資源簡介

(共37張PPT)
5.3 概率
5.3.3 古典概型
第2課時 古典概型的應用
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
應用古典概型的概率公式計算復雜事件的概率.
知識點一 古典概型的概率公式及性質
假設古典概型對應的樣本空間含個樣本點，事件包含 個樣本點，則：
（1）由 與__________可知_____________;
（2）因為中包含的樣本點個數為,所以 _______
_____,即 ___;
（3）若事件包含有個樣本點，而且與互斥，則容易知道 包含
個樣本點，從而 ____________.
1
知識點二 古典概型的應用
1.從不同的角度去考慮一個實際問題，可以將問題轉化為不同的古典概型來解
決，而所得到的古典概型的所有可能結果越少，問題的解決就變得越簡單.
2.古典概型的兩類主要問題：“有放回”與“不放回”問題，“有序”與“無序”問題.
探究點一 古典概型的簡單應用
例1（1） 某班準備到郊外野營,為此向商店訂了帳篷.如果下雨與不下雨是等可
能的,能否準時收到帳篷也是等可能的.只要帳篷如期運到,他們就不會淋雨,則下
列說法中正確的是( )
C
A.淋雨的概率為 B.淋雨的概率為 C.淋雨的概率為 D.一定不會淋雨
[解析] 如圖,淋雨的情況是天下雨且不能準時收到帳篷,故淋雨的概率 .
（2）某比賽為甲、乙兩名運動員制定了下列發球規則.規則一：投擲1枚質地均
勻的硬幣，若出現正面向上，則甲發球，否則乙發球；規則二：從裝有質地均
勻的2個紅球與2個黑球的布袋中隨機取出2個球，若同色，則甲發球，否則乙發
球；規則三：從裝有質地均勻的3個紅球與1個黑球的布袋中隨機取出2個球，若
同色，則甲發球，否則乙發球.對甲、乙都公平的發球規則是( )
C
A.規則一和規則二 B.規則二和規則三 C.規則一和規則三 D.只有規則一
[解析] 對于規則一，每人發球的概率都是 ，故規則一是公平的.
對于規則二，記2個紅球分別為紅1，紅2，2個黑球分別為黑1，黑2，該試驗的樣
本空間 （紅1，紅2），（紅1，黑1），（紅1，黑2），（紅2，黑1），
（紅2，黑2），（黑1，黑） ，共包6個樣本點，其中同色包含的樣本點有2個，
所以甲發球的可能性為 ，故規則二是不公平的.
對于規則三，記3個紅球分別為紅1，紅2，紅3，該試驗的樣本空間
（紅1，紅2），（紅1，紅3），（紅1，黑），（紅2，紅3），（紅2，黑），
（紅3，黑） ，共包含6個樣本點，其中同色包含的樣本點有3個，所以兩人發
球的可能性均為 ，故規則三是公平的.故選C.
［素養小結］
當一個事件的樣本點有有限個，且每個基本事件發生的可能性相等時，則可使
用古典概型概率公式進行計算，同時還要注意樣本空間的確定.
探究點二 “不放回”與“放回”抽取問題
例2 [2024·山東濟寧高一期末] 一個不透明的箱子中有4個紅球、2個藍球
（球除顏色外，沒有其他差異）.
（1）若從箱子中不放回地隨機抽取2個球，求這2個球顏色相同的概率；
解：把4個紅球標記為,，,，2個藍球標記為, .
從箱子中不放回地隨機抽取2個球的樣本空間
,,,,,,,,,,,, ,
, ，共包含15個樣本點，
設事件 為“從箱子中不放回地隨機抽取2個球且顏色相同”，
則,,,,,, ，共包含7個樣本點，
則 .
（2）若從箱子中有放回地抽取2個球，求這2個球顏色相同的概率.
解：從箱子中有放回地隨機抽取2個球的樣本空間，， ，
，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，，， ，
，，共包含36個樣本點，
設事件 為“從箱子中有放回地抽取2個球且顏色相同”，
則，，，，，，， ，
，，，，，，，，， ，
，，共包含20個樣本點，則 .
變式 某商戶為了吸引客人，舉行抽獎游戲，在一個不透明的口袋內裝有形狀
大小完全相同的5個小球，其中有3個紅球、1個黑球、1個黃球.
解:設3個紅球的編號分別為1，2，3，黑球為，黃球為 .
（1）若從口袋中一次性摸出2個球，摸出黃球就中獎，求某個客人中獎的概率；
從口袋中一次性摸出2個球的樣本空間包含，，， ，
，，，，， ，共10個樣本點.
