資源簡介

(共30張PPT)
5.3 概率
5.3.5 隨機事件的獨立性
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.在具體情境中,了解兩個事件相互獨立的概念；
2.能利用相互獨立事件同時發生的概率公式解決一些簡單的實際問題；
3.綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解決一些問題.
知識點 相互獨立事件
1.一般地，當__________________時，就稱事件與 相互獨立（簡稱獨立），
事件與相互獨立的直觀理解是，事件是否發生______影響事件 發生的概率.
2. ,這就是說，兩個相互獨立事件同時發生的概率，等于每個
事件發生的概率的____.
3.如果事件與相互獨立，則與，與，與 也相互______.
不會
積
獨立
4.有限個事件相互獨立
“事件,, , 相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發生的概
率都等于它們各自發生的概率之積”.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若，則事件與 相互獨立.( )
√
（2）表示事件，同時發生的概率，一定有 .( )
×
[解析] 只有事件與相互獨立時，才有 .
（3）若把一副撲克牌中的4張 隨機分給甲、乙、丙、丁四個人，每人得到1張
撲克牌，則事件“甲分到紅桃”與事件“乙分到紅桃 ”相互獨立.( )
×
[解析] 事件“甲分到紅桃”與事件“乙分到紅桃 ”不可能同時發生，是互斥事件.
（4）若和是兩個相互獨立事件，則表示事件， 中至少有1個
發生的概率.( )
×
[解析] 若和是兩個相互獨立事件，則表示事件， 中至多有1
個發生的概率.
探究點一 相互獨立事件的判斷
例1 判斷下列各對事件是否是相互獨立事件.
（1）甲組有3名男生和2名女生，乙組有2名男生和3名女生，現從甲、乙兩組中
各選1名學生參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；
解：“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發生對“從乙組中選出1名女生”這一
事件發生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件.
（2）容器內盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出
的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”.
解：“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為 ，若這一事件發生了，
則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為 ；若前一事件沒
有發生，則后一事件發生的概率為 .可見，前一事件是否發生對后一事件發生的
概率有影響，所以二者不是相互獨立事件.
變式（1） [2023·河北邢臺高一期末]設，，為三個隨機事件，則“ ，
，相互獨立”是“ ”的( )
A
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
[解析] 三個事件A，B，C相互獨立的充要條件是 ，
，， ，所以由A，
B，C相互獨立得 ，反之不成立.故“A，B，C相互獨立”
是“ ”的充分不必要條件.故選A.
（2）（多選題）[2024·江西吉安高一期末] 某人連續擲兩次骰子，事件 表示
“第一次擲出的點數是2”，事件表示“第二次擲出的點數是3”，事件 表示“兩
次擲出的點數之和為5”，事件 表示“兩次擲出的點數之和為9”.則( )
ACD
A.與相互獨立 B.與 相互獨立
C.與不相互獨立 D.與 不相互獨立
[解析] 由題意知， ，
，
.
對于A，，與 相互獨立，故A正確.
對于B，，與 不相互獨立，故B錯誤.
對于C，，與 不相互獨立，故C正確.
對于D，，與 不相互獨立，故D正確.
故選 .
［素養小結］
判斷事件是否相互獨立的方法：
（1）定義法：事件，相互獨立 .
（2）直接法：由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響.
探究點二 相互獨立事件發生的概率
例2 甲、乙、丙三個人獨立解決同一個問題，三人在一定的時間內能解出該題
的概率分別是,, .求:
（1）他們都解出該題的概率;
解：用事件,, 分別表示甲、乙、丙三個人在一定的時間內能解出該題.依題
意可知,事件,,相互獨立,且,, .; 他們都解出該題,即
事件,,同時發生,故 .
（2）他們都沒有解出該題的概率;
解：他們都沒有解出該題,即事件,, 同時發生,
故 .
（3）他們能夠解決這個問題的概率.
解：“他們能夠解決這個問題”的對立事件為“他們都沒有解出該題”,結合對立事
件間的概率關系,可得所求事件的概率 .
