資源簡介

第二章 一元二次函數、方程和不等式
2．3　二次函數與一元二次方程、不等式
明確目標 發展素養
1．掌握一元二次不等式的解法． 2．能根據“三個二次”之間的關系解決簡單問題． 3．掌握一元二次不等式的實際應用． 4．會解一元二次不等式中的恒成立問題. 1．通過解一元二次不等式，培養數學運算素養． 2．通過“三個二次”關系的應用，提高數學運算和邏輯推理素養． 3．通過分式不等式的解法及不等式的恒成立問題的學習，培養數學運算素養． 4．借助一元二次不等式的應用，培養數學建模素養.
第一課時　一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式
定義 只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是的不等式，稱為一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數，a≠0
2.二次函數的零點
一般地，對于二次函數y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數x叫做二次函數y＝ax2＋bx＋c的零點．
3．“三個二次”的關系
二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
　　
[微思考]
(1)如何理解一元二次不等式中的“一元”與“二次”？
提示：“一元”即只含一個未知數，其他元素均為常數(或參數)．
“二次”即未知數的最高次數必須為2，且其系數不能為0.
(2)如何理解一元二次不等式的“解”與“解集”？
提示：一元二次不等式的解與一元二次不等式的解集是部分與整體的關系，不要將二者混淆．如1是x2＋x＞0的一個解，但x2＋x＞0的解集是一個集合，解集為{x|x＜－1或x＞0}．
題型一　不含參數的一元二次不等式的解法
[典例1]　解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2＜0.
[解]　(1)因為Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3，x2＝－.
又二次函數y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，
所以原不等式的解集為.
(2)原不等式可化為2≤0，
所以原不等式的解集為.
(3)原不等式可化為2x2－3x＋2＞0，
因為Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，
所以方程2x2－3x＋2＝0無實根，
又二次函數y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，
所以原不等式的解集為R.
[方法技巧]
解不含參數的一元二次不等式的步驟
　　
【對點練清】
1．不等式x(x＋2)＜3的解集是(　　)
A．{x|－1＜x＜3}　　 B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－1或x＞3} D．{x|x＜－3或x＞1}
解析：選B　由題意x(x＋2)＜3，∴x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解得－3＜x＜1，∴該不等式的解集是{x|－3＜x＜1}，故選B.
2．解下列不等式：
(1)－x2＋8x－3＞0；
(2)x2－4x－5≤0；
(3)－x2＋3x－5＞0.
解：(1)因為Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，所以方程－x2＋8x－3＝0有兩個不等實根x1＝4－，x2＝4＋.又二次函數y＝－x2＋8x－3的圖象開口向下，所以原不等式的解集為{x|4－＜x＜4＋}．
(2)原不等式可化為(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集為{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化為x2－6x＋10＜0，因為Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0無實根，又二次函數y＝x2－6x＋10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為 .
題型二　含參數的一元二次不等式的解法
[典例2]　解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
[解]　當a＝0時，原不等式可化為x>1.
當a≠0時，原不等式可化為(ax－1)(x－1)<0.
當a<0時，原不等式可化為(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1.
當a>0時，原不等式可化為(x－1)<0.
若<1，即a>1，則若＝1，即a＝1，則x∈ ；
若>1，即0綜上所述，當a<0時，原不等式的解集為；
當a＝0時，原不等式的解集為{x|x>1}；當01時，原不等式的解集為.
[方法技巧]
解含參數的一元二次不等式的步驟
　　
【對點練清】
(1)當a＝時，求關于x的不等式x2－x＋1≤0的解集；
(2)若a>0，求關于x的不等式x2－x＋1≤0的解集．
解：(1)當a＝時，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集為.
(2)x2－x＋1≤0 (x－a)≤0，
①當0②當a＝1時，a＝＝1，不等式的解集為{1}；
③當a>1時，a>，不等式的解集為.
綜上，當0當a＝1時，不等式的解集為{1}；
當a>1時，不等式的解集為.
