資源簡介

第三章 函數的概念與性質
3．2．2　奇偶性
明確目標 發展素養
1.理解奇函數、偶函數的定義，了解奇函數、偶函數圖象的特征． 2.掌握判斷函數奇偶性的方法，會根據函數奇偶性求函數值或解析式． 3.能利用函數的奇偶性與單調性分析、解決較簡單的問題. 1.借助奇(偶)函數的特征，培養直觀想象素養． 2.借助函數奇偶性的判斷方法，培養邏輯推理素養． 3.借助奇偶性與單調性的應用，提升邏輯推理和數學運算素養.
奇偶性 偶函數 奇函數
定義 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)叫做偶函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)叫做奇函數
圖象特點 關于y軸對稱 關于原點對稱
定義域特征 關于原點對稱
奇偶性 如果函數是奇函數或是偶函數，那么稱函數f(x)具有奇偶性
　　
[微思考]　既是奇函數又是偶函數的函數只有f(x)＝0(x∈R)這一函數嗎？
提示：不是只有一個，有無數個，如f(x)＝0(x∈[－1,1])，f(x)＝0(x∈[－2,2])．
題型一　函數奇偶性的判斷　
[典例1]　判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝ ＋ ；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝
[解]　(1)∵函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)為偶函數．
(2)∵函數f(x)的定義域為{－1,1}，關于原點對稱，
且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函數又是偶函數．
(3)∵函數f(x)的定義域為{x|x≠1}，不關于原點對稱，
∴f(x)是非奇非偶函數，即f(x)既不是奇函數又不是偶函數．
(4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱．當x>0時，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
當x<0時，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
綜上可知，對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數．
[方法技巧]
函數奇偶性的判斷方法
(1)定義法：
確定函數的奇偶性時，必須先判定函數定義域是否關于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．　　
(2)圖象法：
(3)性質法：
設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
提醒：分段函數奇偶性的判斷，要分別從x>0或x<0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區間上滿足相同關系時，分段函數才具有確定的奇偶性．
【對點練清】
1．判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解：(1)函數f(x)的定義域為R.
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函數．
(2)函數f(x)的定義域是R.
因為f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
所以f(x)是偶函數．
(3)函數f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關于原點對稱，所以f(x)是非奇非偶函數．
2．已知函數f(x)＝試判斷函數f(x)的奇偶性．
解：函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱．
當x＜0時，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；
當x＝0時，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)；
當x＞0時，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．
∴f(x)是R上的奇函數．
題型二　奇函數、偶函數的圖象問題　
[典例2]　已知奇函數f(x)的定義域為[－5,5]，且在區間[0,5]上的圖象如圖所示．
(1)畫出在區間[－5,0]上的圖象；
(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合．
[解]　(1)因為函數f(x)是奇函數，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關于原點對稱．
由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．
(2)由圖象知，使f(x)<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)．
[方法技巧]
巧用奇函數、偶函數的圖象求解問題
(1)依據：奇函數 圖象關于原點對稱，偶函數 圖象關于y軸對稱．
(2)求解：根據奇函數、偶函數圖象的對稱性可以解決諸如求函數值或畫出奇函數、偶函數圖象的問題．
[對點練清]
已知函數f(x)＝x2－2|x|－1，x∈[－3,3]．
(1)證明函數f(x)是偶函數，并在給定的坐標系中畫出此函數的圖象；
(2)寫出此函數單調區間與值域．
解：(1)對任意的x∈[－3,3]，－x∈[－3,3]，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
∴f(x)是偶函數，作出x∈[0,3]上的圖象，再作出關于y軸對稱圖象即得．
列表：
x 0 1 2 3
f(x) －1 －2 －1 2
描點連線(如圖)：
(2)由圖象知增區間為(－1,0)，(1,3)，減區間為(－3，－1)，(0,1)，值域為[－2,2]．
題型三　利用函數的奇偶性求解析式　
[典例3]　(1)若函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－1,2a]，則a＝________，b＝________.
