資源簡(jiǎn)介

(共37張PPT)
5.4 統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用
◆ 課前預(yù)習(xí)
◆ 課中探究
◆ 課堂評(píng)價(jià)
◆ 備課素材
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過(guò)實(shí)例進(jìn)一步理解統(tǒng)計(jì)與概率的意義及應(yīng)用；
2.能用統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題.
知識(shí)點(diǎn) 概率的應(yīng)用
概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生________大小的度量，它已經(jīng)滲透到人們的日常生活
中，成為一個(gè)常用的詞匯，任何事件的概率是______內(nèi)的一個(gè)數(shù)，它度量該事
件發(fā)生的可能性.小概率事件（概率接近___）很少發(fā)生，而大概率事件
（概率接近___）則經(jīng)常發(fā)生.
可能性
0
1
【診斷分析】 判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）當(dāng)事件 發(fā)生的概率很小時(shí),該事件為不可能事件. ( )
×
[解析] 概率很小的事件也是隨機(jī)事件,不可能事件發(fā)生的概率為0.
（2）某醫(yī)院治愈某種病的概率為 ,則10個(gè)人去治療,一定有8個(gè)人能治愈.( )
×
[解析] 治愈某種病的概率為,是對(duì)每個(gè)病人來(lái)說(shuō)治愈的可能性為 ,而不是10
個(gè)人中有8個(gè)人能治愈.
（3）平時(shí)的多次比賽中,小明獲勝的次數(shù)比小華多,所以這次比賽應(yīng)選小明參加. ( )
√
[解析] 概率能為我們的決策提供很好的參考,小明獲勝的次數(shù)多,就應(yīng)該選小明參加.
（4）甲袋中有12個(gè)黑球，4個(gè)白球，乙袋中有20個(gè)黑球，20個(gè)白球，從其中一
袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，要想摸出1個(gè)黑球，選擇乙袋成功的機(jī)會(huì)更大.( )
×
[解析] 因?yàn)榧状杏?2個(gè)黑球，4個(gè)白球，共16個(gè)球，所以從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，
摸出的是1個(gè)黑球的概率 .因?yàn)橐掖杏?0個(gè)黑球，20個(gè)白球，共40個(gè)
球，所以從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的是1個(gè)黑球的概率.因?yàn)?，
所以選擇甲袋成功的機(jī)會(huì)更大.
探究點(diǎn)一 統(tǒng)計(jì)在實(shí)際中的應(yīng)用
例1 某地盛產(chǎn)芒果、榴蓮等水果，因其質(zhì)量較好，長(zhǎng)期受到消費(fèi)者的歡迎.當(dāng)
地有關(guān)部門在實(shí)地調(diào)研后，立足當(dāng)?shù)鬲?dú)特優(yōu)勢(shì)，大力發(fā)展農(nóng)村經(jīng)濟(jì)，為統(tǒng)計(jì)當(dāng)
地居民去年的收入狀況，隨機(jī)抽取100戶對(duì)去年的年收入進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，
得到如下表所示的頻數(shù)表：
年收入（萬(wàn)元）
頻數(shù) 15 10 35 20 10 10
（1）估計(jì)本村居民的年收入的眾數(shù)、 分位數(shù)；
解：眾數(shù)為 .
因?yàn)榍叭M的頻率之和為 ，
前四組的頻率之和為 ，
所以 分位數(shù)在第四組內(nèi).
設(shè)分位數(shù)為，則有，解得 .
估計(jì)本村居民的年收入的眾數(shù)為11， 百分位數(shù)為13.5.
（2）用分層抽樣的方法從這100戶居民中抽取20戶進(jìn)行走訪，若再?gòu)某槿〉哪?br/>收入在和 的居民中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，求至少有1戶來(lái)自年
收入在 內(nèi)的概率.
解：由頻數(shù)表及分層抽樣可知在年收入在內(nèi)抽取的戶數(shù)為 ，在
年收入在內(nèi)抽取的戶數(shù)為 .
記年收入在內(nèi)的3戶分別為，，，年收入在內(nèi)的2戶分別為， ，
則從中隨機(jī)抽取2戶的樣本空間，，，，，，， ，
， ，共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，
其中至少有1戶來(lái)自年收入在內(nèi)包含的樣本點(diǎn)有，，，， ，
， ，共7個(gè)，
故抽取的2戶中至少有1戶來(lái)自年收入在內(nèi)的概率 .
變式 為了了解甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達(dá)標(biāo)，分別從兩廠隨機(jī)
各選取了10個(gè)輪胎，將每個(gè)輪胎的寬度（單位： ）記錄下來(lái)并繪制出如圖
所示的折線圖.
（1）分別計(jì)算從甲、乙兩廠選取的10個(gè)輪胎寬度的平均數(shù).
解：從甲廠選取的10個(gè)輪胎中，輪胎寬度的平均數(shù)
,
從乙廠選取的10個(gè)輪胎中，輪胎寬度的平均數(shù)
.
（2）若輪胎的寬度在 內(nèi)，則稱這個(gè)輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎.
（ⅰ）若從甲廠選取的10個(gè)輪胎中隨機(jī)抽取1個(gè)，求所抽取的輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎的概率；
解： 從甲廠選取的輪胎中，輪胎寬度在 內(nèi)的數(shù)據(jù)有195，194，196，
194，196，195，共6個(gè)，故從甲廠選取的10個(gè)輪胎中隨機(jī)抽取1個(gè)，所抽取的輪
胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎的概率 .
（ⅱ）求從甲、乙兩廠分別選取的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差.
解： 從甲廠選取的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)為
,
方差為 .
從乙廠選取的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)為
,
方差為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的核心思想.
（2）主要題型是用樣本的數(shù)字特征或分布估計(jì)總體的數(shù)字特征或分布.
（3）平均數(shù)、方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）是評(píng)判數(shù)據(jù)平均取值水平和離散程度的依據(jù).
探究點(diǎn)二 概率在實(shí)際中的應(yīng)用
例2 為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，相關(guān)工作人員先從該自然保護(hù)區(qū)中
捕出200只天鵝，給每只天鵝做上記號(hào)（不影響其存活），然后放回自然保護(hù)區(qū)，
經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和該自然保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再?gòu)脑撟匀槐?br/>護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號(hào).假定每只天鵝被捕到的可能性是
相等的，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量.
