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1.2.空間向量基本定理 難點(diǎn)訓(xùn)練微專題(學(xué)生版）
突破通法：
深刻理解定義：空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底.
微專題訓(xùn)練
一、單選題
1．已知向量，，是空間不共面的三個(gè)向量，則下列選項(xiàng)中能構(gòu)成空間向量一組基底是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．對(duì)于三元點(diǎn)集，若對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱為“空間基本點(diǎn)集”.下列集合是“空間基本點(diǎn)集”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖所示，已知四棱錐是陽(yáng)馬，平面，且，若，則（ ）

A． B．
C． D．
4．若是空間的一個(gè)基底，且向量，則叫向量在基底下的坐標(biāo)，已知是空間的一個(gè)基底，是空間的另一個(gè)基底，一個(gè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在空間四邊形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，設(shè)，則，，的值分別為（ ）

A．，， B．，， C．，， D．，，
6．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于（ ）
A． B．
C． D．
7．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多選題
9．設(shè)構(gòu)成空間的一個(gè)基底，下列說法正確的是（ ）
A．兩兩共面，但不可能共面
B．有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得
C．對(duì)空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得
D．，，一定能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底
10．如圖，在平行六面體中，，，底面ABCD為菱形，，與AB，AD所成的角均為（ ）
A．
B．四邊形為矩形
C．
D．如果，那么點(diǎn)M在平面內(nèi)
11．已知空間向量，，，，若存在實(shí)數(shù)組和，滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則，，共面
B．若，，共面，則
C．若，，不共面，則，，
D．若，，共面，則
三、填空題
12．若是空間的一個(gè)基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù) ．
13．在正四面體中，點(diǎn)是的中心，若（），則 .
14．如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則 .
四、解答題
15．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，，，為與的交點(diǎn)．設(shè)，，．
(1)用，，表示，并求的值；
(2)求的值．
16．在平行六面體中，設(shè)，，，分別是的中點(diǎn).
(1)用向量表示；
(2)若，求實(shí)數(shù)x，y，z的值.1.2.空間向量基本定理 難點(diǎn)訓(xùn)練微專題(解析版）
突破通法：
深刻理解定義：空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底.
微專題訓(xùn)練
一、單選題
1．已知向量，，是空間不共面的三個(gè)向量，則下列選項(xiàng)中能構(gòu)成空間向量一組基底是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根據(jù)空間向量的基本定理結(jié)合共面向量的定義逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，是不共面的三個(gè)向量，
對(duì)于A：因?yàn)椋?，，共面?br/>所以，，不能構(gòu)成空間的一組基底，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)?，所以，，共面?br/>所以，，不能構(gòu)成空間的一組基底，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)?，所以，，共面?br/>所以，，不能構(gòu)成空間的一組基底，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D ：假定向量，，共面，
則存在不全為的實(shí)數(shù)，，使得，整理得，
而向量，，不共面，則有，顯然不成立，所以向量，，不共面，
即向量，，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D正確；
故選：D
2．對(duì)于三元點(diǎn)集，若對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱為“空間基本點(diǎn)集”.下列集合是“空間基本點(diǎn)集”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】對(duì)于ABC，由空間向量基底概念可判斷各選項(xiàng)正誤.
對(duì)于D，由題目中所提供信息可得答案.
【詳解】根據(jù)空間向量基本定理及題意知這三個(gè)向量，，不共面，即這三個(gè)向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.
對(duì)于A，三個(gè)向量，，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的豎坐標(biāo)相同且為0，則三個(gè)向量都在平面上，即三個(gè)向量共面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，三個(gè)向量，，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)相同且為0，則三個(gè)向量都在平面上，即三個(gè)向量共面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，三個(gè)向量，，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)相同且為0，則三個(gè)向量都在平面上，即三個(gè)向量共面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)空間中任意向量為，，
則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 ，
則為“空間基本點(diǎn)集”，故D正確
故選：D
3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖所示，已知四棱錐是陽(yáng)馬，平面，且，若，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算原則求解即可.
【詳解】由題意，，
，
則，
故選：D.
4．若是空間的一個(gè)基底，且向量，則叫向量在基底下的坐標(biāo)，已知是空間的一個(gè)基底，是空間的另一個(gè)基底，一個(gè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，即得，解出即可.
【詳解】設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，
則，
在下的坐標(biāo)為，
，
由得，
，即在下的坐標(biāo)為．
故選：B．
5．如圖，在空間四邊形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，設(shè)，則，，的值分別為（ ）