(2)已知函數f(x)＝ax2＋2x是奇函數，則實數a＝________.
[解析]　(1)因為偶函數的定義域關于原點對稱，
所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函數f(x)＝x2＋bx＋b＋1為二次函數，結合偶函數圖象的特點，易得b＝0.
(2)由奇函數定義有f(－x)＋f(x)＝0，
得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
[答案]　(1)　0　(2)0
[方法技巧]
1．利用奇偶性求參數的常見類型
(1)定義域含參數：奇函數、偶函數f(x)的定義域為[a，b]，根據定義域關于原點對稱，利用a＋b＝0求參數．
(2)解析式含參數：根據f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數利用待定系數法求解．
2．利用函數奇偶性求函數解析式的3個步驟
(1)“求誰設誰”，即在哪個區間上求解析式，x就應在哪個區間上設．
(2)轉化到已知區間上，代入已知的解析式．
(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．　
【對點練清】
1．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數，則實數a＝________.
解析：法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，兩式恒相等，則a－4＝0，即a＝4.
法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函數為偶函數，只需多項式的奇次項系數為0，即a－4＝0，則a＝4.
答案：4
2．已知f(x)是R上的奇函數，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．
解：因為x∈(－∞，0)時，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．
因為f(x)是R上的奇函數，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．
又f(0)＝0，所以f(x)＝
3．設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函數f(x)，g(x)的解析式．
解：∵f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，　 　①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2, ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
題型四　函數單調性與奇偶性的應用　
【分類例析】
角度(一)　比較大小　
[典例4]　若對于任意實數x，總有f(－x)＝f(x)，且f(x)在區間(－∞，－1]上是增函數，則(　　)
A．fB．f(2)C．f(2)D．f(－1)[解析]　∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數，
∴f(2)＝f(－2)．
又f(x)在區間(－∞，－1]上是增函數，且－2<－<－1，
∴f(2)＝f(－2)[答案]　B
[方法技巧]
比較大小的求解策略
(1)若自變量在同一單調區間上，直接利用函數的單調性比較大小．
(2)若自變量不在同一單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一單調區間上，然后利用單調性比較大小．　　
角度(二)　解不等式問題　
[典例5]　已知定義在[－2,2]上的奇函數f(x)在區間[0,2]上是減函數，若f(1－m)[解]　因為f(x)在區間[－2,2]上為奇函數，且在區間[0,2]上是減函數，所以f(x)在[－2,2]上為減函數．
又f(1－m)所以即
解得－1≤m<.故實數m的取值范圍是.
[方法技巧]
解有關奇函數f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先將f(a)＋f(b)<0變形為f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的單調性去掉“f”，化為關于a，b的不等式．另外，要特別注意函數的定義域．由于偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相反，因此我們要利用偶函數的性質f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)將f(g(x))中的g(x)全部化到同一個單調區間內，再利用單調性去掉符號f，使不等式得解．　　
【對點練清】
1．設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是(　　)
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：選A　由偶函數與單調性的關系知，若x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則x∈(－∞，0)時，f(x)是減函數，故其圖象的幾何特征是自變量的絕對值越小，則其函數值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
2．函數f(x)是定義在實數集上的偶函數，且在[0，＋∞)上是增函數，f(3)A．(1，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：選C　因為函數f(x)是定義在實數集上的偶函數，且f(3)1或a<－2.第三章 函數的概念與性質
3．2．2　奇偶性
【課時跟蹤檢測】
層級(一)　“四基”落實練
1．(多選)下列函數中，是偶函數，且在區間(0,1)上單調遞增的是(　　)
A．y＝|x|　　　　　　　　 B．y＝1－x2
C．y＝－ D．y＝2x2＋4
2．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1為奇函數，則a的值為(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．2
3．設函數f(x)＝且f(x)為偶函數，則g(－2)等于(　　)
A．6 B．－6
C．2 D．－2
4．已知函數y＝f(x)是R上的偶函數，且f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，若f(a)≥f(－2)，則a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
5. (多選)若函數f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為R上的偶函數，當－1≤x≤2時，下列說法正確的是(　　)
A．m＝1 B．m＝2
C．f(x)min＝2 D．f(x)max＝6
6．已知函數f(x)＝ax3＋bx＋＋5，且f(6)＝8，則f(－6)＝________.
