資源簡介

1.2　集合間的基本關系 姓名 班級 .
基礎過關練
題組一　子集、真子集和空集
1.已知式子:①{a,b}={b,a};②{a,b} {b,a};③ ={ };④{0}= ;⑤ {0};⑥0∈{0}.其中不正確的是(　　)
A.①③④　　B.②④⑤　　C.②⑤⑥　　D.③④
2.下列Venn圖中,能正確表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2-x=0}的關系的是(　　)
　　　
3.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,則集合A,B之間的關系為(　　)
A.B∈A　　B.B A　　C.A=B　　D.A B
4.在平面直角坐標系中,集合C={(x,y)|y=x}表示直線y=x上的所有點,從這個角度看,若集合D=(x,y),則集合C、D之間的關系是(　　)
A.C D　　B.D C　　C.C∈D　　D.D∈C
5.已知集合M={x∈N|2x-3<2},則M的真子集的個數是　　　　.
6.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|-1題組二　集合間的關系及其應用
7.設集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,則a=(　　)
A.2　　B.1　　C.　　D.1或2
8.若集合A=xx=(2k+1),k∈±,k∈Z,則集合A,B之間的關系表示最準確的為　(　　)
A.A B　　B.B A　　
C.A=B　　D.A與B互不包含
9.設集合A={x|2x+3>1},B={x|x+a≥0},若A B,則實數a的最小值是　　　　.
10.設m為實數,集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},且B A,則m的取值范圍是　　　　.
11.已知集合A={x|x2+4x-a=0}.
(1)若a=5,請寫出集合A的所有子集;
(2)若集合B={x|x2+2x=0},且A B,求a的取值范圍.
能力提升練
題組一　集合間的基本關系
1.若x∈A,∈A,就稱A是具有伙伴關系的集合,集合M=的所有非空子集中,具有伙伴關系的集合的個數為(　　)
A.1　　B.3　　C.5　　D.7
2.集合M={x|x=7k-2,k∈N},P={x|x=7n+5,n∈N},S={x|x=14m+5,m∈N}的關系是(　　)
A.S P M　　B.S=P M　　
C.S P=M　　D.P=M S
3.集合A=a∈Zx=a+,x∈Z的真子集有　　　　個.
4.若集合M {1,2,3,4,5,6,7,8},且M中至少含有兩個奇數,則滿足條件的集合M的個數是　　　　.
5.設集合S={a1,a2,a3,a4,a5},若集合S的所有非空真子集的元素之和是300,則a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.
題組二　由集合間的關系解決參數問題
6.(多選題)知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且僅有2個子集,則a的取值可以為(　　)
A.-2　　B.-1　　C.0　　D.1
7.已知集合A={x|ax≤4},B={4,},若B A,則實數a的取值范圍為(　　)
A.{a|a≤1}　　B.{a|a≤-1}　　
C.{a|a≤-2}　　D.{a|a≤2}
8.(多選題)已知集合A={0,1},B={x|ax2+x-1=0},若A B,則實數a的取值可以是(　　)
A.0　　B.1　　C.-1　　D.
9.設集合A={x|-1≤x+1≤4},B={x|m-1(1)當x∈N時,求A的非空真子集的個數;
(2)若A B,求實數m的取值范圍.
10.已知a∈R,關于x的方程x2+a=x的解組成的集合為A(A≠ ),(x2+a)2+a=x的解組成的集合為B.
(1)求證:A B;
(2)若A=B,求實數a的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
1.2　集合間的基本關系
基礎過關練
1.D 2.B 3.B 4.B 7.B 8.C
1.D　對于①,由集合中元素的無序性可知①正確;
對于②,由①知{a,b}={b,a},根據任何一個集合是它本身的子集可知②正確;
對于③④, 是不含有任何元素的集合,而{ }是以空集為元素的一個集合,{0}是只有一個元素0的集合,故③④錯誤;
對于⑤,空集是任何集合的子集,故⑤正確;
對于⑥,0是{0}的一個元素,所以⑥正確.
綜上,不正確的有③④.
2.B　由x2-x=0得x=0或x=1,故N={1,0},所以N M.
3.B　B=(x,y)=1={(x,y)|y=x,且x≠0},而A={(x,y)|y=x},所以B A.
4.B　易得D=(x,y)={(1,1),(-2,-2)},因為C={(x,y)|y=x},所以D C.
小題速解
　　集合C表示直線y=x上的所有點,集合D表示直線y=x與曲線x2+y=2的交點,所以D C.
5.答案　7
解析　M={x∈N|2x-3<2}=x∈Nx<={0,1,2},集合M中有3個元素,則M的真子集的個數是23-1=7.
6.答案　7
解析　因為A={x|x2-5x+6=0}={2,3},B={x|-17.B　由A B,得0∈B,若a-2=0,則a=2,此時A={0,-2},B={1,0,2},不滿足A B,不合題意;若2a-2=0,則a=1,此時A={0,-1},B={1,-1,0},滿足A B.
綜上,a=1.
8.C　對于集合A,當k=2n(n∈Z)時,A=xx=n+,n∈Z,當k=2n-1(n∈Z)時,A=xx=n-,n∈Z,所以A=B.
9.答案　1
解析　A={x|x>-1},B={x|x≥-a},
∵A B,∴-a≤-1,
∴a≥1,故a的最小值為1.
10.答案　
解析　當B= 時,m>2m-1,即m<1,滿足B A;
當B≠ 時,由B A得解得1≤m≤.
綜上所述,m的取值范圍是.
