資源簡介

(共41張PPT)
5.3 概率
5.3.2 事件之間的關系與運算
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.了解事件間的包含關系和相等關系, 理解互斥事件與對立事件的概念與關系；
2.會用互斥事件與對立事件的概率公式求概率, 了解并事件與交事件的概念,
會進行事件的運算.
知識點一 事件的包含與相等
1.一般地，如果事件發生時，事件__________，則稱“包含于”（或“ 包含
”），記作（或 ）.
2.如果事件發生時，事件__________；而且事件發生時，事件 也________
__，則稱“與相等”，記作 .
3.當 時，有_____________.
一定發生
一定發生
一定發生
知識點二 事件的和（并）
1.給定事件,，由所有中的樣本點與 中的樣本點組成的事
件稱為與的____________，記作（或），事件
與 的和可以用如圖所示的陰影部分表示.
和（或并）
2.且 ;
.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
事件與的和事件發生的概率一定大于事件 發生的概率.( )
×
[解析] 事件與的和事件發生的概率一定大于或等于事件 發生的概率.
知識點三 事件的積（交）
1.給定事件,，由與中的____________組成的事件稱為與 的積（或交），
記作（或），事件與 的積可以用如圖所示的陰影部分表示.
公共樣本點
2.且 .
知識點四 事件的互斥與對立
1.互斥事件
（1）給定事件,，若事件與______同時發生，則稱與
互斥，記作 （或 ），這一關系可用圖表示.
不能
（2）任意兩個基本事件都是______的， 與任意事件互斥.
（3）當__________（即）時，有 ，這稱為互
斥事件的概率加法公式.
（4）一般地，如果,, , 是兩兩互斥的事件，則___________________
_______________________________.
互斥
與互斥
2.對立事件
（1）給定樣本空間 與事件，則由 中所有不屬于 的樣本點組成的事件稱
為的__________，記作，如圖所示.如果，則稱與 相互對立.
（2） .
對立事件
3.概率的幾個基本性質
（1）概率的取值范圍：______.
（2）必然事件發生的概率為___，不可能事件發生的概率為___.
（3）互斥事件的概率加法公式為：如果事件與為互斥事件，則
____________.
（4）若與為對立事件，則_________.___，
___.
1
0
1
0
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）對立事件一定互斥.( )
√
（2）互斥事件是指兩個事件在一次試驗中不會同時發生，但可以同時不發生. ( )
√
（3）若，則事件與事件 一定是對立事件.( )
×
知識點五 事件的混合運算
同數的加、減、乘、除混合運算一樣，事件的混合運算也有優先級，我們規定：
求積運算的優先級高于求和運算.
探究點一 事件的包含與相等
例1 從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，記“至少有1個白球”為事件
,“全是紅球”為事件，“至少有1個紅球”為事件，“至多有1個紅球”為事件 ，
則與___相等， 包含于___.
[解析] 從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，則事件 個白球和1
個紅球，2個白球，事件個紅球，事件 個紅球和1個白球，2個紅
球，事件個白球和1個紅球，2個白球}.故與相等，包含于 .
［素養小結］
判斷兩個事件的關系主要考慮事件之間的充分性和必要性.若發生是 發生的充
要條件，則；若發生是發生的充分不必要條件，則 .
探究點二 交事件與并事件
例2 拋擲一枚質地均勻的骰子，記“向上的點數是1或2”為事件 ，“向上的點數
是2或3”為事件，試用, 表示下列事件：
（1）向上的點數為2；
解：由題知,,所以，即 表示“向上的點數為2”.
（2）向上的點數不超過3.
解：由（1）可知 表示“向上的點數是1或2或3”,即“向上的點數不超過3”.
變式 （多選題）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，
設名全是男生，名全是女生，恰有1名男生， 至少
有1名男生 ，則下列關系正確的是( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 事件D包括2名全是男生和1名男生1名女生，故， ，故A，
C正確；
事件B與D不能同時發生，故 ，故B正確；
表示2名全是男生或2名全是女生， 表示2名全是女生或至少有1名男
生，故，故D錯誤.故選 .
［素養小結］
進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試
驗可能出現的全部結果，必要時可列出全部的試驗結果進行分析，也可類比集
合的關系和運算用維恩圖分析事件.
