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第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
3．2　函數(shù)的基本性質(zhì)
3．2．1　單調(diào)性與最大(小)值
第一課時　函數(shù)的單調(diào)性
明確目標(biāo) 發(fā)展素養(yǎng)
1.理解函數(shù)的單調(diào)性的概念，能運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性． 2.會用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(證明)一些函數(shù)的單調(diào)性． 3.會求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 1.借助單調(diào)性的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)． 2.通過求單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用單調(diào)性解題，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
1．函數(shù)的單調(diào)性
前提條件 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D I
條件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)f(x2)
圖示
結(jié)論 f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增 f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減
特殊情況 當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù) 當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)
[微思考]　
(1)所有的函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性嗎？
提示：不是．
(2)函數(shù)單調(diào)性的定義中的x1，x2有什么特征？
提示：定義中的x1，x2有以下3個特征．
①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時不能以特殊代替一般；②有大小，通常規(guī)定x12．單調(diào)區(qū)間
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
題型一　判斷(證明)函數(shù)的單調(diào)性　
[典例1]　證明函數(shù)f(x)＝x＋在(0,1)上單調(diào)遞減．
[證明]　設(shè)x1，x2是區(qū)間(0,1)上的任意兩個實(shí)數(shù)，且x1∵0∴x1－x2<0,0∴>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)＝x＋在(0,1)上是減函數(shù)．
[方法技巧]
利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的四個步驟
　　
【對點(diǎn)練清】
1．(多選)下列四個函數(shù)在(－∞，0)上為增函數(shù)的是(　　)
A．y＝|x|＋1　　　　　 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
解析：選CD　y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上為減函數(shù)；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函數(shù)；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函數(shù)．故選C、D.
2．試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f(x)＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
證明：f(x)＝2＋，設(shè)x1>x2>1，
則f(x1)－f(x2)＝－＝，
因?yàn)閤1>x2>1，
所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)所以f(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．
題型二　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
[典例2]　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)y＝|2x－1|；
(2)y＝x2－2x＋5，x∈[－4,3]；
(3)y＝，其中k是常數(shù)且k≠0；
(4)y＝|x2－4x＋3|.
[解]　(1)y＝|2x－1|
＝
結(jié)合圖象知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)y＝x2－2x＋5，x∈[－4,3]，對稱軸為x＝1，開口向上，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－4,1]，單調(diào)遞增區(qū)間為[1,3]．
(3)y＝，其中k是常數(shù)且k≠0.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)k＞0時，函數(shù)在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)k＜0時，函數(shù)在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
(4)先畫出函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象，由于絕對值的作用，把x軸下方的部分翻折到上方，可得函數(shù)y＝|x2－4x＋3|的圖象，如圖所示．
由圖可知，函數(shù)在(－∞，1)和(2,3]上單調(diào)遞減，在[1,2]和(3，＋∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,2]，(3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)，(2,3]．
[方法技巧]
1．圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
(1)作圖：作出函數(shù)的圖象．
(2)結(jié)論：上升圖象對應(yīng)單調(diào)遞增區(qū)間，下降圖象對應(yīng)單調(diào)遞減區(qū)間．
2．常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(1)y＝ax＋b，a>0時，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)；a<0時，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，＋∞)．
(2)y＝，a>0時，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0時，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)．
(3)y＝a(x－m)2＋n，a>0時，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，m]，單調(diào)遞增區(qū)間為(m，＋∞)；a<0時，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，m]，單調(diào)遞減區(qū)間為(m，＋∞)．　　
[對點(diǎn)練清]
寫出下列各函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)y＝；
(2)y＝
(3)y＝－x2＋2|x|＋3.
解：(1)y＝＝1＋，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(－1，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間．
(2)作出函數(shù)y＝的圖象如圖①所示，由圖可知函數(shù)的增區(qū)間為(0，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，0]．
　　
(3)y＝－x2＋2|x|＋3＝作出函數(shù)的圖象如圖②所示，由圖可知，函數(shù)的增區(qū)間為(－∞，－1)和(0,1)；減區(qū)間為(－1,0)和(1，＋∞)．
題型三　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用　
[典例3]　(1)已知函數(shù)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.
