資源簡介

(共31張PPT)
5.3 概率
5.3.3 古典概型
第1課時 古典概型
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.理解古典概型及其概率計算公式,會判斷古典概型；
2.會用列舉法求古典概型的概率.
知識點一 古典概型
1.一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是________
（簡稱為有限性），而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件（即基本事件）
發生的可能性大小都______（簡稱為等可能性），則稱這樣的隨機試驗為古典
概率模型，簡稱為古典概型.
有限的
相等
2.古典概型的兩個特征：________與__________.
有限性
等可能性
【診斷分析】1. 下列概率模型是古典概型的打“√”，不是的打“×”.
（1）從6名同學中任選4名參加數學競賽，每人被選中的可能性大小.( )
√
（2）同時擲兩枚均勻的骰子，擲出的點數之和為7的概率.( )
√
（3）近三天中有一天降雨的概率.( )
×
（4）10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.( )
√
2.是否所有的隨機試驗都能歸結為古典概型？
解：并不是所有的隨機試驗都能歸結為古典概型，一個隨機試驗是否能歸結為
古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征：有限性與等可能性.
知識點二 古典概型的概率公式
在古典概型中，假設樣本空間含有 個樣本點，則每個基本事件發生的概率均為
__.此時，如果事件包含有 個樣本點，則__________.
探究點一 樣本點的計數問題
例1 袋子中裝有除顏色外完全相同的2個黑球和3個紅球，從中一次摸出2個球.
（1）寫出這個試驗的樣本空間；
解：將2個黑球分別記為,,3個紅球分別記為,, ，
則這個試驗的樣本空間,,,,,,,,, .
（2）用集合表示事件恰好摸出1個黑球和1個紅球，事件 至少摸出1個黑球.
解：,,,,, ；
,,,,,, .
變式 做擲紅、藍兩個骰子的試驗，用表示樣本點，其中 表示紅色骰子
出現的點數， 表示藍色骰子出現的點數.
（1）求這個試驗的樣本空間，并指出樣本點的總數；
解：這個試驗的樣本空間，，，，， ，
，，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，，， ，
，，，，，，， ，共包含36個樣本點.
（2）用集合表示事件出現的點數之和大于8，事件 出現的點數相同.
解：，，，，，，，， ，
.
，，，，， .
［素養小結］
確定樣本空間的方法：
隨機事件的結果是相對于條件而言的，要確定樣本空間必須明確事件發生的條
件，根據題意，按一定的次序列出問題的答案.求樣本點時，一定要按規律去寫，
要做到既不重復也不遺漏.
探究點二 古典概型的判斷
例2 下列概率模型是古典概型嗎？為什么？
（1）從區間 內任意取出一個實數，求取到實數2的概率；
解：不是古典概型，因為區間 內有無限個實數，取出一個實數有無限種結
果，與古典概型的特征“有限性”矛盾.
（2）先后拋擲兩枚骰子，以正面向上的點數之和作為樣本點，求和為12，11，
10的概率;
解：不是古典概型,因為正面向上的點數之和不是等可能出現的.
（3）從1,2,3， ，100這100個整數中任意取出1個整數，求取到偶數的概率.
解：是古典概型，因為試驗的樣本空間 的樣本點總數有限，而且每個樣本點
出現的可能性相等.
變式 袋中有大小相同的5個白球、3個黑球和3個紅球，每個球有一個區別于
其他球的編號，從中摸出一個球.
（1）有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作是一個樣本點建立概率模
型，該模型是不是古典概型？
解：因為共有11個球，且每個球有不同的編號，所以共有11種不同的摸法.
因為所有球大小相同，所以每個球被摸到的可能性相等，即以球的編號為樣本
點的概率模型為古典概型.
（2）若按球的顏色為樣本點，有多少個樣本點？以這些樣本點建立概率模型，
該模型是不是古典概型？
解：由于11個球共有3種顏色，因此共有3個樣本點，
記摸到白球，摸到黑球， 摸到紅球.
因為所有球的大小相同，所以一次摸球每個球被摸到的可能性均為 .
因為有5個白球，所以一次摸球摸到白球的可能性為，即 .
同樣，摸到黑球、紅球的可能性均為 ，
即 .
顯然這三個樣本點出現的可能性不相等，
故以顏色為樣本點的概率模型不是古典概型.
