資源簡介

第二章 一元二次函數、方程和不等式
2．2　基本不等式
明確目標 發展素養
1.了解基本不等式的證明過程． 2．能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數式的大?。?3．熟練掌握利用基本不等式求函數的最值問題． 4．會用基本不等式求解實際應用問題. 1.通過不等式的證明，培養邏輯推理素養． 2．借助基本不等式形式求簡單的最值問題，提升數學運算素養.
知識點一　基本不等式： ≤
1．重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．
2．基本不等式
如果a>0，b>0，有≤，當且僅當a＝b時，等號成立．
其中，叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數．
基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
知識點二　基本不等式與最值
1．已知x，y都是正數，則
(1)如果積xy等于定值P(積為定值)，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2.
(2)如果和x＋y等于定值S(和為定值)，那么當x＝y時，積xy有最大值S2.
2．利用基本不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的原則，即
(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提條件，a＞0，b＞0.
(2)二定：化不等式的一邊為定值．
(3)三相等：必須存在取“＝”號的條件，即“＝”號成立．以上三點缺一不可．
題型一　利用基本不等式比較大小　
[典例1]　若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，則a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　)
A．a2＋b2　　 B．2　　 C．2ab　　 D．a＋b
[解析]　法一：∵0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，
∴a2＋b2＞2ab，a＋b＞2，a＞a2，b＞b2，∴a＋b＞a2＋b2，故選D.
法二：(特殊值法)取a＝，b＝，則a2＋b2＝，
2＝，2ab＝，a＋b＝，顯然最大，故選D.
[答案]　D
[方法技巧]
在利用基本不等式比較大小時，應創設應用基本不等式的條件，合理拆項或配湊．在拆項與配湊的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”或者將“積式”轉化為“和式”的功能．　
　
【對點練清】
1．已知m＝a＋(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，則m，n之間的大小關系是(　　)
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．不確定
解析：選A　因為a＞2，所以a－2＞0.又因為m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2 ＋2＝4.由b≠0得b2≠0，所以4－b2＜4，即n＜4.所以m＞n.
2．已知a＞b＞c，則與的大小關系是________．
解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.
當且僅當a－b＝b－c，即2b＝a＋c時，等號成立．
答案：≤
題型二　利用基本不等式求最值　
[典例2]　(1)已知x＞2，求x＋的最小值；
(2)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值；
(3)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋2y的最小值．
[解]　(1)∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6.當且僅當x－2＝即x＝4時，等號成立．∴x＋的最小值為6.
(2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0，
∴x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤2＝，當且僅當2x＝1－2x，即x＝時，等號成立，
∴x(1－2x)的最大值為.
(3)∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)·
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
∴x＋2y的最小值為18.
[方法技巧]
通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略
拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題：
(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形．
(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標．
(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提．　　
【對點練清】
1．[變條件]若把本例(1)中的條件“x＞2”改為“x＜2”，求x＋的最大值．
解：因為x＜2，所以2－x＞0，
所以x＋＝－＋2≤－2 ＋2＝－2，
當且僅當2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，
即x＝0時，等號成立．故x＋的最大值為－2.
2．[變條件]把本例(3)中“＋＝1”改為“＋＝3”，其他條件不變，求x＋2y的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，＋＝3，∴＝1.
∴x＋2y＝(x＋2y)·
＝≥＝6.
∴x＋2y的最小值為6.
題型三　利用基本不等式證明不等式　
[典例3]　已知a，b，c均為正數且a＋b＋c＝1.求證：＋＋≥9.
[證明]　法一：∵a，b，c均為正數，a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立．
法二：∵a，b，c均為正數，a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立．
[方法技巧]
1．可利用基本不等式證明題目的類型
所證不等式一端出現“和式”，而另一端出現“積式”，這便是應用基本不等式的“題眼”，可嘗試用基本不等式證明．
2．利用基本不等式證明不等式的注意點
(1)多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立．
(2)累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用．
(3)對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．　　
【對點練清】
1．已知a，b，c＞0，求證：＋＋≥a＋b＋c.
證明：∵a，b，c＞0，∴利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，即＋＋≥a＋b＋c，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
2．已知a，b，c均為正數，且a＋b＋c＝1.求證：≥8.
