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(共23張PPT)
5.3 概率
5.3.4 頻率與概率
◆ 課前預(yù)習(xí)
◆ 課中探究
◆ 課堂評(píng)價(jià)
◆ 備課素材
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.在具體情境中,了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性；
2.理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；
3.利用概率知識(shí)正確理解現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn)一 隨機(jī)事件的頻率及特點(diǎn)
1.頻率是一個(gè)變化的量，但在大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，它又具有________，頻率的值
位于區(qū)間______之間.
2.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率擺動(dòng)的幅度具有越來(lái)越____的趨勢(shì).
3.隨機(jī)事件的頻率也可能出現(xiàn)偏離“常數(shù)” 較大的情形，但是隨著試驗(yàn)次數(shù)的增
多，頻率偏離“常數(shù)”的可能性會(huì)______.
穩(wěn)定性
小
減小
知識(shí)點(diǎn)二 用頻率估計(jì)概率
一般地，如果在次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率為_(kāi)__，則當(dāng) 很大時(shí)，
可以認(rèn)為事件發(fā)生的概率的估計(jì)值為_(kāi)__，此時(shí)也有 ，此時(shí)
兩對(duì)立事件的概率和為1以及互斥事件的概率加法公式等概率的性質(zhì)也成立.這
種確定概率估計(jì)值的方法稱為用______估計(jì)概率.
頻率
【診斷分析】 判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）事件發(fā)生的概率，則事件 是必然事件.( )
×
[解析] 必然事件發(fā)生的概率為1.
（2）某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為 ，則某人購(gòu)買(mǎi)此券20張，一定有1張中獎(jiǎng).( )
×
[解析] 某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為 ，則某人購(gòu)買(mǎi)此券20張，可能有1張中獎(jiǎng).
（3）某廠產(chǎn)品的次品率為 ，則該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品.( )
√
[解析] 某廠產(chǎn)品的次品率為 ，則該廠的50件產(chǎn)品中可能沒(méi)有次品，也可能有
1件或2件或3件或更多件次品.
探究點(diǎn)一 概率的理解
例1（1） 在進(jìn)行次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率為，當(dāng)很大時(shí)，事件
發(fā)生的概率與 的關(guān)系是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 在進(jìn)行次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率為，當(dāng)越大時(shí)， 越接近于
，所以可以用近似地代替，即 .故選A.
（2）下列說(shuō)法正確的是( )
B
A.事件發(fā)生的概率
B.不可能事件發(fā)生的概率為0，必然事件發(fā)生的概率為1
C.小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然要發(fā)生的事件
D.某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的
[解析] ,故A錯(cuò)誤;
必然事件是一定發(fā)生的事件，不可能事件是一定不發(fā)生的事件，則不可能事件
發(fā)生的概率為0，必然事件發(fā)生的概率為1，故B正確；
小概率事件是指這個(gè)事件發(fā)生的可能性很小，幾乎不發(fā)生，大概率事件發(fā)
生的可能性較大，但并不是一定發(fā)生，故C錯(cuò)誤；
某事件發(fā)生的概率為一個(gè)常數(shù)，不隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，故D錯(cuò)誤.故選B.
［素養(yǎng)小結(jié)］
概率雖然反映了隨機(jī)事件發(fā)生的規(guī)律，但在具體的一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的頻
率值卻不一定是概率值，甚至可能差別還比較大，但在大量的重復(fù)試驗(yàn)中事件
發(fā)生的頻率穩(wěn)定在概率附近.
探究點(diǎn)二 用頻率估計(jì)概率
例2 對(duì)某電視機(jī)廠生產(chǎn)的電視機(jī)進(jìn)行的抽樣檢測(cè)的數(shù)據(jù)如下：
抽取臺(tái)數(shù) 50 100 200 300 500 1000
優(yōu)等品數(shù) 40 92 192 285 478 954
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別計(jì)算6次試驗(yàn)中抽到優(yōu)等品的頻率；
解：第1次抽到優(yōu)等品的頻率為 ，
第2次抽到優(yōu)等品的頻率為 ，
第3次抽到優(yōu)等品的頻率為 ，
第4次抽到優(yōu)等品的頻率為 ，
第5次抽到優(yōu)等品的頻率為 ，
第6次抽到優(yōu)等品的頻率為 .