［素養小結］
判斷一個事件是否是古典概型，關鍵看該事件是否具備古典概型的兩大特征：
（1）有限性：在一次試驗中，樣本空間所包含的樣本點只有有限個.
（2）等可能性：每個基本事件發生的可能性相等.
探究點三 古典概型概率的計算
［提問］ 按先后順序拋擲兩枚質地均勻的硬幣,求出現兩個正面向上的概率.
解：樣本空間（正，正）,（正，反）,（反，正）,（反，反） ，共包含4
個樣本點，這里4個樣本點出現的可能性相等,屬于古典概型.出現兩個正面向上
包含的樣本點有（正，正），有1個，故所求概率 .
例3 （多選題）[2024·河南南陽高一期末] 甲、乙兩人約定玩一種游戲，把一
枚質地均勻的骰子連續拋擲兩次，游戲規則有如下四種，其中對甲有利的規則
是( )
AB
A.若兩次擲出的點數之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，則甲獲勝，否則
乙獲勝
B.若兩次擲出的點數中最大的點數大于4，則甲獲勝，否則乙獲勝
C.若兩次擲出的點數之和是偶數，則甲獲勝；若兩次擲出的點數之和是奇數，
則乙獲勝
D.若兩次擲出的點數是一奇一偶，則甲獲勝；若兩次擲出的點數均是奇數或者
偶數，則乙獲勝
[解析] 對于A，把一枚質地均勻的骰子連續拋擲兩次，共有36個樣本點，兩次
擲出的點數之和是2，3，4，5，6，10，12包含的樣本點有,, ,
,,,,,,,,,,,，, ,
，共19個，則甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為 ，此種規則對甲
有利，故A正確；
對于B，兩次擲出的點數中最大的點數大于4有最大的點數為5與最大的點數為6
兩種情況，最大的點數為5包含的樣本點有9個，最大的點數為6包含的樣本點
有11個，則甲獲勝的概率為 ，此種規則對甲有利，故B正確；
對于C，兩次擲出的點數之和是偶數包含的樣本點有,,, ,
, ,,,，,,,,,,,, ，
共18個，則兩次擲出的點數之和是奇數包含的樣本點也有18個，此時甲、乙獲
勝的概率均為 ，此種規則對甲并不有利，故C錯誤；
對于D，兩次擲出的點數是一奇一偶包含的樣本點有 （個），兩次擲
出的點數均是奇數或者偶數，包含的樣本點有（個），此時甲、乙獲
勝的概率均為 ，此種規則對甲并不有利，故D錯誤.故選 .
變式 袋中裝有除顏色外其他均相同的6個球,其中4個白球,2個紅球,從袋中任取
2個球,求下列事件的概率:
解：設4個白球的編號分別為1，2，3，4，2個紅球的編號分別為5，6.從袋中任
取2個球的樣本空間，，，，，， ，
，，，，，，， ，共包含15個樣本點，
且每個樣本點出現的可能性相同.
（1）取出的2個球都是白球;
用事件表示“取出的2個球都是白球”，則，， ，
，，，事件包含的樣本點個數為6，所以 .
（2）取出的2個球1個是白球,另1個是紅球.
解： 用事件表示“取出的2個球1個是白球，另1個是紅球”，則 ，
，，，，，，，事件 包含的樣本點個數為8，
所以 .
［素養小結］
求解古典概型概率問題的一般步驟:（1）計算樣本空間的樣本點的總數 ;（2）
計算事件包含的樣本點的個數;（3）計算事件發生的概率 .
1.下列概率模型是古典概型的是( )
C
A.種下一粒大豆觀察它是否發芽
B.從規格直徑為的合格產品中任意抽一件，測量其直徑
C.拋一枚均勻的硬幣，觀察其出現正面或反面的情況
D.某人射擊中靶或不中靶
[解析] 在A中，“發芽”與“未發芽”不一定是等可能發生的；
在B中，試驗的樣本空間中有無數個樣本點；
在D中，“中靶”與“不中靶”不一定是等可能發生的，因此A，B，D都不是古
典概型.故選C.
2.一部三冊的小說，任意排放在書架的同一層上，則排放次序的樣本空間的樣
本點個數為( )
C
A.3 B.4 C.6 D.12
[解析] 記這部小說的三冊分別為1，2，3，排放次序的樣本空間為 ,
,,,, ，共包含6個樣本點.故選C.