摸出黃球包含的樣本點有，，， ，共4個，故某個客人中
獎的概率 .
（2）從口袋中連續取兩次球，每次取1個球后放回，若取出的2個球中沒有紅球
就中獎，求某個客人中獎的概率.
解: 從口袋中連續取兩次球，每次取1個球后放回的樣本空間包含 ，
，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，， ，
，，， ，共25個樣本點.
取出的2個球中沒有紅球包含的樣本點有，，， ，共4個，
故某個客人中獎的概率 .
［素養小結］
“抽取”問題的解題策略：
抽取問題是古典概型的常見問題，解決此類問題需要注意兩點：一是所給問題
是否需要將被抽取的個體進行區分才能滿足古典概型的條件；二是看抽取方式
是有放回還是不放回，兩種抽取方式對樣本點的總數是有影響的.另外，不放回
抽樣看作無序或有序抽取均可，有放回抽樣要看作有序抽取.
探究點三 互斥、對立事件與古典概型的綜合應用
例3 在某鐵人三項接力比賽中，某運動俱樂部要從3名擅長游泳的選手 ，
，，3名擅長騎自行車的選手，，，2名擅長跑步的選手， 中
各選一名組成參賽隊.假設在2名擅長跑步的選手中 的狀態更好，已確定入選，
擅長游泳與騎自行車的選手每人入選的可能性相等.
（1）求 被選中的概率；
解：從擅長游泳的3名選手與擅長騎自行車的3名選手中各選出1名與選手 組成
參賽隊，樣本空間中共包含9個樣本點，分別為， ，
，，，，， ，
，其中被選中包含的樣本點有3個，分別為 ，
， ，
所以被選中的概率 .
（2）求， 不全被選中的概率.
解：用事件表示“, 不全被選中”，
則,所以,不全被選中的概率 .
變式 [2024·福建泉州永春一中高一期末] 將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2
次，觀察向上的點數，事件兩數之和為8，事件 兩數之和是3的倍數.
（1）寫出該試驗的樣本空間 ，并求事件 發生的概率；
解:將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，
樣本空間,,,,, ,
,,,,, ,
,,,,, ,
,,,,, ,
,,,,, ,
,,,,, ，共包含36個樣本點.
,,,, ，共包含5個樣本點，
則 .
（2）求事件 發生的概率；
解:,,,,,,,,,,, ，共
包含12個樣本點.則 .
（3）求事件與事件 至少有一個發生的概率.
解:方法一：事件與事件至少有一個發生，即為事件 ，
,,,,,,,,,,, ,
,,,, ，共包含17個樣本點，
則事件與事件至少有一個發生的概率 .
方法二：因為，不可能同時發生，所以， 互斥，
所以 .
［素養小結］
求某些較復雜事件的概率通常有兩種方法:一是將所求事件的概率表示成一些彼
此互斥事件的概率的和;二是先求此事件的對立事件的概率，用公式
間接法求解.當轉化成的彼此互斥的事件較多或用直接法求某一
事件的概率較為復雜時,方法二常可使概率的計算得到簡化.
1.[2024·山東威海高一期末]甲、乙兩校各有2名教師報名支教，若從報名的4名
教師中任選2名，則選出的2名教師來自不同學校的概率為( )
C
A. B. C. D.
[解析] 設甲校報名支教的兩名教師為,，乙校報名支教的兩名教師為, ，
從這4名教師中任選2名，樣本空間包含,,, ,
, ，共6個樣本點，選出的2名教師來自不同學校包含的樣本點有
,,,，共4個，所以所求概率為 .故選C.
2.從含有兩件正品,和一件次品 的三件產品中按先后順序任意取出兩件產
品,每次取出后不放回,則取出的兩件產品中恰有一件次品的概率是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 從含有兩件正品,和一件次品 的三件產品中按先后順序任意取出兩
件產品,每次取出后不放回,樣本空間,,, ,
, ,共包含6個樣本點.取出的兩件產品中恰有一件次品包含的樣本
點有,,, ,共4個，則取出的兩件產品中恰有一件次品的
概率 .
3.[2024·長春東北師大附中高一期末]將一枚質地均勻的骰子連續拋擲6次，得到
的點數分別為1,2,4,5,6, ，則這6個點數的中位數為4的概率為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 當或2時，這6個點數的中位數為3；當 時，這6個點數的中位
數為3.5；當時，這6個點數的中位數為4；當 或6時，這6個點數的中
位數為4.5.由古典概型概率計算公式可得所求概率 .故選A.