題型三　“三個二次”之間對應關系的應用　
[典例3] 　已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2由a<0知c<0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a<0，
即x2＋x＋>0，
即x2－x＋>0，解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2[方法技巧]
一元二次不等式解集的端點值是相應的一元二次方程的根，據此，利用根與系數的關系可求得a，b，c的值，進而求解．也可以利用，的值整體代入，轉化所求不等式進行求解．　　
【對點練清】
1．[變設問]本例中條件不變，求關于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解：由根與系數的關系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解得－故原不等式的解集為.
2．[變條件]若將本例的條件“關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集為知a＜0.又×2＝＜0，則c＞0.
又－，2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0變為x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，解得－3＜x＜，
故所求不等式的解集為.
法二：由已知得a＜0 且＋2＝－，×2＝，進而知c＞0，
設方程cx2＋bx＋a＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝＝－，－＝＝＝－，∴x1＝－3，x2＝.
∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集為.
第二課時　一元二次不等式的綜合問題
題型一　簡單分式不等式的解法　
[典例1]　解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1.
[解]　(1)<0 (2x－5)(x＋4)<0 －4(2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等價于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，∴原不等式的解集為.
[方法技巧]
(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．
(2)對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零的形式，然后再用上述方法求解．　　
【對點練清】
解下列不等式：
(1)>1；
(2)≥1.
解：(1)原不等式可化為或
解得或
∴－3∴原不等式的解集為.
(2)原不等式可化為≤0，
如圖，
故原不等式的解集為.
題型二　一元二次不等式的實際應用　
[典例2]　某小區內有一個矩形花壇ABCD，現將這一矩形花壇拆建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求點B在AM上，點D在AN上，且對角線MN過點C，如圖所示．已知AB＝3 m，AD＝2 m．要使矩形AMPN的面積大于32 m2，則DN的長應在什么范圍內？
[解]　設DN的長為x(x＞0)m，
則AN的長為(x＋2)m.
因為＝，所以AM＝，
所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.
由S矩形AMPN＞32，得＞32.又x＞0，得3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜或x＞6，
即DN的長的取值范圍是.
[方法技巧]
解不等式應用題的步驟
解決一元二次不等式應用題的關鍵在于構造一元二次不等式模型，即分析題目中哪些是未知量，然后選擇未知量并設出此未知量，再概括題目中的不等關系列不等式．　　
【對點練清】
某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞．為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入，應怎樣制定這批臺燈的銷售價格？
解：設這批臺燈的銷售價定為x元，
則[30－2(x－15)]·x>400，即x2－30x＋200<0，
因為方程x2－30x＋200＝0的兩根為x1＝10，x2＝20，
所以x2－30x＋200<0的解為10又因為x≥15，所以15≤x<20.
故應將這批臺燈的銷售價格制定在15元到20元之間(包括15元但不包括20元)，才能使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入.
題型三　不等式恒成立問題　
[典例3]　(1)若對 x∈R，不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求實數m的取值范圍；
(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范圍．
[解]　(1)原不等式可化為x2＋(m－4)x＋4－m>0，
∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，∴0∴m的取值范圍為{m|0(2)原不等式可化為x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，
∴m<0，∴m的取值范圍為{m|m<0}．
[方法技巧]
對于含參數的二次函數在閉區間上的函數值恒大(小)于或等于零的問題，可以利用函數的圖象與性質求解，也可以分離變量，轉化為二次函數的最值問題求解．　　
【對點練清】
1．對于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍．
解：當1≤x≤3時，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，
即當1≤x≤3時，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋＞0，∴m＜.
∵當1≤x≤3時，＝，
x＝3時，其最小值為，∴只需m＜即可．
故m的取值范圍是.