解：設(shè)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為.從該自然保護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)事件 為
捕到帶有記號(hào)的天鵝，則 .
從該自然保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號(hào)，
由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知 .
由①②，得，解得 ，
故該自然保護(hù)區(qū)中天鵝約有1500只.
變式 已知是一個(gè)三位正整數(shù)，若 的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于
百位數(shù)字，則稱 為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）.現(xiàn)要從甲、乙兩名同
學(xué)中選出一人參加某市組織的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，
6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，
則甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.
（1）由1，2，3，4，5，6可組成多少個(gè)“三位遞增數(shù)”？分別用樹(shù)形圖和列舉法解答.
解：畫(huà)出樹(shù)形圖，如圖所示，
由圖可知，由1，2，3，4，5，6可組成20個(gè)“三位遞增數(shù)”.
由題知，由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”分別是123，124，125，126，
134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，
356，456，共20個(gè)，故由1，2，3，4，5，6可組成20個(gè)“三位遞增數(shù)”.
（2）這種選取規(guī)則對(duì)甲、乙兩名同學(xué)公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：不公平.理由如下：
由（1）知由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”有20個(gè).記“甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”
為事件，事件 包含的樣本點(diǎn)有124，126，134，136，146，156，234，236，
246，256，346，356，456，共13個(gè)，
所以 .
記“乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”為事件，則事件 包含的樣本點(diǎn)有123，125，135，145，
235，245，345，共7個(gè)，
所以.因?yàn)?，
所以該選取規(guī)則對(duì)甲、乙兩名同學(xué)不公平.
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）游戲規(guī)則是否公平，即判定概率是否都相等.
（2）大概率事件易發(fā)生，小概率事件不易發(fā)生.
探究點(diǎn)三 情境應(yīng)用
例3 為了了解某地機(jī)動(dòng)車的所有人繳納車船使用稅的情況，調(diào)查部門在該地某
大型停車場(chǎng)對(duì)機(jī)動(dòng)車的所有人進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查.向被調(diào)查者提出三個(gè)問(wèn)題：（1）
你的車牌號(hào)碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)嗎？（2）你繳納了本年度的車船使用稅嗎？
（3）你的手機(jī)號(hào)碼的倒數(shù)第二位是偶數(shù)嗎？調(diào)查人員給被調(diào)查者準(zhǔn)備了一枚質(zhì)
地均勻的骰子，讓被調(diào)查者背對(duì)調(diào)查人員擲一次骰子.如果出現(xiàn)一點(diǎn)或二點(diǎn)則回
答第一個(gè)問(wèn)題；如果出現(xiàn)三點(diǎn)或四點(diǎn)則回答第二個(gè)問(wèn)題；如果出現(xiàn)五點(diǎn)或六點(diǎn)
則回答第三個(gè)問(wèn)題（被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問(wèn)題，只
需回答“是”或“否”，所有人都如實(shí)回答）.結(jié)果被調(diào)查的3000人中有1200人回答
了“否”，由此估計(jì)這3000人中沒(méi)有繳納車船使用稅的人數(shù)大約為( )
A
A.600 B.200 C.400 D.300
[解析] 因?yàn)轺蛔映霈F(xiàn)一點(diǎn)或二點(diǎn)、三點(diǎn)或四點(diǎn)、五點(diǎn)或六點(diǎn)的概率相等，都等
于 ，所以大約有1000人回答了第一個(gè)問(wèn)題.因?yàn)檐嚺铺?hào)碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)
與是偶數(shù)的概率是相等的，所以在這1000人中大約有500人的車牌號(hào)碼的最后一
位數(shù)字是偶數(shù)，這500人都回答了“否”.
同理也大約有1000人回答了第三個(gè)問(wèn)題，在這1000人中大約有500人回答了“否”，
因此在回答“否”的1200人中大約有200人對(duì)第二個(gè)問(wèn)題回答了“否”.故在這3000人
中大約有600人沒(méi)有繳納車船使用稅. 故選A.
變式 [2023·廣東揭陽(yáng)高一期中] 為了解某中學(xué)生遵守《中華人民共和國(guó)交通
安全法》的情況，調(diào)查部門在該校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查，向被調(diào)查者提出兩
個(gè)問(wèn)題：（1）你的學(xué)號(hào)是奇數(shù)嗎 （2）在過(guò)路口時(shí)你是否闖過(guò)紅燈 要求被調(diào)
查者背對(duì)著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問(wèn)題，否則
就回答第二個(gè)問(wèn)題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問(wèn)題，只需
回答“是”或“不是”，因?yàn)橹挥姓{(diào)查者本人知道回答了哪一個(gè)問(wèn)題，所以都如實(shí)
地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的1200人（學(xué)號(hào)從1至1200）中有366人回答了“是”.由此
可以估計(jì)這1200人中闖過(guò)紅燈的人數(shù)是_____.
[解析] 被調(diào)查的1200人中，在準(zhǔn)備回答的兩個(gè)問(wèn)題中每一個(gè)問(wèn)題被問(wèn)到的概率
相同，
所以第一個(gè)問(wèn)題可能被問(wèn)600次，因?yàn)楸粏?wèn)的600人中大約有300人的學(xué)號(hào)是奇數(shù)，
且有366人回答了“是”，
所以估計(jì)有66人在第二個(gè)問(wèn)題中回答了“是”，即600人中有66人闖過(guò)紅燈，頻率
為0.11.
用樣本頻率估計(jì)總體，從而估計(jì)這1200人中闖過(guò)紅燈的人數(shù)為
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
情境主要有生活情境和學(xué)科情境，首先要審清題意，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，分析統(tǒng)計(jì)
和概率，進(jìn)行綜合應(yīng)用.
1.從一群游戲的小孩中抽出 人，一人分一個(gè)蘋(píng)果，讓他們返回繼續(xù)游戲，一會(huì)
兒后，再?gòu)闹腥稳∪耍l(fā)現(xiàn)其中有 個(gè)小孩曾分過(guò)蘋(píng)果，估計(jì)一共有小孩 ( )
B
A.人 B.人 C.人 D. 人
[解析] 設(shè)一共有個(gè)小孩，根據(jù)概率的意義，有，所以 .故選B.