（2）該廠生產(chǎn)的電視機(jī)為優(yōu)等品的概率約是多少（精確到 ）？
解：由表中數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越大頻率就越接近概率，
所以估計(jì)優(yōu)等品的概率約為0.95.
變式 [2023·天津河?xùn)|區(qū)高一期末]用木塊制作的一個(gè)四面體，四個(gè)面上分別標(biāo)
記為1，2，3，4，重復(fù)拋擲這個(gè)四面體200次，記錄每個(gè)面落在地上的次數(shù)
（如下表）.下列說(shuō)法正確的是( )
四面體的面 1 2 3 4
頻數(shù) 44 36 42 78
D
A.該四面體一定不是均勻的
B.再拋擲一次，估計(jì)標(biāo)記為2的面落在地上的概率為0.72
C.再拋擲一次，標(biāo)記為4的面落在地上
D.再拋擲一次，估計(jì)標(biāo)記為3的面落在地上的概率為0.2
[解析] 對(duì)于A，就算四面體是均勻的，理論上每個(gè)面落在地上的次數(shù)仍舊可能
不一樣，在均勻的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，每個(gè)面落在地上的次數(shù)將會(huì)
變得越來(lái)越接近，換句話說(shuō)，即使是均勻的四面體，僅僅在200次試驗(yàn)下，得到
落在地上的面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果也可能不一樣，故A錯(cuò)誤.
這200次試驗(yàn)標(biāo)記為2，3，4的面落在地上的頻率分別為,,，即,,
.
對(duì)于B，所估計(jì)的概率0.72和頻率0.18差別過(guò)大，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，標(biāo)記為4的面必定落在地上是必然事件，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，標(biāo)記為3的面落在地上的概率估計(jì)是 ，與試驗(yàn)頻率0.21非常接近，
故D正確.故選D.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能
性的大小.當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，頻率越來(lái)越趨近于概率.當(dāng)次數(shù)足夠多時(shí)，
所得頻率就近似地看作隨機(jī)事件的概率.
（2）在進(jìn)行次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件出現(xiàn)的頻數(shù)為 ，則通過(guò)公式
計(jì)算出頻率，再由頻率估計(jì)概率.
1.同時(shí)向上拋擲100個(gè)質(zhì)量均勻的銅板，若落地時(shí)這100個(gè)銅板全都正面向上，
則下列最有可能出現(xiàn)的情況是( )
A
A.這100個(gè)銅板兩面是一樣的
B.這100個(gè)銅板兩面是不一樣的
C.這100個(gè)銅板中有50個(gè)兩面是一樣的，另外50個(gè)兩面是不一樣的
D.這100個(gè)銅板中有20個(gè)兩面是一樣的，另外80個(gè)兩面是不一樣的
[解析] 1個(gè)質(zhì)量均勻的銅板，拋擲一次正面向上的概率為 ，若拋擲100個(gè)銅板
全部正面向上，則這100個(gè)銅板兩面是一樣的可能性最大.故選A.
2.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為 ，若前4個(gè)病人都沒(méi)有被治愈，則第5個(gè)病人
被治愈的概率為( )
B
A.1 B. C. D.0
[解析] 由概率的意義知，第5個(gè)病人被治愈的概率仍為 ，與前4個(gè)病人有沒(méi)有被
治愈沒(méi)有關(guān)系.故選B.
3.在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)
正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為( )
B
A.， B.， C.， D.，
[解析] 做了800次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率
為 .由于每次拋硬幣時(shí)，正面朝上和反面朝上的機(jī)會(huì)相等，故出現(xiàn)正面
朝上的概率為0.5.故選B.
4.[2024·湖北荊州高一期末]天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每一天下雨的概率
均為0.6.我們通過(guò)設(shè)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)的方法求概率，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生 之間的隨
機(jī)數(shù)：
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，則這三天中至少有兩天下雨的概率
近似為( )
D
A. B. C. D.
[解析] 設(shè)事件 三天中至少有兩天下雨.20組隨機(jī)數(shù)中，至少有兩天下雨的有
123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354，即事件A發(fā)生了13次，用
頻率估計(jì)事件A的概率近似為 .故選D.