探究點三 互斥事件與對立事件
例3（1） [2024·遼寧遼陽高一期末]一副撲克牌（含大王、小王）共54張，以
黑桃、紅桃、梅花、方塊表示各組，每組花色包括A，2，3，4，5，6，7，8，
9，10，，，共13張牌.從這副撲克牌中隨機取出兩張，事件 取出的牌
有兩張6，事件取出的牌至少有一張黑桃，事件 取出的牌有一張大王，
事件 取出的牌有一張紅桃6，則( )
D
A.事件與事件互斥 B.事件與事件 互斥
C.事件與事件互斥 D.事件與事件 互斥
[解析] 事件A與事件D，事件B與事件C，事件B與事件D都可以同時發生，故A，
B，C錯誤.
因為取出的牌有兩張6的同時不可能再有一張大王，所以事件A與事件C互斥.故選D.
（2）（多選題）若， 是某個試驗中的兩個隨機事件，則以下說法正確的是
( )
AD
A.若，，則當且僅當時，, 是互斥事件
B.若，，則 是必然事件
C.若，是互斥事件，，，則
D.若，是對立事件，則
[解析] 對于A，因為 ，所以A,B是互斥事件，
故A正確；
對于B，若事件A為“拋出骰子點數為1或2”，則 ，若事件B為 “拋出骰子
點數小于或等于4”，則，此時 不是必然事件，故B錯誤；
對于C，若A,B是互斥事件，則 ，故C錯誤；
對于D，若A,B是對立事件，則，故D正確.故選 .
變式 某服務電話，打進的電話響第1聲時被接的概率是0.1；響第2聲時被接的
概率是0.2；響第3聲時被接的概率是0.3；響第4聲時被接的概率是0.35.
（1）打進的電話在響5聲之前被接的概率是多少？
解：設事件“打進的電話響第聲時被接”為，則事件 彼此互斥.設
“打進的電話在響5聲之前被接”為事件 ，
根據互斥事件的概率加法公式，得
.
（2）打進的電話響4聲而不被接的概率是多少？
解：設事件 為“打進的電話響4聲而不被接”，
則 為“打進的電話在響5聲之前被接”.
所以 .
［素養小結］
（1）判斷兩個事件是否互斥,主要看它們在一次試驗中能否同時發生,若不能同
時發生,則這兩個事件互斥,否則不互斥.
（2）判斷兩個事件是否對立,主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩
個條件:一是不能同時發生;二是必有一個發生.
探究點四 事件的混合運算
例4 盒中裝有紅球、黑球、白球、綠球共12個，從中任取1個球，設事件 為
“取出1個紅球”，事件為“取出1個黑球”，事件為“取出1個白球”，事件 為“取
出1個綠球”.已知，，， .
（1）求“取出1個球為紅球或黑球”的概率；
解：方法一：因為事件，，， 兩兩互斥，所以“取出1個球為紅球或黑球”
的概率 .
方法二：“取出1個球為紅球或黑球”的對立事件為“取出1個球為白球或綠球”，
即的對立事件為 ，所以
，故“取出1個球
為紅球或黑球”的概率為 .
（2）求“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率.
解： 方法一：“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率
.
方法二：“取出1個球為紅球或黑球或白球”的對立事件為“取出1個球為綠球”，即
的對立事件為，所以 ，故“取
出1個球為紅球或黑球或白球”的概率為 .
變式 下圖是某班級50名學生訂閱數學、語文、英語學習資
料的情況，其中表示訂閱數學學習資料的學生， 表示訂
閱語文學習資料的學生， 表示訂閱英語學習資料的學生.
（1）從這個班級任意選擇一名學生，用自然語言描述1，4，5，8各區域所代表的事件.
解：由給定圖形可知，區域1表示該生語文、數學、英語三種學習資料全部訂閱.
區域4表示該生只訂閱語文、數學兩種學習資料；
區域5表示該生只訂閱語文學習資料；
區域8表示該生語文、數學、英語三種學習資料都沒有訂閱.
（2）用，， 表示下列事件：
①至少訂閱一種學習資料；
解： 至少訂閱一種學習資料為事件 .
②恰好訂閱一種學習資料；
解： 恰好訂閱一種學習資料的事件包含只訂閱數學資料，只訂閱語文資料，
只訂閱英語資料，所以恰好訂閱一種學習資料為事件 .
③沒有訂閱任何學習資料.
