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第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
3．1　函數(shù)的概念及其表示
3．1．1　函數(shù)的概念
明確目標(biāo) 發(fā)展素養(yǎng)
1.用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念． 2.體會集合和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用． 3.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域． 4.能夠正確使用區(qū)間表示數(shù)集. 1.通過學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2.借助函數(shù)定義域的求解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)． 3.借助f(x)與f(a)的關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
知識點一　函數(shù)的有關(guān)概念
1．函數(shù)的概念
定義 一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)
記法 y＝f(x)，x∈A
定義域 x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域
函數(shù)值 與x的值相對應(yīng)的y值
值域 函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域，顯然值域是集合B的子集
　　
[微思考]　(1)有人認(rèn)為“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種理解對嗎？
(2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？
提示：(1)這種理解不對．
符號y＝f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是關(guān)系所施加的對象；f是對應(yīng)關(guān)系，它可以是一個或幾個解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當(dāng)x允許取某一具體值時，相應(yīng)的y值為與該自變量值對應(yīng)的函數(shù)值．y＝f(x)僅僅是函數(shù)符號，不表示“y等于f與x的乘積”．在研究函數(shù)時，除用符號f(x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來表示函數(shù)．
(2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x＝a時，函數(shù)f(x)的值，是一個常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個變量．f(a)是f(x)的一個特殊值，如一次函數(shù)f(x)＝3x＋4，當(dāng)x＝8時，f(8)＝3×8＋4＝28是一個常數(shù)．
2．同一個函數(shù)
如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．
(1)只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)．
(2)定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們不一定是相同的函數(shù)，因為函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不一定相同．如y＝x與y＝3x 的定義域和值域都是R，但它們的對應(yīng)關(guān)系不同，所以是兩個不同的函數(shù)．
知識點二　區(qū)間
區(qū)間還可以用數(shù)軸表示，在數(shù)軸表示時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點．
區(qū)間 數(shù)軸表示 名稱
[a，b] 閉區(qū)間
(a，b) 開區(qū)間
[a，b) 半開半閉區(qū)間
(a，b] 半開半閉區(qū)間
[a，＋∞) －
(a，＋∞) －
(－∞，b] －
(－∞，b) －
題型一　函數(shù)的概念
[典例1]　判斷下列對應(yīng)是否為集合A到集合B的函數(shù).(1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
[解]　(1)A中的元素0在B中沒有對應(yīng)元素，故不是集合A到集合B的函數(shù)．
(2)對于集合A中的任意一個整數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一個確定的整數(shù)x2與其對應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù)．
(3)集合A中的負(fù)整數(shù)沒有平方根，在集合B中沒有對應(yīng)的元素，故不是集合A到集合B的函數(shù)．
(4)對于集合A中任意一個實數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一個確定的數(shù)0和它對應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù)．
[方法技巧]
1．判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個條件
(1)A，B必須是非空數(shù)集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應(yīng)．對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對多”的不是函數(shù)關(guān)系．　　
2.根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的方法
1 任取一條垂直于x軸的直線l.
2 在定義域內(nèi)平行移動直線l.
3 若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù).
【對點練清】
1．下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是(　　)
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對應(yīng)關(guān)系如圖：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
解析：選B　A錯誤，x2＋y2＝1可化為y＝±，顯然對任意x∈A，y值不唯一．B正確，符合函數(shù)的定義．C錯誤，2∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)．D錯誤，－1∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)．
2．(多選)設(shè)集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，則下列圖象能表示集合P到集合Q的函數(shù)關(guān)系的是(　　)
解析：選BD　對于A，其定義域是[0，2]，不是P，故A錯誤；對于B，其定義域是[0，4]＝P，值域[0，2] Q，故B正確；對于C，其與函數(shù)定義相矛盾，故C錯誤；對于D，其定義域是[0，4]＝P，顯然值域包含于集合Q，故D正確．
題型二　求函數(shù)的定義域、函數(shù)值　
【分類例析】
角度(一)　求函數(shù)的定義域　
[典例2]　求下列函數(shù)的定義域：
(1)f(x)＝3－x；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝.