5.一家藥物公司測(cè)試一種新藥，有500名病人參與了臨床試驗(yàn)，其中307人有明
顯療效，剩余的人無(wú)療效或療效一般，則沒(méi)有明顯療效的頻率是______.
0.386
[解析] 由題意可得沒(méi)有明顯療效的人數(shù)是 ，所以沒(méi)有明顯療效
的頻率是 .
對(duì)概率的理解
例1 拋擲一枚均勻的正方體骰子得到6點(diǎn)的概率是 ,是否意味著把它擲6次必能
得到1次6點(diǎn)
［分析］ 得到6點(diǎn)的概率是,指的是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí),出現(xiàn)6點(diǎn)的頻率穩(wěn)定于 .
［反思］ 隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的,但隨機(jī)中含有規(guī)律性,而概
率是其規(guī)律在數(shù)量上的反映,概率是客觀存在的,它與試驗(yàn)次數(shù)、某個(gè)具體的試驗(yàn)
都沒(méi)有關(guān)系,運(yùn)用概率知識(shí),可以幫助我們澄清日常生活中人們對(duì)于一些現(xiàn)象的錯(cuò)
誤認(rèn)識(shí).
[解析] 將一枚骰子擲6次,未必能得到1次6點(diǎn),其結(jié)果是隨機(jī)的.5.3.4　頻率與概率
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.穩(wěn)定性　[0,1]　2.小　3.減小
知識(shí)點(diǎn)二
　　頻率
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)必然事件發(fā)生的概率為1.
(2)某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為5%,則某人購(gòu)買(mǎi)此券20張,可能有1張中獎(jiǎng).
(3)某廠產(chǎn)品的次品率為2%,則該廠的50件產(chǎn)品中可能沒(méi)有次品,也可能有1件或2件或3件或更多件次品.
【課中探究】
例1　(1)A　(2)B　[解析] (1)在進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率為,當(dāng)n越大時(shí),越接近于P(A),所以可以用近似地代替P(A),即P(A)≈.故選A.
(2)0≤P(A)≤1,故A錯(cuò)誤;必然事件是一定發(fā)生的事件,不可能事件是一定不發(fā)生的事件,則不可能事件發(fā)生的概率為0,必然事件發(fā)生的概率為1,故B正確;小概率事件是指這個(gè)事件發(fā)生的可能性很小,幾乎不發(fā)生,大概率事件發(fā)生的可能性較大,但并不是一定發(fā)生,故C錯(cuò)誤;某事件發(fā)生的概率為一個(gè)常數(shù),不隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化,故D錯(cuò)誤.故選B.
例2　解:(1)第1次抽到優(yōu)等品的頻率為=0.8,
第2次抽到優(yōu)等品的頻率為=0.92,
第3次抽到優(yōu)等品的頻率為=0.96,
第4次抽到優(yōu)等品的頻率為=0.95,
第5次抽到優(yōu)等品的頻率為=0.956,
第6次抽到優(yōu)等品的頻率為=0.954.
(2)由表中數(shù)據(jù),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越大頻率就越接近概率,
所以估計(jì)優(yōu)等品的概率約為0.95.
變式　D　[解析] 對(duì)于A,就算四面體是均勻的,理論上每個(gè)面落在地上的次數(shù)仍舊可能不一樣,在均勻的條件下,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多,每個(gè)面落在地上的次數(shù)將會(huì)變得越來(lái)越接近,換句話說(shuō),即使是均勻的四面體,僅僅在200次試驗(yàn)下,得到落在地上的面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果也可能不一樣,故A錯(cuò)誤.這200次試驗(yàn)標(biāo)記為2,3,4的面落在地上的頻率分別為,,,即0.18,0.21,0.39.對(duì)于B,所估計(jì)的概率0.72和頻率0.18差別過(guò)大,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,標(biāo)記為4的面必定落在地上是必然事件,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,標(biāo)記為3的面落在地上的概率估計(jì)是0.2,與試驗(yàn)頻率0.21非常接近,故D正確.故選D.
【課堂評(píng)價(jià)】
1.A　[解析] 1個(gè)質(zhì)量均勻的銅板,拋擲一次正面向上的概率為0.5,若拋擲100個(gè)銅板全部正面向上,則這100個(gè)銅板兩面是一樣的可能性最大.故選A.
