資源簡介

第一章　集合與常用邏輯用語
1.1　集合的概念
題組一　集合的概念與元素的特性
1.下面給出的四類對象中,能構成集合的是(　　)
A.某班視力較好的同學　　　　B.某小區長壽的人
C.π的近似值 D.方程x2=1的實數根
2.已知集合S中的三個元素a,b,c是△ABC的三條邊長,那么△ABC一定不是(　　)
A.銳角三角形　　　　B.直角三角形
C.鈍角三角形　　　　D.等腰三角形
3.若以方程x2-3x+2=0和x2-5x+6=0的所有的解為元素組成集合A,則A中的元素個數為(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
題組二　元素與集合的關系
4.給出下列關系:①π∈R;②∈Q;③-3 Z;④|-3| N;⑤0 Q.其中正確的個數為(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
5.已知集合A={x|3x+2>m},若-1 A,則實數m的取值范圍是(　　)
A.m<-1　　B.m>-1　　C.m≥-1　　D.m≤-1
6.已知集合A={1,a2+2a,a+2},若3∈A,則a=(　　)
A.1　　B.-3　　C.-3或1　　D.3
題組三　集合的表示方法
7.若集合A={x|-1≤x≤4,x∈N},則集合A中的元素個數為(　　)
A.3　　B.4　　C.5　　D.6
8.方程組的解組成的集合是(　　)
A.{1,6}　　　　B.{x=3,y=2}　　
C.{(1,6)}　　　　D.{(3,2)}
9.在數軸上與原點距離不大于3的點對應的數組成的集合是(　　)
A.{x|x≤-3或x≥3}　　　　B.{x|-3≤x≤3}
C.{x|x≤-3}　　　　D.{x|x≥3}
10.(多選題)下列各組中,M,P表示不同集合的是(　　)
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1,3)}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}
D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
11.集合A=xx∈Z,且∈N用列舉法可表示為A=　　　　.
12.(1)用列舉法表示方程組 的解組成的集合;
(2)用描述法表示不等式-1<2x+3<9的解集.
答案與解析
第一章　集合與常用邏輯用語
1.1　集合的概念
基礎過關練
1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D
9.B 10.ABD
1.D　A,B,C均不滿足集合中元素的確定性.方程x2=1的實數根為-1,1,具有確定性,能構成集合.故選D.
2.D　因為集合中的元素必須是互異的,所以三角形的三條邊長兩兩互不相等,故選D.
3.C　易得方程x2-3x+2=0的解為1,2,方程x2-5x+6=0的解為2,3,
∴集合A={1,2,3},共有3個元素.故選C.
4.A　易知僅有π∈R正確,故選A.
5.C　∵集合A={x|3x+2>m},-1 A,∴3×(-1)+2≤m,即m≥-1,故選C.
6.B　因為A={1,a2+2a,a+2},3∈A,
所以a2+2a=3或a+2=3,解得a=-3或a=1,
當a=-3時,A={1,3,-1},符合題意;當a=1時,a2+2a=a+2,不滿足集合中元素的互異性,舍去,
因此a=-3.故選B.
7.C　由A={x|-1≤x≤4,x∈N}得A={0,1,2,3,4},所以集合A中的元素個數為5.故選C.
8.D　解方程組得故所求集合是{(x,y)|x=3,y=2}或{(3,2)}.故選D.
9.B　在數軸上與原點距離不大于3的點對應的數x滿足|x|≤3,即-3≤x≤3,因此所求的集合為{x|-3≤x≤3},故選B.
10.ABD　選項A,集合M的元素為3,-1,集合P的元素為點(3,-1),所以A符合題意;選項B,集合M的元素為點(3,1),集合P的元素為點(1,3),所以B符合題意;選項C,易知集合M,P為同一集合,所以C不符合題意;選項D,集合M的元素為y,集合P的元素為點(x,y),所以D符合題意.故選ABD.
11.答案　{-2,2,4,5}
解析　∵A=xx∈Z,且∈N,∴6-x是8的約數且x∈Z,∴6-x=8,4,2,1,且x∈Z,∴x=-2,2,4,5,故A={-2,2,4,5}.
12.解析　(1)由解得或所以方程組的解組成的集合為{(0,1),(1,0)}.