①若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，3]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________；
②若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，3]，則實(shí)數(shù)a的值為________．
(2)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[1,2]上不具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______．
[解析]　(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－a－1]．
①由f(x)在(－∞，3]上是增函數(shù)知3≤－a－1，
解得a≤－4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4]．
②由題意得－a－1＝3，a＝－4.
(2)函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x＝－，要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上不單調(diào)，則1＜－＜2，解得－4＜a＜－2.
[答案]　(1)①(－∞，－4]　②－4　(2)(－4，－2)
[方法技巧]
函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用策略
(1)比較函數(shù)值的大小：解決此類問題時，應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(如對稱性等)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間上，利用單調(diào)性比較大小．
(2)解函數(shù)不等式：求解此類問題，主要是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．
(3)求參數(shù)范圍：其方法是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)建含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)進(jìn)行求解，或先得到圖象的升降情況，再結(jié)合圖象求解．　　
【對點(diǎn)練清】
1．函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)且f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，則(　　)
A．a(chǎn)＞b＞0 B．a(chǎn)－b＞0
C．a(chǎn)＋b＞0 D．a(chǎn)＞0，b＞0
解析：選C　當(dāng)a＋b＞0時，a＞－b，b＞－a.
∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，
∴f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．故選C.
2．已知函數(shù)f(x)＝ax2－x＋a＋1在(－∞，2)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(　　)
A. B.
C．[2，＋∞) D．[0,4]
解析：選B　當(dāng)a＝0時f(x)＝－x＋1滿足條件；當(dāng)a≠0時，由題可知a＞0且－＝≥2得0＜a≤.綜上所述，a∈.故選B.
3．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在(－∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(m＋2)解析：∵f(x)在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增， ∴－＝1，∴a＝－2.如圖．
∵f(m＋2)∴0則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－2,0)．
答案：(－2,0)
第二課時　函數(shù)的最大(小)值
明確目標(biāo) 發(fā)展素養(yǎng)
1.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念． 2.能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性，求一些簡單函數(shù)的最值． 3.能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題. 1.借助函數(shù)最值的求法，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)． 2.利用函數(shù)的最值解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
函數(shù)的最大值與最小值
最值 最大值 最小值
條件 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： x∈D，都有
f(x)≤M f(x)≥M
x0∈D，使得f(x0)＝M
結(jié)論 M是函數(shù)y＝f(x)的最大值 M是函數(shù)y＝f(x)的最小值
幾何意義 f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo) f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)
[微思考]　若函數(shù)f(x)≤M，則M一定是函數(shù)的最大值嗎？
提示：不一定，只有定義域內(nèi)存在一點(diǎn)x0，使f(x0)＝M時，M才是函數(shù)的最大值，否則不是．
題型一　圖象法求函數(shù)的最值問題　
[典例1]　已知函數(shù)f(x)＝
(1)在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出f(x)的圖象；
(2)根據(jù)函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．
[解]　(1)圖象如圖所示．
(2)由圖象可知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,0]，[2,5]；單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，值域?yàn)閇－1,3]．
[方法技巧]
利用圖象求函數(shù)最值的步驟
(1)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象．
(2)觀察圖象，找出圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)．
(3)寫出最值，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值．　　
【對點(diǎn)練清】
1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，5]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是(　　)
A．－2，f(2)　　　　　
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：選C　由函數(shù)的圖象知，當(dāng)x＝－2時，有最小值－2；當(dāng)x＝5時，有最大值f(5)．
2．對于每個實(shí)數(shù)x，設(shè)f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4這三個函數(shù)值中的最小值，則函數(shù)f(x)的最大值為(　　)
A.　　　 B．3 C.　　 　D.
解析：選A　由題意，可得函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．
由得A，
∴f(x)的最大值為.