易錯警示
　　含有參數的集合B滿足B A,解題時要考慮B= 的情況.
11.解析　(1)當a=5時,A={x|x2+4x-5=0}={-5,1},
所以集合A的子集有 ,{-5},{1},{-5,1}.
(2)易得B={x|x2+2x=0}={-2,0}.
①當A= 時,滿足A B,此時方程x2+4x-a=0無解,故Δ=16+4a<0,解得a<-4;
②當集合A只有一個元素時,方程x2+4x-a=0有兩個相等的實根,故Δ=16+4a=0,可得a=-4,
此時A={x|x2+4x+4=0}={-2},滿足A B;
③當集合A有兩個元素時,因為A B,所以A=B,即A={-2,0},即關于x的方程x2+4x-a=0的兩根分別為-2,0,所以無解.
綜上所述,實數a的取值范圍是{a|a≤-4}.
能力提升練
1.B 2.A 6.BCD 7.A 8.AC
1.B　由集合M=及新定義可知當x=0時,無意義;當x=,,2時, M;當x=-1,1時,∈M,因此x可取-1和1.
所以符合題意的集合為{-1},{1},{-1,1},
所以具有伙伴關系的集合的個數為3.
2.A　(列舉法)M={-2,5,12,19,26,33,…},
P={5,12,19,26,33,…},
S={5,19,33,…},∴S P M.
3.答案　63
解析　因為x∈Z,a∈Z,所以∈Z,所以a=-4,-2,-1,1,2,4,經檢驗,均滿足題意,所以A={-4,-2,-1,1,2,4},所以集合A的真子集有26-1=63個.
4.答案　175
解析　從反面入手,考慮集合M中不含有奇數、只含有1個奇數兩種情況.
若M中不含有奇數,則集合M的個數等于集合{2,4,6,8}的子集的個數,為24=16;
若M中只含有1個奇數,則這個奇數有4種可能,故集合M的個數等于集合{2,4,6,8}的子集的個數的4倍,為24×4=64.
易得{1,2,3,4,5,6,7,8}的真子集的個數為28-1=255,
所以當M中至少含有兩個奇數時,滿足條件的集合M的個數為255-16-64=175.
5.答案　20
分析　根據給定條件,求出含每個元素的集合個數,再進行求和即可.
解析　集合S的所有非空真子集中含有a1的有24-1=15個(即{a2,a3,a4,a5}的真子集的個數),同理,集合S的所有非空真子集中含有a2,a3,a4,a5的均各有15個,
由15(a1+a2+a3+a4+a5)=300,得a1+a2+a3+a4+a5=20.
6.BCD　∵集合A有且僅有2個子集,∴A有且僅有1個元素.
當a=0時,集合A={0},符合題意.
當a≠0時,Δ=4-4a2=0,解得a=±1,
當a=1時,A={-1},符合題意;
當a=-1時,A={1},符合題意.
故a的取值可以為-1,0,1.
7.A　當a=0時,ax≤4即0≤4,顯然恒成立,故A=R,滿足B A;
當a>0時,由ax≤4得x≤,故A=xx≤,
因為B A,所以 0當a<0時,由ax≤4得x≥,故A=xx≥,
因為B A,所以 a<0.
綜上,實數a的取值范圍為{a|a≤1}.
考場速決
　　由B A得4∈A,∈A,所以4a≤4,且a≤4,所以a≤1.
8.AC　當a=0時,B={1},滿足條件;
當a≠0時,由A B,可得B={1}或B={0}或B={0,1}或B= .
若B={1},則無解;
若B={0},則無解;
若B={0,1},則無解;
若B= ,則Δ=1+4a<0,得a<-.
綜上,a的取值范圍是aa<-∪{0}.
結合選項知a的值可以為0或-1.
考場速決
　　可把a的值逐個代入檢驗,易知a=0,a=-1符合.
9.解析　(1)由-1≤x+1≤4得-2≤x≤3,當x∈N時,可得A={0,1,2,3},所以A的非空真子集的個數為24-2=14.
(2)若B= ,則2m+1≤m-1,可得m≤-2;
若B≠ ,則解得-1≤m≤1.
綜上,實數m的取值范圍為{m|-1≤m≤1或m≤-2}.
10.解析　(1)證明:任取x0∈A,則+a=x0,
將x=x0代入(x2+a)2+a=x,等式成立,
∴x0是方程(x2+a)2+a=x的解,∴x0∈B,因此A B.
(2)∵A≠ ,∴x2-x+a=0有實根,∴Δ=1-4a≥0,
∴a≤.
∵方程(x2+a)2+a=x即x4+2ax2-x+a2+a=0的解組成的集合為B,且A B,
∴因式x4+2ax2-x+a2+a分解后必定含有因式x2-x+a,
由多項式的除法得x4+2ax2-x+a2+a=(x2-x+a)(x2+x+a+1)(類比數的除法,列豎式求解),
∵A=B,∴x2+x+a+1=0無實根或其根為方程x2-x+a=0的根.
當x2+x+a+1=0無實根時,Δ=1-4(a+1)<0,解得a>-.
當x2+x+a+1=0的根為方程x2-x+a=0的根時,
①若x2+x+a+1=0有兩個不等實根,由根與系數的關系知,其根不可能與x2-x+a=0的根相同;
②若x2+x+a+1=0有兩個相等實根,則Δ=1-4(a+1)=0,得a=-,
此時x2+x+a+1=0即x2+x+=0的根為x1=x2=-,這2個根恰好是x2-x+a=0的根,滿足條件.
綜上,實數a的取值范圍是a-≤a≤.

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