變式 [2024·湖北荊州高一期末] 甲、乙兩名籃球選手賽前進行三分球投籃訓
練，甲每次投中三分的概率為，乙每次投中三分的概率為 ，在每次投籃中，
甲和乙互不影響.已知兩人各投籃一次至少有一人命中三分球的概率為0.94.
（1）求 的值；
解:由題可知，解得 .
（2）甲、乙兩人各投籃兩次，求兩人共投中三分球三次的概率.
解:設事件,分別表示甲投籃兩次投中三分球一次、兩次，設事件, 分別
表示乙投籃兩次投中三分球一次、兩次.
則， ，
， .
設事件 甲、乙兩人各投籃兩次，兩人共投中三分球三次，
則 .
故甲、乙兩人各投籃兩次，兩人共投中三分球三次的概率為 .
［素養小結］
求相互獨立事件同時發生的概率的步驟:
（1）確定各事件之間是相互獨立的;
（2）確定這些事件可以同時發生;
（3）求出每個事件發生的概率,再求積.
1.下列事件中，事件， 是相互獨立事件的是( )
A
A.把一枚均勻的硬幣拋擲兩次，事件第一次為正面向上，事件 第二次為
反面向上
B.袋中有2個白球和2個黑球，不放回地摸2個球，事件 第一次摸到白球，事
件 第二次摸到白球
C.拋擲一枚均勻的骰子，事件出現的點數為奇數，事件 出現的點數為偶
數
D.事件某人能活到65歲，事件 某人能活到75歲
[解析] 把一枚均勻的硬幣拋擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結果不受
先后影響，故A中A，B是相互獨立事件；
B中是不放回地摸球，顯然事件A與事件B不相互獨立；
對于C，A，B為互斥事件，不相互獨立；
D中事件B發生的概率受事件A發生的影響.故選A.
2.甲、乙兩同名學答同一道題，甲答對的概率為，乙答對的概率為 ，甲、
乙兩人答對與否相互獨立，則甲、乙兩人都答對的概率為( )
B
A.1 B.0.629 C.0 D.0.74或0.85
[解析] 由題知，所求概率 .
3.[2024·山東威海高一期末]擲紅、藍兩個質地均勻的骰子，觀察朝上的面的點
數，記事件紅骰子的點數為2，紅骰子的點數為3， 兩個骰子
的點數之和為7， 兩個骰子的點數之和為9，則( )
C
A.與對立 B.與 不互斥
C.與相互獨立 D.與 相互獨立
[解析] 對于A，與互斥但不對立，故A錯誤；
對于B，與 不能同時發生，故與互斥，故B錯誤；
對于C，樣本空間包含 （個）樣本點，兩個骰子的點數之和為7包含的
樣本點有，，，，， ，共6個，則,
又， ，所以，所以與 相互獨
立，故C正確；
對于D，兩個骰子的點數之和為9包含的樣本點有，，， ，
共4個，則,又，，所以
，故D錯誤.故選C.
4.甲、乙、丙3人分別去不同的商店購買同一種紀念品,3人的購買情況是相互獨
立的，若甲、乙2人中至少有1人購買到該紀念品的概率為 ,丙購買到該紀念品的
概率為 ,則甲、乙、丙3人中至少有1人購買到該紀念品的概率為__.
[解析] 因為甲、乙2人中至少有1人購買到該紀念品的概率為 ,所以甲、乙2人均
沒有購買到該紀念品的概率 .同理,丙沒有購買到該紀念品的概率
，所以甲、乙、丙3人均沒有購買到該紀念品的概率
,所以甲、乙、丙3人中至少有1人購買到該紀念品的概率
.
5.[2024·江西九江一中高一期末] 某場比賽甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有
關學生安全知識的問題.已知甲家庭回答正確的概率是 ，甲、丙兩個家庭都回答
錯誤的概率是，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是 ，各家庭是否回答正確
互不影響.則甲、乙、丙三個家庭中恰好有兩個家庭回答正確的概率為___.
[解析] 設甲、乙、丙三個家庭回答正確的概率分別為,, ，
由題意得，，，可得，，，
所以甲、乙、丙三個家庭中恰好有兩個家庭回答正確的概率
.