題型二　利用單調(diào)性求函數(shù)最值　
[典例2]　已知函數(shù)f(x)＝.
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
(2)求該函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的最大值和最小值．
[解]　(1)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)，證明如下：
設(shè) x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因?yàn)椋?＜x1＜x2 x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0 f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．
[解]　由(1)知f(x)在[2,4]上單調(diào)遞增，
所以f(x)的最小值為f(2)＝＝，
最大值為f(4)＝＝.
[方法技巧]
利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值．
提醒：(1)求最值勿忘求定義域．
(2)閉區(qū)間上的最值，不判斷單調(diào)性而直接將兩端點(diǎn)值代入是最容易出現(xiàn)的錯誤，求解時一定注意．
【對點(diǎn)練清】
已知函數(shù)f(x)＝＋3(x∈[2,4])，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．
解：設(shè)x1，x2是[2,4]上任意兩個實(shí)數(shù)，且x1所以f(x1)－f(x2)＝＋3－
＝－＝＝，
因?yàn)?≤x1所以x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[2,4]上是增函數(shù)，
所以f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3.
題型三　二次函數(shù)在區(qū)間上的最值　
[典例3]　已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1.
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)當(dāng)a＝1時，求f(x)在閉區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[解]　(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－ax＋1的圖象開口向上，其對稱軸為x＝，
所以區(qū)間[0,1]的哪一個端點(diǎn)離對稱軸遠(yuǎn)，則在哪個端點(diǎn)取到最大值，
當(dāng)≤，即a≤1時，f(x)的最大值為f(1)＝2－a；
當(dāng)>，即a>1時，f(x)的最大值為f(0)＝1.
(2)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2－x＋1，其圖象的對稱軸為x＝.
①當(dāng)t≥時，f(x)在[t，t＋1]上是增函數(shù)，
所以f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②當(dāng)t＋1≤，即t≤－時，f(x)在[t，t＋1]上是減函數(shù)，
所以f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
③當(dāng)t<所以f(x)min＝f＝.
[方法技巧]
1．含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題的解法
解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，首先將二次函數(shù)化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符號確定拋物線的開口方向，依對稱軸x＝－h(huán)得出頂點(diǎn)的位置，再根據(jù)x的定義區(qū)間結(jié)合大致圖象確定最大或最小值．
2．含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題的三種類型
(1)區(qū)間固定，對稱軸變動(含參數(shù))，求最值．
(2)對稱軸固定，區(qū)間變動(含參數(shù))，求最值．
(3)區(qū)間固定，最值也固定，對稱軸變動，求參數(shù)．
通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對稱軸的相對位置進(jìn)行分類討論．　　
【對點(diǎn)練清】
1．二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析：因?yàn)閒(x)＝x2－2x＋3在[0,2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增．則當(dāng)04時，最大值必大于f(4)＝3，此時條件不成立．綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,4]．
答案：[2,4]
2．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3.
(1)當(dāng)x∈[－2,0]時，求f(x)的最值；
(2)當(dāng)x∈[－2,3]時，求f(x)的最值；
(3)當(dāng)x∈[t，t＋1]時，求f(x)的最小值g(t)．
解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其對稱軸為x＝1，開口向上．
(1)當(dāng)x∈[－2,0]時，f(x)在[－2,0]上是減函數(shù)，
故當(dāng)x＝－2時，f(x)有最大值f(－2)＝11；
當(dāng)x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)當(dāng)x∈[－2,3]時，f(x)在[－2,3]上先遞減后遞增，
故當(dāng)x＝1時，f(x)有最小值f(1)＝2.
又|－2－1|>|3－1|，
所以f(x)的最大值為f(－2)＝11.
(3)①當(dāng)t>1時，f(x)在[t，t＋1]上是單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝t時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時，
f(x)在[t，t＋1]上先遞減后遞增，
故當(dāng)x＝1時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(1)＝2.