4.從只讀過《論語》的3名同學和只讀過《紅樓夢》的3名同學中任選2人在班內
進行讀后分享，則選中的2人都讀過《紅樓夢》的概率為( )
A
A. B. C. D.
[解析] 設只讀過《論語》的3名同學為,,，只讀過《紅樓夢》的3名同學為 ,
, ,設“選中的2人都讀過《紅樓夢》”為事件A.從只讀過《論語》的3名同學和只
讀過《紅樓夢》的3名同學中任選2人，樣本空間中共包含15個樣本點，分別為
,,,,,,,,,,,, ,
,,其中事件A包含的樣本點有3個，分別為,, ,所以選中
的2人都讀過《紅樓夢》的概率 .故選A.
5.某部門派四位專家各自在周一、周二兩天中任選一天對某縣進行調研活動,每
位專家選擇周一、周二的可能性相同,則周一、周二都有專家參加調研活動的概
率為__.
[解析] 依題意,四位專家參加調研活動的情況可以用如圖所示的樹形圖表示.
由圖可得，樣本空間中共包含16個樣本點,四位專家都在同一天參加調研活動包
含的樣本點有2個,周一、周二都有專家參加調研活動包含的樣本點有
（個），故周一、周二都有專家參加調研活動的概率為 .
1.注意綜合運用古典概型與互斥事件概率公式，解決較為復雜的概率計算問題.
例1 將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，事件 “兩數之和為8”，事
件“兩數之和是3的倍數”，事件 “兩數均為偶數”.
（1）寫出該試驗的樣本空間 ，并求事件 發生的概率；
解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，樣本空間, ,
,,,,,,,,,,,,, ,
,,,,,,,,,,,,, ,
,,,,,,共包含36個樣本點，事件 “兩數之和為8”
包含的樣本點有，，，， ，共5個，
事件發生的概率 .
（2）求事件 發生的概率；
解：事件“兩數之和是3的倍數”包含的樣本點有，，， ，
，，，，，，， ，共12個，
事件發生的概率 .
又事件與事件互斥， 事件發生的概率 .
（3）求事件與事件 至少有一個發生的概率.
解：事件與事件至少有一個發生包含的樣本點有，， ，
，，，，，，， ，共11個，
事件與事件至少有一個發生的概率 .
2.在計算樣本點總數時,如果分不清“有放回”和“無放回”,那么就會出現“重算”或
“漏算”的錯誤.突破這一思維障礙的有效方法是考察同一元素在不同次序的試驗
中是否能重復出現.
例2 [2023·河南信陽高一期末] 從三名男生（記為，， ）、兩名女生
（記為， ）中任意選取兩人.
（1）在有放回地選取中，寫出樣本空間，并計算選到的兩人都是男生的概率；
解：樣本空間,,,,,, ,
,,,,,，,, ,
,,,,,,,, ，共
包含25個樣本點.
記選到的兩人都是男生為事件，則事件 包含的樣本點有
,,,,,,, ，共9
個，則 .
（2）在不放回地選取中，寫出樣本空間，并計算選到的兩人至少有一名女生的
概率.
解：樣本空間,,,,,,,,, ，
共包含10個樣本點.
記選到的兩人至少有一名女生為事件，則事件 包含的樣本點有
,,,,,,，共7個，則 .
3.樹形圖巧破古典概型的計算
對于古典概型的概率計算問題，關鍵是找出各個事件包含的所有樣本點，當這
個事件較為復雜時，樹形圖能讓這個“復雜問題”峰回路轉，下文舉例說明.
例3 有，，，四位貴賓，應分別坐在，，， 四個席位上，現在
這四人均未留意，在四個席位上隨意就座.
解：將，，， 四位貴賓就座情況
用下面圖形表示出來，則本題樣本空間中
的樣本點共有24個.
（1）求這四人恰好都坐在自己席位上的概率；
設事件為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，
則事件 包含1個樣本點，所以 .
（2）求這四人恰好都沒坐在自己席位上的概率；
解： 設事件為“這四人恰好都沒坐在自己的席位上”，則事件 包含9個樣本
點，所以 .
（3）求這四人恰好有一人坐在自己席位上的概率.
解： 設事件為“這四人恰好有一人坐在自己的席位上”，則事件 包含8個樣
本點，所以 .
［技巧點撥］ 當事件沒有很明顯的規律，并且涉及的樣本點又不是太多時，我
們可借助樹形圖法直觀地將其表示出來，這是進行列舉的常用方法，樹形圖可
以清晰準確地列出所有的樣本點，并且畫出一根樹枝之后可猜想其余的情況，
利用樹形圖求古典概型的概率，體現了數形結合思想在概率計算中的應用.第2課時　古典概型的應用
【課前預習】
知識點一
(1)P(A)=　0≤P(A)≤1　(2)1-P(A)　1
(3)P(A)+P(B)
【課中探究】
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)如圖,淋雨的情況是天下雨且不能準時收到帳篷,故淋雨的概率P=.