2．已知不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集為R，求a的取值范圍．
解：∵不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集為R，∴函數y＝x2＋2x＋a2－3的圖象應在x軸上方，∴Δ＝4－4(a2－3)＜0，解得a＞2或a＜－2.故a的取值范圍為{a|a>2或a<－2}．第二章 一元二次函數、方程和不等式
2．3　二次函數與一元二次方程、不等式
【課時跟蹤檢測】
層級(一)　“四基”落實練
1．不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集為(　　)
A．{x|－1≤x≤2} B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x≥2或x≤－1} D．{x|x＞2或x＜－1}
2．已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝(　　)
A．{－2，－1,0,1} B.{0,1,2}
C．{－2} D.{2}
3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集為(　　)
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－24．(多選)不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是(　　)
A. B．R
C. D．
5．(多選)二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集為，則下列結論成立的是(　　)
A．a2＋b2＝5 B．a＋b＝－3
C．ab＝－2 D．ab＝2
6．不等式≥0的解集為(　　)
A．{x|1≤x≤2}　　　　　　 B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2或x≤1}
7．不等式≥1的解集是(　　)
A．{x|x<－1或－1C．{x|x≤2} D．{x|－18．若關于x的不等式ax－b>0的解集為{x|x>1}，則關于x的不等式>0的解集為(　　)
A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－19．(多選)某商場若將進貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現準備采用提高售價來增加利潤．已知這種商品每件售價提高1元，銷售量就會減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，售價每件應定為(　　)
A．12元　　　B．13元 C．14元　　　D．15元
10．在R上定義運算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1對任意的實數x∈R恒成立，則實數a的取值范圍為(　　)
A．{a|－1C. D.
11．已知關于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，則實數a的取值范圍是________．
12．不等式1＋2x＋x2≤0的解集為________．
13．關于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集為，則m的取值范圍是________．
14．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3＞0.
15．若關于x的不等式ax＋b＞0的解集為{x|x＞1}，則關于x的不等式＞0的解集為________．
16．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b為何值時，ax2＋bx＋3≥0的解集為R
層級(二)　能力提升練
17．已知2a＋1<0，則關于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________．
18．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－1bx的解集為________．
19．解關于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
20．已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求ax2－bx＋c＞0的解集．
21．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，則實數a的取值范圍為(　　)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
22．對任意實數x，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，則a的取值范圍是(　 )
A．{a|－2C．{a|a<－2或a>2} D．{a|a≤－2或a>2}
23．已知關于x的不等式2kx2＋kx－＜0.
(1)若不等式的解集為，求實數k的值；
(2)若不等式的解集為R，求實數k的取值范圍．
24．某地區上年度電價為0.8元/kW·h，年用電量為a kW·h.本年度計劃將電價降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kW·h.經測算，下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數為k)．該地區電力的成本價為0.3元/kW·h.
(1)寫出本年度電價下調后，電力部門的收益y與實際電價x的函數關系式；
(2)設k＝0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%
層級(三)　素養培優練
　25.已知M是關于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一個元素是0，求實數a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集．
26.已知集合{x∈R|x2－(k＋2)x－3k＋1≥0}＝{x|x≤－1或x≥5}．
(1)求實數k的值；
(2)已知t<2，若不等式x2－(k＋2)x－3k－m2＋4m＋15≥0在t≤x≤4上恒成立，求實數m的取值范圍．
【參考答案】
1.解析：選A　根據二次函數y＝(x＋1)(x－2)的圖象(圖略)可知，不等式的解是－1≤x≤2，故選A.
2.解析：選C　因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故選C.
3.解析：選C　由題意知－2＋3＝－，－2×3＝，
∴b＝－a，c＝－6a，
∴不等式ax2＋bx＋c>0可化為ax2－ax－6a>0，
又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，
∴－24.解析：選BCD　因為Δ＝a2＋4m>0，所以函數y＝mx2－ax－1的圖象與x軸有兩個交點，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D.
5.解析：選ABD　由題意，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．由根與系數的關系，得解得∴ab＝2，a＋b＝－3，a2＋b2＝5.故A、B、D正確．
6.解析：選D　由題意可知，不等式等價于∴x>2或x≤1.故選D.
7.解析：選D　∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，
即≤0，等價于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，
故－18.解析：選C　x＝1為ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，
∵ax－b>0的解集為{x|x>1}，∴a>0，
故＝>0，等價為(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.
9.解析：選BCD　設售價定為每件x元，利潤為y，
則y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依題意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售價應定為12元到16元之間．故選B、C、D.
10.解析：選C　∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1對任意實數x恒成立，
即x2－x－a2＋a＋1>0對任意實數x恒成立，
∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－11.解析：因為不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，
所以Δ＝(－a)2－8a＜0，解得0＜a＜8.