(2)因為-1<2x+3<9,所以-2所以不等式的解集為{x|-21.2　集合間的基本關系
題組一　子集、真子集和空集
1.已知集合A={x|x2-1=0},則下列結論錯誤的是(　　)
A.1∈A　　　　B.{-1} A　　C.{-1}∈A　　　　D.{-1,1}=A
2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.1　　B.2　　C.3　　D.4
3.下列四個集合中,是空集的是(　　)
A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0}D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
4.(多選題)下列結論錯誤的是(　　)
A.{0}∈{0,1}　　　　B. ∈{0}C.{1,2} Z　　　　D. {0,1}
5.已知M={x|x=3m-1,m∈Z},N={x|x=3n+2,n∈Z},P={x|x=6p-1,p∈Z},則下列結論正確的是(　　)
A.M=P N　　　　B.P M=N　　C.M N P　　　　D.N M P
題組二　集合間的關系及其應用
6.設集合A={0,-a},B={1,-1,2a-2},若A B,則a=(　　)
A.2　　B.1　　C.　　D.-1
7.已知集合A={x|xA.{a|a≥3}　　　　B.{a|a>3} C.{a|a>0}　　　　D.{a|a≥0}
8.(多選題)已知集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N},C={x|x A},則關于集合A、B、C之間的關系,下列結論正確的有(　　)
A.A=B　　B.A B　　C.A=C　　D.A C
9.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,則集合A,B之間的關系為　　　　.
10.設m為實數,集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},且B A,則m的取值范圍是　　　　.
11.(2024河北卓越聯盟月考)已知集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}.
(1)若A恰有一個子集,求a的取值范圍;
(2)若A恰有一個元素,求a的取值集合.
答案與解析
1.2　集合間的基本關系
1.C 2.D 3.D 4.AB 5.B 6.B 7.B 8.AD
1.C　集合A={x|x2-1=0}={-1,1},∴1∈A,-1∈A,{-1} A,故A,B,D正確,C錯誤.故選C.
2.D　由題意可得A={1,2},B={1,2,3,4},
∵A C B,
∴滿足條件的集合C為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4個,故選D.
3.D　選項A,{x|x+3=3}={0};
選項B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};
選項C,{x|x2≤0}={0};
選項D,方程x2-x+1=0中,Δ=1-4=-3<0,∴該方程無實數解,∴{x|x2-x+1=0,x∈R}= .故選D.
4.AB　∵{0} {0,1},∴A錯誤;∵ {0},∴B錯誤;∵{1,2} Z,∴C正確;易知D正確.故選AB.
5.B　因為M={x|x=3m-1,m∈Z},
N={x|x=3n+2,n∈Z}={x|x=3(n+1)-1,n∈Z},
P={x|x=6p-1,p∈Z}={x|x=3·2p-1,p∈Z},
所以P M=N.故選B.
6.B　由A B得2a-2=0,解得a=1,
此時A={0,-1},B={1,-1,0},符合題意.故選B.
7.B　因為B A,故0,3均為A={x|x3,故選B.
8.AD　集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N}={0,1}=A,選項A正確,B錯誤;
C={x|x A}={ ,{0},{1},{0,1}},則A C,選項C錯誤,D正確.故選AD.
9.答案　A=B
解析　A==…,-,-,-,,,,…,
B==…,-,-,-,,,,…,故A=B.
10.答案　
解析　當B= 時,m>2m-1,即m<1,滿足B A;
當B≠ 時,由B A得解得1≤m≤.
綜上所述,m的取值范圍是.
11.解析　(1)若集合A恰有一個子集,則集合A是空集,即方程ax2+2x+1=0無實根,
故a≠0,且Δ=4-4a<0,解得a>1,所以a的取值范圍是{a|a>1}.
(2)當a=0時,方程為2x+1=0,得x=-,此時集合A只有一個元素,符合題意;
當a≠0時,由題意得Δ=4-4a=0,解得a=1.
所以a的取值集合為{0,1}.