(2)對于規則一,每人發球的概率都是,故規則一是公平的.對于規則二,記2個紅球分別為紅1,紅2,2個黑球分別為黑1,黑2,該試驗的樣本空間Ω1={(紅1,紅2),(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(黑1,黑2)},共包6個樣本點,其中同色包含的樣本點有2個,所以甲發球的可能性為=,故規則二是不公平的.對于規則三,記3個紅球分別為紅1,紅2,紅3,該試驗的樣本空間Ω2={(紅1,紅2),(紅1,紅3),(紅1,黑),(紅2,紅3),(紅2,黑),(紅3,黑)},共包含6個樣本點,其中同色包含的樣本點有3個,所以兩人發球的可能性均為,故規則三是公平的.故選C.
例2　解:(1)把4個紅球標記為A1,A2,A3,A4,2個藍球標記為B1,B2.
從箱子中不放回地隨機抽取2個球的樣本空間
Ω1={A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2},共包含15個樣本點,
設事件E為“從箱子中不放回地隨機抽取2個球且顏色相同”,
則E={A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,B1B2},共包含7個樣本點,
則P(E)=.
(2)從箱子中有放回地隨機抽取2個球的樣本空間Ω2={A1A1,A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A1,A2A2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A1,A3A2,A3A3,A3A4,A3B1,A3B2,A4A1,A4A2,A4A3,A4A4,A4B1,A4B2,B1A1,B1A2,B1A3,B1A4,B1B1,B1B2,B2A1,B2A2,B2A3,B2A4,B2B1,B2B2},共包含36個樣本點,設事件F為“從箱子中有放回地抽取2個球且顏色相同”,則F={A1A1,A1A2,A1A3,A1A4,A2A1,A2A2,A2A3,A2A4,A3A1,A3A2,A3A3,A3A4,A4A1,A4A2,A4A3,A4A4,B1B1,B1B2,B2B1,B2B2},共包含20個樣本點,則P(F)==.
變式　解:設3個紅球的編號分別為1,2,3,黑球為a,黃球為b.
(1)從口袋中一次性摸出2個球的樣本空間包含(1,2),(1,3),(2,3),(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),共10個樣本點.
摸出黃球包含的樣本點有(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),共4個,故某個客人中獎的概率P1==.
(2)從口袋中連續取兩次球,每次取1個球后放回的樣本空間包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(3,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b),共25個樣本點.
取出的2個球中沒有紅球包含的樣本點有(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),共4個,故某個客人中獎的概率P2=.
例3　解:(1)從擅長游泳的3名選手與擅長騎自行車的3名選手中各選出1名與選手C1組成參賽隊,樣本空間中共包含9個樣本點,分別為(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1),其中A1被選中包含的樣本點有3個,分別為(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),
所以A1被選中的概率P==.
(2)用事件N表示“A1,B1不全被選中”,
則={(A1,B1,C1)},所以A1,B1不全被選中的概率P(N)=1-P()=1-=.
變式　解:(1)將一顆骰子先后拋擲2次,觀察向上的點數,
樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36個樣本點.
A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},共包含5個樣本點,
則P(A)=.
(2)B={(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)},共包含12個樣本點.則P(B)==.
(3)方法一:事件A與事件B至少有一個發生,即為事件A∪B,
A∪B={(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,4),(4,5),(5,1),(5,3),(5,4),(6,2),(6,3),(6,6)},共包含17個樣本點,
則事件A與事件B至少有一個發生的概率P(A∪B)=.
方法二:因為A,B不可能同時發生,所以A,B互斥,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
【課堂評價】
1.C　[解析] 設甲校報名支教的兩名教師為A1,A2,乙校報名支教的兩名教師為B1,B2,從這4名教師中任選2名,樣本空間包含(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),共6個樣本點,選出的2名教師來自不同學校包含的樣本點有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),共4個,所以所求概率為=.故選C.
2.B　[解析] 從含有兩件正品a1,a2和一件次品b的三件產品中按先后順序任意取出兩件產品,每次取出后不放回,樣本空間Ω={(a1,a2),(a1,b), (a2,b), (a2,a1), (b,a1), (b,a2)},共包含6個樣本點.取出的兩件產品中恰有一件次品包含的樣本點有(a1,b), (a2,b), (b,a1), (b,a2),共4個,則取出的兩件產品中恰有一件次品的概率P==.