2.一批產(chǎn)品的合格率為，檢驗(yàn)員抽檢時(shí)出錯(cuò)率為 ，則檢驗(yàn)員抽取一件
產(chǎn)品，檢驗(yàn)為合格品的概率為( )
B
A.0.81 B.0.82 C.0.90 D.0.91
[解析] 一批產(chǎn)品的合格率為，檢驗(yàn)員抽檢時(shí)出錯(cuò)率為， 檢驗(yàn)員抽
取一件產(chǎn)品，檢驗(yàn)為合格品的概率為 故選B.
3.為評(píng)估某種新型水稻的種植效果，選擇了 塊面積相等、肥力相同的試驗(yàn)稻田.
這塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：）分別為，， ， ，下列統(tǒng)計(jì)量中，
能用來(lái)評(píng)估這種新型水稻畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是( )
A
A.樣本，， ，的標(biāo)準(zhǔn)差 B.樣本，， ， 的中位數(shù)
C.樣本，， ，的眾數(shù) D.樣本，， ， 的平均數(shù)
[解析] 標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度.故選A.
4.某產(chǎn)品的設(shè)計(jì)長(zhǎng)度為，規(guī)定誤差不超過(guò) 為合格品.對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行
測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下表：
19.5以下 20.5以上
件數(shù) 5 68 7
則這批產(chǎn)品的不合格率為( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由題可知，長(zhǎng)度在 的為合格品，所以這批產(chǎn)品的不合格率為
.故選D.
5.某路口的交通信號(hào)燈，綠燈亮40秒后，黃燈閃爍若干秒，然后紅燈亮30秒，
如果一輛車到達(dá)路口時(shí)，遇到紅燈的概率為 ，那么黃燈閃爍的時(shí)間為_(kāi)__秒.
5
[解析] 設(shè)黃燈閃爍的時(shí)間為秒， 一輛車到達(dá)路口時(shí)，遇到紅燈的概率為 ，
,解得， 黃燈閃爍的時(shí)間為5秒.
1.統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用
2.概率在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
（1）概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，概率是頻率的穩(wěn)定值，可以用
樣本中出現(xiàn)的頻率近似地估計(jì)總體中該結(jié)果出現(xiàn)的概率.
（2）實(shí)際生活與生產(chǎn)中常常用隨機(jī)事件發(fā)生的概率來(lái)估計(jì)某個(gè)生物種群中個(gè)別
生物種類的數(shù)量、某批次的產(chǎn)品中不合格產(chǎn)品的數(shù)量等.
（3）在實(shí)際應(yīng)用中，先分析問(wèn)題是古典概型還是用頻率估計(jì)概率，然后再用合
理的方法解決問(wèn)題.古典概型中要避免結(jié)果的疏漏.
例1 經(jīng)過(guò)市場(chǎng)抽檢，質(zhì)檢部門得知市場(chǎng)上食用油的合格率為 ，經(jīng)調(diào)查，某
市市場(chǎng)上的食用油大約有80個(gè)品牌，則不合格的食用油品牌大約有____個(gè).
16
[解析] 由題意知市場(chǎng)上食用油的合格率為,則不合格率為 ，
所以80個(gè)品牌中，不合格的食用油品牌大約有 （個(gè)）.
例2 某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn)，決
定大力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，一方面對(duì)現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級(jí)改造，另一方面不斷提
高旅游服務(wù)水平.為此該地區(qū)旅游部門對(duì)所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深
入調(diào)查，下表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中隨機(jī)抽取的100位游客
的滿意度調(diào)查表.
滿意度 老年人 中年人 青年人 報(bào)團(tuán)游 自助游 報(bào)團(tuán)游 自助游 報(bào)團(tuán)游 自助游
滿意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不滿意 1 1 6 2 3 2
（1）由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群
更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游？
解：由表中數(shù)據(jù)可得老年人、中年人和青年人選擇報(bào)團(tuán)游的頻率分別為
,, ,
因?yàn)?，所以老年人更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游.
（2）某人要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會(huì)建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？
解：由表可知，報(bào)團(tuán)游的滿意率 ,
自助游的滿意率,因?yàn)?，所以建議他選擇報(bào)團(tuán)游.5.4　統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)
可能性　[0,1]　0　1
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)概率很小的事件也是隨機(jī)事件,不可能事件發(fā)生的概率為0.
(2)治愈某種病的概率為0.8,是對(duì)每個(gè)病人來(lái)說(shuō)治愈的可能性為0.8,而不是10個(gè)人中有8個(gè)人能治愈.
(3)概率能為我們的決策提供很好的參考,小明獲勝的次數(shù)多,就應(yīng)該選小明參加.
(4)因?yàn)榧状杏?2個(gè)黑球,4個(gè)白球,共16個(gè)球,所以從中隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸出的是1個(gè)黑球的概率P1==.因?yàn)橐掖杏?0個(gè)黑球,20個(gè)白球,共40個(gè)球,所以從中隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸出的是1個(gè)黑球的概率P2==.因?yàn)?,所以選擇甲袋成功的機(jī)會(huì)更大.
【課中探究】
例1　解:(1)眾數(shù)為=11.
因?yàn)榍叭M的頻率之和為0.15+0.1+0.35=0.6,
前四組的頻率之和為0.15+0.1+0.35+0.2=0.8,
所以75%分位數(shù)在第四組內(nèi).
設(shè)75%分位數(shù)為t,則有=,解得t=13.5.
估計(jì)本村居民的年收入的眾數(shù)為11,75%百分位數(shù)為13.5.
(2)由頻數(shù)表及分層抽樣可知在年收入在[6,8)內(nèi)抽取的戶數(shù)為×20=3,在年收入在[8,10)內(nèi)抽取的戶數(shù)為×20=2.
記年收入在[6,8)內(nèi)的3戶分別為A,B,C,年收入在[8,10)內(nèi)的2戶分別為a,b,
則從中隨機(jī)抽取2戶的樣本空間Ω={AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共包含10個(gè)樣本點(diǎn),
其中至少有1戶來(lái)自年收入在[8,10)內(nèi)包含的樣本點(diǎn)有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共7個(gè),
故抽取的2戶中至少有1戶來(lái)自年收入在[8,10)內(nèi)的概率P=.