1.3　集合的基本運算
題組一　并集與交集的運算
1.集合A={x|-1≤x≤2},B={x∈N|x<2},則A∩B=(　　)
A.{x|x<2}　　　　B.{x|x≥1}　　
C.{0,1}　　　　D.{x|-1≤x<2}
2.已知集合A={x|0≤x≤3},B={x|1A.{x|1C.{x|1≤x≤3}　　　　D.{x|03.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},則S∩T=(　　)
A. 　　B.S　　C.T　　D.Z
4.集合M={(x,y)|2x+y=0},N={(x,y)|x+y-3=0},則M∩N=(　　)
A.{-3,6}　　　　B.(-3,6)　　
C.{(-3,6)}　　　　D.{(3,-6)}
題組二　補集的運算及其與交集、并集的綜合運算
5.已知集合U=R,A={x|x≤-1或x>2},則 UA=(　　)
A.{x|x<-1,或x>2}　　　　B.{x|-1C.{x|x≤-1,或x≥2}　　　　D.{x|-16.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={x∈U|x為素數},B={x∈U|x為奇數},則集合 U(A∩B)=(　　)
A.{2,4,6,8,10}　　　　B.{2,4,6,8,9,10}
C.{1,2,4,6,8,9,10}　　　　D.{1,2,3,5,7}
7.如圖,已知U為全集,集合A,B均為U的子集,則A∩( UB)表示區域(　　)
A.Ⅰ　　B.Ⅱ　　C.Ⅲ　　D.Ⅳ
8.已知全集U={x∈N*|x<9},( UA)∩B={1,6},A∩( UB)={2,3}, U(A∪B)={5,7,8},則B=(　　)
A.{2,3,4}　　　　B.{1,4,6}
C.{4,5,7,8}　　　　D.{1,2,3,6}
題組三　利用集合的運算解決參數問題
9.設集合A={2,a},B={-1,a2-2},若A∩B≠ ,則實數a=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　
C.-1或-2　　　　D.-1或±2
10.設U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若 UA={1,2},則實數m=　　　　.
11.設集合M={x|-412.設m為實數,集合A={x|-2≤x≤4},B={x|m≤x≤m+2}.
(1)若m=3,求A∪B, R(A∩B);
(2)若A∩B= ,求實數m的取值范圍.
答案與解析
1.3　集合的基本運算
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A
1.C　由題意知,B={0,1},故A∩B={0,1}.故選C.
2.B　由A={x|0≤x≤3},B={x|1得A∪B={x|0≤x<4}.故選B.
3.C　當n是偶數時,設n=2k,k∈Z,則s=2n+1=4k+1,k∈Z,當n是奇數時,設n=2k+1,k∈Z,則s=2n+1=4k+3,k∈Z,因此T S,所以S∩T=T,故選C.
4.C　聯立方程解得所以M∩N={(-3,6)},故選C.
5.B　借助數軸可得 UA={x|-16.C　由題可得A={2,3,5,7},B={1,3,5,7,9},
則A∩B={3,5,7},
所以 U(A∩B)={1,2,4,6,8,9,10}.故選C.
易錯警示　求某一集合的補集的前提是明確全集,同一集合在不同全集下的補集是不同的.
7.B　由題圖可知,集合A包含Ⅱ,Ⅲ兩部分,集合 UB包含Ⅰ,Ⅱ兩部分,所以A∩( UB)表示的區域為Ⅱ,故選B.
8.B　易知U={1,2,3,4,5,6,7,8},根據題意作出Venn圖,如圖,可知B={1,4,6}.
9.A　由A∩B≠ ,得a2-2=2或a2-2=a或a=-1,
由a2-2=2,得a=-2或a=2;由a2-2=a,得a=-1或a=2.當a=-1時,a2-2=-1,不滿足集合中元素的互異性,舍去;
當a=-2時,A={2,-2},B={-1,2},符合題意;
當a=2時,不滿足集合中元素的互異性,舍去.
所以a=-2.故選A.
10.答案　-3
解析　∵U={0,1,2,3}, UA={1,2},∴A={0,3}.
∵A={x∈U|x2+mx=0},∴0,3為x2+mx=0的兩個根,∴m=-3.
11.答案　{t|t≤3}
解析　由M∩N=N得N M(口訣:“越交越小”),
當N= 時,有t+2≥2t-1,解得t≤3,滿足N M;
當N≠ 時,由N M得無解.
綜上,實數t的取值范圍是{t|t≤3}.
12.解析　(1)當m=3時,B={x|3≤x≤5},
又A={x|-2≤x≤4},所以A∪B={x|-2≤x≤5},
A∩B={x|3≤x≤4},所以 R(A∩B)={x|x<3或x>4}.
(2)由A∩B= 得m+2<-2或m>4,
即m<-4或m>4,
所以實數m的取值范圍是{m|m<-4或m>4}.