1.關鍵詞的理解
明確事件中的“至少有一個發生”“至多有一個發生”“恰好有一個發生”“都發生”
“都不發生”“不都發生”等詞語的意義.
一般地，已知兩個事件， ，那么：
（1），中至少有一個發生為事件 .
（2），都發生為事件 .
（3），都不發生為事件 .
（4），恰有一個發生為事件 .
（5），中至多有一個發生為事件 .
2.概率問題中的數學思想
（1）正難則反：靈活應用對立事件的概率關系 簡化問題，
是求解概率問題最常用的方法.
（2）化繁為簡：將復雜事件的概率轉化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與
已知事件之間的關系,分析“所求事件”是分幾類（考慮加法公式，轉化為互斥事
件）還是分幾步（考慮乘法公式，轉化為相互獨立事件）.
（3）函數思想:利用有關的概率公式和問題中的數量關系,建立函數,通過求解函
數使問題得解.
例 某校為豐富教職工業余文化生活，在教師節活動中舉辦了“三神杯”比賽，
現甲、乙兩組進入到決賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，假設每局比賽
沒有平局且每局比賽中甲組獲勝的概率為 .
（1）求甲組最終獲得冠軍的概率.
解：設事件甲組在第局獲勝， ，2，3，
則甲組獲勝的概率
.
（2）已知冠軍獎品為28個籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消.獎品分
配方案是：如果比賽繼續進行下去，按照甲、乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，
請問按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個籃球？
解：由題意知，在甲組第一局獲勝的情況下，甲組輸掉比賽的情況為甲組在接
下來的比賽中連輸兩場，
所以在甲組第一局獲勝的前提下，甲組最終輸掉比賽的概率
，所以甲組獲勝的概率為 .
故甲組、乙組應按照 的比例來分配獎品，
即甲組應獲得21個籃球，乙組應獲得7個籃球.5.3.5　隨機事件的獨立性
【課前預習】
知識點
1.P(AB)=P(A)P(B)　不會　2.積　3.獨立
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (2)只有事件A與B相互獨立時,才有P(AB)=P(A)P(B).
(3)事件“甲分到紅桃K”與事件“乙分到紅桃K”不可能同時發生,是互斥事件.
(4)若A和B是兩個相互獨立事件,則1-P(A)P(B)表示事件A,B中至多有1個發生的概率.
【課中探究】
例1　解:(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發生對“從乙組中選出1名女生”這一事件發生的概率沒有影響,所以它們是相互獨立事件.
(2)“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”的概率為,若這一事件發生了,則“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的仍是白球”的概率為;若前一事件沒有發生,則后一事件發生的概率為.可見,前一事件是否發生對后一事件發生的概率有影響,所以二者不是相互獨立事件.
變式　(1)A　(2)ACD　[解析] (1)三個事件A,B,C相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),所以由A,B,C相互獨立得P(ABC)=P(A)P(B)P(C),反之不成立.故“A,B,C相互獨立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”的充分不必要條件.故選A.
(2)由題意知P(A1)=,P(A2)=,
P(A3)=×+×+×+×=,
P(A4)=×+×+×+×=.
對于A,∵P(A1A2)=×==P(A1)P(A2),∴A1與A2相互獨立,故A正確.
對于B,∵P(A1A3)=×=≠P(A1)P(A3),∴A1與A3不相互獨立,故B錯誤.
對于C,∵P(A2A3)=×=≠P(A2)P(A3),∴A2與A3不相互獨立,故C正確.
對于D,∵P(A2A4)=×=≠P(A2)P(A4),∴A2與A4不相互獨立,故D正確.
故選ACD.
例2　解:(1)用事件A,B,C分別表示甲、乙、丙三個人在一定的時間內能解出該題.依題意可知,事件A,B,C相互獨立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)他們都解出該題,即事件A,B,C同時發生,故P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=××=.
(2)他們都沒有解出該題,即事件,,同時發生,
故P( )=P()·P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=××=××=.
(3)“他們能夠解決這個問題”的對立事件為“他們都沒有解出該題”,結合對立事件間的概率關系,可得所求事件的概率P=1-P( )=1-=.
