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第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
3．1　函數(shù)的概念及其表示
3．1．2　函數(shù)的表示法
明確目標 發(fā)展素養(yǎng)
1.掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法． 2.會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)．理解函數(shù)圖象的作用． 3.通過具體實例，了解分段函數(shù)，并能簡單應用. 1.通過用圖象法表示函數(shù)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)． 2.通過求函數(shù)解析式及分段函數(shù)求值，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)． 3.利用分段函數(shù)解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng).
第一課時　函數(shù)的表示法
解析法 用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關(guān)系
列表法 列出表格來表示兩個變量之間的對應關(guān)系
圖象法 用圖象表示兩個變量之間的對應關(guān)系
　
[微思考]　函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等，那么判斷一個圖形是不是函數(shù)圖象的依據(jù)是什么？
提示：要檢驗一個圖形是否為函數(shù)的圖象，其方法為：在定義域內(nèi)任取一個x值作垂直于x軸的直線，若此直線與圖形有唯一交點，則圖形為函數(shù)圖象；若無交點或多于1個交點，則不是函數(shù)圖象．
題型一　函數(shù)表示法　
[典例1]　某商場新進了10臺彩電，每臺售價3 000元，試求售出臺數(shù)x(x為正整數(shù))與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來．
[解]　(1)列表法：
x/臺 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)圖象法：如圖所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
[方法技巧]
函數(shù)的三種表示法的選擇和應用的注意點
解析法、圖象法和列表法分別從三個不同的角度刻畫了自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系．采用解析法的前提是變量間的對應關(guān)系明確，采用圖象法的前提是函數(shù)的變化規(guī)律清晰，采用列表法的前提是定義域內(nèi)自變量的個數(shù)較少．
在用三種方法表示函數(shù)時要注意：
(1)解析法必須注明函數(shù)的定義域．
(2)列表法必須羅列出所有的自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系．
(3)圖象法必須清楚函數(shù)圖象是“點”還是“線”．　　
【對點練清】
1．某學生離家去學校，一開始跑步前進，跑累了再走余下的路程．下列圖中縱軸表示離校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則較符合該學生走法的是(　　)
解析：選D　由題意可知，一開始速度較快，后來速度變慢，所以開始曲線比較陡峭，后來曲線比較平緩，又縱軸表示離校的距離，所以開始時距離最大，最后距離為0.
2．將一條長為10 cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做一個正方形．試用多種方法表示兩個正方形的面積之和S與其中一段鐵絲長x(x∈N*)的函數(shù)關(guān)系．
解：這個函數(shù)的定義域為{x|1≤x<10，x∈N*}．
①解析法：S＝2＋2.
將上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x<10，x∈N*}．
②列表法：
一段鐵絲長x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9
兩個正方形的面積之和S/cm2
③圖象法：
題型二　函數(shù)圖象的作法及應用　
[典例2]　作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[解]　(1)當x∈[0,2]時，圖象是直線y＝2x＋1的一部分，觀察圖象可知，其值域為[1,5]．
(2)當x∈[2，＋∞)時，圖象是反比例函數(shù)y＝的一部分，觀察圖象可知其值域為(0,1]．
(3)當－2≤x≤2時，圖象是拋物線y＝x2＋2x的一部分．
由圖可得函數(shù)的值域是[－1,8]．
[方法技巧]
描點法作函數(shù)圖象的三個關(guān)注點
(1)畫函數(shù)圖象時首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖．
(2)圖象是實線或?qū)嶞c，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象．
(3)要標出某些關(guān)鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等．要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心圈．
提醒：函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．　　
【對點練清】
1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的定義域是________，值域是________．
解析：結(jié)合圖象，知函數(shù)f(x)的定義域為[－3,3]，值域為[－2,2]．
答案：[－3,3]　[－2,2]
2．畫出下列函數(shù)的圖象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)．
解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖象如圖1.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是拋物線y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之間的部分后剩余曲線．如圖2.