3.（多選題）下列關于古典概型的說法中正確的是( )
ACD
A.試驗的樣本空間的樣本點總數有限
B.每個事件出現的可能性相等
C.每個樣本點出現的可能性相等
D.已知樣本點總數為，若隨機事件包含個樣本點，則事件 發生的概率
[解析] 由古典概型的概念可知，試驗的樣本空間的樣本點總數有限，每個樣本
點出現的可能性相等，故A，C正確；
每個事件不一定是樣本點，可能包含若干個樣本點，故B不正確；
根據古典概型的概率計算公式可知D正確.故選 .
4.（多選題）[2023·四川遂寧蓬溪中學高一期末] 甲、乙兩個元件組成一個串聯
電路，每個元件可能正常或失效.設事件甲元件正常， 乙元件正常，
用,分別表示甲、乙兩個元件的狀態， 表示這個串聯電路的狀態，以
1表示元件正常，0表示元件失效，則下列說法正確的是( )
AB
A.樣本空間,,,
B.,
C.事件“電路是斷路”可以用（或 ）表示
D.事件“電路是通路”可以用（或 ）表示，共
包含3個樣本點
[解析] 樣本空間,,, ，故A正確；
事件B發生，則乙元件正常，故，而任取，故B正確；
事件“電路是斷路”中，, 至少有一個取0，因此事件“電路是斷路”,
,，, ，,，，，
, ，則“電路是斷路”可表示為，故C錯誤；
事件“電路是通路”中，, 都需要取1，因此事件“電路是通路”，
,，， ，則“電路是通路”可表示為，其中只
有1個樣本點，故D錯誤.故選 .
5.[2023·廣西玉林高一期末] 一個盒子里裝有標號為1,2,3,4,5的5張標簽，隨機抽
取兩張標簽，則抽取的2張標簽上的數字為相鄰整數的概率是__.
[解析] 由題意得，該試驗的樣本空間,,,,, ,
,,, ，共包含10個樣本點.
其中2張標簽上的數字為相鄰整數的事件包含的樣本點有,,, ，
共4個，
所以抽取的2張標簽上的數字為相鄰整數的概率是 .
古典概型問題
（1）要準確判斷；
（2）正確寫出樣本空間，得到樣本點的總數，確定事件包含的樣本點個數 ；
（3）代入公式計算.
[解析] 記“”為事件A，因為， ，所以事件A包含的
樣本點有，，，，，，，， ，
，，，，，， ，共16個，依題意得，樣本空
間中樣本點的總數為36，且每個樣本點出現的可能性相等.因此他們“心有靈犀”
的概率 .故選D.
例 甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個數字，記為 ，再由乙猜甲剛
才所想的數字，把乙猜的數字記為，其中,，若 ，
就稱“甲、乙心有靈犀”.現任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為
( )
D
A. B. C. D.5.3.3　古典概型
第1課時　古典概型
【課前預習】
知識點一
1.有限的　相等　2.有限性　等可能性
診斷分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.解:并不是所有的隨機試驗都能歸結為古典概型,一個隨機試驗是否能歸結為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征:有限性與等可能性.
知識點二
　P(C)=
【課中探究】
例1　解:(1)將2個黑球分別記為a,b,3個紅球分別記為c,d,e,
則這個試驗的樣本空間Ω={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}.
(2)A={ac,ad,ae,bc,bd,be};
B={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be}.
變式　解:(1)這個試驗的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36個樣本點.
(2)A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
例2　解:(1)不是古典概型,因為區間[1,10]內有無限個實數,取出一個實數有無限種結果,與古典概型的特征“有限性”矛盾.
(2)不是古典概型,因為正面向上的點數之和不是等可能出現的.
(3)是古典概型,因為試驗的樣本空間Ω的樣本點總數有限,而且每個樣本點出現的可能性相等.
變式　解:(1)因為共有11個球,且每個球有不同的編號,所以共有11種不同的摸法.
因為所有球大小相同,所以每個球被摸到的可能性相等,即以球的編號為樣本點的概率模型為古典概型.
(2)由于11個球共有3種顏色,因此共有3個樣本點,
記A:摸到白球,B:摸到黑球,C:摸到紅球.
因為所有球的大小相同,所以一次摸球每個球被摸到的可能性均為.
因為有5個白球,所以一次摸球摸到白球的可能性為,即P(A)=.
同樣,摸到黑球、紅球的可能性均為,
即P(B)=P(C)=.