[解]　(1)函數(shù)f(x)＝3－x的定義域為R.
(2)由于0的零次冪無意義，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2＞0，即x＞－2，所以x＞－2且x≠－1.所以函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|x＞－2且x≠－1}．
(3)要使函數(shù)f(x)有意義，自變量x的取值必須滿足解得x≤5，且x≠±3，
所以函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|x≤5且x≠±3}．
(4)要使函數(shù)f(x)有意義，則
即解不等式組得－1≤x<1.
因此函數(shù)f(x)的定義域為[－1,1)．
[方法技巧]
求函數(shù)定義域的常用方法
(1)若f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零．
(2)若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零．
(3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使指數(shù)冪運算有意義的實數(shù)集合．
(4)若f(x)是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域要使各個式子都有意義．
(5)若f(x)是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義．　　
角度(二)　求函數(shù)值　
[典例3]　已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值．
[解]　(1)因為f(x)＝，所以f(2)＝＝.
又因為g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
[方法技巧]
函數(shù)求值的方法
(1)已知f(x)的表達(dá)式時，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．　　
【對點練清】
1．(2022·北京高考)函數(shù)f(x)＝＋的定義域是________．
解析：因為f(x)＝＋，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0，1].
答案：(－∞，0)∪(0，1]
2．函數(shù)y＝的定義域為________．
解析：要使函數(shù)有意義，需滿足
解得－2≤x≤3，且x≠.
答案：∪
3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
解：f(1)＝13＋2×1＋3＝6，f(t)＝t3＋2t＋3，
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a，
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
題型三　同一個函數(shù)的判斷問題　
[典例4]　下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(　　)
A．y＝·與y＝
B．y＝|x|與y＝
C．y＝x與y＝
D．y＝與y＝x0
[解析]　A選項：y＝·的定義域為{x|x≥2}，y＝的定義域為{x|x≤－2或x≥2}，∴兩函數(shù)不是同一函數(shù)．B選項：y＝|x|與y＝的定義域均為R，y＝＝x，可知兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，∴兩函數(shù)不是同一函數(shù)．C選項：y＝x與y＝的定義域均為R，y＝＝|x|，可知兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，∴兩函數(shù)不是同一函數(shù)．D選項：y＝與y＝x0的定義域均為{x|x≠0}，y＝＝1＝x0，可知兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，∴兩函數(shù)是同一函數(shù)．故選D.
[答案]　D
[方法技巧]
判斷兩函數(shù)為同一個函數(shù)的方法
判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)，關(guān)鍵是堅持定義域優(yōu)先的原則．
(1)先看定義域，若定義域不同，則兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)．
(2)若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同．　　
【對點練清】
判斷下列各組中的兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)：
(1)f(x)＝，g(x)＝x－5；
(2)y＝·，y＝.
解：(1)兩函數(shù)定義域不同，所以不是同一個函數(shù)．
(2)y＝·的定義域為{x|－1≤x≤1}，y＝的定義域為{x|－1≤x≤1}，即兩者定義域相同．又∵y＝·＝，∴兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也相同．故y＝·與y＝是同一函數(shù)．第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
3．1　函數(shù)的概念及其表示
3．1．1　函數(shù)的概念
【課時跟蹤檢測】
層級(一)　“四基”落實練
1．(多選)下列集合A到集合B的對應(yīng)f是函數(shù)的是(　　)
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)
D．A＝R，B＝{非負(fù)實數(shù)}，f：A中的數(shù)取絕對值
2．已知函數(shù)f(x)＝，則f等于(　　)
A. B.
C．a(chǎn) D．3a
3．函數(shù)y＝的定義域是(　　)
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
4．(多選)下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是(　　)
A．y＝與y＝x＋3(x≠3)
B．y＝(x＋1)2與y＝x2
C．y＝與y＝|x|
D．y＝x2＋1，x∈Z與y＝t2＋1，t∈Z
5．若函數(shù)y＝f(x)的定義域M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(　　)
6．函數(shù)y＝的定義域用區(qū)間可以表示為________．
7．函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出.