變式　解:(1)從甲廠選取的10個(gè)輪胎中,輪胎寬度的平均數(shù)=×(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195,
從乙廠選取的10個(gè)輪胎中,輪胎寬度的平均數(shù)=×(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194.
(2)(i)從甲廠選取的輪胎中,輪胎寬度在[194,196]內(nèi)的數(shù)據(jù)有195,194,196,194,196,195,共6個(gè),故從甲廠選取的10個(gè)輪胎中隨機(jī)抽取1個(gè),所抽取的輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎的概率P==.
(ii)從甲廠選取的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)為×(195+194+196+194+196+195)=195,
方差為×[02+(-1)2+12+(-1)2+12+02]=.
從乙廠選取的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均數(shù)為×(195+196+195+194+195+195)=195,
方差為×[02+12+02+(-1)2+02+02]=.
例2　解:設(shè)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為n.從該自然保護(hù)區(qū)中任捕一只,設(shè)事件A為捕到帶有記號(hào)的天鵝,則P(A)=①.
從該自然保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝,其中有20只帶有記號(hào),
由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知P(A)≈②.
由①②,得≈,解得n≈1500,
故該自然保護(hù)區(qū)中天鵝約有1500只.
變式　解:(1)畫(huà)出樹(shù)形圖,如圖所示,
由圖可知,由1,2,3,4,5,6可組成20個(gè)“三位遞增數(shù)”.
由題知,由1,2,3,4,5,6組成的“三位遞增數(shù)”分別是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456,
共20個(gè),故由1,2,3,4,5,6可組成20個(gè)“三位遞增數(shù)”.
(2)不公平.理由如下:
由(1)知由1,2,3,4,5,6組成的“三位遞增數(shù)”有20個(gè).記“甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”為事件A,事件A包含的樣本點(diǎn)有124,126,134,136,146,156,234,236,246,256,346,356,456,共13個(gè),
所以P(A)=.
記“乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”為事件B,則事件B包含的樣本點(diǎn)有123,125,135,145,235,245,345,共7個(gè),
所以P(B)=.因?yàn)镻(A)>P(B),
所以該選取規(guī)則對(duì)甲、乙兩名同學(xué)不公平.
例3　A　[解析] 因?yàn)轺蛔映霈F(xiàn)一點(diǎn)或二點(diǎn)、三點(diǎn)或四點(diǎn)、五點(diǎn)或六點(diǎn)的概率相等,都等于,所以大約有1000人回答了第一個(gè)問(wèn)題.因?yàn)檐嚺铺?hào)碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)與是偶數(shù)的概率是相等的,所以在這1000人中大約有500人的車牌號(hào)碼的最后一位數(shù)字是偶數(shù),這500人都回答了“否”.同理也大約有1000人回答了第三個(gè)問(wèn)題,在這1000人中大約有500人回答了“否”,因此在回答“否”的1200人中大約有200人對(duì)第二個(gè)問(wèn)題回答了“否”.故在這3000人中大約有600人沒(méi)有繳納車船使用稅.故選A.
變式　132　[解析] 被調(diào)查的1200人中,在準(zhǔn)備回答的兩個(gè)問(wèn)題中每一個(gè)問(wèn)題被問(wèn)到的概率相同,
所以第一個(gè)問(wèn)題可能被問(wèn)600次,因?yàn)楸粏?wèn)的600人中大約有300人的學(xué)號(hào)是奇數(shù),且有366人回答了“是”,
所以估計(jì)有66人在第二個(gè)問(wèn)題中回答了“是”,即600人中有66人闖過(guò)紅燈,頻率為0.11.
用樣本頻率估計(jì)總體,從而估計(jì)這1200人中闖過(guò)紅燈的人數(shù)為1200×0.11=132.
【課堂評(píng)價(jià)】
1.B　[解析] 設(shè)一共有x個(gè)小孩,根據(jù)概率的意義,有≈,所以x≈.故選B.
2.B　[解析] ∵一批產(chǎn)品的合格率為90%,檢驗(yàn)員抽檢時(shí)出錯(cuò)率為10%,∴檢驗(yàn)員抽取一件產(chǎn)品,檢驗(yàn)為合格品的概率為0.9×0.9+0.1×0.1=0.82.故選B.
3.A　[解析] 標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度.故選A.
4.D　[解析] 由題可知,長(zhǎng)度在19.5~20.5的為合格品,所以這批產(chǎn)品的不合格率為==.故選D.
5.5　[解析] 設(shè)黃燈閃爍的時(shí)間為t秒,∵一輛車到達(dá)路口時(shí),遇到紅燈的概率為,∴=,解得t=5,∴黃燈閃爍的時(shí)間為5秒5.4　統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過(guò)實(shí)例進(jìn)一步理解統(tǒng)計(jì)與概率的意義及應(yīng)用;
2.能用統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題.
◆ 知識(shí)點(diǎn)　概率的應(yīng)用
概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生　　　　　大小的度量,它已經(jīng)滲透到人們的日常生活中,成為一個(gè)常用的詞匯,任何事件的概率是　　　　內(nèi)的一個(gè)數(shù),它度量該事件發(fā)生的可能性.小概率事件(概率接近　　　　)很少發(fā)生,而大概率事件(概率接近　　　　)則經(jīng)常發(fā)生.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)當(dāng)事件A發(fā)生的概率很小時(shí),該事件為不可能事件. (　 )
(2)某醫(yī)院治愈某種病的概率為0.8,則10個(gè)人去治療,一定有8個(gè)人能治愈. (　 )
(3)平時(shí)的多次比賽中,小明獲勝的次數(shù)比小華多,所以這次比賽應(yīng)選小明參加. (　 )
(4)甲袋中有12個(gè)黑球,4個(gè)白球,乙袋中有20個(gè)黑球,20個(gè)白球,從其中一袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球,要想摸出1個(gè)黑球,選擇乙袋成功的機(jī)會(huì)更大.(　 )
◆ 探究點(diǎn)一　統(tǒng)計(jì)在實(shí)際中的應(yīng)用
例1 某地盛產(chǎn)芒果、榴蓮等水果,因其質(zhì)量較好,長(zhǎng)期受到消費(fèi)者的歡迎.當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門在實(shí)地調(diào)研后,立足當(dāng)?shù)鬲?dú)特優(yōu)勢(shì),大力發(fā)展農(nóng)村經(jīng)濟(jì),為統(tǒng)計(jì)當(dāng)?shù)鼐用袢ツ甑氖杖霠顩r,隨機(jī)抽取100戶對(duì)去年的年收入進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查,得到如下表所示的頻數(shù)表:
年收入(萬(wàn)元) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18]
頻數(shù) 15 10 35 20 10 10
(1)估計(jì)本村居民的年收入的眾數(shù)、75%分位數(shù);
(2)用分層抽樣的方法從這100戶居民中抽取20戶進(jìn)行走訪,若再?gòu)某槿〉哪晔杖朐赱6,8)和[8,10)的居民中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查,求至少有1戶來(lái)自年收入在[8,10)內(nèi)的概率.
