人手工制作的產(chǎn)品中各自隨機抽取6件,測得其直徑(單位:cm)如下:
甲:9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20;
乙:8.90,9.60,9.50,8.50,8.60,8.90.
據(jù)以上數(shù)據(jù)估計兩人技術(shù)的穩(wěn)定性,可知技術(shù)更穩(wěn)定的是　　　　.
12.某地有居民100 000戶,其中普通收入家庭99 000戶,高收入家庭1000戶.用簡單隨機抽樣的方法從普通收入家庭中抽取990戶,高收入家庭中抽取100戶進行調(diào)查.調(diào)查發(fā)現(xiàn)共有120戶家庭擁有2套或2套以上住房,其中普通收入家庭50戶,高收入家庭70戶,依據(jù)這些數(shù)據(jù)并結(jié)合所掌握的統(tǒng)計知識,你認為該地擁有2套或2套以上住房的家庭所占比例的合理估計是　　　　.
三、解答題
13.[2024·江西吉安高一期末] 為了解同學們每天進行戶外鍛煉的時長,某興趣小組在高一年級隨機調(diào)查了500位同學,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值,并估計調(diào)查的500位同學中每天戶外鍛煉時長在40 min~70 min的人數(shù);
(2)用樣本估計總體,估計高一年級同學每天進行戶外鍛煉的平均時長(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);
(3)求高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù).
14.某學校對在校1500名學生進行了一次坐位體前屈測試,按學生性別采用分層抽樣的方法抽取75人,已知這1500名學生中男生有900人,且抽取的樣本中男生坐位體前屈成績的平均數(shù)和方差分別為13.2和13.36,女生坐位體前屈成績的平均數(shù)和方差分別為15.2和17.56.
(1)求樣本中男生和女生的人數(shù);
(2)求抽取的總樣本的平均數(shù),并估計全體學生的坐位體前屈成績的方差.

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