證明：因為a，b，c均為正數，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，
得≥··＝8.
當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立．
題型四　基本不等式的實際應用　
[典例4]　某建筑公司用8 000萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建筑一棟至少12層，每層4 000平方米的樓房．經初步估計得知，如果將樓房建為x(x≥12)層，則每平方米的平均建筑費用為s＝3 000＋50x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？每平方米的平均綜合費用的最小值是多少？
注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝
[解]　設樓房每平方米的平均綜合費用為y元，
依題意，得y＝s＋＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N*)．因為y＝50x＋＋3 000≥2× ＋3 000＝5 000，當且僅當50x＝，即x＝20時取等號，
所以當x＝20時，y取得最小值5 000.
所以為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為20層，每平方米的平均綜合費用的最小值為5 000元．
[方法技巧]
利用基本不等式解決實際問題的思路
利用基本不等式解決應用問題的關鍵是構建模型，一般來說，都是通過相關的關系建立關系式，將實際問題轉化為最大值或最小值問題，在解題過程中盡量向模型ax＋≥2(a＞0，b＞0，x＞0)上靠攏．
提醒：注意使實際問題有意義的變量的取值范圍．　　
【對點練清】
1．某公司購買一批機器投入生產，據市場分析，每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉時間x(單位：年)的關系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則當每臺機器運轉________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元．
解析：每臺機器運轉x年的年平均利潤為＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，當且僅當x＝5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元．
答案：5　8
2．要制作一個體積為9 m3，高為1 m的有蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米10元，側面造價是每平方米5元，蓋的總造價為100元，問：該容器的長為多少時，容器的總造價最低？總造價最低為多少元？
解：設該長方體容器的長為x m，則寬為 m，
設該容器的總造價為y元，
則y＝9×10＋2×1×5＋100＝190＋10，因為x＋≥2＝6，當且僅當x＝，即x＝3時取“＝”，所以ymin＝250.
故該容器的長為3米時，容器的總造價最低，總造價最低為250元．第二章 一元二次函數、方程和不等式
2．2　基本不等式
【課時跟蹤檢測】
層級(一)　“四基”落實練
1．若n＞0，則n＋的最小值為(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．4
C．6 D．8
2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，則ab的最大值為(　　)
A．25 B.
C. D.
3．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
4．(多選)已知正數a，b，則下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a＋b≥2 B．(a＋b)≥4
C．(a＋b)2≥2(a2＋b2) D.<
5．設x∈R，對于使－x2＋2x≤M成立的所有常數M中，我們把M的最小值叫做－x2＋2x的上確界．若a>0，b>0，且a＋b＝1，則－－的上確界為(　　)
A．－5 B．－4
C. D．－
6．設a＋b＝M(a＞0，b＞0)，M為常數，且ab的最大值為4，則M＝________.
7．一批貨物隨17列貨車從A市以v千米/小時勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于2千米，那么這批貨物全部運到B市，最快需要________小時．
8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：≥9.
層級(二)　能力提升練
9．(多選)設0＜a＜b，a＋b＝1，則下列結論正確的是(　　)
A．0＜b－a＜ B．a＜a2＋b2
C．ab的最大值為 D.＜a2＋b2＜1
10．(多選)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
11.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________ m.
12．設a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.
(1)求a＋b的最小值；
(2)證明：a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立．
13．某校食堂需定期購買大米．已知該食堂每天需用大米0.6 t，每噸大米的價格為6 000元，大米的保管費用z(單位：元)與購買天數x(單位：天)的關系為z＝9x(x＋1)(x∈N*)，每次購買大米需支付其他固定費用900元．問：該食堂多少天購買一次大米，才能使平均每天所支付的總費用最少？
層級(三)　素養培優練
14．設a＞b＞c，且＋≥恒成立，則m的取值范圍為________．
15.志愿者團隊要設計一個如圖所示的矩形隊徽ABCD，已知點E在邊CD上，AE＝CE，AB＞AD，矩形的周長為8 cm.
(1)設AB＝x cm，試用x表示出圖中DE的長度，并求出x的取值范圍；
(2)計劃在△ADE區域涂上藍色代表星空，如果要使△ADE的面積最大，那么應怎樣設計隊徽的長和寬．
【參考答案】
1.解析：選B　∵n＞0，∴n＋≥2＝4，當且僅當n＝，即n＝2時等號成立，故選B.