變式 為了了解甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達(dá)標(biāo),分別從兩廠隨機(jī)各選取了10個(gè)輪胎,將每個(gè)輪胎的寬度(單位:mm)記錄下來(lái)并繪制出如圖所示的折線圖.
(1)分別計(jì)算從甲、乙兩廠選取的10個(gè)輪胎寬度的平均數(shù).
(2)若輪胎的寬度在[194,196]內(nèi),則稱這個(gè)輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎.
(i)若從甲廠選取的10個(gè)輪胎中隨機(jī)抽取1個(gè),求所抽取的輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎的概率;
(ii)求從甲、乙兩廠分別選取的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的核心思想.
(2)主要題型是用樣本的數(shù)字特征或分布估計(jì)總體的數(shù)字特征或分布.
(3)平均數(shù)、方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)是評(píng)判數(shù)據(jù)平均取值水平和離散程度的依據(jù).
◆ 探究點(diǎn)二　概率在實(shí)際中的應(yīng)用
例2 為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量,相關(guān)工作人員先從該自然保護(hù)區(qū)中捕出200只天鵝,給每只天鵝做上記號(hào)(不影響其存活),然后放回自然保護(hù)區(qū),經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間,讓其和該自然保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合,再?gòu)脑撟匀槐Ｗo(hù)區(qū)中捕出150只天鵝,其中有20只帶有記號(hào).假定每只天鵝被捕到的可能性是相等的,試根據(jù)上述數(shù)據(jù),估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量.
變式 已知n是一個(gè)三位正整數(shù),若n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如135,256,345等).現(xiàn)要從甲、乙兩名同學(xué)中選出一人參加某市組織的數(shù)學(xué)競(jìng)賽,選取的規(guī)則如下:從由1,2,3,4,5,6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù),則甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽;否則,乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.
(1)由1,2,3,4,5,6可組成多少個(gè)“三位遞增數(shù)” 分別用樹(shù)形圖和列舉法解答.
(2)這種選取規(guī)則對(duì)甲、乙兩名同學(xué)公平嗎 請(qǐng)說(shuō)明理由.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)游戲規(guī)則是否公平,即判定概率是否都相等.
(2)大概率事件易發(fā)生,小概率事件不易發(fā)生.
◆ 探究點(diǎn)三　情境應(yīng)用
例3 為了了解某地機(jī)動(dòng)車的所有人繳納車船使用稅的情況,調(diào)查部門在該地某大型停車場(chǎng)對(duì)機(jī)動(dòng)車的所有人進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查.向被調(diào)查者提出三個(gè)問(wèn)題:(1)你的車牌號(hào)碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)嗎 (2)你繳納了本年度的車船使用稅嗎 (3)你的手機(jī)號(hào)碼的倒數(shù)第二位是偶數(shù)嗎 調(diào)查人員給被調(diào)查者準(zhǔn)備了一枚質(zhì)地均勻的骰子,讓被調(diào)查者背對(duì)調(diào)查人員擲一次骰子.如果出現(xiàn)一點(diǎn)或二點(diǎn)則回答第一個(gè)問(wèn)題;如果出現(xiàn)三點(diǎn)或四點(diǎn)則回答第二個(gè)問(wèn)題;如果出現(xiàn)五點(diǎn)或六點(diǎn)則回答第三個(gè)問(wèn)題(被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問(wèn)題,只需回答“是”或“否”,所有人都如實(shí)回答).結(jié)果被調(diào)查的3000人中有1200人回答了“否”,由此估計(jì)這3000人中沒(méi)有繳納車船使用稅的人數(shù)大約為 (　 )
A.600 B.200 C.400 D.300
變式 [2023·廣東揭陽(yáng)高一期中] 為了解某中學(xué)生遵守《中華人民共和國(guó)交通安全法》的情況,調(diào)查部門在該校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查,向被調(diào)查者提出兩個(gè)問(wèn)題:(1)你的學(xué)號(hào)是奇數(shù)嗎 (2)在過(guò)路口時(shí)你是否闖過(guò)紅燈 要求被調(diào)查者背對(duì)著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣,如果出現(xiàn)正面,就回答第一個(gè)問(wèn)題,否則就回答第二個(gè)問(wèn)題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問(wèn)題,只需回答“是”或“不是”,因?yàn)橹挥姓{(diào)查者本人知道回答了哪一個(gè)問(wèn)題,所以都如實(shí)地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的1200人(學(xué)號(hào)從1至1200)中有366人回答了“是”.由此可以估計(jì)這1200人中闖過(guò)紅燈的人數(shù)是　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
情境主要有生活情境和學(xué)科情境,首先要審清題意,建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,分析統(tǒng)計(jì)和概率,進(jìn)行綜合應(yīng)用.