③當(dāng)t＋1<1，即t<0時，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＝t＋1時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
綜上得g(t)＝
題型四　函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用　
[典例4]　一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤20時，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當(dāng)x＞20時，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元．(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)
(1)求y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式．
(2)當(dāng)該工廠的年產(chǎn)量為多少件時，所得年利潤最大？最大年利潤是多少？
[解]　(1)當(dāng)0＜x≤20時，
y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；
當(dāng)x＞20時，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
(2)當(dāng)0＜x≤20時，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，當(dāng)x＝16時，ymax＝156.
而當(dāng)x＞20時，160－x＜140，
故x＝16時取得最大年利潤，最大年利潤為156萬元．
即當(dāng)該工廠年產(chǎn)量為16件時，取得最大年利潤為156萬元．
[方法技巧]
求解實(shí)際問題的4個步驟
　　
【對點(diǎn)練清】
1．用長為24 m的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形面積最大，則隔墻的長度為_______m.
解析：設(shè)隔墻長度為x m，場地面積為S m2，則
S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.
所以當(dāng)x＝3時，S有最大值．
答案：3
2．將進(jìn)貨單價為40元的商品按50元一個出售時，能賣出500個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10個，為得到最大利潤，售價應(yīng)為多少元？最大利潤為多少？
解：設(shè)售價為x元，利潤為y元，單個漲價(x－50)元，銷量減少10(x－50)個，銷量為500－10(x－50)＝(1 000－10x)個，則y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000.故當(dāng)x＝70時，ymax＝9 000.
即售價為70元時，利潤最大值為9 000元．第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
3．2　函數(shù)的基本性質(zhì)
3．2．1　單調(diào)性與最大(小)值
【課時跟蹤檢測】
層級(一)　“四基”落實(shí)練
1．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(1)＜f(2)＜f(3)，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上(　　)
A．單調(diào)遞增　　　　　　　 B．單調(diào)遞減
C．先增后減 D．不能確定
2.(多選)下列函數(shù)中在(－∞，－1)上單調(diào)遞增的是(　　)
A．y＝ B．y＝1－x2
C．y＝x2＋x D．y＝1－x
3．函數(shù)y＝|x＋2|在區(qū)間[－3,0]上(　　)
A．單調(diào)遞減　　　　　　　　 B．單調(diào)遞增
C．先減后增 D．先增后減
4．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，則下列關(guān)系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)5．若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝在區(qū)間[1,2]上都單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∩(0,1)
C．(0,1) D．(0,1]
6．函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域?yàn)?　　)
A．[－6，－2]　　　　　　　 B．[－11，－2]
C．[－11，－6] D．[－11，－1]
7．函數(shù)f(x)＝則f(x)的最大值、最小值分別為(　　)
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不對
8．若函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值是(　　)
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
9．已知函數(shù)f(x)＝2x－3，當(dāng)x≥1時，恒有f(x)≥m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．R B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．
10．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈[a＋1,1]時，f(x)的最大值與最小值之差為g(a)，則g(a)的最小值為(　　)
A. B．1
C. D．2
11．函數(shù)f(x)＝2x2－3|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是___________．
12．函數(shù)y＝f(x)是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，且y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－2，－3)和B(1,3)，則不等式|f(x)|＜3的解集為________．
13．若一次函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－3,2]，值域?yàn)閇2,7]，則f(x)＝________.