1.4　充分條件與必要條件
題組一　充分條件、必要條件與充要條件的判定
1.已知p:0A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.荀子曾說過:“故不積跬步,無以至千里;不積小流,無以成江海.”這里的“積跬步”是“至千里”的(　　)
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
3.黃金三角形被稱為最美等腰三角形,因此它經常被應用于許多經典建筑中.黃金三角形有兩種,一種是頂角為36°,底角為72°的等腰三角形,另一種是頂角為108°,底角為36°的等腰三角形,則“△ABC中有一個角是36°”是“△ABC為黃金三角形”的　(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.設M,N為兩個集合,則“M∪N≠ ”是“M∩N≠ ”的(　　)
A.充分不必要條件　　　　
B.必要不充分條件
C.充要條件　　　　
D.既不充分也不必要條件
5.已知p是r的充分條件,q是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,p是s的必要條件,現有下列命題:①r是p的必要不充分條件;②r是s的充分不必要條件;③q是p的充分不必要條件;④s是q的充要條件.其中正確命題的序號是(　　)
A.①　　　　B.②　　
C.③　　　　D.④
6.下列“若p,則q”形式的命題中,p是q的必要條件的有(　　)
①若x,y是偶數,則x+y是偶數;
②若a<2,則方程x2-2x+a=0有實根;
③若四邊形的對角線互相垂直,則這個四邊形是菱形;
④若ab=0,則a=0.
A.0個　　　　B.1個　　
C.2個　　　　D.3個
7.(多選題)下列結論中正確的是(　　)
A.“x>3”是“x>5”的必要不充分條件
B.設x,y∈R,則“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要條件
C.“00恒成立”的充要條件
D.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件
8.已知U是全集,A,B是U的兩個子集,則“A∩B=A”是“( UB) ( UA)”的　　　　條件(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選擇一個作答).
題組二　充分條件、必要條件與充要條件的探究與證明
9.使x2<4成立的一個充分不必要條件是(　　)
A.x<2　　　　B.0C.-2≤x≤2　　　　D.x>0
10.(多選題)一元二次方程x2+4x+n=0有正數根的充分不必要條件是(　　)
A.n=4　　B.n=-5　　C.n=-1　　D.n<0
11.若a,b都是實數,試從①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中選出適合的條件填在下面橫線處(用序號填空):
(1)“a,b都為0”的必要條件是　　　　;
(2)“a,b都不為0”的充分條件是　　　　;
(3)“a,b至少有一個為0”的充要條件是　　　　.
12.(教材習題改編)已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
題組三　充分條件、必要條件與充要條件的應用
13.若“x>2a-3”是“-1A.a<1　　B.a≤1　　C.a>1　　D.a≥1
14.若“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要條件,則實數a的取值范圍是　　　　.
15.已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RP)∩Q;
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件,求實數a的取值范圍.
16.已知集合A={-1,3},非空集合B={x|x2-ax+3b=0},若“x∈B”是“x∈A”的充分條件,求3a+4b的值.
答案與解析
1.4　充分條件與必要條件
1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.AB 9.B 10.BC 13.B
1.A　因為{x|02.C　“故不積跬步,無以至千里”,即“要至千里,必需積跬步”,而“至千里”還可能有其他必備因素,故選C.
3.B　若△ABC中有一個角是36°且△ABC不是等腰三角形,則△ABC不是黃金三角形,充分性不成立;
反之,若△ABC為黃金三角形,則△ABC中必有一個角是36°,必要性成立,因此,“△ABC中有一個角是36°”是“△ABC為黃金三角形”的必要不充分條件.故選B.
4.B　由M∪N≠ ,得M,N中至少有一個不是空集,而M∩N可能是空集,
因此M∪N≠ 推不出M∩N≠ ,所以充分性不成立;
由M∩N≠ ,說明M,N都不是空集,且M與N至少有一個公共元素,因此M∪N≠ ,
即由M∩N≠ 能推出M∪N≠ ,所以必要性成立.因此“M∪N≠ ”是“M∩N≠ ”的必要不充分條件.
故選B.
5.C　根據題意,可得p r,r s,s p,q r且r /q,
因此p、r、s兩兩互為充要條件,并且q是p的充分不必要條件,所以只有③正確.故選C.
6.D　對于①,若x+y是偶數,則x,y可能都是偶數,也可能都是奇數,故①不符合題意;對于②,若方程x2-2x+a=0有實根,則Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故②符合題意;對于③,若四邊形是菱形,則四邊形的對角線互相垂直,故③符合題意;對于④,若a=0,則ab=0,故④符合題意.故選D.