1.從一群游戲的小孩中抽出k人,一人分一個(gè)蘋(píng)果,讓他們返回繼續(xù)游戲,一會(huì)兒后,再?gòu)闹腥稳人,發(fā)現(xiàn)其中有n個(gè)小孩曾分過(guò)蘋(píng)果,估計(jì)一共有小孩 (　 )
A.人 B.人
C.(k+m-n)人 D.(k+m-n)人
2.一批產(chǎn)品的合格率為90%,檢驗(yàn)員抽檢時(shí)出錯(cuò)率為10%,則檢驗(yàn)員抽取一件產(chǎn)品,檢驗(yàn)為合格品的概率為 (　 )
A.0.81 B.0.82
C.0.90 D.0.91
3.為評(píng)估某種新型水稻的種植效果,選擇了n塊面積相等、肥力相同的試驗(yàn)稻田.這n塊稻田的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別為a1,a2,…,an,下列統(tǒng)計(jì)量中,能用來(lái)評(píng)估這種新型水稻畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是 (　 )
A.樣本a1,a2,…,an的標(biāo)準(zhǔn)差
B.樣本a1,a2,…,an的中位數(shù)
C.樣本a1,a2,…,an的眾數(shù)
D.樣本a1,a2,…,an的平均數(shù)
4.某產(chǎn)品的設(shè)計(jì)長(zhǎng)度為20 cm,規(guī)定誤差不超過(guò)0.5 cm為合格品.對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行測(cè)量,測(cè)量結(jié)果如下表:
長(zhǎng)度(cm) 19.5以下 19.5~20.5 20.5以上
件數(shù) 5 68 7
則這批產(chǎn)品的不合格率為 (　 )
A. B. C. D.
5.某路口的交通信號(hào)燈,綠燈亮40秒后,黃燈閃爍若干秒,然后紅燈亮30秒,如果一輛車到達(dá)路口時(shí),遇到紅燈的概率為,那么黃燈閃爍的時(shí)間為　　　　秒. 5.4　統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用
1.D　[解析] 該長(zhǎng)方體一共可切成12塊,其中只有位于大長(zhǎng)方體頂點(diǎn)處的小正方體恰有三面涂色,共8塊,則所求概率P==.故選D.
2.A　[解析] 甲、乙兩位同學(xué)各自等可能地選擇其中1個(gè)窗口,該試驗(yàn)包含的樣本點(diǎn)有9個(gè),甲、乙兩位同學(xué)選到同一個(gè)窗口包含的樣本點(diǎn)有3個(gè),故所求概率為=.故選A.
3.C　[解析] 對(duì)于袋子1,取出2個(gè)球同色的概率為,取出2個(gè)球不同色的概率為,故袋子1不公平;對(duì)于袋子2,取出2個(gè)球同色的概率為,取出2個(gè)球不同色的概率為,故袋子2不公平;對(duì)于袋子3,取出2個(gè)球同色的概率為,取出2個(gè)球不同色的概率為,故袋子3公平.故選C.
4.B　[解析] 由莖葉圖可知,A酒店的綜合評(píng)分分別為72,86,87,89,92,94,B酒店的綜合評(píng)分分別為73,74,86,88,94,95,可得≈86.67,=85,≈50.56,=76,則>,<.故選B.
5.B　[解析] 建筑行業(yè)的招聘人數(shù)是76 516,應(yīng)聘人數(shù)沒(méi)有排在前5位,則應(yīng)聘人數(shù)小于65 280,物流行業(yè)的應(yīng)聘人數(shù)是74 570,招聘人數(shù)不在前5位,則招聘人數(shù)小于70 436,所以就業(yè)形勢(shì)是建筑行業(yè)好于物流行業(yè).故選B.
6.C　[解析] 由題意知,每個(gè)居民從袋子中抽到白球或紅球的可能性都是,故300人中大約有300×=150(人)回答了第一個(gè)問(wèn)題,另150人回答了第二個(gè)問(wèn)題.在摸出白球的情況下,回答“是”的概率為,設(shè)該地居民亂丟垃圾的概率為x,則150×+150x=58,解得x=.故選C.
7.B　[解析] 對(duì)于A,2023年5,6月的利潤(rùn)率相同,2023年9,10月的利潤(rùn)率在遞增,故A不正確;
對(duì)于B,將這11個(gè)月的利潤(rùn)率從小到大排列為
5.97%,6.25%,6.35%,6.81%,6.96%,6.98%,7.01%,7.01%,7.09%,7.11%,7.11%,
因?yàn)?1×80%=8.8,所以80%分位數(shù)為7.09%.故B正確;
對(duì)于C,由圖可知,2023年9,10月的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本呈遞減趨勢(shì),故C不正確;
對(duì)于D,這11個(gè)月的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本的平均數(shù)≈83.77,
因?yàn)?84.30-83.77)2+(83.48-83.77)2=0.280 9+0.084 1=0.365,所以這11個(gè)月的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本的方差不可能大于1,故D不正確.故選B.
8.BD　[解析] 設(shè)申請(qǐng)法學(xué)院的男生人數(shù)為x,女生人數(shù)為y,則x+y=200,則法學(xué)院的錄取率為==0.7-0.001x.設(shè)申請(qǐng)商學(xué)院的男生人數(shù)為m,女生人數(shù)為n,則m+n=300,則商學(xué)院的錄取率為==0.9-0.001m.因?yàn)?0.9-0.001m)-(0.7-0.001x)=0.2-0.001(m-x)=0.001(200-m+x),該值的正負(fù)不確定,所以A錯(cuò)誤,D正確;這兩個(gè)學(xué)院所有男生的錄取率為,這兩個(gè)學(xué)院所有女生的錄取率為,因?yàn)?=-<0,所以B正確,C錯(cuò)誤.故選BD.
9.ABC　[解析] 61-(19+18+14)=10,該隊(duì)除這3人外,剩余7人共得到10分,存在該隊(duì)上場(chǎng)的10名球員都有得分的可能,故A正確;該隊(duì)除這3人外,剩余7人共得到10分,若極差為17,則剩余7人最低得分為2分,這種情況不存在,即上場(chǎng)的10名球員得分的極差不可能為17分,故B正確;該隊(duì)上場(chǎng)的10名球員得分的平均數(shù)為=6.1,按照分?jǐn)?shù)從小到大排序,則第8個(gè)、第9個(gè)、第10個(gè)數(shù)據(jù)一定是14,18,19,若中位數(shù)大于或等于平均數(shù),則第5個(gè)、第6個(gè)數(shù)據(jù)之和應(yīng)大于或等于12.2分,這與7人得到10分不符,故C正確;根據(jù)已知條件,上場(chǎng)的10名球員得分情況可能為0,0,0,1,3,3,3,14,18,19,即3可能是中國(guó)隊(duì)上場(chǎng)的10名球員得分的眾數(shù),故D錯(cuò)誤.故選ABC.