變式　解:(1)由題可知1-(1-0.8)×(1-p)=0.94,解得p=0.7.
(2)設事件A1,A2分別表示甲投籃兩次投中三分球一次、兩次,設事件B1,B2分別表示乙投籃兩次投中三分球一次、兩次.
則P(A1)=0.8×0.2+0.2×0.8=0.32,P(A2)=0.8×0.8=0.64,
P(B1)=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42,P(B2)=0.7×0.7=0.49.
設事件E:甲、乙兩人各投籃兩次,兩人共投中三分球三次,
則P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=0.32×0.49+0.64×0.42=0.425 6.
故甲、乙兩人各投籃兩次,兩人共投中三分球三次的概率為0.425 6.
【課堂評價】
1.A　[解析] 把一枚均勻的硬幣拋擲兩次,對于每次而言是相互獨立的,其結果不受先后影響,故A中A,B是相互獨立事件;B中是不放回地摸球,顯然事件A與事件B不相互獨立;對于C,A,B為互斥事件,不相互獨立;D中事件B發生的概率受事件A發生的影響.故選A.
2.B　[解析] 由題知,所求概率P=0.85×0.74=0.629.
3.C　[解析] 對于A,A1與A2互斥但不對立,故A錯誤;對于B,A3與A4不能同時發生,故A3與A4互斥,故B錯誤;對于C,樣本空間包含6×6=36(個)樣本點,兩個骰子的點數之和為7包含的樣本點有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6個,則P(A3)==,又P(A1)=,P(A1A3)=,所以P(A1)P(A3)=P(A1A3),所以A1與A3相互獨立,故C正確;對于D,兩個骰子的點數之和為9包含的樣本點有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),共4個,則P(A4)==,又P(A2)=,P(A2A4)=,所以P(A2)P(A4)≠P(A2A4),故D錯誤.故選C.
4.　[解析] 因為甲、乙2人中至少有1人購買到該紀念品的概率為,所以甲、乙2人均沒有購買到該紀念品的概率P1=1-=.同理,丙沒有購買到該紀念品的概率P2=1-=,所以甲、乙、丙3人均沒有購買到該紀念品的概率P3=P1·P2=×=,所以甲、乙、丙3人中至少有1人購買到該紀念品的概率P=1-P3=.
5.　[解析] 設甲、乙、丙三個家庭回答正確的概率分別為P1,P2,P3,
由題意得P1=,(1-P3)=,P2P3=,可得P1=,P2=,P3=,
所以甲、乙、丙三個家庭中恰好有兩個家庭回答正確的概率
P=P1P2(1-P3)+P1(1-P2)P3+(1-P1)P2P3=××+××+××=.5.3.5　隨機事件的獨立性
【學習目標】
1.在具體情境中,了解兩個事件相互獨立的概念;
2.能利用相互獨立事件同時發生的概率公式解決一些簡單的實際問題;
3.綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解決一些問題.
◆ 知識點　相互獨立事件
1.一般地,當　　　　　　　　時,就稱事件A 與B相互獨立(簡稱獨立),事件A與B相互獨立的直觀理解是,事件A是否發生　　　　影響事件B發生的概率.
2.P(AB)=P(A)P(B),這就是說,兩個相互獨立事件同時發生的概率,等于每個事件發生的概率的　　　　.
3.如果事件A與B相互獨立,則與B,A與,與也相互　　　　.
4.有限個事件相互獨立
“事件A1,A2,…,An相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發生的概率都等于它們各自發生的概率之積”.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若P(A)P(B)=P(AB),則事件A與B相互獨立. (　 )
(2)P(AB)表示事件A,B同時發生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B). (　 )
(3)若把一副撲克牌中的4張K隨機分給甲、乙、丙、丁四個人,每人得到1張撲克牌,則事件“甲分到紅桃K”與事件“乙分到紅桃K”相互獨立.(　 )
(4)若A和B是兩個相互獨立事件,則1-P(A)P(B)表示事件A,B中至少有1個發生的概率.(　 )
◆ 探究點一　相互獨立事件的判斷
例1 判斷下列各對事件是否是相互獨立事件.