題型三　函數(shù)解析式的求法
[典例3]　求下列函數(shù)的解析式：
(1)已知函數(shù)f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)；
(3)已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)．
[解]　(1)法一：換元法
設(shè)t＝＋1，則x＝(t－1)2(t≥1)．
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：配湊法
∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性質(zhì)，知上式中對應項的系數(shù)相等，
∴解得∴f(x)＝x2－x＋1.
(3)由題意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
聯(lián)立可得
消去f(－x)可得f(x)＝x－1.
[方法技巧]
求函數(shù)解析式的四種常用求法
配湊法 由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式
待定系數(shù)法 若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法
換元法 已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍
解方程組法 已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)
【對點練清】
1．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．
解：法一：配湊法
∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
法二：換元法
令t＝x＋1，則x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
即f(x)＝x2－5x＋6.
2．已知一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))＝4x＋6，求f(x)．
解：設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6.
于是有解得或
所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6.
3．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x， ①
∴將x換成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x. ②
∴由①②，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
第二課時　分段函數(shù)
分段函數(shù)的定義及本質(zhì)
(1)定義：分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關(guān)系的函數(shù)．
(2)本質(zhì)：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
[微提醒]
(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．解決分段函數(shù)問題時，要先確定自變量的取值在哪個區(qū)間，從而選取相應的對應關(guān)系．
(2)作分段函數(shù)的圖象時，應根據(jù)不同定義域上的解析式分別作出，再將它們組合在一起得到整個分段函數(shù)的圖象．
(3)分段函數(shù)在書寫時要用“{”把各段函數(shù)合并寫成一個函數(shù)的形式，并且指明各段函數(shù)自變量的取值范圍．
題型一　分段函數(shù)求值問題　
[典例1]　已知函數(shù)f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f的值；
(2)若f(a)＝3，求實數(shù)a的值；
(3)若f(x)>2x，求x的取值范圍．
[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f＝－＋1＝－，且－2<－<2，
∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.
(2)當a≤－2時，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合題意，舍去；
當－2∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，∴a＝1符合題意；
當a≥2時，2a－1＝3，即a＝2符合題意．
綜上可得，當f(a)＝3時，a＝1或a＝2.
(3)當x≤－2時，f(x)>2x可化為x＋1>2x，
即x<1，所以x≤－2；
當－22x可化為x2＋2x>2x，
即x≠0，所以－2當x≥2時，f(x)>2x可化為2x－1>2x，則x∈ .
綜上可得，x的取值范圍是{x|x＜0或0＜x＜2}．
[方法技巧]
1．求分段函數(shù)函數(shù)值的步驟
(1)先確定要求值的自變量屬于哪個區(qū)間．
(2)然后代入該區(qū)間對應的解析式求值，直到求出值為止．當出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值．
2．已知函數(shù)值求字母取值的步驟
(1)對字母的取值范圍分類討論．
(2)代入不同的解析式中．
(3)通過解方程求出字母的值．
(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．　
【對點練清】
1．設(shè)f(x)＝則f(f(－2))＝________.
解析：∵f(－2)＝(－2)2＝4，∴f(f(－2))＝f(4)＝4－2＝2.
答案：2
2．函數(shù)f(x)＝若f(x0)＝8，則x0＝________.
解析：當x0≤2時，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，∴x0＝－或x0＝(舍去)；當x0>2時，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.綜上可知，x0＝－或x0＝10.
答案：－或10
3．已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)＞f(1)的解集是________．
解析：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3，所以當f(x)＞f(1)時，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
題型二　分段函數(shù)的圖象　
[典例2]　(1)已知f(x)的圖象如圖所示，求f(x)的解析式．
(2)已知函數(shù)f(x)＝1＋(－2①用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)f(x)；
②畫出函數(shù)f(x)的圖象；
③寫出函數(shù)f(x)的值域．
[解]　(1)當0≤x≤1時，f(x)＝－1；
當1則解得此時f(x)＝x－2.