顯然這三個樣本點出現的可能性不相等,
故以顏色為樣本點的概率模型不是古典概型.
提問 解:樣本空間Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共包含4個樣本點,這里4個樣本點出現的可能性相等,屬于古典概型.出現兩個正面向上包含的樣本點有(正,正),有1個,故所求概率P=.
例3　AB　[解析] 對于A,把一枚質地均勻的骰子連續拋擲兩次,共有36個樣本點,兩次擲出的點數之和是2,3,4,5,6,10,12包含的樣本點有(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,6),(6,4),(5,5)(6,6),共19個,則甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,此種規則對甲有利,故A正確;對于B,兩次擲出的點數中最大的點數大于4有最大的點數為5與最大的點數為6兩種情況,最大的點數為5包含的樣本點有9個,最大的點數為6包含的樣本點有11個,則甲獲勝的概率為=,此種規則對甲有利,故B正確;對于C,兩次擲出的點數之和是偶數包含的樣本點有(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(4,6),(6,4),(5,5),(6,6),共18個,則兩次擲出的點數之和是奇數包含的樣本點也有18個,此時甲、乙獲勝的概率均為,此種規則對甲并不有利,故C錯誤;對于D,兩次擲出的點數是一奇一偶包含的樣本點有6×3=18(個),兩次擲出的點數均是奇數或者偶數,包含的樣本點有6×3=18(個),此時甲、乙獲勝的概率均為,此種規則對甲并不有利,故D錯誤.故選AB.
變式　解:設4個白球的編號分別為1,2,3,4,2個紅球的編號分別為5,6.從袋中任取2個球的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共包含15個樣本點,且每個樣本點出現的可能性相同.
(1)用事件A表示“取出的2個球都是白球”,則A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},事件A包含的樣本點個數為6,所以P(A)==.
(2)用事件B表示“取出的2個球1個是白球,另1個是紅球”,則B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},事件B包含的樣本點個數為8,所以P(B)=.
【課堂評價】
1.C　[解析] 在A中,“發芽”與“未發芽”不一定是等可能發生的;在B中,試驗的樣本空間中有無數個樣本點;在D中,“中靶”與“不中靶”不一定是等可能發生的,因此A,B,D都不是古典概型.故選C.
2.C　[解析] 記這部小說的三冊分別為1,2,3, 排放次序的樣本空間為Ω={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)},共包含6個樣本點.故選C.
3.ACD　[解析] 由古典概型的概念可知,試驗的樣本空間的樣本點總數有限,每個樣本點出現的可能性相等,故A,C正確;每個事件不一定是樣本點,可能包含若干個樣本點,故B不正確;根據古典概型的概率計算公式可知D正確.故選ACD.
4.AB　[解析] 樣本空間Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},故A正確;事件B發生,則乙元件正常,故x2=1,而x1任取,故B正確;事件“電路是斷路”中,x1,x2至少有一個取0,因此事件“電路是斷路”={(0,1),(1,0),(0,0)},A={(1,1),(1,0)},={(0,1),(0,0)},B={(0,1),(1,1)},={(1,0),(0,0)},則“電路是斷路”可表示為∪,故C錯誤;事件“電路是通路”中,x1,x2都需要取1,因此事件“電路是通路”={(1,1)},A={(1,1),(1,0)},B={(0,1),(1,1)},則“電路是通路”可表示為A∩B,其中只有1個樣本點,故D錯誤.故選AB.
5.　[解析] 由題意得,該試驗的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共包含10個樣本點.
其中2張標簽上的數字為相鄰整數的事件包含的樣本點有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4個,
所以抽取的2張標簽上的數字為相鄰整數的概率是=.5.3.3　古典概型
第1課時　古典概型
【學習目標】
1.理解古典概型及其概率計算公式,會判斷古典概型;
2.會用列舉法求古典概型的概率.
◆ 知識點一　古典概型
1.一般地,如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是　　　　　(簡稱為有限性),而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即基本事件)發生的可能性大小都　　　　　(簡稱為等可能性),則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型,簡稱為古典概型.
2.古典概型的兩個特征:　　　　與　　　　.
【診斷分析】 1.下列概率模型是古典概型的打“√”,不是的打“×”.