(1)甲組有3名男生和2名女生,乙組有2名男生和3名女生,現從甲、乙兩組中各選1名學生參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”;
(2)容器內盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球,“從8個球中任意取出1個,取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個,取出的仍是白球”.
變式 (1)[2023·河北邢臺高一期末] 設A,B,C為三個隨機事件,則“A,B,C相互獨立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(C)”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)(多選題)[2024·江西吉安高一期末] 某人連續擲兩次骰子,事件A1表示“第一次擲出的點數是2”,事件A2表示“第二次擲出的點數是3”,事件A3表示“兩次擲出的點數之和為5”,事件A4表示“兩次擲出的點數之和為9”.則 (　 )
A.A1與A2相互獨立
B.A1與A3相互獨立
C.A2與A3不相互獨立
D.A2與A4不相互獨立
[素養小結]
判斷事件是否相互獨立的方法:
(1)定義法:事件A,B相互獨立 P(AB)=P(A)·P(B).
(2)直接法:由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響.
◆ 探究點二　相互獨立事件發生的概率
例2 甲、乙、丙三個人獨立解決同一個問題,三人在一定的時間內能解出該題的概率分別是,,.求:
(1)他們都解出該題的概率;
(2)他們都沒有解出該題的概率;
(3)他們能夠解決這個問題的概率.
變式 [2024·湖北荊州高一期末] 甲、乙兩名籃球選手賽前進行三分球投籃訓練,甲每次投中三分的概率為0.8,乙每次投中三分的概率為p,在每次投籃中,甲和乙互不影響.已知兩人各投籃一次至少有一人命中三分球的概率為0.94.
(1)求p的值;
(2)甲、乙兩人各投籃兩次,求兩人共投中三分球三次的概率.
[素養小結]
求相互獨立事件同時發生的概率的步驟:
(1)確定各事件之間是相互獨立的;
(2)確定這些事件可以同時發生;
(3)求出每個事件發生的概率,再求積.
1.下列事件中,事件A,B是相互獨立事件的是(　 )
A.把一枚均勻的硬幣拋擲兩次,事件A:第一次為正面向上,事件B:第二次為反面向上
B.袋中有2個白球和2個黑球,不放回地摸2個球,事件A:第一次摸到白球,事件B:第二次摸到白球
C.拋擲一枚均勻的骰子,事件A:出現的點數為奇數,事件B:出現的點數為偶數
D.事件A:某人能活到65歲,事件B:某人能活到75歲
2.甲、乙兩同名學答同一道題,甲答對的概率為0.85,乙答對的概率為0.74,甲、乙兩人答對與否相互獨立,則甲、乙兩人都答對的概率為(　 )
A.1 B.0.629
C.0 D.0.74或0.85
3.[2024·山東威海高一期末] 擲紅、藍兩個質地均勻的骰子,觀察朝上的面的點數,記事件A1:紅骰子的點數為2,A2:紅骰子的點數為3,A3:兩個骰子的點數之和為7,A4:兩個骰子的點數之和為9,則 (　 )
A.A1與A2對立
B.A3與A4不互斥
C.A1與A3相互獨立
D.A2與A4相互獨立
4.甲、乙、丙3人分別去不同的商店購買同一種紀念品,3人的購買情況是相互獨立的,若甲、乙2人中至少有1人購買到該紀念品的概率為,丙購買到該紀念品的概率為,則甲、乙、丙3人中至少有1人購買到該紀念品的概率為　　　　.
5.[2024·江西九江一中高一期末] 某場比賽甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關學生安全知識的問題.已知甲家庭回答正確的概率是,甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是,乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是,各家庭是否回答正確互不影響.則甲、乙、丙三個家庭中恰好有兩個家庭回答正確的概率為　　　　. 5.3.5　隨機事件的獨立性
1.D　[解析] 根據互斥事件、對立事件及相互獨立事件的概念可知,事件A與事件B不是相互獨立事件.故選D.
2.D　[解析] 兩項都合格的概率為×=,兩項都不合格的概率為×=,故恰有一項合格的概率為1--=.故選D.