3.A　[解析] 當x=1或2時,這6個點數的中位數為3;當x=3時,這6個點數的中位數為3.5;當x=4時,這6個點數的中位數為4;當x=5或6時,這6個點數的中位數為4.5.由古典概型概率計算公式可得所求概率P=.故選A.
4.A　[解析] 設只讀過《論語》的3名同學為x,y,z,只讀過《紅樓夢》的3名同學為a,b,c,設“選中的2人都讀過《紅樓夢》”為事件A.從只讀過《論語》的3名同學和只讀過《紅樓夢》的3名同學中任選2人,樣本空間中共包含15個樣本點,分別為(x,y),(x,z),(x,a),(x,b),(x,c),(y,z),(y,a),(y,b),(y,c),(z,a),(z,b),(z,c),(a,b),(a,c),(b,c),其中事件A包含的樣本點有3個,分別為(a,b),(a,c),(b,c),所以選中的2人都讀過《紅樓夢》的概率P==.故選A.
5.　[解析] 依題意,四位專家參加調研活動的情況可以用如圖所示的樹形圖表示.
由圖可得,樣本空間中共包含16個樣本點,四位專家都在同一天參加調研活動包含的樣本點有2個,周一、周二都有專家參加調研活動包含的樣本點有16-2=14(個),故周一、周二都有專家參加調研活動的概率為=.第2課時　古典概型的應用
【學習目標】
應用古典概型的概率公式計算復雜事件的概率.
◆ 知識點一　古典概型的概率公式及性質
假設古典概型對應的樣本空間含n個樣本點,事件A包含m個樣本點,則:
(1)由0≤m≤n與　　　　可知　　　　　　;
(2)因為中包含的樣本點個數為n-m,所以P()==1-=　　　　,即P(A)+P()=　　　　;
(3)若事件B包含有k個樣本點,而且A與B互斥,則容易知道A+B包含m+k個樣本點,從而P(A+B)==+=　　　　　　.
◆ 知識點二　古典概型的應用
1.從不同的角度去考慮一個實際問題,可以將問題轉化為不同的古典概型來解決,而所得到的古典概型的所有可能結果越少,問題的解決就變得越簡單.
2.古典概型的兩類主要問題:“有放回”與“不放回”問題,“有序”與“無序”問題.
◆ 探究點一　古典概型的簡單應用
例1 (1)某班準備到郊外野營,為此向商店訂了帳篷.如果下雨與不下雨是等可能的,能否準時收到帳篷也是等可能的.只要帳篷如期運到,他們就不會淋雨,則下列說法中正確的是 (　 )
A.淋雨的概率為 B.淋雨的概率為
C.淋雨的概率為 D.一定不會淋雨
(2)某比賽為甲、乙兩名運動員制定了下列發球規則.規則一:投擲1枚質地均勻的硬幣,若出現正面向上,則甲發球,否則乙發球;規則二:從裝有質地均勻的2個紅球與2個黑球的布袋中隨機取出2個球,若同色,則甲發球,否則乙發球;規則三:從裝有質地均勻的3個紅球與1個黑球的布袋中隨機取出2個球,若同色,則甲發球,否則乙發球.對甲、乙都公平的發球規則是(　 )
A.規則一和規則二
B.規則二和規則三
C.規則一和規則三
D.只有規則一
[素養小結]
當一個事件的樣本點有有限個,且每個基本事件發生的可能性相等時,則可使用古典概型概率公式進行計算,同時還要注意樣本空間的確定.
◆ 探究點二　“不放回”與“放回”抽取問題
例2 [2024·山東濟寧高一期末] 一個不透明的箱子中有4個紅球、2個藍球(球除顏色外,沒有其他差異).
(1)若從箱子中不放回地隨機抽取2個球,求這2個球顏色相同的概率;
(2)若從箱子中有放回地抽取2個球,求這2個球顏色相同的概率.
變式 某商戶為了吸引客人,舉行抽獎游戲,在一個不透明的口袋內裝有形狀大小完全相同的5個小球,其中有3個紅球、1個黑球、1個黃球.
(1)若從口袋中一次性摸出2個球,摸出黃球就中獎,求某個客人中獎的概率;
(2)從口袋中連續取兩次球,每次取1個球后放回,若取出的2個球中沒有紅球就中獎,求某個客人中獎的概率.