A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【分析】利用向量的加法、減法和數(shù)乘向量即可化簡(jiǎn)求出.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，
因是的中點(diǎn)，則，
所以.
故選：C．
6．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空間向量基本定理，得到答案.
【詳解】，點(diǎn)為中點(diǎn)，
.
故選：D
7．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】連接，根據(jù)空間向量法線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)槿庵堑酌鏋橹苯侨切蔚闹崩庵?br/>所以四邊形為長(zhǎng)方形，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，
則，
又，又，，不共面，所以，所以．
故選：D．
8．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算，即可求解.
【詳解】
在四棱錐P-ABCD中，有，
再由點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，，所以，
，
由底面ABCD是平行四邊形，得，
所以，
又因?yàn)椋?，即?br/>故選：A.
二、多選題
9．設(shè)構(gòu)成空間的一個(gè)基底，下列說法正確的是（ ）
A．兩兩共面，但不可能共面
B．有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得
C．對(duì)空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得
D．，，一定能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底
【答案】ACD
【分析】根據(jù)基底向量的定義結(jié)合空間向量的基本定理逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于A，由基底的定義知不可能共面，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)槭强臻g一個(gè)基底，所以不共面，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，故B不正確；
對(duì)于C，因?yàn)槭强臻g一個(gè)基底，由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椴还裁妫遗c平行，與平行，與平行，所以，，也不共面，因此一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D正確．
故選：ACD.
10．如圖，在平行六面體中，，，底面ABCD為菱形，，與AB，AD所成的角均為（ ）
A．
B．四邊形為矩形
C．
D．如果，那么點(diǎn)M在平面內(nèi)
【答案】ABD
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可判斷A；根據(jù)余弦定理，可得，進(jìn)而證得平面，即可判斷B；據(jù)題設(shè)，可得是等腰三角形，進(jìn)而求得，從而判定C；根據(jù)空間向量的共面定理推論可判定D.
【詳解】選項(xiàng)A，在平行六面體中，
，正確；
選項(xiàng)B，設(shè)，
因?yàn)椋?br/>，
又，與AB，AD所成的角均為，
所以，又O為BD中點(diǎn)，則，
又，，，平面，
所以平面，由于平面，故，
由于，則，所以四邊形為矩形，正確；
選項(xiàng)C，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，，所以，
所以，即是等腰三角形，
又，
所以，
所以，即，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，若，由于，
所以M，B，D，四點(diǎn)共面，故點(diǎn)M在平面內(nèi)，正確．
故選：ABD
11．已知空間向量，，，，若存在實(shí)數(shù)組和，滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則，，共面
B．若，，共面，則
C．若，，不共面，則，，
D．若，，共面，則
【答案】AC
【分析】根據(jù)空間向量共面定理判斷A，利用特殊值判斷B、D，根據(jù)空間向量基本定理判斷C.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，?br/>所以，
因?yàn)?，所以?br/>所以向量，，共面，故A正確．
對(duì)于B、D：若，，，則，，共面，
令，則，，，可為任意實(shí)數(shù)，
此時(shí)由，，
得不到，也得不到，故B、D錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，，不共面，由，，
則，，，故C正確；
故選：AC
三、填空題
12．若是空間的一個(gè)基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，可知存在，使得，結(jié)合空間向量基本定理運(yùn)算求解.
【詳解】由不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則存在，使得，
即，
所以，解得.
故答案為：.
13．在正四面體中，點(diǎn)是的中心，若（），則 .
【答案】/
【分析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，可得，，結(jié)合圖形將用表示即得.
【詳解】
如圖，在正四面體中，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
則，，
于是
，
即得，故.
故答案為：.
14．如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則利用表示，由條件結(jié)合空間向量基本定理列方程求可得結(jié)論.
【詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以
又
所以
即.
故答案為：.
四、解答題
15．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，，，為與的交點(diǎn)．設(shè)，，．
(1)用，，表示，并求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】（1）先根據(jù)平行六面體的性質(zhì)找到向量之間的關(guān)系，用表示出，再通過向量模的計(jì)算公式求出的值；
（2）先求出，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則求出的值.
【詳解】（1）因?yàn)槠叫辛骟w中，為與的交點(diǎn)，
所以是中點(diǎn)，也是中點(diǎn)，
又因?yàn)椋移叫辛骟w中，，
那么，
因?yàn)?，?br/>所以，
，
因?yàn)椋?，又，?br/>所以，
，所以.
（2）因?yàn)椋?br/>所以
.
16．在平行六面體中，設(shè)，，，分別是的中點(diǎn).
(1)用向量表示；
(2)若，求實(shí)數(shù)x，y，z的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用平行六面體的性質(zhì)，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.
（2）用表示，再利用空間向量基本定理求解即得.
【詳解】（1）在平行六面體中，
，
由分別是的中點(diǎn)，
得.
.
（2），
而，且不共面，
所以.

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