資源簡介

第一章 集合與常用邏輯用語
1．2 集合間的基本關(guān)系
明確目標 發(fā)展素養(yǎng)
1.理解集合之間的包含與相等的含義，能識別給定集合的子集． 2.在具體情境中，了解空集的含義． 3.對相似概念及符號的理解． 4.能使用Venn圖表達集合間的基本關(guān)系. 1.通過對集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2.借助子集和真子集的求解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)． 3.借助集合間關(guān)系的判斷，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
知識點一　子集、集合相等、真子集
1．子集
概念 一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A B(或B A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)
圖示
結(jié)論 (1)任何一個集合是它本身的子集，即A A；(2)對于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C
2.集合相等
概念 一般地，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A B，且B A，則A＝B
圖示
結(jié)論 若A＝B且B＝C，則A＝C
3.真子集
概念 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
圖示
結(jié)論 (1)若A B且B?C，則AC； (2)若A B且A≠B，則AB
　
[微思考]　(1)任何兩個集合之間是否有包含關(guān)系？
(2)符號“∈”與“ ”有何不同？
提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，這兩個集合就沒有包含關(guān)系．
(2)符號“∈”表示元素與集合間的關(guān)系，而“ ”表示集合與集合之間的關(guān)系．
知識點二　空集
定義 我們把不含任何元素的集合叫做空集
記法
規(guī)定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一個子集，即它的本身， ； (2)若A≠ ，則 ?A
[微提醒]　(1)0，{0}， 與{ }之間的關(guān)系
分類 與0 與{0} 與{ }
相同點 都表示無的意思 都是集合 都是集合
不同點 是集合；0是實數(shù) 不含任何元素；{0}含一個元素0 不含任何元素；{ }含一個元素，該元素是
關(guān)系 0 ?{0} ?{ }或 ∈{ }
題型一　確定集合的子集、真子集　
[典例1]　已知集合M滿足{1,2}?M {1,2,3，4,5}，則所有滿足條件的集合M的個數(shù)是(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
[解析]　由題意可以確定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一個，因此依據(jù)集合M的元素個數(shù)分類如下．
含有3個元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}．
含有4個元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}．
含有5個元素：{1,2,3,4,5}．
故滿足條件的集合M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
[答案]　B
[方法技巧]
求集合子集、真子集個數(shù)的三個步驟
　　
【對點練清】
1．已知集合A＝{a1，a2，a3}所有的非空真子集的元素之和等于12，則a1＋a2＋a3＝(　　)
A．4　　　　　　　　B．12
C．6　　　　　　　　D．3
解析：選A　因為集合A的所有非空真子集為{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，所以3(a1＋a2＋a3)＝12，即a1＋a2＋a3＝4.
2．集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的個數(shù)是(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：選C　當(dāng)x＝0時，y＝6；當(dāng)x＝1時，y＝5；
當(dāng)x＝2時，y＝2；當(dāng)x＝3，y＝－3.
所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}，
共3個元素，故其真子集的個數(shù)為23－1＝7.
題型二　集合間關(guān)系的判斷　
[典例2]　指出下列各組集合之間的關(guān)系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[解]　(1)集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對，故A與B之間無包含關(guān)系．
(2)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故A?B.
(3)法一：兩個集合都表示正奇數(shù)組成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
法二：由列舉法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7，9，…}，所以N?M.
[方法技巧]
判斷集合間關(guān)系的常用方法
列舉觀察法 當(dāng)集合中元素較少時，可列出集合中的全部元素，通過定義得出集合之間的關(guān)系
集合元素 特征法 首先確定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系
數(shù)形結(jié)合法 利用數(shù)軸或Venn圖等直觀地判斷集合間的關(guān)系．不等式的解集之間的關(guān)系，適合用數(shù)軸法
【對點練清】
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?br/>(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
解析：集合A為方程x2－3x＋2＝0的所有實數(shù)根組成的集合，即A＝{1,2}，而C＝{x|x＜8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A?C；(3){2}?C；(4)2∈C.
答案：(1)＝　(2)?　(3)?　(4)∈
2．判斷下列各組中集合之間的關(guān)系：
(1)A＝{x|x是12的約數(shù)}，B＝{x|x是36的約數(shù)}；
(2)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1解：(1)因為若x是12的約數(shù)，則必定是36的約數(shù)，反之不成立，所以A?B.