14．用min{a，b}表示a，b兩個數(shù)中的最小值．設(shè)f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，則f(x)的最大值為________．
15．已知函數(shù)f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值．
16．已知函數(shù)f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
層級(二)　能力提升練
17．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對任意兩個不相等的實(shí)數(shù)a，b都有(a－b)[f(a)－f(b)]＞0，則不等式f(3x－1)＞f(x＋5)的解集為(　　)
A．(－∞，3) B．(－∞，2)
C．(3，＋∞) D．(2，＋∞)
18．已知函數(shù)f(x)＝滿足對任意的x1，x2，都有＜0成立，則a的取值范圍是(　　)
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
19．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，關(guān)于f(x)的最大(小)值有如下結(jié)論，其中正確的是(　　)
A．f(x)在區(qū)間[－1,0]上的最小值為1
B．f(x)在區(qū)間[－1,2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在區(qū)間[2,3]上有最小值2，最大值5
D．當(dāng)01時，f(x)在區(qū)間[0，a]上的最小值為1
20．(多選)定義一種運(yùn)算min{a，b}＝設(shè)f(x)＝min{4＋2x－x2，|x－t|}(t為常數(shù))，且x∈[－3,3]，則使函數(shù)f(x)最大值為4的t值可以是(　　)
A．－2　　　　B．6 C．4　　　　D．－4
21．函數(shù)y＝f(x)在(－2,2)上為增函數(shù)，且f(2m)>f(－m＋1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
22．已知函數(shù)f(x)＝ax＋的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)，B(2，－1)．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明．
23．已知一次函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
24．某家庭進(jìn)行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的年收益分別為0.125萬元和0.5萬元(如圖)．
(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式；
(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大年收益，最大年收益是多少萬元？
25．已知函數(shù)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a，b的值；
(2)設(shè)f(x)＝，若不等式f(x)－k＞0在x∈(2,5]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
層級(三)　素養(yǎng)培優(yōu)練
26．(多選)定義[x]為不大于x的最大整數(shù)，對于函數(shù)f(x)＝x－[x]有以下四個結(jié)論，其中正確的是(　　)
A．f(2 021.67)＝0.67
B．在每一個區(qū)間[k，k＋1)(k∈Z)上，函數(shù)f(x)都單調(diào)遞增
C．fD．y＝f(x)的定義域是R，值域是[0,1)
27．(多選)已知函數(shù)f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A． x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3)
B． x∈[－2,2]，f(x)>a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3)
C． x∈[0,3]，g(x)＝a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1,3]
D． x∈[－2,2]， t∈[0,3]，f(x)＝g(t)
28．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3.
(1)設(shè)集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x|f(x)＝0}，C＝{x|f(x)<0}，分別指出2,3,4是A，B，C中哪個集合的元素；
(2)若 a∈R， x1，x2∈[a，＋∞)，當(dāng)x129．已知函數(shù)f(x)對任意的x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x>0時，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求證：f(x)在R上為減函數(shù)；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值及最小值．
【參考答案】
1.解析：選D　由于函數(shù)單調(diào)性的定義突出了x1，x2的任意性，所以僅憑區(qū)間內(nèi)幾個函數(shù)值的關(guān)系，不能作為判斷函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，也就是說函數(shù)單調(diào)性定義的三個特征缺一不可．
2.解析：選AB　A中，y＝＝1－在(－∞，－1)上單調(diào)遞增；B中，y＝1－x2在(－∞，－1)上單調(diào)遞增；C中，y＝x2＋x＝2－在上單調(diào)遞減，D中，y＝1－x在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，故選A、B.
3.解析：選C　y＝|x＋2|＝作出y＝|x＋2|的圖象，如圖所示，易知函數(shù)在[－3，－2)上為減函數(shù)，在[－2,0]上為增函數(shù)．
4.解析：選D　因?yàn)閒(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)5.解析：選D　因?yàn)間(x)＝在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，所以a＞0.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－x2＋2ax的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝a，且函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)遞減，所以a≤1.故滿足題意的a的取值范圍是(0,1]．
6.解析：選B　函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，所以當(dāng)x＝2時，f(x)取得最大值為－(2－2)2－2＝－2；當(dāng)x＝5時，f(x)取得最小值為－(5－2)2－2＝－11，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－11，－2]．
7.解析：選A　當(dāng)1≤x≤2時，8≤2x＋6≤10；當(dāng)－1≤x<1時，6≤x＋7<8，∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.
8.解析：選C　由題意知a≠0，當(dāng)a＞0時，函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上單調(diào)遞增，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；當(dāng)a＜0時，函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上單調(diào)遞減，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.綜上知，a＝±2.
9.解析：選B　因?yàn)閒(x)＝2x－3在x∈[1，＋∞)上為增函數(shù)，所以f(x)min＝－1，故滿足f(x)≥－1.