答案：{a|0＜a＜8}
12.解析：不等式1＋2x＋x2≤0化為(x＋1)2≤0，解得x＝－1.
答案：{－1}
13.解析：∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集為，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的兩個實數根為和2，
且解得m<0，∴m的取值范圍是{m|m<0}．
答案：{m|m<0}
14.解：(1)原不等式可化為2x2－3x－2＜0，
所以(2x＋1)(x－2)＜0，解得－＜x＜2，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化為2x2－x－1≥0，
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
解得x≤－或x≥1，
故原不等式的解集為.
(3)因為Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
所以原不等式的解集是R.
15.解析：關于x的不等式＞0等價于或又ax＋b＞0的解集為{x|x＞1}，∴解上述不等式組可得或∴x＞6或－1＜x＜1.
故原不等式的解集為{x|x＞6或－1＜x＜1}．
答案：{x|x＞6或－1＜x＜1}
16.解：(1)由題意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的兩根，
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即為2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，
∴所求不等式的解集為.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集為R，則Δ＝b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
17.解析：方程x2－4ax－5a2＝0的兩根為－a,5a.因為2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.結合二次函數y＝x2－4ax－5a2的圖象，得原不等式的解集為{x|x<5a或x>－a}．
答案：{x|x<5a或x>－a}
18.解析：由題意知，－1,2為ax2＋bx＋c＝0的兩根，
∴且a<0，
∴不等式＋c>bx可化為－2a>－ax，
∵a<0，即－2<－x，即<0，∴x<0.
答案：{x|x<0}
19.解：原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0.
則方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的兩根為x1＝a，x2＝a2，
由a2－a＝a(a－1)可知，
①當a<0或a>1時，a2>a，∴原不等式的解為x>a2或x②當0a或x③當a＝0時，原不等式為x2>0，∴x≠0.
④當a＝1時，原不等式為(x－1)2>0，∴x≠1.
綜上可知：
當a<0或a>1時，原不等式的解集為{x|xa2}；
當0a}；
當a＝0時，原不等式的解集為{x|x≠0}；
當a＝1時，原不等式的解集為{x|x≠1}．
20.解：由題意知，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，且a＜0，故即
所以不等式ax2－bx＋c＞0即為2x2－5x＋2＜0，
解得＜x＜2.
即不等式ax2－bx＋c＞0的解集為.
21.解析：選A　由題意知，原不等式可化為－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4.
22.解析：選A　當a≠2時，由已知得
即解得－2又當a＝2時，原不等式可化為－4<0，顯然恒成立，故a的取值范圍是{a|－223.解：(1)若關于x的不等式2kx2＋kx－＜0的解集為，
則－和1是2kx2＋kx－＝0的兩個實數根，
由根與系數的關系可得－×1＝，求得k＝.
(2)當k＝0時，不等式等價于－＜0，顯然成立．
當k≠0時，不等式等價于
解得－3＜k＜0.
綜上可得實數k的取值范圍為{k|－3＜k≤0}．
24.解：(1)設下調后的電價為x元/kW·h，依題意知，用電量增至，電力部門的收益為
y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依題意，有
整理，得
解此不等式，得0.60≤x≤0.75.
∴當電價最低定為0.60元/kW·h時，仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%.
25.解：原不等式可化為(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0適合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，則－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此時不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此時不等式的解集是.
綜上，當a<－1時，原不等式的解集是；當a>時，原不等式的解集是.
26.解：(1)由題意可知，－1和5是方程x2－(k＋2)x－3k＋1＝0的兩個根，
所以由根與系數的關系得
解得k＝2，故實數k＝2.
(2)由(1)知，k＝2，原不等式可化為x2－4x＋9－m2＋4m≥0，
所以x2－4x≥m2－4m－9在t≤x≤4(t<2)上恒成立，令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，
因為t≤x≤4(t<2)，所以ymin＝－4，
所以不等式恒成立等價于m2－4m－9≤－4，
即m2－4m－5≤0，
解得－1≤m≤5，
故實數m的取值范圍為{m|－1≤m≤5}．

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