7.AB　對于A,“x>5”能推出“x>3”,反之未必,因此“x>3”是“x>5”的必要不充分條件,故A正確;
對于B,若x≥2且y≥2,則x+y≥4,故充分性成立,當x=1,y=5時,滿足x+y≥4,但x<2,故必要性不成立,故B正確;對于C,當a=0時,ax2+ax+1=1>0恒成立,故C錯誤;對于D,在△ABC中,當AB2+AC2=BC2時,△ABC為直角三角形,故充分性成立,當△ABC為直角三角形時,還可能得出AC2+BC2=AB2或AB2+BC2=AC2,故必要性不成立,故D錯誤.故選AB.
8.答案　充要
解析　由A∩B=A,得A B,故( UB) ( UA),充分性成立;
由( UB) ( UA)得A B,故A∩B=A,必要性成立,
所以“A∩B=A”是“( UB) ( UA)”的充要條件.
9.B　由x2<4,得到-2解題模板　一般將充分、必要條件的探求問題轉化為集合間的關系問題,根據“小充分、大必要”求解.
10.BC　由一元二次方程x2+4x+n=0有實數根知Δ=16-4n≥0,即n≤4.
設兩實數根為x1,x2,則x1+x2=-4,
又方程x2+4x+n=0有正數根,因此x1,x2一正一負,
所以x1x2=n<0,所以一元二次方程x2+4x+n=0有正數根的充分不必要條件可以是選項B、C.故選BC.
解題模板　解決充分條件、必要條件的探究問題,常先探究其充要條件,再利用充要條件進行判斷.
11.答案　(1)①②③　(2)④　(3)①
解析　①ab=0 a=0或b=0,即a,b中至少有一個為0;
②a+b=0 a,b互為相反數,則a,b可能都為0,也可能一正一負;
③a(a2+b2)=0 a=0或
④ab>0 或即a,b同號且都不為0.
12.證明　必要性:因為a+b=1,
所以a+b-1=0.
所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
充分性:因為a3+b3+ab-a2-b2=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,
又ab≠0,所以a≠0且b≠0.
則a2-ab+b2=+b2>0,
所以a+b-1=0,即a+b=1.
綜上可得,當ab≠0時,a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
易錯警示　有關充要條件的證明,要從兩個方面考慮,即充分性和必要性,缺一不可,解題時還要注意不能將充分性與必要性弄反了.
13.B　因為“x>2a-3”是“-1所以集合{x|-12a-3}的真子集,故有2a-3≤-1 a≤1,故選B.
14.答案　{a|a≥3}
解析　∵“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要條件,∴{x|x>a} {x|x≤2或x≥3},∴a≥3.
15.解析　(1)當a=3時,P={x|4≤x≤7}, RP={x|x<4,或x>7}.又Q={x|-2≤x≤5},
所以( RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)因為“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件,所以P是Q的真子集,
又Q={x|-2≤x≤5},P≠ ,
所以或解得0≤a≤2.
故a的取值范圍是{a|0≤a≤2}.
解題模板　研究充分性、必要性時,可轉化為集合間的關系,若p,q對應的集合為P、Q,則p是q的充分條件 P Q,p是q的必要條件 Q P.
16.解析　依題意得B A,B≠ ,所以B={-1}或B={3}或B={-1,3}.
當B={-1}時,有
所以3a+4b=3×(-2)+4×=-;
當B={3}時,有
所以3a+4b=3×6+4×3=30;
當B={-1,3}時,有
所以3a+4b=3×2+4×(-1)=2.
綜上,3a+4b的值為-或30或2.