10.[0,176]　(176,230]　[解析] 因?yàn)?0%分位數(shù)為176,90%分位數(shù)為230,所以用電量在[0,176]內(nèi)為第一階梯;用電量在(176,230]內(nèi)為第二階梯.
11.　[解析] 由題意得x=20-(2+3+5+4+2)=4,樣本中數(shù)據(jù)落在[10,50)內(nèi)的頻率為=,所以估計(jì)總體中數(shù)據(jù)落在[10,50)內(nèi)的概率為.
12.不公平　將規(guī)則改為“和是6或7,則甲勝,否則乙勝”
[解析] 列表如下:
　　　B 和 A　　　 3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
由表可知,樣本空間包含12個(gè)樣本點(diǎn),兩個(gè)數(shù)字和為6包含的樣本點(diǎn)有3個(gè).
因?yàn)镻(和為6)==,所以甲、乙獲勝的概率不相等,所以這個(gè)游戲規(guī)則不公平.如果將游戲規(guī)則改為“和是6或7,則甲勝,否則乙勝”,那么此時(shí)游戲規(guī)則是公平的.
13.解:(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不低于60的頻率為
(0.02+0.04+0.02)×10=0.8,
故從500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)不低于60的概率為0.8.
(2)根據(jù)題意,樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為
(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-100×0.9-5=5.
所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)約為500×=25.
(3)設(shè)3名男生分別為a1,a2,a3,2名女生分別為b1,b2,則從這5名同學(xué)中選取2人的樣本空間為Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},共包含10個(gè)樣本點(diǎn).
抽取的2人中男、女生各1人包含的樣本點(diǎn)有
(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6個(gè).
所以抽取的2人中男、女生各1人的概率是=.
14.解:(1)選乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽較合適.理由如下:
由題知==83,則甲數(shù)學(xué)成績(jī)的方差=50.8,
乙數(shù)學(xué)成績(jī)的方差=48.8,
∵>,∴乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定,故選乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽比較合適.
(2)5道備選題中乙能答對(duì)的3道分別記為a,b,c,答不對(duì)的2道分別記為E,F.
方案一:乙從5道備選題中任意抽出1道,樣本空間中包含的樣本點(diǎn)有a,b,c,E,F,共5個(gè),其中答對(duì)備選題包含的樣本點(diǎn)有a,b,c,共3個(gè),
∴選擇此方案乙可參加復(fù)賽的概率P1=.
方案二:乙從5道備選題中任意抽出3道,樣本空間中包含的樣本點(diǎn)有(a,b,c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,E),(a,c,F),(a,E,F),(b,c,E),(b,c,F),(b,E,F),(c,E,F),共10個(gè),其中至少答對(duì)2道備選題包含的樣本點(diǎn)有(a,b,c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,E),(a,c,F),(b,c,E),(b,c,F),共7個(gè),
∴選擇此方案乙可參加復(fù)賽的概率P2=.
∵P115.解:設(shè)該市的出租車有1000輛,那么依題意可得信息如下表所示.
實(shí)際數(shù)據(jù) 證人眼中的顏色
藍(lán)色 紅色
真實(shí) 顏色 藍(lán)色 850 680 170
紅色 150 30 120
合計(jì) 1000 710 290
從表中可以看出,當(dāng)目擊證人說(shuō)出租車是紅色時(shí),確定它是紅色的概率為≈0.41,而它是藍(lán)色的概率為≈0.59.在實(shí)際數(shù)據(jù)面前,警察僅以目擊證人的證詞作為推斷的依據(jù)對(duì)紅色出租車公司顯然是不公平的.5.4　統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用
一、選擇題
1.將一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是2,2,3的長(zhǎng)方體木塊的六個(gè)面涂上顏色,再將該長(zhǎng)方體均勻切割成棱長(zhǎng)為1的小正方體,從切好的小正方體中任取一塊,取得的小正方體恰有三面涂有顏色的概率是 (　 )
A. B. C. D.
2.某中學(xué)組織高三學(xué)生進(jìn)行高考體檢,體檢中心的抽血科室有3個(gè)窗口.若甲、乙兩位同學(xué)各自等可能地選擇其中1個(gè)窗口,則他們選到同一個(gè)窗口的概率為 (　 )
A. B. C. D.
3.不透明的袋子中裝有形狀、大小完全相同的球,從袋中無(wú)放回地一次性取出2個(gè)球, 若取出的2個(gè)球同色,則甲獲勝, 若取出的2個(gè)球不同色,則乙獲勝.袋中所裝球的顏色如下:袋子1中有 3個(gè)黑球和2個(gè)白球;袋子2中有2個(gè)黑球和2個(gè)白球;袋子3中有3個(gè)黑球和1個(gè)白球.其中不公平的袋子是 (　 )
A.袋子2 B.袋子3
C.袋子1和袋子2 D.袋子1和袋子3
4.已知A,B兩家酒店的綜合評(píng)分如圖所示,記A,B兩家酒店的綜合評(píng)分的平均數(shù)分別為,,方差分別為,,則 (　 )
A.>,>
B.>,<
C.<,>
D.<,<
5.某地某年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個(gè)行業(yè)的情況列表如下:
行業(yè)名稱 計(jì)算機(jī) 機(jī)械 營(yíng)銷 物流 貿(mào)易
應(yīng)聘人數(shù) 215 830 200 250 154 676 74 570 65 280
行業(yè)名稱 計(jì)算機(jī) 營(yíng)銷 機(jī)械 建筑 化工
招聘人數(shù) 124 620 102 935 89 115 76 516 70 436
若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來(lái)衡量該行業(yè)的就業(yè)情況,則根據(jù)表中數(shù)據(jù),就業(yè)形勢(shì)一定是 (　 )
A.計(jì)算機(jī)行業(yè)好于化工行業(yè)
B.建筑行業(yè)好于物流行業(yè)
C.機(jī)械行業(yè)最緊張
D.營(yíng)銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張
6.某衛(wèi)生部門為了調(diào)查某地居民垃圾分類的落實(shí)情況,隨機(jī)抽取該地300人,并平均分成三組.調(diào)查中使用了以下兩個(gè)問(wèn)題:
問(wèn)題一:你是否是第一組的居民
問(wèn)題二:你是否經(jīng)常亂丟垃圾
調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置,是一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全相同的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子.每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋中摸取1個(gè)小球(摸出的球再放回袋中),摸到白球的居民如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題,摸到紅球的居民如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題.如果在300人中,共有58人回答了“是”,估計(jì)該地居民亂丟垃圾的概率為(　 )
