資源簡介

第一章 集合與常用邏輯用語
1．5　全稱量詞與存在量詞
1．5．1　全稱量詞與存在量詞
明確目標 發展素養
1.通過已知數學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義以及全稱量詞命題和存在量詞命題的意義． 2．掌握全稱量詞命題與存在量詞命題真假性的判斷. 1.借助全稱量詞命題與存在量詞命題的真假性的判斷，提升邏輯推理素養． 2．借助全稱量詞命題和存在量詞命題的應用，提升數學運算素養.
1．全稱量詞與全稱量詞命題
全稱量詞 定義 短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞
符號表示
全稱量詞命題 定義 含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題
一般形式 對M中任意一個x，p(x)成立
符號表示 x∈M，p(x)
2.存在量詞與存在量詞命題
存在量詞 定義 短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞
符號表示
存在量詞 命題 定義 含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題
一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立
符號表示 x∈M，p(x)
　　
[微思考]　全稱量詞命題與存在量詞命題有什么區別？
提示：（1）全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內所有對象都具有某一性質，無一例外，強調“整體、全部”．
（2）存在量詞命題中的存在量詞表明給定范圍內的對象有例外，強調“個別、部分”．
題型一　全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷　
[典例1]　判斷下列語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題：
(1)所有不等式的解集A，都滿足A R；
(2) x∈R，y∈R，使(x＋y)(x－y)＞0；
(3)存在x∈R,2x＋1是整數；
(4)自然數的平方是正數；
(5)所有四邊形的內角和都是360°嗎？
[解]　“自然數的平方是正數”的實質是“任意一個自然數的平方都是正數”，所以(1)(4)是全稱量詞命題．(2)(3)中含有存在量詞，所以(2)(3)是存在量詞命題．(5)是疑問句，不是命題．
[方法技巧]
判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的思路
提醒：全稱量詞命題可以省略全稱量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略．　　
【對點練清】
判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并用量詞符號“ ”或“ ”表示：
(1)所有實數x都能使x2＋x＋1＞0成立；
(2)對所有實數a，b，方程ax＋b＝0恰有一個解；
(3)一定有整數x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理數x都能使x2＋x＋1是有理數．
解：(1)全稱量詞命題， x∈R，x2＋x＋1＞0.
(2)全稱量詞命題， a，b∈R，ax＋b＝0恰有一個解．
(3)存在量詞命題， x，y∈Z,3x－2y＝10.
(4)全稱量詞命題， x∈Q，x2＋x＋1是有理數．
題型二　全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷　
[典例2]　指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假：
(1) x∈N，2x＋1是奇數；
(2)存在一個x∈R，使＝0；
(3)對任意實數a，|a|＞0；
(4)有一個角α，使sin α＝.
[解]　(1)是全稱量詞命題．因為 x∈N,2x＋1都是奇數，所以該命題是真命題．
(2)是存在量詞命題．因為不存在x∈R，使＝0成立，所以該命題是假命題．
(3)是全稱量詞命題．因為|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，所以該命題是假命題．
(4)是存在量詞命題．因為當α＝30°時，sin α＝，所以該命題是真命題．
[方法技巧]
1．判斷全稱量詞命題真假的思維過程
2．判斷存在量詞命題真假的思維過程
　　
【對點練清】
1．(多選)下列命題中是存在量詞命題并且是假命題的是(　　)
A．每個二次函數的圖象與x軸都有兩個不同的交點
B．對任意非正數c，若a≤b＋c，則a≤b
C．存在一個菱形不是平行四邊形
D．存在一個實數x，使不等式x2－3x＋7＜0成立
解析：選CD　對于A，是全稱量詞命題，是假命題，故A錯誤；對于B，是全稱量詞命題，是真命題，故B錯誤；對于C，是存在量詞命題，是假命題，故C正確；對于D，是存在量詞命題，是假命題，故D正確．故選C、D.
2．判斷下列命題的真假：
(1)任意兩個面積相等的三角形一定相似；
(2) x，y為正實數，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐標系中，任意有序實數對(x，y)都對應一點P；
(4) x∈N，>0.
解：(1)因為面積相等的三角形不一定相似，故它是假命題．
(2)因為當x2＋y2＝0時，x＝y＝0，
所以不存在x，y為正實數，使x2＋y2＝0，故它是假命題．
(3)由有序實數對與平面直角坐標系中的點的對應關系知，它是真命題．
(4)因為0∈N, ＝0，所以命題“ x∈N，>0”是假命題．
題型三　求參數的值或取值范圍　
[典例3]　已知命題p： x∈，－a≥0是真命題，求實數a的取值范圍．
[解]　∵－a≥0，∴a≤.
由題意知a≤min，又x∈，
∴1≤≤2，∴a≤1.故實數a的取值范圍為{a|a≤1}．
[方法技巧]
求解含有量詞命題中參數范圍的策略
已知含量詞命題的真假求參數的取值范圍，實質上是對命題意義的考查．解決此類問題，一定要辨清參數，恰當選取主元，合理確定解題思路．
解決此類問題的關鍵是根據含量詞命題的真假轉化為相關數學知識，利用集合、方程、不等式等知識求解參數的取值范圍，解題過程中要注意變量取值范圍的限制．　　
【對點練清】
本例命題p不變，命題q： x∈R，x2＋2x＋2－a＝0，p與q都是真命題，求實數a的取值范圍．
解：由 x∈，－a≥0，解得a≤1.