1.5　全稱量詞與存在量詞
題組一　全稱量詞命題與存在量詞命題及其真假判斷
1.下列不是“ x∈R,x2>3”的表述方法的有(　　)
A.有一個x∈R,使得x2>3成立
B.對有些x∈R,x2>3成立
C.任選一個x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一個x∈R,使得x2>3成立
2.下列命題是全稱量詞命題的有(　　)
A.有些實數沒有倒數
B.所有的矩形都有外接圓
C.存在一個實數與它的相反數的和為0
D.過直線外一點有一條直線和已知直線平行
3.下列命題為真命題的是(　　)
A. x∈R,x2-x+≥0
B.所有的矩形都是正方形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D. x∈R,x2+1=0
4.(多選題)在下列命題中,真命題有(　　)
A. x∈R,x2+x+3=0B. x∈Q,x2+x+1是有理數
C. x,y∈Z,使3x-2y=10D. x∈R,x3-x2+1≤0
5.(多選題)下列命題中,是真命題的有(　　)
A.設A,B為兩個集合,若A B,則對任意x∈A,都有x∈B
B.設A,B為兩個集合,若A不包含于B,則存在x∈A,使得x B
C. x∈{y|y是無理數},x2是有理數
D. x∈{y|y是無理數},x3是無理數
6.(多選題)下列命題是真命題的有　(　　)
A.所有平行四邊形的對角線都互相平分
B.若x,y是無理數,則xy一定是有理數
C.若m<1,則關于x的方程x2+2x+m=0有兩個負根
D.兩個相似三角形的周長之比等于它們的對應邊之比
7.指出下列命題中,哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命題,并判斷其真假.
(1)存在一個四邊形不是平行四邊形;
(2)直角坐標系內任何一條直線都與x軸有交點;
(3)每個二次函數的圖象都有最低點;
(4)矩形有一個外接圓.
題組二　全稱量詞命題和存在量詞命題的否定及其真假判斷
8.已知命題p: x<1,x2≤1,則 p為(　　)
A. x≥1,x2>1　　　　B. x<1,x2>1　　
C. x<1,x2>1　　　　D. x≥1,x2>1
9.已知:① x∈R,x2+x+1>0;②不存在實數x,使x3+1=0;③ n∈R,n2≥n;④至少有一個實數x,使得x3+1=0.以上命題的否定為真命題的是(　　)
A.①③　　B.②③　　C.②④　　D.①④
10.命題“ x∈{x|x≥0},x2-kx+1>0”的否定是　　　　.
11.若命題p: x∈R,<0,則 p:　　　　　.
12.(2024山東聯考)寫出下列命題的否定,并判斷其真假.
(1)命題p:梯形的內角和是360°;
(2)命題q: a∈R,二次函數y=9x2+7a的圖象關于y軸對稱.
題組三　全稱量詞命題與存在量詞命題及其否定的應用
13.已知命題p: x∈R,x2+8x+a=0是假命題,則實數a的取值范圍是(　　)
A.016　　C.a<0　　D.a≥4
14.(多選題)已知命題p: x∈R,ax2-4x-4=0為真命題,則a的值可以為(　　)
A.-2　　B.-1　　C.0　　D.3
15.命題“ x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”為真命題的一個必要不充分條件是(　　)
A.a≤4　　B.a≤2　　C.a≥3　　D.a≤0
16.若“ x∈{x|1≤x≤3},2x+a≥0”為假命題,則實數a的取值范圍為　　　　.
17.某學校開展小組合作學習模式,高二某班某組甲同學給組內乙同學出題如下:若“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命題,求m的取值范圍.乙略加思索,也給了甲一道題:若“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命題,求m的取值范圍.這兩位同學出的題中m的取值范圍是否一致 請說明理由.
18.已知命題p: x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a≥0,命題q: x∈R,x2+3x+2-a=0.
(1)當p為假命題時,求實數a的取值范圍;
(2)若p和q中有且只有一個是真命題,求實數a的取值范圍.
答案與解析
1.5　全稱量詞與存在量詞
1.C 2.B 3.A 4.BC 5.ABD 6.AD 8.C 9.B
13.B 14.BCD 15.A
1.C　“ ”是存在量詞,選項A中“有一個”,選項B中“有些”,選項D中“至少有一個”都是存在量詞,與“ ”表述相同;選項C中“任選一個”是全稱量詞,不符合題意.故選C.
2.B　對于A,含有存在量詞“有些”,為存在量詞命題;
對于B,含有全稱量詞“所有的”,為全稱量詞命題;
對于C,含有存在量詞“存在一個”,為存在量詞命題;
對于D,含有存在量詞“有一條”,為存在量詞命題.
故選B.
3.A　對于A, x∈R,x2-x+=≥0,A為真命題;對于B,只有長和寬相等的矩形才是正方形,B為假命題;對于C, x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,C為假命題;對于D,x2+1=0無實根,D為假命題.故選A.
4.BC　因為x2+x+3=+>0,所以A是假命題;因為x是有理數,所以x2+x+1也是有理數,所以B是真命題;當x=4,y=1時,3x-2y=10,所以C是真命題;當x=0時,x3-x2+1=1>0,所以D是假命題.故選BC.
