資源簡介

第一章 集合與常用邏輯用語
1．1 集合的概念
明確目標 發展素養
1.通過實例了解集合的含義． 2.理解元素與集合的屬于關系． 3.掌握常用的數集及其記法． 4.掌握集合的兩種表示方法. 1.通過學習集合的概念，逐步形成數學抽象素養． 2.借助集合中元素的互異性的應用，培養邏輯推理素養． 3.借助描述法轉化為列舉法時的運算，培養數學運算素養.
知識點一　元素與集合
1．元素與集合的含義
定義 表示
元素 一般地，把研究對象統稱為元素 通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素
集合 把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱為集 通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合
2．集合相等
只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的．
3．集合中的元素必須滿足的性質
確定性 一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的
互異性 一個集合中的任何兩個元素都不相同．也就是說，集合中的元素 是不重復出現的
無序性 集合中的元素是沒有順序的
知識點二　元素與集合的關系及常用數集
1．元素與集合的關系
關系 概念 記法
a屬于集合A 如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A a∈A
a不屬于集合A 如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A a A
2．常用數集及符號表示
名稱 非負整數集(或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或N＋ Z Q R
[微思考]　N與N*有何區別？
提示：N*是所有正整數組成的集合，而N是由0和所有的正整數組成的集合，所以N比N*多一個元素0.
知識點三　集合的表示方法
1．列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
2．描述法
一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．
[微思考]
(1)不等式x－3<4的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
提示：(1)元素的共同特征為x∈R，且x<7.
(2){x|x<5，x∈R}．
題型一　集合的概念及特征　
[典例1]　下列對象能構成集合的是(　　)
A．高一年級長得高的學生
B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1
C．全體很大的自然數
D．平面內到△ABC三個頂點距離相等的所有點
[解析]　由于高與很大沒有一個確定的標準，因此A、C不能構成集合；B中sin 30°＝cos 60°，不滿足互異性；D滿足集合的三要素．故選D.
[答案]　D
[方法技巧]
判斷元素能否構成集合，關鍵在于是否有一個明確的客觀標準來衡量這些對象，即看這些元素是否具有確定性．同時注意互異性和無序性．如果條件滿足就可以斷定這些元素可以構成集合，否則就不能構成集合．
提醒：注意集合中元素的互異性，相同的元素在集合中只能出現一次．　　
【對點練清】
1．(多選)下列對象能構成集合的是(　　)
A．某市擁有小轎車的家庭
B．2024年高考數學試卷中的難題
C．所有的有理數
D．方程x＝1的實數根
解析：選ACD　根據集合的概念，B選項中的“難題”標準不明確，不滿足集合中元素的確定性，顯然A，C，D選項中的對象都能構成集合，故選A，C，D.
2．由實數x，－x|x|，，()2，－組成的集合最多含有________個元素．
解析：由題可知x≥0，所以x，－x|x|，，()2，－可分別化為x，－x2，x，x2，－x，故由實數x，－x|x|，，()2，－組成的集合最多含有4個元素．
答案：4
題型二　元素與集合的關系　
[典例2]　(1)滿足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2個元素的集合A的個數是(　　)
A．0　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
(2)用符號“∈”與“ ”填空：
①(－1)0_____N*；＋2_____Q；_____Q.
②若a2＝3，則a____R；若a2＝－1，則a____R.
[解析]　(1)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，
若a＝0，則4－a＝4，此時A＝{0,4}滿足要求；
若a＝1，則4－a＝3，此時A＝{1,3}滿足要求；
若a＝2，則4－a＝2，此時A中只有一個元素2，不滿足要求．
故有且只有2個元素的集合A有2個，故選C.
(2)①(－1)0＝1∈N*；＋2是無理數，故＋2 Q；是無限循環小數，是有理數，故∈Q.
②平方等于3的數是±，是實數；平方等于－1的實數不存在．所以a2＝3時，a∈R；a2＝－1時，a R.
[答案]　(1)C　(2)①∈　 　∈　②∈　
[方法技巧]
解決元素與集合的關系問題的策略
(1)判斷一個元素是不是某個集合的元素，關鍵是判斷這個元素是否具有這個集合中元素的共同特征．
(2)要熟練掌握R，Q，Z，N，N*表示什么數集．
(3)解決比較復雜的集合問題時要充分利用集合滿足的性質，運用轉化思想，將問題等價轉化為比較熟悉的問題解決．　　
【對點練清】
1．集合M是由大于－2且小于1的所有實數構成的，則下列關系式正確的是(　　)
A.∈M B．0 M
C．1∈M D．－∈M
解析：選D　＞1，故 M；－2＜0＜1，故0∈M；1不小于1，故1 M；－2＜－＜1，故－∈M.故選D.