3.A　[解析] 設某市民在該超市隨機挑選了一塊臘肉,該塊臘肉為甲品牌的優質品為事件A,該塊臘肉為乙品牌的優質品為事件B,則P(A)=×=,P(B)=×=,則所求概率為P(A)+P(B)=.故選A.
4.C　[解析] 設“甲去黃山”為事件A,“乙去黃山”為事件B,則P(A)=,P(B)=,所以所求概率P=1-P( )=1-×=.故選C.
5.D　[解析] 連續拋擲一枚質地均勻的硬幣2 次的樣本空間為Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},由題意得P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(AB)=P(AC)=P(BC)=.因為P(AB)==P(A)P(B),所以事件A與事件B相互獨立,故①正確;因為P(AC)==P(A)P(C),所以事件A與事件C相互獨立,故②正確;因為P(BC)==P(B)P(C),所以事件B與事件C相互獨立,故③正確.故選D.
【易錯點】 當不能直觀地看出事件A是否發生不影響事件B 發生的概率時,一定要根據定義判斷A,B是否相互獨立,即P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
6.D　[解析] 汽車在甲、乙、丙三處遇到綠燈的事件分別記為A,B,C,則P(A)=,P(B)=,P(C)=,設汽車在三處遇到兩次綠燈為事件M,則M=AB+AC+BC,且AB,AC,BC兩兩互斥,而事件A,B,C相互獨立,所以P(M)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=,故汽車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為.故選D.
7.C　[解析] 記零件A,B,C,D能正常工作的概率分別為P(A),P(B),P(C),P(D),該系統正常工作的概率為P{[(AB)∪C]∩D}=P[(AB)∪C]P(D)= [1-P(∪)P()]P(D) ={1-[1-P(AB)][1-P(C)]}P(D)=[1-(1-p2)(1-p)]p.故選C.
8.CD　[解析] 對于A,若A與B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B)=×=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,故A中說法正確;對于B,因為P(A)=,所以P()=1-P(A)=1-=,所以P()P(B)=×==P(B),所以與B相互獨立,故B中說法正確;對于C,若A與B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=,故C中說法不正確;對于D,若B發生時A一定發生,則B A,則P(AB)=P(B)=,故D中說法不正確.故選CD.
9.ABD　[解析] 對于A,某顧客抽獎1次中獎的概率是=,故A正確;對于B,某顧客抽獎3次,至少有1次中獎的概率是1-=,故B正確;對于C,D,在1次抽獎過程中,已知顧客第1次抽出了紅球,則該顧客中獎的概率是=,故C錯誤,D正確.故選ABD.
10.2個球不都是白球　[解析] 從甲袋內摸出白球與從乙袋內摸出白球兩事件是相互獨立的,故2個球都是白球的概率為×=,所以2個球不都是白球的概率P=1-=.
11.{1,5,7,8}　[解析] 由題可得P(A)=P(B)=P(C)=,
因為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=,
所以ABC={1},又A,B,C不相互獨立,
即P(AB)≠P(A)P(B)=,P(AC)≠P(A)P(C)=,
P(BC)≠P(B)P(C)=,所以C={1,5,7,8}.
12.0.9　[解析] 設事件A為“參加過家政培訓”,事件B為“參加過醫院陪護工培訓”,則P(A)=60%=0.6,P(B)=75%=0.75.任選1名女農民工,她參加過培訓的對立事件是她既沒有參加過家政培訓,也沒有參加過醫院陪護工培訓,則任選1名女農民工,她參加過培訓的概率P=1-(1-P(A))(1-P(B))=1-(1-0.6)×(1-0.75)=0.9.
13.解:(1)設該同學在A處擊中目標為事件A,在B處擊中目標為事件B,在C處擊中目標為事件C,依題意得P(A)=,P(B)=P(C)=,則P()=,P()=P()=.
則該同學得4分的概率為P(BC)=P()P(B)P(C) =××=.
(2)該同學得0分的概率為P()=P()P()P()=××=;
該同學得2分的概率為P(B+C)=P(B)+P(C)=××+××=;
該同學得3分的概率為P(A)=P(A)P()P()=××=.
則該同學得分不超過3分的概率為++=.