綜上，f(x)＝
(2)①當0≤x≤2時，f(x)＝1＋＝1，
當－2所以f(x)＝
②函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．
③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域為[1,3)．
[方法技巧]
1．由分段函數(shù)的圖象確定函數(shù)解析式的步驟
2．作分段函數(shù)圖象的注意點
作分段函數(shù)的圖象時，定義域內(nèi)各分界點處的取值情況決定著圖象在分界點處的斷開或連接，特別要注意端點處是實心點還是空心圈．　　
【對點練清】
1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式是________．
解析：由圖可知，圖象是由兩條線段組成，當－1≤x<0時，設(shè)f(x)＝ax＋b，將(－1,0)，(0,1)代入解析式，
則∴
當0≤x≤1時，設(shè)f(x)＝kx，將(1，－1)代入，則k＝－1.
∴f(x)＝
答案：f(x)＝
2．設(shè)x∈R，則函數(shù)y＝2|x－1|－3|x|的值域為_______．
解析：當x≥1時，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
當0≤x＜1時，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
當x＜0時，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
故y＝
根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，如圖所示．
由圖象可以看出，函數(shù)的值域為{y|y≤2}．
答案：{y|y≤2}
3．作出函數(shù)f(x)＝的圖象．
解：畫出一次函數(shù)y＝－x－1的圖象，取(－∞，－1]上的一段；畫出二次函數(shù)y＝x2－x－2的圖象，取(－1,2]上的一段；畫出一次函數(shù)y＝x－2的圖象，取(2，＋∞)上的一段，如圖所示．
題型三　分段函數(shù)的實際應用　
[典例3]　如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7 cm，腰長為2 cm，當垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫出左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出大致圖象．
[解]　如圖，過點A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H.
因為四邊形ABCD是等腰梯形，底角為45°，AB＝2 cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
①當點F在BG上，即x∈[0,2]時，y＝x2；
②當點F在GH上，即x∈(2,5]時，y＝×2＝2x－2；
③當點F在HC上，即x∈(5,7]時，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10.
綜合①②③，得函數(shù)的解析式為y＝
圖象如圖所示．
[方法技巧]
在寫分段函數(shù)的解析式時，要注意各段自變量取值集合的交集為 ，當前后兩段圖象連續(xù)時，相連的區(qū)間端點可在這兩段的任意一段上，不要漏掉端點值即可．　　
【對點練清】
某超市元旦期間搞促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過500元，不享受任何折扣；如果顧客購物的總金額超過500元，則超過的部分享受一定的折扣優(yōu)惠，并按下表折扣分別累計計算：
可享受的折扣優(yōu)惠金額 折扣率
不超過400元的部分 10%
超過400元的部分 20%
若某顧客在此超市獲得的折扣金為60元，求此人購物實際所付金額．
解：設(shè)此人購物總金額為x元，可獲得購物折扣金額為y元，
則y＝
當x＝900時，y＝0.1×(900－500)＝40，
∵60>40，∴x>900，∴0.2(x－900)＋40＝60，解得x＝1 000，故此人購物實際所付金額為1 000－60＝940(元).第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
3．1　函數(shù)的概念及其表示
3．1．2　函數(shù)的表示法
【課時跟蹤檢測】
層級(一)　“四基”落實練
1．購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元．若每聽2元，用解析法將y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函數(shù)為(　　)
A．y＝2x　　　　　　　　　 B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
2．若f(x)對于任意實數(shù)x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，則f(x)等于(　　)
A．x＋1　　　　　　　　　 B．x－1
C．2x＋1 D．3x＋3
3．如果f＝，則當x≠0且x≠1時，f(x)等于(　　)
A. B.
C. D.－1
4．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f等于(　　)
A．1 B．3
C．15 D．30
5．已知正方形的周長為x，它的外接圓的半徑為y，則y關(guān)于x的解析式為(　　)
A．y＝x(x>0) B．y＝x(x>0)
C．y＝x(x>0) D．y＝x(x>0)
6．(多選)下列給出的函數(shù)是分段函數(shù)的是(　　)
A．f(x)＝　 B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
7．設(shè)x∈R，定義符號函數(shù)sgn x＝則函數(shù)f(x)＝|x|sgn x的圖象大致是(　　)
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝則f的值為(　　)
A. B．－
C. D．18
9．設(shè)f(x)＝若f(x)＝1，則x等于(　　)
A．1 B．±1
C. D．－1
10.(多選)已知函數(shù)f(x)的圖象由如圖所示的兩條曲線組成，則(　　)
A．f(f(－3))＝1
B．f(－1)＝3.5
C．函數(shù)的定義域是(－∞，0]∪[2,3]
D．函數(shù)的值域是[1,5]
11．已知函數(shù)f(＋1)＝x－4，則f(x)的解析式為__________．
12.已知函數(shù)y＝f(x)的對應關(guān)系如表所示，函數(shù)y＝g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，則f(g(2))的值為________；g(f(1))的值為________.