(1)從6名同學中任選4名參加數學競賽,每人被選中的可能性大小. (　 )
(2)同時擲兩枚均勻的骰子,擲出的點數之和為7的概率. (　 )
(3)近三天中有一天降雨的概率. (　 )
(4)10人站成一排,其中甲、乙相鄰的概率.(　 )
2.是否所有的隨機試驗都能歸結為古典概型
◆ 知識點二　古典概型的概率公式
在古典概型中,假設樣本空間含有n個樣本點,則每個基本事件發生的概率均為　　　　.此時,如果事件C包含有m個樣本點,則　　　　　　.
◆ 探究點一　樣本點的計數問題
例1 袋子中裝有除顏色外完全相同的2個黑球和3個紅球,從中一次摸出2個球.
(1)寫出這個試驗的樣本空間;
(2)用集合表示事件A:恰好摸出1個黑球和1個紅球,事件B:至少摸出1個黑球.
變式 做擲紅、藍兩個骰子的試驗,用(x,y)表示樣本點,其中x表示紅色骰子出現的點數,y表示藍色骰子出現的點數.
(1)求這個試驗的樣本空間,并指出樣本點的總數;
(2)用集合表示事件A:出現的點數之和大于8,事件B:出現的點數相同.
[素養小結]
確定樣本空間的方法:
隨機事件的結果是相對于條件而言的,要確定樣本空間必須明確事件發生的條件,根據題意,按一定的次序列出問題的答案.求樣本點時,一定要按規律去寫,要做到既不重復也不遺漏.
◆ 探究點二　古典概型的判斷
例2 下列概率模型是古典概型嗎 為什么
(1)從區間[1,10]內任意取出一個實數,求取到實數2的概率;
(2)先后拋擲兩枚骰子,以正面向上的點數之和作為樣本點,求和為12,11,10的概率;
(3)從1,2,3,…,100這100個整數中任意取出1個整數,求取到偶數的概率.
變式 袋中有大小相同的5個白球、3個黑球和3個紅球,每個球有一個區別于其他球的編號,從中摸出一個球.
(1)有多少種不同的摸法 如果把每個球的編號看作是一個樣本點建立概率模型,該模型是不是古典概型
(2)若按球的顏色為樣本點,有多少個樣本點 以這些樣本點建立概率模型,該模型是不是古典概型
[素養小結]
判斷一個事件是否是古典概型,關鍵看該事件是否具備古典概型的兩大特征:
(1)有限性:在一次試驗中,樣本空間所包含的樣本點只有有限個.
(2)等可能性:每個基本事件發生的可能性相等.
◆ 探究點三　古典概型概率的計算
[提問] 按先后順序拋擲兩枚質地均勻的硬幣,求出現兩個正面向上的概率.


例3 (多選題)[2024·河南南陽高一期末] 甲、乙兩人約定玩一種游戲,把一枚質地均勻的骰子連續拋擲兩次,游戲規則有如下四種,其中對甲有利的規則是(　 )
A.若兩次擲出的點數之和是2,3,4,5,6,10,12其中之一,則甲獲勝,否則乙獲勝
B.若兩次擲出的點數中最大的點數大于4,則甲獲勝,否則乙獲勝
C.若兩次擲出的點數之和是偶數,則甲獲勝;若兩次擲出的點數之和是奇數,則乙獲勝
D.若兩次擲出的點數是一奇一偶,則甲獲勝;若兩次擲出的點數均是奇數或者偶數﹐則乙獲勝
變式 袋中裝有除顏色外其他均相同的6個球,其中4個白球,2個紅球,從袋中任取2個球,求下列事件的概率:
(1)取出的2個球都是白球;
(2)取出的2個球1個是白球,另1個是紅球.
[素養小結]
求解古典概型概率問題的一般步驟:(1)計算樣本空間的樣本點的總數n;(2)計算事件A包含的樣本點的個數m;(3)計算事件A發生的概率P(A)=.