[素養小結]
“抽取”問題的解題策略:
抽取問題是古典概型的常見問題,解決此類問題需要注意兩點:一是所給問題是否需要將被抽取的個體進行區分才能滿足古典概型的條件;二是看抽取方式是有放回還是不放回,兩種抽取方式對樣本點的總數是有影響的.另外,不放回抽樣看作無序或有序抽取均可,有放回抽樣要看作有序抽取.
◆ 探究點三　互斥、對立事件與古典概型的綜合應用
例3 在某鐵人三項接力比賽中,某運動俱樂部要從3名擅長游泳的選手A1,A2,A3,3名擅長騎自行車的選手B1,B2,B3,2名擅長跑步的選手C1,C2中各選一名組成參賽隊.假設在2名擅長跑步的選手中C1的狀態更好,已確定入選,擅長游泳與騎自行車的選手每人入選的可能性相等.
(1)求A1被選中的概率;
(2)求A1,B1不全被選中的概率.
變式 [2024·福建泉州永春一中高一期末] 將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次,觀察向上的點數,事件A:兩數之和為8,事件B:兩數之和是3的倍數.
(1)寫出該試驗的樣本空間Ω,并求事件A發生的概率;
(2)求事件B發生的概率;
(3)求事件A與事件B至少有一個發生的概率.
[素養小結]
求某些較復雜事件的概率通常有兩種方法:一是將所求事件的概率表示成一些彼此互斥事件的概率的和;二是先求此事件的對立事件的概率,用公式P(A)=1-P()間接法求解.當轉化成的彼此互斥的事件較多或用直接法求某一事件的概率較為復雜時,方法二常可使概率的計算得到簡化.
1.[2024·山東威海高一期末] 甲、乙兩校各有2名教師報名支教,若從報名的4名教師中任選2名,則選出的2名教師來自不同學校的概率為 (　 )
A. B.
C. D.
2.從含有兩件正品a1,a2和一件次品b的三件產品中按先后順序任意取出兩件產品,每次取出后不放回,則取出的兩件產品中恰有一件次品的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
3.[2024·長春東北師大附中高一期末] 將一枚質地均勻的骰子連續拋擲6次,得到的點數分別為1,2,4,5,6,x,則這6個點數的中位數為4的概率為 (　 )
A. B.
C. D.
4.從只讀過《論語》的3名同學和只讀過《紅樓夢》的3名同學中任選2人在班內進行讀后分享,則選中的2人都讀過《紅樓夢》的概率為(　 )
A. B.
C. D.
5.某部門派四位專家各自在周一、周二兩天中任選一天對某縣進行調研活動,每位專家選擇周一、周二的可能性相同,則周一、周二都有專家參加調研活動的概率為　　　　. 第2課時　古典概型的應用
1.B　[解析] 樣本空間中樣本點總數為5,首先到站的是4路車或8路車包含的樣本點個數為2,故所求概率為.
2.D　[解析] 先后拋擲兩枚骰子,出現的點數的樣本空間為Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) ,
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36個樣本點,
其中點數之和是2的有1個樣本點,故P1=,
點數之和是3的有2個樣本點,故P2==,
點數之和是4的有3個樣本點,故P3==,
所以P13.C　[解析] 樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6},共包含6個樣本點,A={2,4}.若表示B的對立事件,則={5,6},則A+={2,4,5,6},共包含4個樣本點,所以事件A+發生的概率為=.故選C.
4.B　[解析] 樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},樣本點總數為10,其中抽到的2張卡片上的數字之和是偶數的樣本點有(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4個,所以所求概率為=.故選B.
5.B　[解析] 設測量過某項指標的兔子的編號為1,2,3,沒測量過某項指標的兔子的編號為4,5,樣本空間包含的樣本點有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10個.恰有2只測量過該項指標包含的樣本點有(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,3,5),共6個.故所求概率為=.
6.C　[解析] 三輛車的出車順序可能為123,132,213,231,312,321,即樣本空間中的樣本點共有6個.選擇方案一坐到“3號”車包含的樣本點有132,213,231,所以P1==;選擇方案二坐到“3號”車包含的樣本點有312,321,所以P2==.所以P1+P2=,故選C.
7.D　[解析] 用(x,y,z)表示乙、丙、丁領到的紅包分別為x元、y元、z元.樣本空間中共包含10個樣本點,分別為(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).乙領到的錢數不少于其他任何人包含的樣本點有4個,分別為(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).根據古典概型的概率計算公式,可得所求概率為=.故選D.