7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函數，則f(0)，f(1)，f(－2)從小到大的排列是________________．
8．已知定義在[－3,3]上的函數y＝f(x)是增函數．
(1)若f(m＋1)＞f(2m－1)，求m的取值范圍；
(2)若函數f(x)是奇函數，且f(2)＝1，解不等式f(x＋1)＋1＞0.
層級(二)　能力提升練
9．(多選)設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(　　)
A．f(x)g(x)是奇函數 B．|f(x)|g(x)是奇函數
C．f(x)|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數
10．若定義在R的奇函數f(x)在(－∞，0)單調遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
11．已知函數f(x)是定義在[a－1,2a]上的偶函數，且當x>0時，f(x)單調遞增，則關于x的不等式f(x－1)>f(a)的解集為________________．
12．已知f(x)是定義在R上的函數，設g(x)＝，h(x)＝.
(1)試判斷g(x)與h(x)的奇偶性；
(2)試判斷g(x)，h(x)與f(x)的關系；
(3)由此你能猜想出什么樣的結論？
13．已知函數f(x)＝是奇函數，x∈(－1,1)．
(1)求實數a和b的值；
(2)求證：函數f(x)在(－1,1)上單調遞增；
(3)若對于任意的t∈(0,1)，不等式f(t2－2t)＋f(－k)＜0恒成立，求實數k的取值范圍．
層級(三)　素養培優練
14．(多選)給出定義：若m－A．函數y＝f(x)的定義域是R，值域是
B．函數y＝f(x)是偶函數
C．函數y＝f(x)是奇函數
D．函數y＝f(x)在上單調遞增
15．已知定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數f(x)滿足：① x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)；②當x>1時，f(x)>0，且f(2)＝1.
(1)判斷函數f(x)的奇偶性；
(2)判斷函數f(x)在(0，＋∞)上的單調性；
(3)求函數f(x)在區間[－4,0)∪(0,4]上的最大值；
(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．
【參考答案】
1.解析：選AD　根據題意，依次分析選項：
對于A，y＝|x|，是偶函數，且在區間(0，＋∞)上單調遞增，符合題意；
對于B，y＝1－x2，是二次函數，在區間(0,1)上為減函數，不符合題意；
對于C，y＝－，是反比例函數，是奇函數，不符合題意；
對于D，y＝2x2＋4，為二次函數，是偶函數且在區間(0，＋∞)上單調遞增，符合題意．
2.解析：選C　∵f(x)為R上的奇函數，∴f(0)＝0，解得a＝1.
3.解析：選A　g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
4.解析：選D　由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)，∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.
5.解析：選BCD　根據題意，函數f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為R上的偶函數，則有f(－x)＝f(x)，即(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，必有m－2＝0，即m＝2，則f(x)＝x2＋2，為開口向上的二次函數，當－1≤x≤2時，其最小值為f(0)＝2，最大值為f(2)＝6.
6.解析：令g(x)＝ax3＋bx＋，則f(x)＝g(x)＋5，
所以g(6)＝f(6)－5＝3.
又g(－x)＝－ax3－bx－＝－g(x)，
所以g(x)為奇函數，所以g(－6)＝－g(6)＝－3.
所以f(－6)＝g(－6)＋5＝2.