2．設集合D是由滿足y＝x2的所有有序實數對(x，y)組成的，則－1________D，(－1,1)________D．(用符號“ ”或“∈”填空)
解析：－1不是有序實數對，∴－1 D.(－1,1)滿足y＝x2，∴(－1,1)∈D.
答案： 　∈
題型三　集合的表示　
【分類例析】
角度(一)　用列舉法表示集合　
[典例3]　用列舉法表示下列集合：
(1)不大于10的所有非負偶數組成的集合A；
(2)小于8的所有質數組成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的所有實數根組成的集合C；
(4)一次函數y＝x－3與y＝－2x－6的圖象的交點組成的集合D.
[解]　(1)不大于10的所有非負偶數有0,2,4,6,8,10，
所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)因為小于8的所有質數有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．
(3)因為方程2x2－x－3＝0的所有實數根為－1，，
所以C＝.
(4)由得
所以一次函數y＝x－3與y＝－2x－6的圖象的交點為(－1，－4)，所以D＝{(－1，－4)}．
[方法技巧]
用列舉法表示集合的3個步驟
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．
(3)用花括號括起來．
提醒：二元方程組的所有實數解組成的集合、函數圖象上的所有點構成的集合都是點的集合，一定要寫成實數對的形式，元素與元素之間用“，”隔開，如{(2,3)，(5，－1)}．　　
角度(二)　用描述法表示集合　
[典例4]　用描述法表示下列集合：
(1)函數y＝－2x2＋x圖象上的所有點組成的集合；
(2)不等式2x－3<5的所有解組成的集合；
(3)被3除余數等于1的所有正整數組成的集合；
(4)3和4的所有正的公倍數組成的集合．
[解]　(1)函數y＝－2x2＋x圖象上的所有點組成的集合可表示為{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
(2)不等式2x－3<5的所有解組成的集合可表示為{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
(4)3和4的最小公倍數是12，因此3和4的所有正的公倍數組成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
[方法技巧]
1．描述法表示集合的2個步驟
(1)寫代表元素：分清楚集合中的元素是點或是數還是其他的元素．
(2)明確元素的特征：將集合中元素所具有的公共特征寫在豎線的后面．
2．用描述法表示集合的注意點
(1)若需要多層次描述屬性，可選用“且”“或”連接．
(2)若描述部分出現元素記號以外的參數，則要說明參數的含義或指出參數的取值范圍．　　
【對點練清】
用適當的方法表示下列集合：
(1)方程組的解組成的集合；
(2)所有小于13的既是奇數又是素數的自然數組成的集合；
(3)方程x2－2x＋1＝0的所有實數根組成的集合；
(4)平面直角坐標系內所有第二象限的點組成的集合；
(5)二次函數y＝x2＋2x－10的圖象上所有的點組成的集合；
(6)二次函數y＝x2＋2x－10的圖象上所有點的縱坐標組成的集合．
解：(1)解方程組得故其解組成的集合可用描述法表示為，也可用列舉法表示為{(4，－2)}．
(2)小于13的既是奇數又是素數的自然數有4個，分別為3,5,7,11，可用列舉法表示為{3,5,7,11}．
(3)方程x2－2x＋1＝0的所有實數根為1，因此可用列舉法表示為{1}，也可用描述法表示為{x∈R|x2－2x＋1＝0}．
(4)集合的代表元素是點，可用描述法表示為{(x，y)|x<0且y>0}．
(5)二次函數y＝x2＋2x－10的圖象上所有的點組成的集合中，代表元素為點(x，y)，其中x，y滿足y＝x2＋2x－10，由于點有無數個，則用描述法表示為{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
(6)二次函數y＝x2＋2x－10的圖象上所有點的縱坐標組成的集合中，代表元素為y，是實數，故可用描述法表示為{y|y＝x2＋2x－10}．第一章 集合與常用邏輯用語
1．1 集合的概念
【課時跟蹤檢測】
層級(一)　“四基”落實練
1．(多選)下列每組對象，能組成集合的是(　　)
A．中國各地最美的鄉村
B．直角坐標系中橫、縱坐標相等的點
C．小于π的正整數
D．清華大學2025年入學的全體學生
2．設A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，則實數a的值為(　　)
A．－5　　　　B．－4　　　　C．4　　　　D．5
3．已知集合Ω中的三個元素l，m，n分別是△ABC的三個邊長，則△ABC一定不是(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
4．將集合用列舉法表示，正確的是(　　)
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
5．(多選)設集合A＝{x|x2－2x＝0}，則下列表述正確的是(　　)
A．{0}∈A B．2∈A
C．{2}∈A D．0∈A
6．已知集合A是由偶數組成的，集合B是由奇數組成的，若a∈A，b∈B，則a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“ ”)
7．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，則＋的可能取值所組成的集合中元素的個數為________．
8．用適當的方法表示下列集合．
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然數集中，小于1 000的奇數構成的集合．
層級(二)　能力提升練
9．(多選)下列說法錯誤的是(　　)
A．在直角坐標平面內，第一、三象限的點的集合為{(x，y)|xy＞0}
B．方程＋|y＋2|＝0的解集為{－2,2}
C．集合{(x，y)|y＝1－x}與{x|y＝1－x}是相等的
D．若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，則－1.1∈A
10．設集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素的個數為(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
11．已知含有三個實數的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，則a2 024＋b2 025________.