14.解:(1)記3道選擇題的題號為1,2,3,2道填空題的題號為4,5,
則樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},
共包含10個樣本點,且每個樣本點是等可能發生的,所以這是一個古典概型.
記事件A為“甲恰好抽到1道填空題”,則事件A所包含的樣本點有6個,故P(A)==,
因此甲恰好抽到1道填空題的概率為.
(2)設事件A1,A2分別表示甲答對1道題、2道題,事件B0,B1分別表示乙答對0道題、1道題,根據事件的獨立性得P(A1)=×+×=,P(A2)=×=,P(B0)=×=,P(B1)=×+×=.記事件B為“甲比乙恰好多答對1道題”,
則B=A1B0∪A2B1,且A1B0,A2B1兩兩互斥,A1與B0,A2與B1分別相互獨立,
所以P(A1B0)=P(A1)P(B0)=×=,P(A2B1)=P(A2)P(B1)=×=,
所以P(B)=P(A1B0)+P(A2B1)=+=.
故甲比乙恰好多答對1道題的概率為.
15.C　[解析] 若甲只投中1次,則甲獲勝的概率P1=××××+××××=.若甲投中2次,則甲獲勝的概率P2=××××+××××+××××+××××=.故甲獲勝的概率為+=.故選C.
16.解:(1)甲隊最后贏得整場比賽的情況為第四局甲贏或第四局甲輸第五局甲贏,所以甲隊最后贏得整場比賽的概率為+×=.
(2)設甲隊x個球后贏得比賽,根據題意,x的取值只能為2或4,對應比分為16∶14,17∶15.
兩隊打了2個球后甲贏得整場比賽,即打第1個球甲發球甲得分,打第2個球甲發球甲得分,此時的概率P1=×=;
兩隊打了4個球后甲贏得整場比賽,即打第1個球甲發球甲得分,打第2個球甲發球乙得分,打第3個球乙發球甲得分,打第4個球甲發球甲得分,
或打第1個球甲發球乙得分,打第2個球乙發球甲得分,打第3個球甲發球甲得分,打第4個球甲發球甲得分,此時的概率P2=×××+×××=.
故所求概率P=P1+P2=+=.5.3.5　隨機事件的獨立性
一、選擇題
1.袋內有大小相同的3個白球和2個黑球,從中不放回地摸球,事件A表示“第一次摸到白球”,事件B表示“第二次摸到白球”,則事件A與事件B是 (　 )
A.互斥事件 B.相互獨立事件
C.對立事件 D.不相互獨立事件
2.從應屆高中生中選拔飛行員,已知這批學生體型合格的概率為,視力合格的概率為,假設各項標準互不影響,從中任選一名學生,則該學生這兩項標準恰有一項合格的概率為(　 )
A. B. C. D.
3.某超市銷售的甲、乙兩種品牌的臘肉分別占,的份額,已知甲、乙兩種品牌的臘肉為優質品的概率分別為,.現某市民在該超市隨機挑選了一塊臘肉,則該塊臘肉為優質品的概率為(　 )
A. B. C. D.
4.假日期間,甲去黃山的概率是,乙去黃山的概率是,假定兩人的行動相互之間沒有影響,那么在假日期間甲、乙兩人中至少有一人去黃山的概率是 (　 )
A. B. C. D.
★5.連續拋擲一枚質地均勻的硬幣2次,設“第1次正面朝上”為事件A,“第2次反面朝上”為事件B,“2次朝上結果相同”為事件C,有下列三個說法:
①事件A與事件B相互獨立;②事件A與事件C相互獨立;③事件B與事件C相互獨立.