解： 沒有訂閱任何學習資料為事件 .
［素養小結］
事件混合運算的關鍵是搞清楚事件之間的關系,正確地選擇計算事件概率的公式.
1.已知，，若，則 ( )
A
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
[解析] 因為，所以 .故選A.
2.[2023·陜西咸陽實驗中學高一月考]奧林匹克運動會會旗中央有5個互相套連的
圓環，顏色自左至右，上方依次為藍、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五
大洲.在手工課上，老師將這5個環分發給甲、乙、丙、丁、戊五位同學，每人
分得1個，則事件“甲分得紅環”與“乙分得紅環”是( )
C
A.對立事件 B.互斥且對立事件
C.互斥但不對立事件 D.既不互斥又不對立事件
[解析] 甲、乙不能同時得到紅環，所以事件“甲分得紅環”與“乙分得紅環”是互
斥事件.甲、乙可能都得不到紅環，即事件“甲或乙分得紅環”不是必然事件，故
事件“甲分得紅環”與“乙分得紅環”不是對立事件，所以事件“甲分得紅環”與“乙
分得紅環”是互斥但不對立事件.故選C.
3.某人打靶3次，事件表示“擊中發”，其中,1,2,3，那么 表示
( )
B
A.全部擊中 B.至少擊中1發 C.至少擊中2發 D.全部未擊中
[解析] 表示的是,, 這三個事件中至少有一個發生,即可能擊
中1發、2發或3發.故選B.
4.在投擲一枚骰子的試驗中，出現各點的概率都是.事件 表示“小于5的偶數點
出現”，事件表示“小于5的點數出現”，則在一次試驗中，事件 發生的概
率是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 易知事件A與事件互斥，且, ，所以
.故選C.
5.已知， .
（1）若，則 ____；
0.2
[解析] 因為，所以，所以 .
（2）若，則 ___.
0
[解析] 因為，則與 互斥，所以
.
1.互斥事件與對立事件辨析
例1 判斷下列各對事件是否為互斥事件,是否為對立事件.并說明理由.
某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名學生去參加演講比賽,其中:
（1）恰有1名男生和恰有2名男生;
解：是互斥事件,不是對立事件.
理由:在所選的2名學生中,“恰有1名男生”實質是“1名男生和1名女生”,它與“恰有2
名男生”不可能同時發生,所以是一對互斥事件,但其并事件不是必然事件,所以不
是對立事件.
［分析］根據互斥事件、對立事件的定義判斷.
（2）至少有1名男生和至少有1名女生;
解：不是互斥事件,也不是對立事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名男生”兩種結果,“至少有1
名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名女生”兩種結果,它們可同時發生.
（3）至少有1名男生和全是男生;
解：不是互斥事件,也不是對立事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名男生”,這與“全是男生”可
同時發生.
（4）至少有1名男生和全是女生.
解：是互斥事件,也是對立事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名男生”兩種結果,它與“全是
女生”不可能同時發生,且其并事件是必然事件,所以是對立事件.
對立事件一定是互斥事件,也就是說不互斥的兩個事件一定不是對立事件,在確定
了兩個事件互斥的情況下,就要看這兩個事件的和是否為必然事件,這是判斷兩個
事件對立的基本方法.
2.概率公式的應用
（1）運用互斥事件的概率加法公式解題的步驟:
①確定題中哪些事件彼此互斥;
②將待求事件拆分為幾個互斥事件之和;
③先求各互斥事件分別發生的概率,再求和.
（2）當直接計算某事件的概率比較困難時,可間接地先計算其對立事件的概率,
再由公式 求出該事件的概率.
（3）應用公式 時,一定要分清事件的對立事件到底是什么事件,
不能重復或遺漏,該公式常用于“至多”“至少”型問題的求解.
例2 （多選題）[2023·合肥八中高一期末] 若事件, 為兩個互斥事件，且
, ，有以下四個結論，其中正確的結論是( )
ACD
A. B.
C. D.
[解析] 事件A,B為兩個互斥事件， ， ，故A正確；
事件A,B為兩個互斥事件，， ，故B錯誤；
，故C正確；
，故D正確.故選 .