5.ABD　對于A,因為A B,所以對任意x∈A,都有x∈B,故是真命題;對于B,由于A不包含于B,所以存在x∈A,使得x B,故是真命題;對于C,當x=+1時,x2=3+2,是無理數,故是假命題;對于D,當x=時,x3=2,是無理數,故是真命題.故選ABD.
6.AD　易知A是真命題;當x=,y=時,xy=,是無理數,所以B是假命題;由關于x的方程x2+2x+m=0有兩個負根,得解得07.解析　(1)存在量詞命題.梯形不是平行四邊形,所以該命題為真命題.
(2)全稱量詞命題.與x軸平行的直線與x軸無交點,所以該命題為假命題.
(3)全稱量詞命題.對于y=ax2+bx+c(a≠0),當a<0時,其圖象有最高點無最低點,所以該命題為假命題.
(4)命題可以改寫為“所有的矩形都有一個外接圓”,含有全稱量詞“所有的”,故是全稱量詞命題.以矩形的對角線為直徑的圓是其外接圓,所以該命題為真命題.
8.C　改量詞“ ”為“ ”,否結論“x2≤1”為“x2>1”,故選C.
9.B　x2+x+1=+>0,故①為真命題;當x=-1時,x3+1=0,故②為假命題,④為真命題;當n=時,n2方法技巧　命題的否定的真假判斷,可以“先判斷,再否定”,也可以“先否定,再判斷”,視情況合理選擇.
10.答案　 x∈{x|x≥0},x2-kx+1≤0
11.答案　 x∈R,>0或x=2
解析　<0隱含x-2≠0,故其否定為>0或x=2.
易錯警示　寫命題的否定時,要注意式子本身的意義,如:<0的反面不是≥0.
12.解析　(1) p:有一個梯形的內角和不是360°.
因為所有梯形的內角和都是360°,所以 p是假命題.
(2) q: a∈R,二次函數y=9x2+7a的圖象不關于y軸對稱.
對于y=9x2+7a,用-x替換x,仍成立,故其圖象關于y軸對稱,所以 q是假命題.
13.B　若命題p為假命題,則其否定為真命題,∴ x∈R,x2+8x+a≠0,∴Δ=64-4a<0,解得a>16.故選B.
解題模板　利用命題p或命題 p的真假求參數的取值范圍時,有四種情況:命題p真、命題p假、命題 p真與命題 p假,解題時只要求出一個就能得到其他三個的范圍,如求出命題p為真時參數的范圍是A,則命題p為假與命題 p為真時參數的范圍是 UA(U是全集),命題 p為假時參數的范圍是A.
14.BCD　∵p為真命題,∴關于x的方程ax2-4x-4=0有實數根.
當a=0時,解得x=-1,符合題意;
當a≠0時,Δ=16+16a≥0,解得a≥-1,且a≠0.
綜上,a的取值范圍是{a|a≥-1}.故選BCD.
15.A　由題意可知,3x2≥a,x∈{x|1≤x≤3}恒成立,故只需a≤(3x2)min=3,
結合選項可知,{a|a≤3} {a|a≤4},
因此a≤4是命題“ x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”為真命題的一個必要不充分條件.故選A.
16.答案　a<-6
解析　依題意得“ x∈{x|1≤x≤3},a<-2x”是真命題,當1≤x≤3時,-6≤-2x≤-2,則a<(-2x)min=-6,故實數a的取值范圍為a<-6.
17.解析　兩位同學出的題中m的取值范圍是一致的.
理由如下:∵“ x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R,x2+2x+m>0”,而“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命題,則其否定“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命題,∴兩位同學出的題中m的取值范圍是一致的.
18.解析　(1)由p為假命題,得 p為真命題,即 x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a<0,即a>x2+x在x∈{x|1≤x≤2}時有解,所以a>(x2+x)min,x∈{x|1≤x≤2},易知當x=1時,(x2+x)min=2,所以a>2.
(2)由(1)可知,當p為真命題時,a≤2;當p為假命題時,a>2.
當q為真命題時,方程x2+3x+2-a=0在x∈R上有解,故Δ=9-4(2-a)≥0,解得a≥-;當q為假命題時,a<-.
所以當p為真命題,q為假命題時,a<-;當p為假命題,q為真命題時,a>2.
所以當p和q中有且只有一個是真命題時,a的取值范圍是.

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