(2)由圖形的特點可畫出Venn圖如圖所示，從而D?B?A?C.
(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2 A，故A?B.
題型三　由集合間的關(guān)系求參數(shù)　
[典例3]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實數(shù)m的取值范圍．
[解]　①當(dāng)B＝ 時，由m＋1>2m－1，得m<2.
②當(dāng)B≠ 時，如圖所示，
∴或
解這兩個不等式組，得2≤m≤3.
綜上可得，m的取值范圍是{m|m≤3}．
[方法技巧]
已知集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的解題策略
(1)若已知集合是有限集，求解時，一般根據(jù)對應(yīng)關(guān)系直接列方程．　　
2 若已知集合是無限集，求解時，通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端點值，做到準確無誤.一般含“＝”用實心圓點表示，不含“＝”用空心圓圈表示., 3 此類問題還要注意是否存在空集的情況，因為空集是任何集合的子集.
【對點練清】
1．[變條件]若本例條件“A＝{x|－2≤x≤5}”改為“A＝{x|－2解析：①當(dāng)B＝ 時，由m＋1>2m－1，得m<2.
②當(dāng)B≠ 時，如圖所示，
∴解得即2≤m<3.
綜上可得，m的取值范圍是{m|m<3}．
答案：{m|m<3}
2．[變條件]若本例條件“B?A”改為“A B”，其他條件不變，則m的取值范圍為________．
解析：當(dāng)A B時，如圖所示，此時B≠ .
∴即∴m不存在．
即不存在實數(shù)m使A B.
答案：
3．設(shè)集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，則2x＋y＝________.
解析：由集合元素的互異性可知x2≠0，則x≠0，因為A＝B，所以解得
因此2x＋y＝2.
答案：2第一章 集合與常用邏輯用語
1．2 集合間的基本關(guān)系
【課時跟蹤檢測】
層級(一)　“四基”落實練
1．(多選)已知集合A＝{x|x2－9＝0}，則下列式子表示正確的有(　　)
A．3∈A　　　　　　　　　 B．{－3}∈A
C． A D．{3，－3} A
2．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，則集合A，B間的關(guān)系為(　　)
A．A?B　　　　　　　　　 B．A?B
C．A＝B D．A B
3．(多選)下列四個集合是空集的是(　　)
A．{x|x2＋1＝0}　　　　　　B．{x|x2＋5x＋6＝0，x∈N}
C．{x|a≤x4．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4個子集，則實數(shù)m＝　(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．設(shè)A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A B，則m的取值范圍是(　　)
A．{m|m＞3} B．{m|m≥3}
C．{m|m＜3} D．{m|m≤3}
6．已知集合A＝{2，x，x2}，則A的子集有______個；若1∈A，則x＝________.
7．設(shè)A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，請寫出一個滿足B C A的集合C＝________.
8．判斷下列集合間的關(guān)系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，N＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．
層級(二)　能力提升練
9．(2023·新課標Ⅱ卷)設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A B，則a＝(　　)
A．2 B．1
C． D．－1
10．(多選)已知非空集合M滿足：①M {－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，則x2∈M，則滿足上述要求的集合M有(　　)
A．{－1,1,2,4} B．{1，－2,2,4}
C．{－1,1} D．{1}
11．已知集合A，B，C，且A B，A C，若B＝{1,2,3,4}，C＝{0,1,2,3}，則所有滿足要求的集合A的各個元素之和為________．
12．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，存在非空集合C，使C中每個元素加上2就變成了A的一個子集且C中每個元素減去2就變成了B的一個子集，你能確定出集合C的個數(shù)是多少嗎？
13．已知三個集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，則同時滿足B?A，C A的實數(shù)a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，請說明理由．
層級(三)　素養(yǎng)培優(yōu)練
14．已知非空集合M滿足對任意x∈M，總有x2 M，且 M.若M {0,1,2,3,4,5}，則滿足條件的M的個數(shù)是(　　)
A．11 B．12
C．15 D．16
15．設(shè)A，B是R的兩個子集，對任意x∈R，定義：m＝n＝若A B，則對任意x∈R，m(1－n)＝________.