8.AB　[解析] 對于游戲1,樣本空間包含(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑1),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,黑1),(黑3,黑2),(黑3,白),(白,黑1),(白,黑2),(白,黑3),共12個樣本點,其中甲獲勝包含的樣本點有(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑1),(黑2,黑3),(黑3,黑1),(黑3,黑2),共6個,則甲獲勝的概率為=,乙獲勝的概率為1-=,故游戲1公平.對于游戲2,樣本空間包含(黑1,黑1),(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,黑1),(黑2,黑2),(黑2,白1),(黑2,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,白1),(白1,白2),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,白1),(白2,白2),共16個樣本點,其中甲獲勝包含的樣本點有(黑1,黑1),(黑1,黑2),(黑2,黑1),(黑2,黑2),(白1,白1),(白1,白2),(白2,白1),(白2,白2),共8個,則甲獲勝的概率為=,乙獲勝的概率為1-=,故游戲2公平.對于游戲3,樣本空間包含(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑1,白2),(黑2,黑1),(黑2,白1),(黑2,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,白2),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,白1),共12個樣本點,其中甲獲勝包含的樣本點有(黑1,黑2),(黑2,黑1),(白1,白2),(白2,白1),共4個,則甲獲勝的概率為=,乙獲勝的概率為1-=,故游戲3不公平.故選AB.
9.BD　[解析] 從甲罐中抽到標號為2的小球的概率為,故A錯誤;從甲、乙兩罐中分別隨機抽取一個小球,樣本空間包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),共20個樣本點,其中抽取的兩個小球標號之和大于5包含的樣本點有(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),共10個,所以P(A)==,故B正確;事件A∩B包含的樣本點有(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(4,4),(4,5),共7個,所以P(A∩B)=,故C錯誤;事件A∪B包含的樣本點有(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),共10個,所以P(A∪B)==,故D正確.故選BD.
10.　[解析] 記1件正品為A,2件次品分別為b,c,從3件產品中不放回地依次抽取2件產品所包含的樣本點有(A,b),(A,c),(b,A),(b,c),(c,A),(c,b),共6個,事件“第二次抽到的是次品”所包含的樣本點有(A,b),(A,c),(b,c),(c,b),共4個,所以事件“第二次抽到的是次品”的概率P==.
11.　[解析] 將3道選擇題分別編號為1,2,3,將2道填空題分別編號為4,5.從5道題中任選2道不同的題解答,每一次選1題,則樣本空間包含(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20個樣本點.設事件A為“所選的題不是同一種題型”,則事件A包含的樣本點有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12個,所以P(A)==.
12.　[解析] 由1,2,3組成的三位自然數有123,132,213,231,312,321,共6個.同理由1,2,4組成的三位自然數有6個,由1,3,4組成的三位自然數有6個,由2,3,4組成的三位自然數有6個,故樣本空間中共有6×4=24(個)樣本點.由1,2,3或1,3,4組成的三位自然數為“有緣數”,故這個三位自然數為“有緣數”包含的樣本點共有12個,所以這個三位自然數為“有緣數”的概率為=.
13.解:(1)由題可得(0.01+0.02×2+a+0.05+0.06)×5=1,
解得a=0.04.
∵年齡在[35,45)內的頻率為(0.02+0.05)×5=0.35<0.5,
年齡在[35,50)內的頻率為0.35+0.06×5=0.65>0.5,
∴中位數在[45,50)內,設中位數為x,則0.35+(x-45)×0.06=0.5,
解得x=47.5,∴中位數為47.5.
(2)∵年齡在[45,50)內的頻率為0.06×5=0.3,年齡在[50,55)內的頻率為0.04×5=0.2,
∴這兩組的頻率之比為3∶2,
∴在[45,50)內抽取的人數為5×=3,記為A1,A2,A3,
在[50,55)內抽取的人數為5×=2,記為B1,B2.
從5人中抽取2人的樣本空間為Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共包含10個樣本點,其中至少有1人的年齡在[50,55)內包含的樣本點有
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共7個.
故這2人中至少有1人的年齡在[50,55)內的概率P=.
14.解:(1)設這m人的平均年齡為,
則=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75.
(2)由頻率分布直方圖可知各組的頻率之比為2∶7∶5∶4∶2,
第四組應抽取20×=4(人),分別記為A,B,C,甲,第五組應抽取20×=2(人),分別記為D,乙.則樣本空間為Ω={(A,B),(A,C),(A,甲),(A,乙),(A,D),(B,C),(B,甲),(B,乙),(B,D),(C,甲),(C,乙),(C,D),(甲,乙),(甲,D),(乙,D)},共包含15個樣本點.