2.B　[解析] 由概率的意義知,第5個(gè)病人被治愈的概率仍為,與前4個(gè)病人有沒(méi)有被治愈沒(méi)有關(guān)系.故選B.
3.B　[解析] 做了800次試驗(yàn),發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次,那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為=0.55.由于每次拋硬幣時(shí),正面朝上和反面朝上的機(jī)會(huì)相等,故出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5.故選B.
4.D　[解析] 設(shè)事件A:三天中至少有兩天下雨.20組隨機(jī)數(shù)中,至少有兩天下雨的有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354,即事件A發(fā)生了13次,用頻率估計(jì)事件A的概率近似為.故選D.
5.0.386　[解析] 由題意可得沒(méi)有明顯療效的人數(shù)是500-307=193,所以沒(méi)有明顯療效的頻率是=0.386.5.3.4　頻率與概率
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.在具體情境中,了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性;
2.理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別;
3.利用概率知識(shí)正確理解現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　隨機(jī)事件的頻率及特點(diǎn)
1.頻率是一個(gè)變化的量,但在大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí),它又具有　　　　　,頻率的值位于區(qū)間　　　　之間.
2.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,隨機(jī)事件發(fā)生的頻率擺動(dòng)的幅度具有越來(lái)越　　　　的趨勢(shì).
3.隨機(jī)事件的頻率也可能出現(xiàn)偏離“常數(shù)” 較大的情形,但是隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多,頻率偏離“常數(shù)”的可能性會(huì)　　　　.
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　用頻率估計(jì)概率
一般地,如果在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的頻率為　　　　,則當(dāng)n很大時(shí),可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P(A)的估計(jì)值為　　　　,此時(shí)也有0≤P(A)≤1,此時(shí)兩對(duì)立事件的概率和為1以及互斥事件的概率加法公式等概率的性質(zhì)也成立.這種確定概率估計(jì)值的方法稱為用　　　　估計(jì)概率.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)事件A發(fā)生的概率P(A)=0.999,則事件A是必然事件. (　 )
(2)某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為5%,則某人購(gòu)買(mǎi)此券20張,一定有1張中獎(jiǎng). (　 )
(3)某廠產(chǎn)品的次品率為2%,則該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　概率的理解
例1 (1)在進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率為,當(dāng)n很大時(shí),事件A發(fā)生的概率P(A)與的關(guān)系是 (　 )
A.P(A)≈ B.P(A)<
C.P(A)> D.P(A)=
(2)下列說(shuō)法正確的是 (　 )
A.事件A發(fā)生的概率P(A)=1.1
B.不可能事件發(fā)生的概率為0,必然事件發(fā)生的概率為1
C.小概率事件就是不可能發(fā)生的事件,大概率事件就是必然要發(fā)生的事件
D.某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的
[素養(yǎng)小結(jié)]
概率雖然反映了隨機(jī)事件發(fā)生的規(guī)律,但在具體的一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的頻率值卻不一定是概率值,甚至可能差別還比較大,但在大量的重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在概率附近.
◆ 探究點(diǎn)二　用頻率估計(jì)概率
例2 對(duì)某電視機(jī)廠生產(chǎn)的電視機(jī)進(jìn)行的抽樣檢測(cè)的數(shù)據(jù)如下:
抽取臺(tái)數(shù) 50 100 200 300 500 1000
優(yōu)等品數(shù) 40 92 192 285 478 954
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別計(jì)算6次試驗(yàn)中抽到優(yōu)等品的頻率;
(2)該廠生產(chǎn)的電視機(jī)為優(yōu)等品的概率約是多少(精確到0.01)
變式 [2023·天津河?xùn)|區(qū)高一期末] 用木塊制作的一個(gè)四面體,四個(gè)面上分別標(biāo)記為1,2,3,4,重復(fù)拋擲這個(gè)四面體200次,記錄每個(gè)面落在地上的次數(shù)(如下表).下列說(shuō)法正確的是 (　 )
四面體的面 1 2 3 4
頻數(shù) 44 36 42 78
A.該四面體一定不是均勻的
B.再拋擲一次,估計(jì)標(biāo)記為2的面落在地上的概率為0.72
C.再拋擲一次,標(biāo)記為4的面落在地上
D.再拋擲一次,估計(jì)標(biāo)記為3的面落在地上的概率為0.2
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)概率可看作頻率理論上的期望值,它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來(lái)越多時(shí),頻率越來(lái)越趨近于概率.當(dāng)次數(shù)足夠多時(shí),所得頻率就近似地看作隨機(jī)事件的概率.
