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第一章 集合與常用邏輯用語
1．4　充分條件與必要條件
1．4．1　充分條件與必要條件
明確目標(biāo) 發(fā)展素養(yǎng)
1.理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系． 2.理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系． 3.掌握充分條件、必要條件的簡單應(yīng)用. 1.通過對充分條件、必要條件的判斷，提升邏輯推理素養(yǎng)． 2.借助充分條件、必要條件的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
充分條件與必要條件
關(guān)系 “若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題
推出 關(guān)系 p q pq
條件 關(guān)系 p是q的充分條件 q是p的必要條件 p不是q的充分條件 q不是p的必要條件
定理 關(guān)系 判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件． 性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件
[微提醒]
(1)對于命題“若p，則q”的條件和結(jié)論，我們都視為條件，只看“ ”的推出方向，“箭尾”是“箭頭”的充分條件，“箭頭”是“箭尾”的必要條件．
(2)若p q，則p是q的充分條件．所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的．“有之必成立，無之未必不成立”．
(3)若p q，則q是p的必要條件．所謂必要，就是條件是必須有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，無之必不成立”．
(4)p是q的充分條件反映了p q，而q是p的必要條件同樣反映了p q，這說明p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的同一邏輯關(guān)系，只是說法不同．
(5)如果“若p，則q”為假命題，那么由p推不出q，記作pq．此時，我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．
題型一　充分條件的判斷　
[典例1]　指出下列哪些命題中p是q的充分條件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0；
(3)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.
[解]　(1)在△ABC中，由大角對大邊知，∠B>∠C AC>AB，所以p是q的充分條件．
(2)由x＝1 (x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分條件．
(3)法一：由x>1x>2，所以p不是q的充分條件．
法二：設(shè)集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，
所以B A，所以p不是q的充分條件．
[方法技巧]
充分條件的判斷方法
(1)判定p是q的充分條件要先分清什么是p，什么是q，即轉(zhuǎn)化成p q問題．
(2)除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關(guān)系判斷，若p構(gòu)成的集合為A，q構(gòu)成的集合為B，A B，則p是q的充分條件．
【對點練清】
1．直線y＝kx＋b過原點的充分條件是(　　)
A．b＝0 B．b>0
C．b<0 D．b∈R
解析：選A　b＝0時，直線y＝kx過原點，故選A.
2．(多選)使0＜x＜3成立的一個充分條件是(　　)
A．2＜x≤3 B．0≤x＜1
C．0＜x≤2 D．1＜x＜2
解析：選CD　從集合觀點看，求0＜x＜3成立的一個充分條件，就是從A，B，C，D中選出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2} {x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2} {x|0＜x＜3}，故選C，D.
題型二　必要條件的判斷　
[典例2]　指出下列哪些命題中q是p的必要條件？
(1)p：一個四邊形是矩形，q：四邊形的對角線相等；
(2)p：A B，q：A∩B＝A；
(3)p：a>b，q：ac>bc.
[解]　(1)因為矩形的對角線相等，
所以q是p的必要條件．
(2)因為p q，所以q是p的必要條件．
(3)因為pq，所以q不是p的必要條件．
[方法技巧]
必要條件的判斷方法
(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷若p成立時，能否推出q成立，反過來，若q成立時，能否推出p成立；若p q為真，則p是q的充分條件，若q p為真，則p是q的必要條件．
(2)也可利用集合的關(guān)系判斷，如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”，若A B，則甲是乙的必要條件．
【對點練清】
1．使x>1成立的一個必要條件是(　　)
A．x>0 B．x>3
C．x>2 D．x<2
解析：選A　只有x>1 x>0，其他選項均不可由x>1推出．
2．“四邊形的四條邊相等”是“四邊形是正方形”的(　　)
A．充分條件
B．必要條件
C．既是充分條件又是必要條件
D．既不是充分條件也不是必要條件
解析：選B　因為正方形的四條邊相等，但四條邊相等的四邊形不一定是正方形，所以“四邊形的四條邊相等”是“四邊形是正方形”的必要條件．
3．已知命題p：a是末位是0的整數(shù)，q：a能被5整除，則p是q的______條件；q是p的________條件．(填“充分”或“必要”)
解析：因為p q，所以p是q的充分條件，q是p的必要條件．
答案：充分　必要
題型三　充分條件與必要條件的應(yīng)用　
[典例3]　(1)集合A＝{x|－1A．{b|－2≤b<0} B．{b|0C．{b|－2(2)已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a.若p是q的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為________．
[解析]　(1)A＝{x|－1B＝{x|－a因為“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分條件，
所以－1≤b－1<1或－1(2)設(shè)p對應(yīng)的集合A＝{x|x<－2或x>10}，q對應(yīng)的集合B＝{x|x<1＋a或x>1－a}．
∵q：x<1＋a或x>1－a，∴a≤0.
∵p是q的必要條件，∴q p，∴B A.
∴解得a≤－9.
[答案]　(1)C　(2){a|a≤－9}
[方法技巧]
充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧
(1)應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問題．
(2)求解步驟：先把p，q等價轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．
【對點練清】
1．已知p：實數(shù)x滿足3a解：p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因為p q，所以A B，所以 －≤a<0，
所以a的取值范圍是.