12．已知數集A滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1)，如果a＝2，試求出A中的所有元素．
13．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若集合A中只有一個元素，求實數a的值；
(2)若集合A中至少有一個元素，求實數a的取值范圍；
(3)若集合A中至多有一個元素，求實數a的取值范圍．
層級(三)　素養培優練
14．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四個關系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4，有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數組(a，b，c，d)的個數是________．
15．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，則是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)對任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？證明你的結論．
【參考答案】
1.解析：選BCD　中國各地最美的鄉村，無法確定集合中的元素，故A不能，∴根據集合元素的確定性可知，B、C、D都能構成集合．
2.解析：選A　因為2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.
3.解析：選D　因為集合中的元素是互異的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．
4.解析：選B　解方程組得
所以集合＝{(2,3)}，故B正確．
5.解析：選BD　∵集合A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，
∴0∈A,2∈A，∵元素與集合是屬于關系，故A、C不正確．
6.解析：因為a是偶數，b是奇數，所以a＋b是奇數，ab是偶數，故a＋b A，ab∈A.
答案： 　∈
7.解析：當a，b同正時，＋＝＋＝1＋1＝2.
當a，b同負時，＋＝＋＝－1－1＝－2.
當a，b異號時，＋＝0.
∴＋的可能取值所組成的集合中元素共有3個．
答案：3
8.解：(1)因為方程x(x2＋2x＋1)＝0的解為0或－1，所以解集為{0，－1}．
(2)在自然數集中，奇數可表示為x＝2n＋1，n∈N，故在自然數集中，小于1 000的奇數構成的集合為{x|x＝2n＋1，且n＜500，n∈N}．
9.解析：選BCD　根據集合的概念易知A正確．
B錯誤，方程的根為故其解集應寫成{(2，－2)}．
C錯誤，{(x，y)|y＝1－x}是由直線y＝1－x上的所有點組成的集合，{x|y＝1－x}是由符合y＝1－x的所有x的值構成的集合，二者不相等．
D錯誤，由題意可知，A＝{－1,0,1}，∴－1.1 A.
故選B、C、D.
10.解析：選B　當a＝1，b＝4時，x＝5；當a＝1，b＝5時，x＝6；當a＝2，b＝4時，x＝6；當a＝2，b＝5時，x＝7；當a＝3，b＝4時，x＝7；當a＝3，b＝5時，x＝8.由集合元素的互異性知M中共有4個元素．
11.解析：由題意，得＝0且a≠0，a≠1，所以b＝0，a2＝1，解得a＝－1(a＝1舍去)，所以a2 024＋b2 025＝－1.
答案：－1
12.解：根據題意，由2∈A可知，＝－1∈A；
由－1∈A可知，＝∈A；
由∈A可知，＝2∈A.
故集合A中共有3個元素，它們分別是－1，，2.
13.解：(1)當a＝0時，原方程可化為－3x＋2＝0，得x＝，符合題意．當a≠0時，方程ax2－3x＋2＝0為一元二次方程，由題意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝.所以當a＝0或a＝時，集合A中只有一個元素．
(2)由題意得，當
即a<且a≠0時方程有兩個實根，
又由(1)知，當a＝0或a＝時方程有一個實根．
所以a的取值范圍是.
(3)由(1)知，當a＝0或a＝時，集合A中只有一個元素．
當集合A中沒有元素，即A＝ 時，
由題意得解得a>.
綜上得，當a≥或a＝0時，集合A中至多有一個元素．
14.解析：若只有①正確，則a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，而a＝b＝1與集合中元素的互異性矛盾，所以只有①正確是不可能的；
若只有②正確，則有序數組為(3,2,1,4)，(2,3,1,4)；若只有③正確，則有序數組為(3,1,2,4)；
若只有④正確，則有序數組為(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1，3,2)．
故符合條件的有序數組(a，b，c，d)的個數是6.
答案：6
15.解：(1)設m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，則m＝a＋b.
故若m∈M，則存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)設a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，則a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
當k＋l＝2p(p∈Z)時，a＋b＝6p＋3∈M，此時存在m∈M，使a＋b＝m成立；當k＋l＝2p＋1(p∈Z)時，a＋b＝6p＋6 M，此時不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故對任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.

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