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
則f(g(1))的值為________；滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
8．已知函數(shù)f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定義域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)當(dāng)a≠－1時，求f(a＋1)的值．
層級(二)　能力提升練
9．若函數(shù)f(x)的定義域為[0,4]，則函數(shù)g(x)＝的定義域為(　　)
A．(1,2) B．(1,2]
C．(1,4] D．(1,4)
10．下列函數(shù)中，對于定義域內(nèi)的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的為(　　)
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|
11．已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求f(x)的定義域；
(2)若f(a)＝2，求a的值；
(3)求證：f ＝－f(x)．
層級(三)　素養(yǎng)培優(yōu)練
12．設(shè)函數(shù)y＝f(x)對任意正實數(shù)x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，已知f(8)＝3，則f()＝________.
13．規(guī)定[t]為不超過t的最大整數(shù)，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，對任意實數(shù)x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，f2(x)＝f1(g(x))．
(1)分別求f1和f2的值；
(2)求x的取值范圍，使它同時滿足f1(x)＝1，f2(x)＝3.
14．求下列函數(shù)的定義域與值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝x－.
【參考答案】
1.解析：選AD　按照函數(shù)定義，選項B中，集合A中的元素1對應(yīng)集合B中的元素±1，不符合函數(shù)定義中一個自變量的值對應(yīng)唯一的函數(shù)值的條件；選項C中，集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義，也不符合函數(shù)定義中集合A中任意元素都對應(yīng)著唯一的函數(shù)值的要求；選項A、D中，集合A中的元素都與集合B中元素對應(yīng)，也符合函數(shù)定義．故選A、D.
2.解析：選D　f＝＝3a.
3.解析：選D　由題意可得所以x≥－1且x≠1，故函數(shù)y＝的定義域為{x|x≥－1且x≠1}．
4.解析：選CD　選項A、B中對應(yīng)關(guān)系都不同，故都不是同一個函數(shù)．C、D定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同，是同一個函數(shù)．
5.解析：選B　A中定義域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．故選B.
6.解析：要使函數(shù)有意義，需滿足
即
∴定義域為(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
7.解析：∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.
當(dāng)x＝1時，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，
f(g(x))當(dāng)x＝2時，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，
f(g(x))>g(f(x))，符合題意；
當(dāng)x＝3時，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，
f(g(x))答案：1　2
8.解：(1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x≠0，
∴f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)當(dāng)a≠－1時，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
9.解析：選B　由題意得解得1＜x≤2，因此，函數(shù)y＝g(x)的定義域為(1,2]．
10.解析：選A　對于A選項，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．
對于B選項，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．
對于C選項，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．
對于D選項，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．
11.解：(1)要使函數(shù)f(x)＝有意義，只需1－x2≠0，解得x≠±1，所以函數(shù)的定義域為{x|x≠±1}．
(2)因為f(x)＝，且f(a)＝2，
所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±.
(3)證明：由已知得f＝＝，
－f(x)＝－＝，所以f ＝－f(x)．
12.解析：因為f(x·y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y(tǒng)＝，得f(2)＝f()＋f()，令x＝y(tǒng)＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)，令x＝2，y＝4，得f(8)＝f(2)＋f(4)，所以f(8)＝3f(2)＝6f()，又f(8)＝3，所以f()＝.
答案：
13.解：(1)∵x＝時，4x＝，
∴f1＝＝1，g＝－＝.
∴f2＝f1＝f1＝[3]＝3.
(2)由題意知f1(x)＝[4x]＝1，則g(x)＝4x－1，
∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.
∴解得≤x＜.
故滿足題意的x的取值范圍為.
14.解：(1)函數(shù)的定義域為{－1,0,1,2,3}，
則f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，
同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
所以函數(shù)的值域為{1,2,5}．
(2)函數(shù)的定義域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，
所以函數(shù)的值域為{y|y≠5}．
(3)要使函數(shù)式有意義，需x＋1≥0，即x≥－1，
故函數(shù)的定義域是{x|x≥－1}．
設(shè)t＝，則x＝t2－1(t≥0)，
于是f(t)＝t2－1－t＝2－.
又t≥0，故f(t)≥－.所以函數(shù)的值域是.

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