1.下列概率模型是古典概型的是 (　 )
A.種下一粒大豆觀察它是否發芽
B.從規格直徑為(250±0.6)mm的合格產品中任意抽一件,測量其直徑d
C.拋一枚均勻的硬幣,觀察其出現正面或反面的情況
D.某人射擊中靶或不中靶
2.一部三冊的小說,任意排放在書架的同一層上,則排放次序的樣本空間的樣本點個數為 (　 )
A.3 B.4
C.6 D.12
3.(多選題)下列關于古典概型的說法中正確的是(　 )
A.試驗的樣本空間的樣本點總數有限
B.每個事件出現的可能性相等
C.每個樣本點出現的可能性相等
D.已知樣本點總數為n,若隨機事件A包含k個樣本點,則事件A發生的概率P(A)=
4.(多選題)[2023·四川遂寧蓬溪中學高一期末] 甲、乙兩個元件組成一個串聯電路,每個元件可能正常或失效.設事件A:甲元件正常,B:乙元件正常,用x1,x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態,(x1,x2)表示這個串聯電路的狀態,以1表示元件正常,0表示元件失效,則下列說法正確的是(　 )
A.樣本空間Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}
B.B={(0,1),(1,1)}
C.事件“電路是斷路”可以用∩(或　)表示
D.事件“電路是通路”可以用A∪B(或A+B)表示,共包含3個樣本點
5.[2023·廣西玉林高一期末] 一個盒子里裝有標號為1,2,3,4,5的5張標簽,隨機抽取兩張標簽,則抽取的2張標簽上的數字為相鄰整數的概率是　　　　. 5.3.3　古典概型
第1課時　古典概型
1.C　[解析] 記“創客空間”“文學社”“舞龍協會”分別為a,b,c,則樣本空間Ω={aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc},共9個.故選C.
2.D　[解析] 由題意可得,x的所有可能取值為-1,1,y的所有可能取值為-1,1,故該試驗的樣本空間包含的樣本點有(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1),共4個.故選D.
3.B　[解析] 樣本空間包含的樣本點有男男,男女,女男,女女,共4個,其中一男一女包含的樣本點有2個,故所求的概率為.
4.C　[解析] 記3個白球為A,B,C,4個黑球為a,b,c,d,從中隨機取出兩個球,則樣本空間為Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,C),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(C,a),(C,b),(C,c),(C,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共包含21個樣本點,其中兩個球顏色相同包含的樣本點有(A,B),(A,C),(B,C),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共9個,所以兩個球顏色相同的概率為=.故選C.
5.D　[解析] 切好的小正方體共有27塊,只有最中心的1塊的六個面均沒有涂色,故所求概率P=.
6.D　[解析] 記金壇站、武進站、江陰站、張家港站、常熟站分別為A,B,C,D,E,甲、乙兩人用字符對表示下車的站,則樣本空間為Ω={AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE},共包含16個樣本點,其中甲比乙晚下車包含的樣本點有BA,CA,CB,DA,DB,DC,共6個,所以甲比乙晚下車的概率為=.故選D.
7.A　[解析] 由題意得A={x∈Z|1≤x≤5}={1,2,3,4,5},則(a,b)取值的樣本空間為Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共包含25個樣本點.
若關于x的方程x2+ax+b2=0有實數根,則Δ=a2-4b2≥0,即|a|≥2|b|,
則方程x2+ax+b2=0有實數根且|a-b|≥3包含的樣本點有(4,1),(5,1),(5,2),共3個,所以所求的概率為1-=.
8.BC　[解析] 對于A,實驗結果有無數個,不是古典概型,故A錯誤;對于B,實驗結果有限且結果是等可能的,故B正確;對于C,實驗結果有限且結果是等可能的,故C正確;對于D,實驗的結果不是等可能出現的,故D錯誤.故選BC.
9.ABC　[解析] 應從第3組抽取的人數為×6=3,應從第4組抽取的人數為×6=2,應從第5組抽取的人數為×6=1,故A正確;從第3組抽取的人分別記為a,b,c,從第4組抽取的人分別記為d,e,從第5組抽取的人記為f,
則從6人中隨機抽取2人包含的樣本點有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15個,其中第4組志愿者恰有1人被抽中包含8個樣本點,其概率為,故B正確;第5組志愿者被抽中包含的樣本點有5個,其概率為=,故C正確;第3組志愿者至少有1人被抽中包含的樣本點有12個,其概率為=,故D錯誤.故選ABC.
10.　[解析] 用a,b,c,d,e,f分別表示“選擇物理”“選擇歷史”“選擇化學”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”,
則所有選科組合的樣本空間為Ω={acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef},
共包含12個樣本點.
設事件A為“選科組合符合該大學工程類招生選科要求”,
則A={acd,ace,acf,ade,adf},共包含5個樣本點,
所以P(A)=.
11.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}　　[解析] 向上的點數之和構成的樣本空間是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.兩枚骰子向上的點數構成的樣本空間包含36個樣本點,向上的點數之和為7的事件包含6個樣本點,故向上的點數之和為7的概率為.