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
13．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＞a，則實數(shù)a的取值范圍是________．
14．已知函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)畫出這個函數(shù)的圖象；
(3)求f(x)的最大值．
15．已知函數(shù)f(x)＝(a，b為常數(shù)，且a≠0)滿足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函數(shù)y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值．
層級(二)　能力提升練
16．已知函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函數(shù)，g(x)是x的反比例函數(shù)，且F＝16，F(xiàn)(1)＝8，則F(x)的解析式為________．
17．設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝f(－x－2)，且圖象與y軸交點的縱坐標為1，被x軸截得的線段長為2，則f(x)的解析式為________________．
18．已知完成某項任務的時間t與參加完成此項任務的人數(shù)x之間適合關(guān)系式t＝ax＋.當x＝2時，t＝100；當x＝14時，t＝28，且參加此項任務的人數(shù)不能超過20人．
(1)寫出函數(shù)t的解析式；
(2)用列表法表示此函數(shù)；
(3)畫出函數(shù)t的圖象．
19．畫出函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：
(1)比較f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1＜x2＜1，比較f(x1)與f(x2)的大小；
(3)求函數(shù)f(x)的值域．
20．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，則a等于(　　)
A．－3 B．±3
C．－1 D．±1
21．(多選)已知函數(shù)f(x)＝關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是(　　)
A．f(x)的定義域為R
B．f(x)的值域為(－∞，4)
C．若f(x)＝3，則x的值是
D．f(x)＜1的解集為(－1,1)
22．已知函數(shù)f(x)＝則f＝________；若當x∈[a，b]時，1≤f(x)≤3，則b－a的最大值是________．
23.如圖，動點P從單位正方形ABCD的頂點A開始，順次經(jīng)B，C，D繞邊界一周，當x表示點P的行程，y表示PA之長時，求y關(guān)于x的解析式，并求f的值．
24.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[0,4]上是拋物線的一段．
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤x＋1.
層級(三)　素養(yǎng)培優(yōu)練
25．設(shè)a，b∈R，定義運算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正數(shù)a，b，c，d滿足ab≥4，c＋d≤4，則(　　)
A．a(chǎn)∧b≥2，c∧d≤2 B．a(chǎn)∧b≥2，c∨d≥2
C．a(chǎn)∨b≥2，c∧d≤2 D．a(chǎn)∨b≥2，c∨d≥2
26．已知n為正整數(shù)，規(guī)定f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，且f(x)＝
(1)解不等式f(x)≤x.
(2)設(shè)集合A＝{0,1,2}，對任意x∈A，證明：f3(x)＝x.
(3)“對任意x∈[0,2]，總有f3(x)＝x”是否正確？請說明理由．
27．已知一個函數(shù)的解析式為y＝x2，它的值域為[1,4]，這樣的函數(shù)有多少個？試寫出其中的兩個函數(shù)：____________________________.
28．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬為2 m，渠深為1.8 m，斜坡的傾斜角是45°.(不考慮臨界狀態(tài))
(1)試將橫斷面中水的面積A(m2)表示成水深h(m)的函數(shù)；
(2)確定函數(shù)的定義域和值域．
【參考答案】
1.解析：選D　題中已給出自變量的取值范圍，x∈{1,2,3,4}．
2.解析：選A　因為3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x＋1，選A.
3.解析：選B　令t＝，得x＝，所以f(t)＝＝，所以f(x)＝.
4.解析：選C　令1－2x＝t，則x＝(t≠1)，
∴f(t)＝－1(t≠1)，即f(x)＝－1(x≠1)，
∴f＝16－1＝15.