16．若集合M滿足{1,2} M {1,2,3,4}，則集合M＝________.(寫出一個集合M即可)
【參考答案】
1.解析：選ACD　根據(jù)題意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3,3}．對于A,3是集合A的元素，正確；
對于B，{－3}是集合，有{－3} A，錯誤；
對于C，空集是任何集合的子集，正確；
對于D，任何集合都是其本身的子集，正確．故選A、C、D.
2.解析：選B　∵B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴B?A.
3.解析：選ABC　易知x2＋1>1≠0，故A是空集；由x2＋5x＋6＝0，得x＝－2或x＝－3，都不是自然數(shù)．故B是空集；易知C是空集；D中集合由滿足條件的y＝，x≤0上的點組成，故D不是空集．
4.解析：選B　根據(jù)題意，集合M有4個子集，則M中有2個元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素為大于等于1而小于等于m的全部整數(shù)，故m＝2.
5.解析：選B　因為A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A B，將集合A，B表示在數(shù)軸上，如圖所示，所以m≥3.
6.解析：∵集合A＝{2，x，x2}，∴A的子集有23＝8個．
∵1∈A，解得x2＝1，再由x≠x2，解得x＝－1.
答案：8　－1
7.解析：∵A＝{1,2,3,4}，
若B C A，
∴C＝{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2}或{1,2,3,4}，
答案：{1,2,3}(答案不唯一)
8.解：(1)∵B＝{x∈N|x2＝1}＝{1}，∴B?A.
(2)∵M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
∴M＝N.
9.解析：選B　依題意有a－2＝0或2a－2＝0.當(dāng)a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不滿足A B；當(dāng)2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，滿足A B.所以a＝1，故選B.
10.解析：選CD　將A、B、C、D四個選項進行驗證即可，
A．若M＝{－1,1,2,4}，其中4∈M，則42 M；
B．若M＝{1，－2,2,4}，其中4∈M，則42 M；
C．若M＝{－1,1}，x∈M，則x2∈M；
D．若M＝{1}，x∈M，則x2∈M.
故選C、D.
11.解析：∵集合A，B，C，且A B，A C，B＝{1,2,3,4}，C＝{0,1,2,3}，
∴集合A是兩個集合的子集，集合B，C的公共元素是1,2,3，
∴滿足上述條件的集合A＝ ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，
∴所有滿足要求的集合A的各個元素之和為：4(1＋2＋3)＝24.
答案：24
12.解：假設(shè)存在滿足條件的集合C，則C≠ ，
將A中元素都減2，B中元素都加2，
則C {0,2,4,6,7}且C {3,4,5,7,10}，
由于兩個集合的共同元素構(gòu)成的集合為{4,7}，
故非空集合C是{4,7}的子集，
即C＝{4,7}或{4}或{7}．
故這樣的集合有3個．
13.解：集合A＝{1,2}，
∵x＝1是方程x2－ax＋(a－1)＝0的解，∴B≠ ，
而B?A，∴B＝{1}，
∴Δ＝(－a)2－4(a－1)＝0，解得a＝2.
由C A，分情況討論：
①若C＝ ，則Δ＜0，
∴(－b)2－8＜0，
解得－2②若C＝{1}或{2}，Δ＝0，∴b＝±2，
此時C＝{}或{－}，不符合題意，舍去；
③若C＝{1,2}，
由根與系數(shù)的關(guān)系得解得b＝3.
綜上所述：實數(shù)a的值為2，實數(shù)b的值為3或－214.解析：選A　當(dāng)M中有元素0時，02＝0∈M，＝0∈M.當(dāng)M中有元素1時，12＝1∈M，＝1∈M，所以0 M,1 M，所以集合M是集合{2,3,4,5}的非空子集，且去掉元素2,4同時出現(xiàn)的集合，故滿足題意的集合M有{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{2,3,5}，{3,4,5},共11個．
15.解析：∵A B，∴當(dāng)x A時，m＝0，m(1－n)＝0；當(dāng)x∈A時，必有x∈B，∴m＝n＝1，m(1－n)＝0.綜上，m(1－n)＝0.
答案：0
16.解析：因為集合M滿足{1,2} M {1,2,3,4}，
所以M＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}．
答案：{1,2}(答案不唯一)

展開更多......

收起↑