又因?yàn)樵趚≥1時，f(x)≥m恒成立，所以m≤－1，故m∈(－∞，－1].
10.解析：選B　∵f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，
∴－a≥1，即a≤－1.
∴f(x)在[a＋1,1]上的最大值為f(a＋1)＝3a2＋4a＋4，最小值為f(1)＝4＋2a，
∴g(a)＝3a2＋2a＝32－，
∵g(a)在(－∞，－1]上單調(diào)遞減，
∴g(a)的最小值為g(－1)＝1.
11.解析：函數(shù)f(x)＝2x2－3|x|＝圖象如圖所示，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，.
答案：，
12.解析：∵|f(x)|＜3，∴－3＜f(x)＜3，
∵y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－2，－3)和B(1,3)，
∴f(－2)＝－3，f(1)＝3，
又∵y＝f(x)是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，
∴f(－2)＜f(x)＜f(1)，∴－2＜x＜1.
答案：(－2,1)
13.解析：設(shè)y＝kx＋b，
則當(dāng)k＞0時，得解得
當(dāng)k＜0時，得解得
故f(x)＝x＋5或－x＋4.
答案：x＋5或－x＋4
14.解析：在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y＝x＋2和y＝10－x的圖象．根據(jù)min{x＋2，10－x}(x≥0)的含義可知，f(x)的圖象應(yīng)為圖中實(shí)線部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此時y＝6，故兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,6)．由圖象可知，函數(shù)f(x)的最大值為6.
答案：6
15.解：(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1則f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝.
∵x1，x2∈[3,5]且x1∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x1)∴函數(shù)f(x)＝在[3,5]上為增函數(shù)．
(2)由(1)知，當(dāng)x＝3時，函數(shù)f(x)取得最小值，為f(3)＝；當(dāng)x＝5時，函數(shù)f(x)取得最大值，為f(5)＝.
16.解：設(shè)11.
∵函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，
∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范圍是[－1，＋∞)．
17.解析：選C　不妨設(shè)a＞b，∵(a－b)[f(a)－f(b)]＞0，∴f(a)＞f(b)，
∴f(x)是R上的增函數(shù)，
原不等式等價于3x－1＞x＋5，解得x＞3，
∴原不等式的解集為(3，＋∞)．
18.解析：選D　根據(jù)題意知，f(x)在R上單調(diào)遞減，
則解得0＜a≤2，
∴a的取值范圍為(0,2]．
19.解析：選BCD　函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝1.在選項(xiàng)A中，因?yàn)閒(x)在區(qū)間[－1,0]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[－1,0]上的最小值為f(0)＝2，A錯誤；在選項(xiàng)B中，因?yàn)閒(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[－1,2]上的最小值為f(1)＝1，又因?yàn)閒(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在區(qū)間[－1,2]上的最大值為f(－1)＝5，B正確；在選項(xiàng)C中，因?yàn)閒(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值為f(2)＝2，最大值為f(3)＝5，C正確；在選項(xiàng)D中，當(dāng)01時，因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，a]上的最小值為f(1)＝1，D正確．故選B、C、D.
20.解析：選AC　要使y＝4＋2x－x2在x∈[－3,3]上取到4，
由4＋2x－x2＝4，解得x＝2或x＝0，
所以要使函數(shù)f(x)最大值為4，則根據(jù)定義和圖象可知，
當(dāng)t＜1，即x＝2時，|2－t|＝4，此時解得t＝－2；
當(dāng)t＞1，即x＝0時，|0－t|＝4，此時解得t＝4，
故t＝－2或4.
21.解析：由題意知解得答案：
22.解：(1)∵f(x)的圖象過點(diǎn)A(1,1)，B(2，－1)，
∴解得
∴f(x)＝－x＋.
(2)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．
證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝－
＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)＋＝.