例3 [2023·陜西咸陽普集高中高一期末]某家族有, 兩種遺傳性狀，該家族某
成員出現性狀的概率為，出現性狀的概率為，, 兩種性狀都不出現的
概率為，則該成員, 兩種性狀都出現的概率為( )
B
A. B. C. D.
[解析] 設該成員出現性狀為事件A，出現性狀為事件B，則, 兩種性狀都不
出現為事件，兩種性狀都出現為事件，所以, ，
，所以 ，又因為
，所以
.故選B.5.3.2　事件之間的關系與運算
【課前預習】
知識點一
1.一定發生　2.一定發生　一定發生　3.P(A)=P(B)
知識點二
1.和(或并)
診斷分析
×　[解析] 事件A與B的和事件發生的概率一定大于或等于事件A發生的概率.
知識點三
1.公共樣本點
知識點四
1.(1)不能　(2)互斥　(3)A與B互斥　(4)P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
2.(1)對立事件
3.(1)[0,1]　(2)1　0　(3)P(A)+P(B)　(4)1-P(A)　1　0
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×
【課中探究】
例1　D　C　[解析] 從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球,則事件A={1個白球和1個紅球,2個白球},事件B={2個紅球},事件C={1個紅球和1個白球,2個紅球},事件D={1個白球和1個紅球,2個白球}.故A與D相等,B包含于C.
例2　解:(1)由題知A={1,2},B={2,3},所以{2}=A∩B,即A∩B表示“向上的點數為2”.
(2)由(1)可知A∪B表示“向上的點數是1或2或3”,即“向上的點數不超過3”.
變式　ABC　[解析] 事件D包括2名全是男生和1名男生1名女生,故A D,A∪C=D,故A,C正確;事件B與D不能同時發生,故B∩D= ,故B正確;A∪B表示2名全是男生或2名全是女生,B∪D表示2名全是女生或至少有1名男生,故A∪B≠B∪D,故D錯誤.故選ABC.
例3　(1)D　(2)AD　[解析] (1)事件A與事件D,事件B與事件C,事件B與事件D都可以同時發生,故A,B,C錯誤.因為取出的牌有兩張6的同時不可能再有一張大王,所以事件A與事件C互斥.故選D.
(2)對于A,因為P(A)+P(B)=+==P(A+B),所以A,B是互斥事件,故A正確;對于B,若事件A為“拋出骰子點數為1或2”,則P(A)=,若事件B為“拋出骰子點數小于或等于4”,則P(B)=,此時A+B不是必然事件,故B錯誤;對于C,若A,B是互斥事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=,故C錯誤;對于D,若A,B是對立事件,則P(A∪B)=1,故D正確.故選AD.
變式　解:(1)設事件“打進的電話響第k聲時被接”為Ak(k∈N*),則事件Ak彼此互斥.設“打進的電話在響5聲之前被接”為事件A,
根據互斥事件的概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.
(2)設事件B為“打進的電話響4聲而不被接”,
則為“打進的電話在響5聲之前被接”.
所以P(B)=1-P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.
例4　解:方法一:(1)因為事件A,B,C,D兩兩互斥,所以“取出1個球為紅球或黑球”的概率P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
方法二:(1)“取出1個球為紅球或黑球”的對立事件為“取出1個球為白球或綠球”,即A+B的對立事件為C+D,所以P(A+B)=1-P(C+D)=1-P(C)-P(D)=1--=,故“取出1個球為紅球或黑球”的概率為.
(2)“取出1個球為紅球或黑球或白球”的對立事件為“取出1個球為綠球”,即A+B+C的對立事件為D,所以P(A+B+C)=1-P(D)=1-=,故“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率為.
變式　解:(1)由給定圖形可知,區域1表示該生語文、數學、英語三種學習資料全部訂閱.
區域4表示該生只訂閱語文、數學兩種學習資料;
區域5表示該生只訂閱語文學習資料;
區域8表示該生語文、數學、英語三種學習資料都沒有訂閱.
(2)①至少訂閱一種學習資料為事件A+B+C.
②恰好訂閱一種學習資料的事件包含只訂閱數學資料,只訂閱語文資料,只訂閱英語資料,所以恰好訂閱一種學習資料為事件A+B+C.
③沒有訂閱任何學習資料為事件.
【課堂評價】
1.A　[解析] 因為B A,所以P(AB)=P(B)=0.1.故選A.