答案：2
7.解析：∵f(x)是偶函數，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的圖象開口向下，對稱軸為y軸，在[0，＋∞)上單調遞減，
∴f(2)即f(－2)答案：f(－2)8.解：(1)由題意可得，求得－1≤m＜2，
即m的取值范圍是[－1,2)．
(2)∵函數f(x)是奇函數，且f(2)＝1，
∴f(－2)＝－f(2)＝－1，
∵f(x＋1)＋1＞0，∴f(x＋1)＞－1，
∴f(x＋1)＞f(－2)，
∴∴－3＜x≤2.
∴不等式的解集為{x|－3＜x≤2}．
9.解析：選AC　∵f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，∴|f(x)|為偶函數，|g(x)|為偶函數．再根據兩個奇函數的積是偶函數、兩個偶函數的積還是偶函數、一個奇函數與一個偶函數的積是奇函數，可得f(x)|g(x)|為奇函數．
10.解析：選D　法一：由題意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)單調遞減，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.
當x>0時，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；
當x<0時，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，
∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；
當x＝0時，顯然符合題意．
綜上，原不等式的解集為[－1,0]∪[1,3]，故選D.
法二：當x＝3時，f(3－1)＝0，符合題意，排除B；當x＝4時，f(4－1)＝f(3)<0，不符合題意，排除A、C.故選D.
11.解析：因為f(x)是定義在[a－1,2a]上的偶函數，所以a－1＋2a＝0，解得a＝，則f(x)的定義域為.由偶函數的性質知，f(x－1)>f(a) f(|x－1|)>f(a)．又x>0時，f(x)單調遞增，所以|x－1|>　①.又－≤x－1≤　②，聯立①②解得≤x<或f(a)的解集為∪.
答案：∪
12.解：(1)∵g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，∴g(x)是偶函數，h(x)是奇函數．
(2)g(x)＋h(x)＝＋＝f(x)．
(3)如果一個函數的定義域關于原點對稱，那么這個函數就一定可以表示為一個奇函數與一個偶函數的和．
13.解：(1)∵f(x)＝是奇函數，x∈(－1,1)，
∴f(0)＝a＝0，f(x)＝，
∵f(－x)＝－f(x)對任意的x∈(－1,1)都成立，
∴＝－，
∴－bx＝bx即b＝0，故a＝b＝0.
(2)證明：由(1)知f(x)＝，
設－1＜x1＜x2＜1，
則f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴＜0，
即f(x1)＜f(x2)，函數f(x)在(－1,1)上單調遞增．
(3)∵t∈(0,1)，f(t2－2t)＋f(－k)＜0恒成立，
∴f(t2－2t)＜－f(－k)＝f(k)，
∴t2－2t＜k，
∵t∈(0,1)，而y＝t2－2t在(0,1)單調遞減，
∴－1＜t2－2t＜0，
∴k≥0，
故k的取值范圍為[0，＋∞)．
14.解析：選AD　化簡函數解析式可得，f(x)＝x－{x}
＝
畫出該函數的圖象，如圖所示，由圖象可知A、D正確．
15.解：(1)函數f(x)的定義域關于原點對稱．
令y＝1，則f(x)＝f(x)＋f(1)，∴f(1)＝0.
令x＝y＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.令y＝－1，則f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，∴函數f(x)為偶函數．
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11.
∵當x>1時，f(x)>0，∴f>0.
而f(x2)＝f＝f(x1)＋f>f(x1)，
∴函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，且f(2)＝1，
∴f(4)＝2.
又由(1)(2)知函數f(x)是偶函數且在(0,4]上單調遞增，
∴函數f(x)在區間[－4,0)∪(0,4]上的最大值為f(4)＝f(－4)＝2.
(4)∵f(3x－2)＋f(x)＝f[x(3x－2)]，4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，
∴原不等式等價于f[x(3x－2)]≥f(16)，
又函數f(x)為偶函數，且函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
∴原不等式又等價于
即x(3x－2)≥16或x(3x－2)≤－16，
解得x≤－2或x≥，
∴不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集為
.

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