12.　[解析] 在閉區間[10,30]中,任取一個整數,樣本空間中共包含21個樣本點,此整數是“通體質數”包含的樣本點有11,13,17,共3個,所以此整數是“通體質數”的概率為.
13.解:(1)設寫有數字1的m張卡片分別為a1,a2,a3,…,am,
寫有數字2的n張卡片分別為b1,b2,b3,…,bn,
從盒子中任取2張卡片的樣本空間為Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),…,(a1,am),(a1,b1),(a1,b2),…,(a1,bn),
(a2,a3),(a2,a4),…,(a2,am),(a2,b1),(a2,b2),…,(a2,bn),…,
(am-1,am),(am-1,b1),(am-1,b2),…,(am-1,bn),
(am,b1),(am,b2),…,(am,bn),
(b1,b2),(b1,b3),…,(b1,bn),
(b2,b3),(b2,b4),…,(b2,bn),…,
(bn-1,bn)},
共包含5+4+3+2+1=15(個)樣本點,
其中,任取2張卡片上數字之和小于3包含的樣本點有
(a1,a2),(a1,a3),…,(a1,am),
(a2,a3),(a2,a4),…,(a2,am),…,
(am-1,am),
共(m-1)+(m-2)+…+1=(個),
所以小明去北京旅游的概率為=,即m2-m-12=0,
可得m=4,所以n=2.
(2)任取2張卡片數字之和大于3包含的樣本點有(b1,b2),共1個,
所以小明去廣州旅游的概率為.
小明不去上海旅游即去北京或廣州旅游,
所以小明不去上海旅游的概率為+=.
14.解:(1)由題知,樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)}.
(2)由(1)知,樣本空間中樣本點總數為6,其中事件M所包含的樣本點個數為4,故P(M)==.
(3)由(1)知,樣本空間中樣本點總數為6,其中事件N所包含的樣本點個數為3,故P(N)==.
15.B　[解析] 點P從點A出發跳動五次到達點B,每次向右或向下跳一個單位長度,其樣本空間Ω={右右下下下,右下右下下,右下下右下,右下下下右,下右右下下,下右下右下,下右下下右,下下下右右,下下右右下,下下右下右},共包含10個樣本點.其中恰好是沿著饕餮紋的路線到達包含的樣本點為右右下下下,共1個.則恰好是沿著饕餮紋的路線到達的概率P=.故選B.
16.解:(1)將標號為1,2,3的三張紅色卡片分別記為A,B,C,標號為1,2的兩張藍色卡片分別記為D,E.
從五張卡片中任取兩張的樣本空間Ω1={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共包含10個樣本點.
從五張卡片中任取兩張,這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4包含的樣本點為(A,D),(A,E),(B,D),共3個.所以這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的概率為.
(2)記F為標號是0的綠色卡片.從六張卡片中任取兩張的樣本空間Ω2={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共包含15個樣本點.
從六張卡片中任取兩張,這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4包含的樣本點為(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,F),(C,F),(D,F),(E,F),共8個.所以這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率為.5.3.3　古典概型
第1課時　古典概型
一、選擇題
1.為培養學生的興趣愛好,豐富學生的課余生活,某校團委開設了70個社團供學生自由選擇.現已知甲、乙兩位同學均準備從“創客空間”、“文學社”、“舞龍協會”這三個社團中選擇一個報名,則該試驗的樣本空間中包含的樣本點的個數為(　 )
A.6 B.8 C.9 D.12
2.已知集合A={-1,1},點P的坐標為(x,y),其中x∈A,y∈A,任取一點P,觀察點P的坐標,則該試驗的樣本空間包含的樣本點的個數為(　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.某夫婦現有一個女兒,若生男生女的概率相同,則再生一男一女的概率為 (　 )
A. B. C. D.
4.口袋中共有3個白球4個黑球,從中隨機取出兩個球,則兩個球顏色恰好相同的概率為 (　 )
A. B. C. D.
5.先將一個棱長為3的正方體木塊的六個面分別涂上六種顏色,再將該正方體均勻切割成棱長為1的小正方體,現從切好的小正方體中任取一塊,所得小正方體的六個面均沒有涂色的概率是(　 )