(2)在進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí),事件A出現(xiàn)的頻數(shù)為m,則通過(guò)公式fn(A)=計(jì)算出頻率,再由頻率估計(jì)概率.
1.同時(shí)向上拋擲100個(gè)質(zhì)量均勻的銅板,若落地時(shí)這100個(gè)銅板全都正面向上,則下列最有可能出現(xiàn)的情況是 (　 )
A.這100個(gè)銅板兩面是一樣的
B.這100個(gè)銅板兩面是不一樣的
C.這100個(gè)銅板中有50個(gè)兩面是一樣的,另外50個(gè)兩面是不一樣的
D.這100個(gè)銅板中有20個(gè)兩面是一樣的,另外80個(gè)兩面是不一樣的
2.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為,若前4個(gè)病人都沒(méi)有被治愈,則第5個(gè)病人被治愈的概率為 (　 )
A.1 B. C. D.0
3.在一次拋硬幣的試驗(yàn)中,某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗(yàn),發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次,那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為(　 )
A.0.55,0.55 B.0.55,0.5
C.0.5,0.5 D.0.5,0.55
4.[2024·湖北荊州高一期末] 天氣預(yù)報(bào)說(shuō),在今后的三天中,每一天下雨的概率均為0.6.我們通過(guò)設(shè)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)的方法求概率,利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù):
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用1,3,5表示下雨,用2,4表示不下雨,則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為 (　 )
A. B. C. D.
5.一家藥物公司測(cè)試一種新藥,有500名病人參與了臨床試驗(yàn),其中307人有明顯療效,剩余的人無(wú)療效或療效一般,則沒(méi)有明顯療效的頻率是　　　　.5.3.4　頻率與概率
1.B　[解析] 這50名學(xué)生體重小于70 kg的頻率為=0.58.故選B.
2.B　[解析] 試驗(yàn)次數(shù)越多,頻率越接近概率,對(duì)可能性的估計(jì)誤差越小,可能性越大,所以合計(jì)列對(duì)應(yīng)的頻率最為合適.故選B.
3.B　[解析] 事件C發(fā)生的頻率為,由于只做了一次試驗(yàn),故不能得出概率接近于或概率為的結(jié)論,當(dāng)然每抽10只智能手環(huán),必有1只次品也不一定發(fā)生.故選B.
4.C　[解析] 600×37.4%=224.4,結(jié)合實(shí)際情況,配鏡商應(yīng)戴眼鏡數(shù)不少于225副.故選C.
5.C　[解析] 該校玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生占該校學(xué)生的80%,設(shè)其近視率為x,則有20%×50%+80%x=40%,解得x=0.375.根據(jù)近視率可得任意調(diào)查其中一名學(xué)生,則該學(xué)生近視的概率約為0.375.故選C.
6.B　[解析] 把解答一道題作為一次試驗(yàn),答對(duì)的概率為,說(shuō)明答對(duì)的可能性大小是,做12道題,即進(jìn)行了12次試驗(yàn),每個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的,答對(duì)3道題的可能性較大,但不一定答對(duì)3道題.故選B.
7.B　[解析] 三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)小于20的頻率為=,所以此人購(gòu)機(jī)時(shí)購(gòu)買(mǎi)20個(gè)備件,估計(jì)在機(jī)器淘汰時(shí)備件有剩余的概率為.故選B.
8.BD　[解析] 對(duì)于A,某同學(xué)投籃3次,命中2次,只能說(shuō)明頻率為,而不能說(shuō)明概率為,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí),硬幣正面向上的頻率在0.5附近擺動(dòng),可能大于0.5,也可能小于0.5,故B正確;對(duì)于C,只能說(shuō)明大約有1806粒種子發(fā)芽,并不是一定有1806粒種子發(fā)芽,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,點(diǎn)數(shù)大于2的概率為,故拋擲6000次骰子,點(diǎn)數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000,故D正確.故選BD.