5.解析：選C　正方形外接圓的直徑是它的對角線，又正方形的邊長為，由勾股定理得(2y)2＝2＋2，∴y2＝，即y＝x(x>0)．
6.解析：選AD　對于B：取x＝2，f(2)＝3或4，對于C：取x＝1，f(1)＝5或1，所以B、C都不合題意．易知A、D符合．
7.解析：選C　由題意知f(x)＝
則f(x)的圖象為C中圖象所示．
8.解析：選A　因為x＞1時，f(x)＝x2＋x－2，
所以f(2)＝22＋2－2＝4，＝.
又x≤1時，f(x)＝1－x2，
所以f＝f＝1－2＝.故選A.
9.解析：選B　若即∴x＝－1.
若即∴x＝1.
若即無解．
故x＝±1.
10.解析：選AD　選項A，由圖象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，A正確；選項B，圖象法只能近似地求出函數(shù)值，且有時誤差較大，故由圖象不能得出f(－1)的確定值，B錯誤；選項C，由圖象可得函數(shù)的定義域為[－3,0]∪[2,3]，C錯誤；選項D，由圖象可得函數(shù)的值域為[1,5]，D正確．
11.解析：令t＝＋1≥1，則x＝(t－1)2，
故f(t)＝(t－1)2－4＝t2－2t－3(t≥1)，
所以f(x)＝x2－2x－3(x≥1)．
答案：f(x)＝x2－2x－3(x≥1)
12.解析：由函數(shù)g(x)的圖象知，g(2)＝1，則f(g(2))＝f(1)＝2.由表格知f(1)＝2，所以g(f(1))＝g(2)＝1.
答案：2　1
13.解析：當a≥0時，由f(a)＞a得a－1＞a，解得a＜－3，又a≥0，所以無解，當a＜0時，由f(a)＞a得＞a，解得a＜－1，故填(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
14.解：(1)∵>1，
∴f＝－2×＋8＝5.
∵0<<1，∴f＝＋5＝.
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)這個函數(shù)的圖象如圖．
在函數(shù)y＝3x＋5的圖象上截取x≤0的部分，
在函數(shù)y＝x＋5的圖象上截取0在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上截取x>1的部分．
圖中實線組成的圖形就是函數(shù)f(x)的圖象．
(3)由函數(shù)圖象可知，當x＝1時，f(x)取最大值6.
15.解：因為f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①
又因為f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，
所以ax2＋(b－1)x＝0有兩個相等的實數(shù)根，
所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
代入①得a＝.
所以f(x)＝＝.
所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝.
16.解析：設(shè)f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0，且x≠0)，則F(x)＝kx＋.
由F＝16，F(xiàn)(1)＝8，得解得
所以F(x)＝3x＋(x≠0)．
答案：F(x)＝3x＋(x≠0)
17.解析：法一：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0.①
又因為|x1－x2|＝＝2，
所以b2－4ac＝8a2.②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得a＝，b＝2，c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
法二：因為y＝f(x)的圖象有對稱軸x＝－2，
又|x1－x2|＝2，
所以y＝f(x)的圖象與x軸的交點為(－2－，0)，
(－2＋，0)，故可設(shè)f(x)＝a(x＋2＋)(x＋2－)．
因為f(0)＝1，所以a＝.
所以f(x)＝[(x＋2)2－2]＝x2＋2x＋1.
答案：f(x)＝x2＋2x＋1
18.解：(1)由題設(shè)條件知，當x＝2時，t＝100，當x＝14時，t＝28，列出方程組
解得所以t＝x＋.又因為x≤20，x為正整數(shù)，所以函數(shù)的定義域是{x|0(2)x的取值分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，共20個，列表如下：
注：表中的部分數(shù)據(jù)是近似值．
(3)函數(shù)t的圖象是由20個點組成的一個點列，如圖所示．
19.解：因為函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的定義域為R，
列表：
x －2 －1 0 1 2 3 4
y －5 0 3 4 3 0 －5
描點，連線，得函數(shù)圖象如圖所示．
(1)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)
f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)＜f(0)＜f(1)．
(2)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)當
x1＜x2＜1時，有f(x1)＜f(x2)．
(3)根據(jù)圖象，可以看出函數(shù)的圖象是以(1,4)為頂點，開口向下的拋物線，因此，函數(shù)的值域為(－∞，4]．
20.解析：選D　f(－1)＝＝1.