設事件M為“甲、乙兩人至少有一人被選上”,
則M={(A,甲),(A,乙),(B,甲),(B,乙),(C,甲),(C,乙),(甲,乙),(甲,D),(乙,D)},共包含9個樣本點,
所以P(M)==.第2課時　古典概型的應用
一、選擇題
1.在1,3,4,5,8路公共汽車都要停靠的一個站(假定這個站同一時刻只能停靠一輛車),有一位乘客在等候4路車或8路車,假定當時各路車首先到站的可能性相同,則首先到站的正好是這位乘客所需要乘坐的公共汽車的概率為(　 )
A. B. C. D.
2.[2024·上海行知中學高一期末] 先后拋擲兩枚質地均質的骰子,設出現的點數之和是2,3,4的概率依次是P1,P2,P3,則 (　 )
A.P1=P2C.P13.在擲一枚質地均勻的骰子的試驗中,事件A表示“出現小于5的偶數點”,事件B表示“出現小于5的點數”.若表示B的對立事件,則一次試驗中,事件A+發生的概率為 (　 )
A. B. C. D.
4.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中不放回地隨機抽取2張,則抽到的2張卡片上的數字之和是偶數的概率為 (　 )
A. B. C. D.
5.有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標,若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該項指標的概率為 (　 )
A. B. C. D.
6.某博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車按隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發奇想,設計了兩種乘車方案:方案一,不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號,就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二,直接乘坐第一輛車.記選擇方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1,P2,則 (　 )
A.P1·P2= B.P1=P2=
C.P1+P2= D.P17.甲在微信群中發了6元的拼手氣紅包,被乙、丙、丁三人搶完.若三人均領到整數元,且每人至少領到1元,則乙領到的錢數不少于其他任何人的概率是 (　 )
A. B. C. D.
8.(多選題)下面有三個游戲,則 (　 )
取球方式 結果
游戲1 袋中有除顏色外完全相同的3個黑球和1個白球,游戲時,每次取1個球,不放回地依次取2個球 取出的2個球同色→甲獲勝;取出的2個球不同色→乙獲勝
游戲2 袋中有除顏色外完全相同的2個黑球和2個白球,游戲時,每次取1個球,有放回地依次取2個球
游戲3 袋中有除顏色外完全相同的2個黑球和2個白球,游戲時,每次取1個球,不放回地依次取2個球
A.游戲1公平 B.游戲2公平
C.游戲3公平 D.游戲2不公平
9.(多選題)已知甲罐中有四個相同的小球,標號為1,2,3,4;乙罐中有五個相同的小球,標號為1,2,3,4,5.現從甲、乙兩罐中分別隨機抽取一個小球,記事件A為“抽取的兩個小球標號之和大于5”,事件B為“抽取的兩個小球標號之積大于8”,則(　 )
A.從甲罐中抽到標號為2的小球的概率為
B.事件A發生的概率為
C.事件A∩B發生的概率為
D.事件A∪B發生的概率為
二、填空題
10.現有1件正品和2件次品,從中不放回地依次抽取2件產品,則事件“第二次抽到的是次品”的概率為　　　　.
11.小李在做一份調查問卷,共有5道題,其中有兩種題型,一種是選擇題,共3道,另一種是填空題,共2道.若小李從中不放回地依次抽取2道題解答,則所選的題不是同一種題型的概率為　　　　.
12.一個三位自然數百位、十位、個位上的數字分別為a,b,c,當且僅當有兩個數字的和等于第三個數字時,稱這個三位自然數為“有緣數”(如213,134).若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,則這個三位自然數為“有緣數”的概率是　　　　.
三、解答題
13.某場比賽有6個年齡組:[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65)(單位:歲).現抽取了1000名參賽人員,得到各年齡段人數的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求圖中a的值,并估計這1000人年齡的中位數;
(2)在抽取的參賽人員中用分層抽樣的方法從年齡在[45,55)內的人群中抽取一個容量為5的樣本,再從樣本中任意抽取2人,求這2人中至少有1人的年齡在[50,55)內的概率.
14.某調研機構為了了解人們對“垃圾分類”相關知識的認知程度,針對本市不同年齡和不同職業的人舉辦了一次“垃圾分類”知識競賽,滿分100分(95分及以上為認知程度高),結果認知程度高的有m人.將這m人按年齡分成5組,其中第一組為[20,25),第二組為[25,30),第三組為[30,35),第四組為[35,40),第五組為[40,45],得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知第一組有10人.
(1)根據頻率分布直方圖,估計這m人的平均年齡.
(2)現從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人,擔任本市的“垃圾分類”宣傳使者.若有甲(38歲),乙(40歲)兩人已確定入選,現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中,再隨機抽取2人作為組長,求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率.

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