2．已知p：實數(shù)x滿足a0，q：實數(shù)x滿足－2≤x≤3.若p是q的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
解：p：aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因為q p，所以B A，所以 a∈ .第一章 集合與常用邏輯用語
1．4　充分條件與必要條件
1．4．1　充分條件與必要條件
【課時跟蹤檢測】
層級(一)　“四基”落實練
1．x＝－1是|x|＝1的(　　)
A．充分條件
B．必要條件
C．既不是充分條件也不是必要條件
D．既是充分條件又是必要條件
2．(多選)使ab>0成立的充分條件是(　　)
A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)＋b>0
C．a(chǎn)<0，b<0 D．a(chǎn)>1，b>1
3．(多選)下列選項中，可以是x2<4的一個必要條件的是(　 )
A．－2C．04．(多選)下列命題中，p是q的充分條件的是(　　)
A．p：a是無理數(shù)，q：a2是無理數(shù)
B．p：四邊形為等腰梯形，q：四邊形對角線相等
C．p：x>2，q：x≥1
D．p：a>b，q：ac2>bc2
5．已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為(　　)
A．{m|m＞4} B．{m|m＜4}
C．{m|m≤4} D．{m|m≥4}
6．從“充分條件”“必要條件”中選出適當(dāng)?shù)囊环N填空：
(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根”是“ac＜0”的________．
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．
7．已知條件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要條件，則實數(shù)k的取值范圍為________．
8．下列命題中，哪些命題是“四邊形是正方形”的充分條件？
(1)對角線相等的菱形；
(2)對角線互相垂直的矩形；
(3)對角線相等的平行四邊形；
(4)有一個角是直角的菱形．
層級(二)　能力提升練
9．(多選)若不等式x－2＜a成立的充分條件是0＜x＜3，則實數(shù)a的取值范圍可以是(　　)
A．{a|a≥2} B．{a|a≥1}
C．{a|3＜a≤5} D．{a|a≤2}
10．“a<0，b<0”的一個必要條件為(　 )
A．a(chǎn)＋b<0 B．a(chǎn)＋b>0
C.>1 D.<－1
11．設(shè)α：0≤x≤1，β：x＜2m－1或x＞－2m＋1，m∈R，若α是β的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
層級(三)　素養(yǎng)培優(yōu)練
12．(1)是否存在實數(shù)m，使得“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的充分條件？
(2)是否存在實數(shù)m，使得“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的必要條件？
13．某校高一年級為豐富學(xué)生的課外生活，提高學(xué)生的探究能力，特開設(shè)了一些社會活動小組，現(xiàn)有其中的甲、乙兩組同學(xué)在參加社團(tuán)活動中，設(shè)計了如下兩個電路圖．并根據(jù)在數(shù)學(xué)課上所學(xué)的充分條件與必要條件知識，提出了下面兩個問題：
(1)①中開關(guān)A閉合是燈泡B亮的什么條件？
(2)②中開關(guān)A閉合是燈泡B亮的什么條件？
你能根據(jù)本節(jié)課所學(xué)知識解答上述兩個問題嗎？
【參考答案】
1.解析：選A　當(dāng)x＝－1時，可得|x|＝1，當(dāng)|x|＝1，不一定有x＝－1成立，所以x＝－1是|x|＝1的充分條件．
2.解析：選ACD　因為a>0，b>0 ab>0；a<0，b<0 ab>0；a>1，b>1 ab>0，所以選項A、C、D都是使ab>0成立的充分條件．
3.解析：選AB　∵x2<4，∴－24.解析：選BC　A中，a＝是無理數(shù)，a2＝2是有理數(shù)，所以p不是q的充分條件；B中，因為等腰梯形的對角線相等，所以p是q的充分條件；C中，x>2 x≥1，所以p是q的充分條件；D中，當(dāng)c＝0時ac2＝bc2，所以p不是q的充分條件．
5.解析：選D　令A(yù)＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，
∵p是q的充分條件，∴p q，即A B，∴m≥4.故選D.
6.答案：(1)必要條件　(2)充分條件
7.解析：∵條件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要條件，∴解得k≤－2.
則實數(shù)k的取值范圍是{k|k≤－2}．
答案：{k|k≤－2}
8.解：(1)菱形的對角線垂直，它的對角線相等時，一定是正方形，是充分條件．
(2)矩形的對角線相等，它的對角線垂直時，一定是正方形，是充分條件．
(3)對角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是正方形，不是充分條件．
(4)菱形的四邊相等，有一個角是直角，則四個內(nèi)角都是直角，它是正方形，是充分條件．
9.解析：選ABC　不等式x－2＜a成立的充分條件是0＜x＜3，設(shè)x－2＜a的解集為A，則{x|0∵A＝{x|x<2＋a}，
∴2＋a≥3，解得a≥1，則A、B、C均正確．
10.解析：選A　對于A，因為a<0，b<0，所以a＋b<0，即a＋b<0是“a<0，b<0”的必要條件，A正確；對于B，當(dāng)a<0，b<0時，a＋b>0不可能成立，B不正確；對于C，當(dāng)a<0，b<0時，>1不一定成立，如a＝－1，b＝－2滿足條件，而<1，C不正確；對于D，當(dāng)a<0，b<0時，必有>0成立，即不能推出<－1，D不正確．
故選A.
11.解：記A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x＜2m－1或x＞－2m＋1}．
因為α是β的充分條件，所以A B.
①當(dāng)2m－1＞－2m＋1，即m＞時，B＝R，滿足A B；
②當(dāng)m≤，即B≠R時，1＜2m－1或0＞－2m＋1，m無解．
綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是.
12.解：(1)欲使“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的充分條件，只需 {x|x＜－1或x＞3}，只需－≤－1，即m≥2.故存在實數(shù)m，當(dāng)m≥2時，“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的充分條件．
(2)欲使“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的必要條件，只需{x|x＜－1或x＞3} ，這是不可能的．故不存在實數(shù)m使“2x＋m＜0”是“x<－1或x>3”的必要條件．
13.解：(1)充分條件．(2)必要條件．

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