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2＞0，x1x2＋2＞0，
由x1＜x2，得x2－x1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴函數(shù)f(x)＝－x＋在(0，＋∞)上是減函數(shù)．
23.解：(1)由題意設(shè)f(x)＝ax＋b(a>0)．
從而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以解得或(不合題意，舍去)．
所以f(x)的解析式為f(x)＝4x＋1.
(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)圖象的對稱軸為直線x＝－.
若g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則－≤1，解得m≥－，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
24.解：(1)依題意可設(shè)投資債券類產(chǎn)品的年收益f(x)＝k1x(x≥0)，投資股票類產(chǎn)品的年收益g(x)＝k2(x≥0)．
∵f(1)＝k1＝，g(1)＝k2＝，
∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)設(shè)投資債券類產(chǎn)品x萬元，
則投資股票類產(chǎn)品(20－x)萬元，年收益為y萬元．
依題意得y＝f(x)＋g(20－x)，
即y＝＋(0≤x≤20)．
令t＝，則x＝20－t2，t∈[0,2]，
∴y＝＋，t∈[0,2]，
即y＝－(t－2)2＋3，t∈[0,2]，
∴當(dāng)t＝2，即x＝20－t2＝16時，年收益最大，最大年收益為3萬元．
25.解：(1)∵g(x)開口方向向上，且對稱軸方程為x＝1，
∴g(x)在[2,3]上單調(diào)遞增．
∴
解得a＝1，b＝0.
(2)∵f(x)－k＞0在x∈(2,5]上恒成立．
∴只需k＜f(x)min.
由(1)知f(x)＝＝x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，
即x＝3時等號成立．
∴k＜4，故k的取值范圍為(－∞，4)．
26.解析：選ABD　在A中，f(2 021.67)＝2 021.67－2 021＝0.67，故選項(xiàng)A正確；在B中，任取x∈[k，k＋1)，則x＝k＋t,0≤t<1，因此f(x)＝k＋t－k＝t＝x－k是增函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；在C中，f＝－－(－1)＝，f＝－0＝，而>，故選項(xiàng)C錯誤；在D中，顯然f(x)的定義域?yàn)镽，任取x∈[k，k＋1)(k∈Z)，則f(x)＝x－k∈[0,1)，故選項(xiàng)D正確．故選A、B、D.
27.解析：選AC　在A中，因?yàn)閒(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是減函數(shù)，所以當(dāng)x＝2時，函數(shù)取得最小值，最小值為－3，因此a<－3，A正確；在B中，因?yàn)閒(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是減函數(shù)，所以當(dāng)x＝－2時，函數(shù)取得最大值，最大值為5，因此a<5，B錯誤；在C中，g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(x∈[0,3])，所以當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得最小值，最小值為－1，當(dāng)x＝3時，函數(shù)取得最大值，最大值為3，故函數(shù)的值域?yàn)閇－1,3]，由g(x)＝a有解，知a∈[－1,3]，C正確；在D中， x∈[－2,2]， t∈[0,3]，f(x)＝g(t)等價于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3,5]，g(t)的值域是[－1,3]，D錯誤．故選A、C.
28.解：(1)由f(x)＝x2－2x－3，得f(2)＝22－2×2－3＝－3<0，∴2∈C；f(3)＝32－2×3－3＝0，∴3∈B；f(4)＝42－2×4－3＝5>0，∴4∈A.故2∈C,3∈B,4∈A.(2)∵f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．由 a∈R， x1，x2∈[a，＋∞)，當(dāng)x129.解：(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，則2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
令x＝－y，則f(－y)＋f(y)＝f(－y＋y)．
∴f(y)＋f(－y)＝f(0)＝0，即f(－y)＝－f(y)．
令x－y>0，則f(x－y)＝f(x)＋f(－y)＝f(x)－f(y)<0，即f(x)∴函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)．
(2)∵f(x)在R上為減函數(shù)，
∴f(x)在[－3,3]上單調(diào)遞減，
∴f(x)max＝f(－3)＝3f(－1)＝－3f(1)＝－3×＝2，f(x)min＝f(3)＝－f(－3)＝－2.

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