9.BD　[解析] 對(duì)于A,拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多,逐漸趨向于概率的值,而拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為,故B正確;對(duì)于C,拋擲第11次,朝上的點(diǎn)數(shù)可能是6,也可能不是6,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,拋擲6000次骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)大約為1000,故D正確.故選BD.
10.0.14　[解析] 由題知a=0.1-(0.001+0.002×2+0.006+0.017×2+0.020+0.023)=0.012,
估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的年齡位于[10,30)內(nèi)的概率為(0.012+0.002)×10=0.14.
11.　[解析] 這20組數(shù)據(jù)中,表示該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好擊中3次的數(shù)據(jù)有8636,8045,7424,共3個(gè),故估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好擊中3次的概率為.
12.64　0.48　[解析] 由題意知樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的頻數(shù)為200×0.08×4=64.估計(jì)一個(gè)數(shù)據(jù)落在[10,18)內(nèi)的概率為(0.09+0.03)×4=0.48.
13.解:(1)列表如下:
a b c
A (a,A) (b,A) (c,A)
B (a,B) (b,B) (c,B)
C (a,C) (b,C) (c,C)
樣本空間中有9個(gè)樣本點(diǎn),
其中垃圾投放正確包含的樣本點(diǎn)有(a,A),(b,B),(c,C),共3個(gè),
所以垃圾投放正確的概率為=.
(2)①估計(jì)“廚余垃圾”投放正確的概率為=.
②按樣本中投放垃圾,每月流失掉的二級(jí)原料有30×2000××××0.7=252(噸),
故每月(按30天)流失掉252噸塑料類(lèi)垃圾的二級(jí)原料.
14.解:(1)用頻率估計(jì)概率,由題意得,所求概率P==.
(2)用頻率估計(jì)概率,選擇L1能按時(shí)到達(dá)機(jī)場(chǎng)的概率P1==;選擇L2能按時(shí)到達(dá)機(jī)場(chǎng)的概率P2==.因?yàn)?所以應(yīng)選擇路徑L2.5.3.4　頻率與概率
一、選擇題
1.某校50名學(xué)生的體重情況如下表所示:
分組(kg) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90]
頻數(shù) 6 8 15 18 3
則這50名學(xué)生體重小于70 kg的頻率為 (　 )
A.0.28 B.0.58
C.0.42 D.0.94
2.[2023·山西大同高一期末] 某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練,共3組,每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表:
第一組 第二組 第三組 合計(jì)
投籃次數(shù) 100 200 300 600
命中的次數(shù) 68 124 174 366
命中的頻率 0.68 0.62 0.58 0.61
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息,用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率,以下概率估計(jì)值中可使誤差較小、可能性大的是 (　 )
A.0.58 B.0.61
C.0.62 D.0.68
3.從一批準(zhǔn)備出廠的智能手環(huán)中隨機(jī)抽取10只進(jìn)行質(zhì)量檢查,其中有1只是次品,若用C表示抽到次品這一事件,則對(duì)事件C的說(shuō)法正確的是(　 )
A.概率為
B.頻率為
C.概率接近于
D.每抽取10只智能手環(huán),必有1只次品
4.根據(jù)某省教育研究機(jī)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)資料,該省在校學(xué)生的近視率約為37.4%,某配鏡商要到一中學(xué)給學(xué)生配鏡,若已知該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為600,則該配鏡商應(yīng)戴眼鏡的數(shù)目為 (　 )
A.174副 B.224副
C.不少于225副 D.不多于225副
5.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查,某校學(xué)生大約有40%的人近視,而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí),這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生,則該學(xué)生近視的概率約為(　 )
A.0.125 B.0.25
C.0.375 D.0.4
6.某數(shù)學(xué)試題中,共有12道選擇題,每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的,即隨機(jī)選擇其中1個(gè)選項(xiàng)正確的概率是,某人說(shuō):“要是都不會(huì)做,每題都隨機(jī)選擇其中1個(gè)選項(xiàng),則一定有3道題答對(duì).”這個(gè)說(shuō)法 (　 )
A.正確 B.錯(cuò)誤
C.不一定 D.無(wú)法解釋
7.某種機(jī)器使用三年后即被淘汰,該機(jī)器有一種易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,某人在購(gòu)買(mǎi)該機(jī)器前,搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.以頻率估計(jì)概率,若此人購(gòu)機(jī)時(shí)購(gòu)買(mǎi)了20個(gè)備件,則估計(jì)在機(jī)器淘汰時(shí)備件有剩余的概率為 (　 )