其中正確說法的個數是 (　 )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.某路段在甲、乙、丙三處設有紅綠燈,汽車在這三處遇到綠燈的概率分別是,,,則汽車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為 (　 )
A. B. C. D.
7.如圖,某系統由A,B,C,D四個零件組成,若每個零件是否正常工作互不影響,且零件A,B,C,D正常工作的概率都為p(0A.[1-(1-p)p2]p
B.[1-p(1-p2)]p
C.[1-(1-p)(1-p2)]p
D.[1-(1-p)2p]p
8.(多選題)[2024·四川眉山高一期末] 已知事件A,B發生的概率分別為P(A)=,P(B)=,則下列說法不正確的是 (　 )
A.若A與B相互獨立,則P(A∪B)=
B.若P(B)=,則與B相互獨立
C.若A與B互斥,則P(A∪B)=
D.若B發生時A一定發生,則P(AB)=
9.(多選題)為吸引顧客,某商場舉辦購物抽獎活動.抽獎規則是:從裝有2個白球和3個紅球(小球除顏色外完全相同)的抽獎箱中,不放回地依次摸取2次,每次摸出1個球,記為1次抽獎,每次抽獎相互獨立.若摸出的2個球顏色相同則為中獎,否則為不中獎,則下列隨機事件的概率正確的是 (　 )
A.某顧客抽獎1次中獎的概率是
B.某顧客抽獎3次,至少有1次中獎的概率是
C.在1次抽獎過程中,若已知顧客第1次抽出了紅球,則該顧客中獎的概率是
D.在1次抽獎過程中,若已知顧客第1次抽出了紅球,則該顧客中獎的概率是
二、填空題
10.從甲袋內摸出1個白球的概率為,從乙袋內摸出1個白球的概率為,從兩個袋內各摸1個球,那么概率為的事件是　　　　　　　.
11.[2024·山東青島高一期末] 正八面體各個面分別標以數字1到8.拋擲一次該正八面體,觀察它與地面接觸的面上的數字,得到樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}.已知事件A={1,2,3,4},B={1,2,3,6},C={1,a,b,c},若P(ABC)=P(A)P(B)P(C),但A,B,C不相互獨立,則事件C=　　　　.
12.某地區為女農民工免費提供家政和醫院陪護工培訓,每人可選擇參加一項、兩項培訓或不參加培訓.已知該地區的女農民工參加過家政培訓的有60%,參加過醫院陪護工培訓的有75%,假設每個女農民工對培訓項目的選擇是相互獨立的.任選1名女農民工,則她參加過培訓的概率是　　　　.
三、解答題
13.在一次射擊游戲中,規定每人最多射擊3次,在A處擊中目標得3分,在B,C處擊中目標均得2分,沒擊中目標不得分.某同學在A處擊中目標的概率為,在B,C處擊中目標的概率均為,該同學依次在A,B,C處各射擊一次,各次射擊之間沒有影響.
(1)求該同學得4分的概率;
(2)求該同學得分不超過3分的概率.
14.為慶祝建校115周年,某校舉行了校史知識競賽.在必答題環節,甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機抽取2道題作答.已知甲每道題答對的概率為,乙每道題答對的概率為,且甲、乙兩人答對與否互不影響,各題的結果也互不影響.
(1)求甲恰好抽到1道填空題的概率;
(2)求甲比乙恰好多答對1道題的概率.
15.投壺是中國古代士大夫宴飲時做的一種投擲游戲.現有甲、乙兩人進行投壺游戲,且甲、乙每次投壺投中的概率分別為,,每人每次投壺相互獨立.若約定甲投壺2次,乙投壺3次,投中次數多者獲勝,則甲獲勝的概率為(　 )
A. B. C. D.
16.某排球比賽采用五局三勝制,前四局比賽采用25分制,每個隊只有贏得至少25分,并同時超過對方2分時,才勝1局;在決勝局(第五局)采用15分制,每個隊只有贏得至少15分,并領先對方2分為勝.在比賽中,每一個回合,贏球的一方可得1分,并獲得下一球的發球權,輸球的一方不得分.現有甲、乙兩隊進行排球比賽.
(1)若前三局比賽中甲贏兩局,乙贏一局,接下來的每局比賽甲隊獲勝的概率均為,求甲隊最后贏得整場比賽的概率.
(2)若前四局比賽中甲、乙兩隊已經各贏兩局比賽.在決勝局(第五局)中,兩隊當前的得分均為14分,且甲已獲得下一球的發球權.若甲發球時甲贏1分的概率為,乙發球時甲贏1分的概率為.求甲隊在4個球以內(含4個球)贏得整場比賽的概率.

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