2.解析：選D　∵a>0，b>0，a＋2b＝5，
∴ab＝a·2b≤×2＝，
當且僅當a＝，b＝時取等號．
3.解析：選D　＝.
又∵－40.
∴＝－≤－1，
當且僅當x－1＝，即x＝0時等號成立．
4.解析：選AB　當a＞0，b＞0時，由基本不等式得，a＋b≥2，當且僅當a＝b時取等號，A成立；
(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當a＝b時取等號，B成立；
2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，則(a＋b)2≤2(a2＋b2)，C不恒成立；
因為a＋b≥2，所以2ab≤(a＋b)，
當且僅當a＝b時取等號，D不恒成立．
5.解析：選D　∵a>0，b>0，＋＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝，當且僅當a＝，b＝時取等號，∴－－≤－.
6.解析：∵a＋b＝M(a＞0，b＞0)，由基本不等式，得ab≤2＝.又ab的最大值為4，∴＝4(M＞0)．∴M＝4.
答案：4
7.解析：設這批貨物從A市全部運到B市的時間為t，則t＝＝＋≥2·＝8(小時)，當且僅當＝，即v＝100時，等號成立，所以這批貨物全部運到B市，最快需要8小時．
答案：8
8.證明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9，
當且僅當a＝b＝時等號成立．
9.解析：選BD　由0＜a＜b，a＋b＝1，則0＜a＜＜b＜1.
對A，因為－＜－a＜0，＜b＜1，所以0＜b－a＜1，所以A錯誤；
對B，＜b 1＜2b a＜2ab＜a2＋b2，所以B正確；
對C，ab≤2＝(當且僅當a＝b時取“＝”)，由于a＜b，所以“＝”不可取，所以C錯誤；
對D，因為a2＋b2＞＝，又a2＜a，b2＜b a2＋b2＜a＋b＝1，所以D正確．
10.解析：選BC　對于A、B，由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤3()2，解得－2≤x＋y≤2，所以A不正確，B正確；對于C、D，由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，當且僅當x＝y時取等號，所以x2＋y2≤2，所以C正確，D不正確．故選B、C.
11.解析：如圖，過點A作AH⊥BC交BC于點H，交DE于點F，易知＝＝＝，則AF＝x，所以FH＝40－x.
所以矩形面積S＝x(40－x)≤2＝400，
當且僅當40－x＝x，即x＝20時，取“＝”．
所以滿足題意的矩形花園的邊長x為20 m.
答案：20
12.解：由a＋b＝＋＝，且a＞0，b＞0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，知a＋b≥2＝2，當且僅當a＝b＝1時取等號，故a＋b的最小值為2.
(2)證明：由(1)知a2＋b2≥2ab＝2，且a＋b≥2，因此a2＋b2＋a＋b≥4，①
假設a2＋a＜2與b2＋b＜2同時成立，則a2＋b2＋a＋b＜4，②
①②兩式矛盾，故a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立．
13.解：設平均每天所支付的總費用為y元，
則y＝[9x(x＋1)＋900]＋0.6×6 000
＝＋9x＋3 609≥2＋3 609
＝180＋3 609＝3 789，
當且僅當＝9x，即x＝10時取等號，
所以該食堂10天購買一次大米，才能使平均每天所支付的總費用最少．
14.解析：由a＞b＞c知，a－b＞0，b－c>0，a－c＞0.
∴原不等式等價于＋≥m.
要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．
∵＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
當且僅當＝，即2b＝a＋c時，等號成立．
故m的取值范圍為{m|m≤4}．
答案：{m|m≤4}
15.解：(1)由題意可得AD＝4－x，且x＞4－x＞0，可得2＜x＜4，
又AE＝CE＝x－DE，
在直角三角形ADE中，可得AE2＝AD2＋DE2，
即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，
化簡可得DE＝4－(2＜x＜4)．
(2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)
＝2≤2＝12－8，
當且僅當x＝2，4－x＝4－2，
即隊徽的長和寬分別為2，4－2時，△ADE的面積最大．

展開更多......

收起↑