2.C　[解析] 甲、乙不能同時得到紅環,所以事件“甲分得紅環”與“乙分得紅環”是互斥事件.甲、乙可能都得不到紅環,即事件“甲或乙分得紅環”不是必然事件,故事件“甲分得紅環”與“乙分得紅環”不是對立事件,所以事件“甲分得紅環”與“乙分得紅環”是互斥但不對立事件.故選C.
3.B　[解析] A1∪A2∪A3表示的是A1,A2,A3這三個事件中至少有一個發生,即可能擊中1發、2發或3發.故選B.
4.C　[解析] 易知事件A與事件互斥,且P(A)=,P(B)=,所以P(A∪)=P(A)+P()=P(A)+1-P(B)=+1-=.故選C.
5.0.2　0　[解析] (1)因為P(A∪B)=P(A)=0.4,所以B A,所以P(AB)=P(B)=0.2.
(2)因為P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6,則A與B互斥,所以P(AB)=0.5.3.2　事件之間的關系與運算
【學習目標】
1.了解事件間的包含關系和相等關系, 理解互斥事件與對立事件的概念與關系;
2.會用互斥事件與對立事件的概率公式求概率, 了解并事件與交事件的概念,會進行事件的運算.
◆ 知識點一　事件的包含與相等
1.一般地,如果事件A發生時,事件B　　　　　　　,則稱“A包含于B”(或“B包含A”),記作A B(或B A).
2.如果事件A發生時,事件B　　　　　;而且事件B發生時,事件A也　　　　　　,則稱“A與B相等”,記作A=B.
3.當A=B時,有　　　　　　　.
◆ 知識點二　事件的和(并)
1.給定事件A,B,由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的　　　　　　,記作A+B(或A∪B),事件A與B的和可以用如圖所示的陰影部分表示.
2.P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B);
P(A+B)≤P(A)+P(B).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
事件A與B的和事件發生的概率一定大于事件A發生的概率. (　 )
◆ 知識點三　事件的積(交)
1.給定事件A,B,由A與B中的　　　　組成的事件稱為A與B的積(或交),記作AB(或A∩B),事件A與B的積可以用如圖所示的陰影部分表示.
2.P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B).
◆ 知識點四　事件的互斥與對立
1.互斥事件
(1)給定事件A,B,若事件A與B　　　　同時發生,則稱A與B互斥,記作AB= (或A∩B= ),這一關系可用圖表示.
(2)任意兩個基本事件都是　　　　的, 與任意事件互斥.
(3)當　　　　　　　　　(即AB= )時,有P(A+B)=P(A)+P(B),這稱為互斥事件的概率加法公式.
(4)一般地,如果A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件,則　　　　　　　　　　　　　　　.
2.對立事件
(1)給定樣本空間Ω與事件A,則由Ω中所有不屬于A的樣本點組成的事件稱為A的　　　　　　,記作,如圖所示.如果B=,則稱A與B相互對立.
(2)P(A)+P()=1.
3.概率的幾個基本性質
(1)概率的取值范圍:　　　　.
(2)必然事件發生的概率為　　　　,不可能事件發生的概率為　　　　.
(3)互斥事件的概率加法公式為:如果事件A與B為互斥事件,則P(A∪B)=　　　　.
(4)若A與為對立事件,則P()=　　　　.P(A∪)=　　　　,P(A∩)=　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)對立事件一定互斥. (　 )
(2)互斥事件是指兩個事件在一次試驗中不會同時發生,但可以同時不發生. (　 )
(3)若P(A)+P(B)=1,則事件A與事件B一定是對立事件. (　 )
◆ 知識點五　事件的混合運算
同數的加、減、乘、除混合運算一樣,事件的混合運算也有優先級,我們規定:求積運算的優先級高于求和運算.
◆ 探究點一　事件的包含與相等
例1 從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球,記“至少有1個白球”為事件A,“全是紅球”為事件B,“至少有1個紅球”為事件C,“至多有1個紅球”為事件D,則A與　　　　相等,B包含于　　　　.
[素養小結]
判斷兩個事件的關系主要考慮事件之間的充分性和必要性.若A發生是B發生的充要條件,則A=B;若A發生是B發生的充分不必要條件,則A B.
◆ 探究點二　交事件與并事件
例2 拋擲一枚質地均勻的骰子,記“向上的點數是1或2”為事件A,“向上的點數是2或3”為事件B,試用A,B表示下列事件:
(1)向上的點數為2;
(2)向上的點數不超過3.