A. B. C. D.
6.[2024·江蘇蘇州高一期末] 為體驗高鐵速度,游覽各地風光,甲、乙兩人準備同時從南京南站出發,列車先后會經過金壇、武進、江陰、張家港、常熟站,甲隨機選擇金壇、武進、江陰、張家港中的一站下車,乙隨機選擇金壇、武進、江陰、張家港、常熟中的一站下車.已知兩人不在同一站下車,則甲比乙晚下車的概率為 (　 )
A. B. C. D.
7.已知集合A={x∈Z|x2-6x+5≤0},且a∈A,b∈A,則關于x的方程x2+ax+b2=0無實數根或|a-b|<3的概率為 (　 )
A. B. C. D.
8.(多選題)[2024·河南南陽高一期末] 下列試驗是古典概型的是 (　 )
A.向一條線段內隨機地投射一個點,觀察點落在線段上不同位置
B.五個人站一排,觀察甲、乙兩人相鄰的情況
C.從一副撲克牌(去掉大、小王共52張)中隨機選取1張,這張牌是紅色牌
D.某同學隨機地向靶心進行射擊,這一試驗的結果只有有限個:命中10環,命中9環,命中1環和脫靶
9.(多選題)某市為增強市民的環境保護意識,面向全市征召義務宣傳志愿者.現從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分成5組:[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45],得到的頻率分布直方圖如圖所示.若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參與廣場的宣傳活動,該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者分享宣傳經驗,則下列結論正確的是(　 )
A.應從第3,4,5組中分別抽取3人、2人、1人
B.第4組志愿者恰有1人被抽中的概率為
C.第5組志愿者被抽中的概率為
D.第3組志愿者至少有1人被抽中的概率為
二、填空題
10.[2023·安徽宿州高一期末] 某地新高考采用“3+1+2”模式,其中“3”指的是語文、數學、英語三科必選科目,“1”指的是從物理和歷史兩科中選一科,即“首選科目”,“2”指的是從化學、生物、思想政治、地理四科中選兩科,即“再選科目”.已知某大學工程類招生選科要求首選科目為物理,再選科目化學、生物中至少有1科.從所有選科組合中任意選取1個,則該選科組合符合該大學工程類招生選科要求的概率為　　　　.
11.同時擲兩枚質地均勻的骰子,由向上的點數之和構成的樣本空間是　　　　　　　　　,向上的點數之和為7的概率是　　　　.
12.從古至今,文學與數學都有著密切的聯系,一首詩從末尾一字讀至開頭一字另成一首新詩,稱之為“通體回文詩”.數學中也有類似的情況:對一個整數n(n≥10)從左向右和從右向左讀其結果都是質數,可以稱它為“通體質數”.若在閉區間[10,30]中,任取一個整數,則此整數是“通體質數”的概率為　　　　.
三、解答題
13.盒子中裝了6張外形相同數字不同的卡片,其中寫有數字1的卡片有m張,寫有數字2的卡片有n張,且m+n=6.小明以游戲的方式決定暑期是去北京、上海還是廣州旅游.游戲規則為:從盒子中任取2張卡片,若這2張卡片上數字之和小于3則去北京旅游,若這2張卡片上數字之和等于3則去上海旅游,否則就去廣州旅游.已知小明去北京旅游的概率為.
(1)求m,n的值;
(2)分別求小明去廣州旅游的概率和不去上海旅游的概率.
14.從2名男生(記為A1,A2)和2名女生(記為B1,B2)這4人中一次性選取2名學生參加象棋比賽(每人被選到的可能性相同).
(1)請寫出該試驗的樣本空間Ω;
(2)設事件M為“選到1名男生和1名女生”,求事件M發生的概率;
(3)若2名男生A1,A2所處年級分別為高一、高二,2名女生B1,B2所處年級分別為高一、高二,設事件N為“選出的2人來自不同年級且至少有1名女生”,求事件N發生的概率.
15.饕餮紋(如圖①),青銅器上常見的花紋之一,盛行于商代至西周早期,最早出現在長江中下游地區的良渚文化陶器和玉器上.有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上,如圖②所示,每個小方格的邊長為一個單位長度,點P從點A出發跳動五次到達點B,每次向右或向下跳一個單位長度,且向右或向下跳是等可能的,那么恰好是沿著饕餮紋的路線到達的概率為 (　 )
A. B. C. D.
16.袋中有五張卡片,其中有紅色卡片三張,標號分別為1,2,3,藍色卡片兩張,標號分別為1,2.
(1)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率;
(2)向袋中再放入一張標號為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率.

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