A. B. C. D.
8.(多選題)關(guān)于頻率和概率,下列說(shuō)法正確的是　(　 )
A.某同學(xué)投籃3次,命中2次,則該同學(xué)每次投籃命中的概率為
B.某同學(xué)拋擲36 000次質(zhì)地均勻的硬幣,得到硬幣正面向上的頻率可能大于0.5
C.某類(lèi)種子發(fā)芽的概率為0.903,若抽取2000粒種子試種,則一定有1806粒種子發(fā)芽
D.將一顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲6000次,則擲出的點(diǎn)數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000
9.(多選題)小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了10次,每次朝上的點(diǎn)數(shù)都是6,則下列說(shuō)法正確的是 (　 )
A.朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率和頻率均為1
B.若拋擲10 000次,則朝上的點(diǎn)數(shù)是6的頻率約為
C.拋擲第11次,朝上的點(diǎn)數(shù)一定不是6
D.拋擲6000次,朝上的點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)大約為1000
二、填空題
10.[2023·云南師大附中高一期末] 在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了200位某種疾病患者的年齡,得到了如圖的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,根據(jù)圖中信息估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的年齡位于[10,30)內(nèi)的概率為　　　　.
11.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好擊中3次的概率.先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù),指定0,1,2,3表示沒(méi)有擊中目標(biāo),4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo),以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組如下的隨機(jī)數(shù):
7327　0293　7140　9857　0347　4373　8636
6947　1417　4698　0371　6133　2616　8045
6011　3661　9597　7424　7610　4281
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好擊中3次的概率為　　　　.
12.樣本容量為200的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示,則樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的頻數(shù)為　　　　,以頻率估計(jì)概率,估計(jì)一個(gè)數(shù)據(jù)落在[10,18)內(nèi)的概率為　　　　.
三、解答題
13.為響應(yīng)垃圾分類(lèi)處理,改善生態(tài)環(huán)境,某小區(qū)將生活垃圾分成三類(lèi):廚余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾,分別記為a,b,c.并且設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱,“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱,分別記為A,B,C.
(1)若小明將一袋分好類(lèi)的生活垃圾隨機(jī)投入一類(lèi)垃圾箱,請(qǐng)寫(xiě)出投放正確的概率.
(2)為了了解居民生活垃圾分類(lèi)投放的情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取了某天三類(lèi)垃圾箱中總共100噸的生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位:噸).
A B C
a 40 10 10
b 3 24 3
c 2 2 6
①請(qǐng)根據(jù)以上信息,試估計(jì)“廚余垃圾”投放正確的概率.
②調(diào)查發(fā)現(xiàn),在“可回收垃圾”中塑料類(lèi)垃圾占,每回收1噸塑料類(lèi)垃圾可獲得0.7噸二級(jí)原料,某城市每天大約產(chǎn)生2000噸生活垃圾.假設(shè)該城市對(duì)每天產(chǎn)生的垃圾全部分類(lèi)處理,那么按樣本中投放垃圾與按規(guī)范投放垃圾相比,每月(按30天)流失掉多少噸塑料類(lèi)垃圾的二級(jí)原料
14.從某高鐵站到某機(jī)場(chǎng)共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從該高鐵站到該機(jī)場(chǎng)的人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:
所用時(shí)間(分鐘) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60)
選擇L1的人數(shù) 2 6 16 10 6
選擇L2的人數(shù) 6 12 27 12 3
(1)試估計(jì)30分鐘內(nèi)能從該高鐵站趕到該機(jī)場(chǎng)的概率.
(2)某醫(yī)療團(tuán)隊(duì)急需從該高鐵站去該機(jī)場(chǎng),需在40分鐘內(nèi)到達(dá)該機(jī)場(chǎng).為了盡最大可能在允許時(shí)間內(nèi)趕到機(jī)場(chǎng),請(qǐng)你從用時(shí)的角度,通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他們?cè)撊绾芜x擇路徑.

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