變式 (多選題)某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名參加演講比賽,設A={2名全是男生},B={2名全是女生},C={恰有1名男生},D={至少有1名男生},則下列關系正確的是(　 )
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
[素養小結]
進行事件的運算時,一是要緊扣運算的定義,二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現的全部結果,必要時可列出全部的試驗結果進行分析,也可類比集合的關系和運算用維恩圖分析事件.
◆ 探究點三　互斥事件與對立事件
例3 (1)[2024·遼寧遼陽高一期末] 一副撲克牌(含大王、小王)共54張,以黑桃、紅桃、梅花、方塊表示各組,每組花色包括A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K共13張牌.從這副撲克牌中隨機取出兩張,事件A:取出的牌有兩張6,事件B:取出的牌至少有一張黑桃,事件C:取出的牌有一張大王,事件D:取出的牌有一張紅桃6,則 (　 )
A.事件A與事件D互斥
B.事件B與事件C互斥
C.事件B與事件D互斥
D.事件A與事件C互斥
(2)(多選題)若A,B是某個試驗中的兩個隨機事件,則以下說法正確的是 (　 )
A.若P(A)=,P(B)=,則當且僅當P(A+B)=時,A,B是互斥事件
B.若P(A)=,P(B)=,則A+B是必然事件
C.若A,B是互斥事件,P(A)=,P(B)=,則P(A∪B)=
D.若A,B是對立事件,則P(A∪B)=1
變式 某服務電話,打進的電話響第1聲時被接的概率是0.1;響第2聲時被接的概率是0.2;響第3聲時被接的概率是0.3;響第4聲時被接的概率是0.35.
(1)打進的電話在響5聲之前被接的概率是多少
(2)打進的電話響4聲而不被接的概率是多少
[素養小結]
(1)判斷兩個事件是否互斥,主要看它們在一次試驗中能否同時發生,若不能同時發生,則這兩個事件互斥,否則不互斥.
(2)判斷兩個事件是否對立,主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件:一是不能同時發生;二是必有一個發生.
◆ 探究點四　事件的混合運算
例4 盒中裝有紅球、黑球、白球、綠球共12個,從中任取1個球,設事件A為“取出1個紅球”,事件B為“取出1個黑球”,事件C為“取出1個白球”,事件D為“取出1個綠球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
(1)求“取出1個球為紅球或黑球”的概率;
(2)求“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率.
變式 下圖是某班級50名學生訂閱數學、語文、英語學習資料的情況,其中A表示訂閱數學學習資料的學生,B表示訂閱語文學習資料的學生,C表示訂閱英語學習資料的學生.
(1)從這個班級任意選擇一名學生,用自然語言描述1,4,5,8各區域所代表的事件.
(2)用A,B,C表示下列事件:
①至少訂閱一種學習資料;
②恰好訂閱一種學習資料;
③沒有訂閱任何學習資料.
[素養小結]
事件混合運算的關鍵是搞清楚事件之間的關系,正確地選擇計算事件概率的公式.
1.已知P(A)=0.3,P(B)=0.1,若B A,則P(AB)= (　 )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
2.[2023·陜西咸陽實驗中學高一月考] 奧林匹克運動會會旗中央有5個互相套連的圓環,顏色自左至右,上方依次為藍、黑、紅,下方依次為黃、綠,象征著五大洲.在手工課上,老師將這5個環分發給甲、乙、丙、丁、戊五位同學,每人分得1個,則事件“甲分得紅環”與“乙分得紅環”是 (　 )
A.對立事件
B.互斥且對立事件
C.互斥但不對立事件
D.既不互斥又不對立事件
3.某人打靶3次,事件Ai表示“擊中i發”,其中i=0,1,2,3,那么A1∪A2∪A3表示 (　 )
A.全部擊中 B.至少擊中1發
C.至少擊中2發 D.全部未擊中
4.在投擲一枚骰子的試驗中,出現各點的概率都是.事件A表示“小于5的偶數點出現”,事件B表示“小于5的點數出現”,則在一次試驗中,事件A∪發生的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
5.已知P(A)=0.4,P(B)=0.2.