由 x∈R，x2＋2x＋2－a＝0，知Δ＝4－4(2－a)≥0，
解得a≥1.又p，q都是真命題，所以
所以a＝1，故實數a的值為1.第一章 集合與常用邏輯用語
1．5　全稱量詞與存在量詞
1．5．1　全稱量詞與存在量詞
【課時跟蹤檢測】
層級(一)　“四基”落實練
1．“ x∈R，x2＞3”的另一種表述方式是(　　)
A．有一個x∈R，使得x2＞3
B．對有些x∈R，使得x2＞3
C．任選一個x∈R，使得x2＞3
D．至少有一個x∈R，使得x2＞3
2．(多選)下列命題中全稱量詞命題是(　　)
A．每一個一次函數都是增函數
B．至少有一個自然數小于1
C．存在一個實數x，使得x2＋2x＋2＝0
D．圓內接四邊形，其對角互補
3．下列命題中存在量詞命題的個數為(　　)
①至少有一個偶數是質數；
② x∈R，x2≤0；
③有的奇數能被2整除．
A．0 B．1
C．2 D．3
4．(多選)下列存在量詞命題中，是真命題的是(　　)
A． x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除
C．有的三角形沒有外接圓
D．某些四邊形不存在外接圓
5．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(　　)
A． x∈R，x2＋2x＋1＞0
B．所有菱形的4條邊都相等
C．若2x為偶數，則x∈N
D．π是無理數
6．命題“對任意一個實數x，x2＋2x＋1都不小于零”，用“ ”或“ ”符號表示為________________．
7．根據下述事實，得到含有量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題為______________．
13＋23＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，
…
8．判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題，并判斷其真假．
(1)沒有一個實數α，tan α無意義．
(2)存在一條直線，它經過原點．
(3)所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑嗎？
(4)圓外切四邊形，其對角互補．
(5)有的反比例函數圖象經過原點．
層級(二)　能力提升練
9．(多選)下列命題中，錯誤的是(　　)
A． n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命題
B． n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命題
C． n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命題
D． n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是假命題
10．若“ x∈R，x2＋4x≥m”是真命題，則實數m的取值范圍為________．
11．下列命題：
① x∈R，x2＋1＞0；② x∈N，x2≥1；③ x∈Z，x3＜1；④ x∈Q，x2＝3；⑤ x∈R，x2＋1＝0.其中真命題的序號是________，全稱量詞命題的序號是________．
12．若命題“ 1≤x≤3，一次函數y＝2x＋b的圖象在x軸上方”為真命題，求實數b的取值范圍．
13．是否存在整數m，使得命題“ x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命題？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
層級(三)　素養培優練
　14.已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求( RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
【參考答案】
1.解析：選C　“ ”和“任選一個”都是全稱量詞，故選C.
2.解析：選AD　A、D是全稱量詞命題，B、C是存在量詞命題．
3.解析：選D?、僦泻写嬖诹吭~“至少”，所以是存在量詞命題；②中含有存在量詞符號“ ”，所以是存在量詞命題；③中含有存在量詞“有的”，所以是存在量詞命題．
4.解析：選ABD　A中，x＝－1滿足題意，是真命題；B中，x＝6滿足題意，是真命題；C中，所有的三角形都有外接圓，是假命題；D中，只有對角互補的四邊形才有外接圓，是真命題．
5.解析：選B　對于A： x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，故A是假命題；對于B：所有菱形的4條邊都相等，滿足兩個條件，故B正確；對于C：－2為偶數，但－1 N，故C是假命題；對于D：π是無理數不是全稱量詞命題，故D錯誤．
6.解析：含有全稱量詞“任意一個”，用符號“ ”表示，“不小于零”就是“≥0”．因此命題用符號表示為“ x∈R，x2＋2x＋1≥0”．
答案： x∈R，x2＋2x＋1≥0
7.解析：根據已知條件的規律可得： n∈N*,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.
答案： n∈N*,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
8.解：由于(1)的實質是“所有的實數α，tan α有意義”，含有全稱量詞，所以(1)為全稱量詞命題，是假命題．
(2)中含有存在量詞，所以(2)是存在量詞命題，是真命題．
(3)是疑問句，不是命題．
(4)“圓外切四邊形，其對角互補”的實質是“所有圓的外切四邊形，其對角都互補”，所以該命題是全稱量詞命題，是假命題．
(5)中含有存在量詞，所以(5)是存在量詞命題．因為所有的反比例函數都不經過原點，所以此命題是假命題．
9.解析：選ABD　當n＝1時，2n2＋5n＋2不能被2整除，當n＝2時，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D錯誤，C正確．故選A、B、D.
10.解析：由題意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值為－4，所以m≤－4.
答案：{m|m≤－4}
11.解析：① x∈R，x2＋1＞0；② x∈N，x2≥0；③ x＝0∈Z，x3＜1；④x2＝3 x＝± Q；⑤ x∈R，x2＋1≥1＞0.所以①③為真命題．命題①②中含有全稱量詞，是全稱量詞命題．
答案：①③?、佗?br/>12.解：當1≤x≤3時，2＋b≤2x＋b≤6＋b.
∵一次函數y＝2x＋b的圖象在x軸上方，
∴2＋b＞0，∴b＞－2.
故實數b的取值范圍是{b|b＞－2}．
13.解：假設存在整數m，使得命題“ x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命題．
∵當x≥－2時，x＋1≥－1，
∴－9＜3－4m＜－1，
解得1＜m＜3.又m為整數，∴m＝2.
故存在整數m＝2，使得命題“ x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命題．
14.解：因為P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
(1)當a＝3時，P＝{x|4≤x≤7}， RP＝{x|x<4或x>7}，Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以( RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}．
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件，即P?Q，
即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等號不能同時取得，解得0≤a≤2，
即實數a的取值范圍為{a|0≤a≤2}．

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