A. B. C. D.
7.某公司2023年5月至2024年3月各月的利潤(rùn)率與每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本如圖所示,則下列說(shuō)法中正確的是 (　 )
A.2023年5月至2023年12月的利潤(rùn)率呈遞減趨勢(shì)
B.這11個(gè)月的利潤(rùn)率的80%分位數(shù)為7.09%
C.這11個(gè)月的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本呈遞增趨勢(shì)
D.這11個(gè)月的每百元營(yíng)業(yè)收入中的成本的方差大于1
8.(多選題)某高校法學(xué)院和商學(xué)院新學(xué)期的招生情況有如下數(shù)據(jù):有200人申請(qǐng)法學(xué)院,其中男生錄取率為50%,女生錄取率為70%;有300人申請(qǐng)商學(xué)院,其中男生錄取率為60%,女生錄取率為90%.對(duì)于此次招生,給出下列四個(gè)結(jié)論,其中正確的是 (　 )
A.法學(xué)院的錄取率小于商學(xué)院的錄取率
B.這兩個(gè)學(xué)院所有男生的錄取率小于這兩個(gè)學(xué)院所有女生的錄取率
C.這兩個(gè)學(xué)院所有男生的錄取率不一定小于這兩個(gè)學(xué)院所有女生的錄取率
D.法學(xué)院的錄取率不一定小于商學(xué)院的錄取率
9.(多選題)在某次籃球比賽中,某隊(duì)共得61分,在該隊(duì)10名上場(chǎng)球員中,得分最高的人得到了19分,其余球員中有2人分別得到了18分,14分,根據(jù)以上信息判斷,下列說(shuō)法中正確的是 (　 )
A.存在該隊(duì)上場(chǎng)的10名球員都有得分的可能
B.該隊(duì)上場(chǎng)的10名球員得分的極差不可能為17分
C.該隊(duì)上場(chǎng)的10名球員得分的中位數(shù)一定小于其平均數(shù)
D.3不可能是該隊(duì)上場(chǎng)的10名球員得分的眾數(shù)
二、填空題
10.某地區(qū)想實(shí)行階梯電價(jià),經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該地區(qū)居民用電量信息如下.
分位數(shù) 50% 分位數(shù) 70% 分位數(shù) 80% 分位數(shù) 90% 分位數(shù)
用電量/(kW·h) 160 176 215 230
若要求約70%的居民用電量在第一階梯內(nèi),約20%的居民用電量在第二階梯內(nèi),則用電量在　　　　內(nèi)為第一階梯,在　　　　內(nèi)為第二階梯.
11.一個(gè)容量為20的樣本,數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),x;[40,50),5;[50,60),4;[60,70),2.根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)總體中數(shù)據(jù)落在[10,50)內(nèi)的概率為　　　　.
12.如圖所示,有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤A,B.轉(zhuǎn)盤A被平均分成3等份,分別標(biāo)上1,2,3三個(gè)數(shù)字;轉(zhuǎn)盤B被平均分成4等份,分別標(biāo)上3,4,5,6四個(gè)數(shù)字.有人為甲、乙兩人設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲,規(guī)則如下:自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A與B,轉(zhuǎn)盤停止后,指針各指向一個(gè)數(shù)字,將指針?biāo)傅膬蓚€(gè)數(shù)字相加,如果和是6,那么甲獲勝,否則乙獲勝.這個(gè)游戲規(guī)則　　　　(填“公平”或“不公平”).如果不公平,怎樣修改規(guī)則才 能使游戲?qū)﹄p方公平 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.(答案不唯一)
三、解答題
13.生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4類.為了獲悉高中生對(duì)垃圾分類的了解情況,某中學(xué)設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問(wèn)卷,有500名學(xué)生參加測(cè)試,從中隨機(jī)抽取了100份問(wèn)卷,記錄上面的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)不低于60的概率.
(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的學(xué)生人數(shù).
(3)學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會(huì)決定組織同學(xué)們利用課余時(shí)間分批參加“垃圾分類,我在實(shí)踐”活動(dòng),以增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí).首次活動(dòng)從樣本中問(wèn)卷分?jǐn)?shù)低于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加,已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的5名學(xué)生中,男生3人,女生2人,求抽取的2人中男、女生各1人的概率.
14.某學(xué)校需要從甲、乙兩人中選一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,抽取了近期甲、乙兩人5次數(shù)學(xué)考試的成績(jī),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
第一 次 第二 次 第三 次 第四 次 第五 次
甲的成績(jī)(分) 80 85 71 92 87
乙的成績(jī)(分) 90 76 75 92 82
(1)已知甲、乙兩人這5次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)都為83,若從甲、乙兩人中選一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,你認(rèn)為應(yīng)選誰(shuí)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽比較合適 并說(shuō)明理由.
(2)若數(shù)學(xué)競(jìng)賽分初賽和復(fù)賽,在初賽中有兩種答題方案:
方案一:每人從5道備選題中任意抽出1道,若答對(duì),則可參加復(fù)賽,否則被淘汰;
方案二:每人從5道備選題中任意抽出3道,若至少答對(duì)其中2道,則可參加復(fù)賽,否則被淘汰.
已知甲、乙兩人都只能答對(duì)5道備選題中的3道,那么你推薦的選手選擇哪種答題方案進(jìn)入復(fù)賽的可能性更大 并說(shuō)明理由.
15.深夜,某市某路段發(fā)生一起出租車交通事故.該市有兩家出租車公司,紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司,其中紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司的出租車分別占整個(gè)城市出租車的15%和85%.據(jù)現(xiàn)場(chǎng)目擊證人說(shuō),事故現(xiàn)場(chǎng)的出租車是紅色的.對(duì)現(xiàn)場(chǎng)目擊證人的辨別能力做了測(cè)試,測(cè)得他辨認(rèn)的正確率為80%,于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大嫌疑.你覺(jué)得警察這樣的認(rèn)定公平嗎

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