(1)若P(A∪B)=0.4,則P(AB)=　　　　;
(2)若P(A∪B)=0.6,則P(AB)=　　　　. 5.3.2　事件之間的關系與運算
1.B　[解析] 記事件A:甲不輸,B:甲獲勝,C:甲、乙下成平局,則事件A是事件B與事件C的和,顯然B,C互斥,所以P(A)=P(B)+P(C).因為P(A)=0.8,P(C)=0.5,所以P(B)=P(A)-P(C)=0.3,所以甲獲勝的概率是0.3.故選B.
2.B　[解析] 由P(A)=,P(B)=,P(AB)=,得P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=.故選B.
3.C　[解析] ∵隨機事件A與B互斥,P(A)=2-a,P(B)=3a-4,∴即解得4.D　[解析] ∵“至少有2件次品”包括“恰有2件、3件、…、10件次品”,∴其對立事件為“恰有1件次品或沒有次品”,即“至多有1件次品”.故選D.
5.C　[解析] 由題意,可知A={1,3,5},B={5,6},A∩B={5},則事件A∩B為“點數為5”.故選C.
6.D　[解析] 對于A,恰好有1件次品和恰好有2件次品互為互斥事件,不是對立事件;對于B,至少有1件次品和全是次品可以同時發生,不是對立事件;對于C,至少有1件正品和至少有1件次品可以同時發生,不是對立事件;對于D,至少有1件次品即存在次品和全是正品為對立事件.故選D.
7.D　[解析] 由已知條件可知,一次隨機試驗中產生的事件可能不止事件A1,A2,A3這三個事件,所以P(A1∪A2∪A3)≤P(A1)+P(A2)+P(A3)=1,故A,B錯誤;P(A2∪A3)≤P(A2)+P(A3)=0.8,故C錯誤;P(A1+A2)≤P(A1)+P(A2)=0.5,故D正確.故選D.
【易錯點】 在一次隨機試驗中可以通過事件間的關系判斷事件的和的概率,但不能通過事件的概率判定事件間的關系.
8.BC　[解析] A∪B表示“甲沒有中獎或甲獲得一等獎”,但甲可能獲得二等獎,即事件A和事件B可能都不發生,故事件A和事件B不是對立事件,故A錯誤.事件A表示“甲沒有中獎”,事件C表示“甲中獎”,則事件A和事件C是互斥的且必然有一個發生,故事件A和事件C是對立事件,故B正確.因為B C,所以P(B+C)=P(C),故C正確.P(BC)=P(B),故D錯誤.故選BC.
9.ACD　[解析] ∵A,B為兩個互斥事件,P(A)>0,P(B)>0,∴AB= ,即P(AB)=0,故A正確,B錯誤.∵A,B為兩個互斥事件,∴ B,∴P(∪B)=P() ,故C正確.
∵A,B為兩個互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B),故D正確.故選ACD.
10.{8,10}　[解析] ∩(B∪C)={8,10}∩{2,6,8,10}={8,10}.
11.　[解析] 因為事件A與B互斥,它們都不發生的概率是,所以P(A)+P(B)=1-=,又P(A)=3P(B),所以P(B)=,P(A)=,所以P()=1-P(A)=.
12.命中6環或7環　[解析] 因為A∩B表示“命中6環或7環或8環”,所以A∩B∩表示“命中6環或7環”.
13.解:(1)由題意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},
事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},
事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
則C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
(2)由(1)知,事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
因為E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},
所以E=B∪C.
14.解:從袋中任取一球,記“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”.“得到綠球”分別為事件A,B,C,D,事件A,B,C,D彼此互斥.
由已知可得,P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,P(C∪D)=P(C)+P(D)=,
則P()=1-P(A)=,即P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=,
所以P(D)=-=,P(C)=-=,P(B)=-=.
故從中任取一球,得到黑球、黃球和綠球的概率分別是,,.
15.B　[解析] 由已知得A={1,3,5},B={1,2,3},A∩B={1,3},所以P(A)=,P(B)=,P(A∩B)=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.故選B.