∴f(a)＋f(－1)＝f(a)＋1＝2.
∴f(a)＝1，即
①　或②
解①得a＝1，解②得a＝－1.
∴a＝±1.
21.解析：選BC　由題意知函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，2)，故A錯誤；
當x≤－1時，f(x)取值范圍是(－∞，1]，當－1＜x＜2時，f(x)的取值范圍是[0,4)，因此f(x)的值域為(－∞，4)，故B正確；
當x≤－1時，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，當－1＜x＜2時，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正確；
當x≤－1時，x＋2＜1，解得x＜－1，當－1＜x＜2時，x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f(x)＜1的解集(－∞，－1)∪(－1,1)，故D錯誤．故選B、C.
22.解析：由題意知f＝－＋2＝，
則f＝f＝＋－1＝＋－1＝.作出函數(shù)f(x)的圖象，
如圖所示，結(jié)合圖象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1；令x＋－1＝3，解得x＝2±，又x＞1，所以x＝2＋，
所以(b－a)max＝2＋－(－1)＝3＋.
答案：　3＋
23.解：當點P在AB上運動時，y＝x；
當點P在BC上運動時，y＝，
當點P在CD上運動時，y＝，
當點P在DA上運動時，y＝4－x，
∴y＝
∴f＝ ＝.
24.解：(1)由題圖可知，當x<0時，f(x)＝3，
當0≤x≤4時，設(shè)f(x)＝a(x－2)2－1，
把點(1,0)代入得a－1＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝(x－2)2－1，
當x>4時，設(shè)f(x)＝kx＋b，
把(4,3)，(5,0)代入得，解得
所以f(x)＝－3x＋15，
所以f(x)＝
(2)f(x)≤x＋1，
當x<0時，3≤x＋1，解得x≥4，不符合，舍去;
當0≤x≤4時，(x－2)2－1≤x＋1，解得≤x≤4;
當x>4時，－3x＋15≤x＋1，解得x≥4，所以x>4，
綜上，不等式f(x)≤x＋1得解集為.
25.解析：選C　不妨設(shè)a≤b，c≤d，則a∨b＝b，c∧d＝c.
若b<2，則a<2，∴ab<4，與ab≥4矛盾，∴b≥2.故a∨b≥2.
若c>2，則d>2，∴c＋d>4，與c＋d≤4矛盾，∴c≤2.故c∧d≤2.
26.解：(1)當0≤x≤1時，由2(1－x)≤x，
得x≥，故≤x≤1；
當1＜x≤2時，由x－1≤x，得x∈R，故1＜x≤2.
綜上可知，不等式的解集為.
(2)由題可知，f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1.
當x＝0時，f3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；
同理，可求得當x＝1時，f3(1)＝1；
當x＝2時，f3(2)＝2.
故對任意x∈A，恒有f3(x)＝x.
(3)不正確．例如，x＝∈[0,2]，
f3＝f＝f(f(1))＝f(0)＝2≠，
即f3(x)＝x不成立．
故“對任意x∈[0,2]，總有f3(x)＝x”不正確．
27.解析：由題意知1≤x2≤4，則－2≤x≤－1或1≤x≤2.
∴函數(shù)的定義域為[－2，－1]∪[1,2]．
畫出函數(shù)的圖象可知有無數(shù)個這樣的函數(shù)．
答案：y＝x2，x∈[－2，－1]或y＝x2，x∈[－2，－1]∪[1,2]
28.解：(1)由已知，橫斷面為等腰梯形，下底為2 m，上底為(2＋2h)m，高為h m，
所以水的面積A＝＝h2＋2h.
(2)定義域為{h|0由函數(shù)A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的圖象可知，在區(qū)間(0,1.8)上函數(shù)值隨自變量的增大而增大，
所以0

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