16.①③⑤⑥　[解析] E=　,故①正確;F=AB+B+A,故②錯誤;F=A+B,故③正確;A+B表示靶被擊中,故④錯誤;G=B+A,故⑤正確;E,F為對立事件,則P(F)=1-P(E),故⑥正確;P(F)=P(A)+P(B)-P(AB),故⑦錯誤.故填①③⑤⑥.5.3.2　事件之間的關系與運算
一、選擇題
1.甲、乙兩人下棋,甲不輸的概率是0.8,兩人下成平局的概率是0.5,則甲獲勝的概率是(　 )
A.0.2 B.0.3
C.0.5 D.0.8
2.[2024·湖北十堰高一期末] 已知P(A)=,P(B)=,P(AB)=,則P(A∪B)=(　 )
A. B.
C. D.
3.若隨機事件A與B互斥,且P(A)=2-a,P(B)=3a-4,則實數a的取值范圍為 (　 )
A. B.
C. D.
4.抽查10件產品,記事件A:至少有2件次品,則表示的事件為 (　 )
A.至多有2件次品
B.至少有2件正品
C.至多有2件正品
D.至多有1件次品
5.拋擲一枚質地均勻的骰子,觀察朝上的面的點數.記事件A為 “點數為奇數”,事件B為 “點數大于4”,則事件A∩B為 (　 )
A.“點數為3” B.“點數為4”
C.“點數為5” D.“點數為6”
6.已知6件產品中有3件正品,3件次品.現從6件產品中任取2件,觀察正品件數與次品件數,下列選項中的兩個事件互為對立事件的是 (　 )
A.恰好有1件次品和恰好有2件次品
B.至少有1件次品和全是次品
C.至少有1件正品和至少有1件次品
D.至少有1件次品和全是正品
★7.在一次隨機試驗中,其中3個事件A1,A2,A3發生的概率分別為0.2,0.3,0.5,則下列說法中正確的是(　 )
A.A1+A2與A3是互斥事件,也是對立事件
B.A1+A2+A3是必然事件
C.P(A2∪A3)=0.8
D.P(A1+A2)≤0.5
8.(多選題)[2023·甘肅高一期末] 某飲料廠商開發了一種新的飲料,為了促銷,每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎”“二等獎”,其余4瓶印有“謝謝惠顧”.甲從新開的一箱中任選2瓶購買,設事件A表示“甲沒有中獎”,事件B表示“甲獲得一等獎”,事件C表示“甲中獎”,則 (　 )
A.事件A和事件B是對立事件
B.事件A和事件C是對立事件
C.P(B+C)=P(C)
D.P(BC)=P(C)
9.(多選題)設A,B為兩個互斥的事件,且P(A)>0,P(B)>0,則下列各式中正確的是 (　 )
A.P(AB)=0
B.P(AB)=P(A)P(B)
C.P(∪B)=P()
D.P(A∪B)=P(A)+P(B)
二、填空題
10.某隨機事件的樣本空間Ω={0,2,4,6,8,10},事件A={0,2,4,6},B={2,6,8},C={8,10},則∩(B∪C)=　　　　.
11.[2023·上海徐匯區高一期末] 已知事件A與B互斥,它們都不發生的概率是,且P(A)=3P(B),則P()=　　　　.
12.某射擊運動員練習射擊,記事件A為“命中5環以上”,事件B為“命中不超過8環”,事件C為“命中8環”,則事件A∩B∩的含義是　　　　　　　　.
三、解答題
13.[2023·新疆八一中學高一期末] 連續拋擲兩枚骰子,觀察落地時向上的面的點數.記事件A:兩次出現的點數相同,事件B:兩次出現的點數之和為4,事件C:兩次出現的點數之差的絕對值為4,事件D:兩次出現的點數之和為6.
(1)寫出事件C∩D,A∪B包含的樣本點;
(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},則事件E與已知事件是什么運算關系
14.[2023·河南南陽高一期末] 袋中有若干個小球,分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球,得到紅球的概率是,黑球或黃球的概率是,綠球或黃球的概率也是.求從中任取一球,得到黑球、黃球和綠球的概率分別是多少
15.拋擲一枚質地均勻的骰子,向上的一面出現任意點數的概率都是,記事件A為“向上的點數是奇數”,事件B為“向上的點數不超過3”,則P(A∪B)= (　 )
A. B. C. D.
16.甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次,設事件A為“甲擊中靶”,事件B為“乙擊中靶”,事件E為“靶未被擊中”,事件F為“靶被擊中”,事件G為“恰一人擊中靶”.有下列關系式:①E=　;②F=AB;③F=A+B;④G=A+B;⑤G=B+A;⑥P(F)=1-P(E);⑦P(F)=P(A)+P(B).其中正確的關系式的為　　　　.(填序號)

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