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滾動習題(五)
1.C　[解析] 由頻率的定義得,正面朝上的頻率為=0.48.正面朝上的概率為0.5,與試驗次數無關.故選C.
2.D　[解析] 由題知摸出黃球的概率為0.62-0.4=0.22,則摸出紅球或藍球的概率為1-0.22=0.78.故選D.
3.D　[解析] 該試驗任務不成功的概率P=××=,所以該項試驗成功的概率為1-P=1-=.故選D.
4.C　[解析] ∵事件∩與事件A∪B是對立事件,
∴P(∩)=1-P(A∪B)=1-=,則此人猜測正確的概率為.故選C.
5.A　[解析] 青蛙跳三次回到A荷葉只有兩條途徑.第一條,按A→B→C→A,其概率P1=××=;第二條,按A→C→B→A,其概率P2=××=.所以跳三次之后停在A荷葉上的概率P=P1+P2=+=.
6.B　[解析] 由題意可知,回答問題A的學生人數大約為1000×=400,回答問題B的學生人數大約為1000×=600,問題A中回答“是”的人數大約為400×=200,則問題B中回答“是”的人數大約為270-200=70,所以估計該校學生在校使用手機的概率P=≈0.12.故選B.
7.ABD　[解析] 對于A,D3為“點數大于3”,D1為“點數大于2”,顯然D3 D1,故A正確;對于B,D4為“點數為4”,D3為“點數大于3”,顯然D4 D3,故B正確;對于C,由A選項知,D3 D1,故D1∪D3=D1,故C錯誤;對于D,D1為“點數大于2”,D2為“點數不大于2”,顯然D1與D2不能同時發生,故D1∩D2= ,故D正確.故選ABD.
8.AD　[解析] 由題可知,樣本空間共有6×6=36(個)樣本點,
事件甲包含的樣本點有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),共6個,
事件乙包含的樣本點有(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),共6個,
事件丙包含的樣本點有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5個,
事件丁包含的樣本點有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6個,
所以P(丙)=,P(丁)==,P(甲)==,
P(乙)==,故A正確,B錯誤.
同時滿足事件甲、丁的樣本點有(1,6),共1個,同時滿足事件乙、丙的樣本點有(6,2),共1個,
所以P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(甲丁)==P(甲)P(丁),所以乙與丙不相互獨立,甲與丁相互獨立,故C錯誤,D正確.故選AD.
9.　[解析] 由題意,選中的兩人只有兩人都是男生、兩人都是女生、恰有一名男生一名女生三種情況,則選中的兩人中恰有一人是女生的概率為1--=.
10.2或8　[解析] 由題意知,取出的2個球顏色不同的概率為+=,化簡得n2-10n+16=0,解得n=2或n=8.
11.　[解析] 最后甲獲勝含3種情況:①第三局甲勝,概率為;②第三局乙勝,第四局甲勝,概率為×=;③第三局和第四局乙勝,第五局甲勝,概率為××=.所以最后甲獲勝的概率為++=.
12.解:(1)由頻率分布直方圖的性質,可得(0.004+x+0.020+0.008+0.002)×20=1,解得x=0.016.
因為前2組的頻率之和為(0.004+0.016)×20=0.4,
前3組的頻率之和為(0.004+0.016+0.020)×20=0.8,所以中位數在[60,80)內,
設中位數為n,則(n-60)×0.020=0.5-0.4,解得n=65,所以中位數為65.
平均數為(30×0.004+50×0.016+70×0.020+90×0.008+110×0.002)×20=65.2.
(2)①因為這6名志愿者服務時長的平均數為67,
所以×(22+39+80+81+80+m+93)=67,解得m=7.
②由頻率分布直方圖,可得數據在[20,40),[80,100)內的頻率比為1∶2,
故在[20,40)內抽取2人,記為A1,A2,在[80,100)內抽取4人,記為B1,B2,B3,B4.
從這6名志愿者中隨機抽取2人的樣本空間為Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4)},共包含15個樣本點,
所抽取的2人的服務時長都在[80,100)內包含的樣本點有6個,所以所求概率P==.
13.解:(1)設(i,j)表示(甲抽到的牌的牌面數字,乙抽到的牌的牌面數字),方片4用4'表示,則甲、乙二人抽到的牌的樣本空間Ω={(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4',2),(4',3),(4',4)},共包含12個樣本點.
(2)若甲抽到紅桃3,則乙抽到的牌只能是紅桃2,紅桃4,方片4.因此乙抽到的牌的牌面數字大于3的概率為.
(3)由(1)可知,“甲抽到的牌的牌面數字比乙大”包含的樣本點有(3,2),(4,2),(4,3),(4',2),(4',3),共5個,所以甲勝的概率P1=,乙勝的概率P2=.
因為<,所以此游戲規則不公平.
14.解:(1)由題意得,按照分層抽樣的方法抽取20人,第四組應抽取4人,記為A,B,甲,乙,第五組應抽取2人,記為C,D.
樣本空間Ω={(A,B,甲),(A,B,乙),(A,B,C),(A,B,D),(A,甲,乙),(A,甲,C),(A,甲,D),(A,乙,C),(A,乙,D),(A,C,D),(B,甲,乙),(B,甲,C),(B,甲,D),(B,乙,C),(B,乙,D),(B,C,D),(甲,乙,C),(甲,乙,D),(甲,C,D),(乙,C,D)},共包含20個樣本點.
設事件M為“甲、乙2人至少有1人被選為組長”,則事件為“甲、乙2人都沒有被選為組長”,則=,共包含4個樣本點,
所以P()==,所以P(M)=1-P()=.
(2)第三組有200×0.06×5=60(人),第四組有200×0.04×5=40(人).設第三組、第四組的組員的年齡的平均數分別為,,方差分別為,,
則=33,=38,=2,=3.
設這200人中年齡在[30,40)內的組員的年齡的平均數為,方差為s2,
則==35,
s2=×{60×[+]+40×[+]}=×{60×[2+(33-35)2]+40×[3+(38-35)2]}=8.4.
估計這200人中年齡在[30,40)內的組員的年齡的方差為8.4.(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
1.在一次拋硬幣的試驗中,某同學用一枚質地均勻的硬幣做了1000次試驗,發現正面朝上出現了480次,那么出現正面朝上的頻率和概率分別為 (　 )
A.0.48,0.48 B.0.5,0.5
C.0.48,0.5 D.0.5,0.48
2.口袋中有若干紅球、黃球與藍球,每次摸一個球.若摸出紅球的概率為0.4,摸出紅球或黃球的概率為0.62,則摸出紅球或藍球的概率為(　 )
A.0.22 B.0.38 C.0.6 D.0.78
3.在太空站內有甲、乙、丙三名航天員依次出倉進行同一試驗,每次只派一人,每人最多出倉一次.若前一人試驗不成功,則返倉后派下一人重復進行該試驗;若試驗成功,則終止試驗.已知甲、乙、丙各自出倉試驗成功的概率分別為,,,每人出倉試驗能否成功相互獨立,則該項試驗最終成功的概率為 (　 )
A. B. C. D.
4.已知隨機事件A,B發生的概率滿足條件P(A∪B)=,某人猜測事件∩發生,則此人猜測正確的概率為 (　 )
A.1 B. C. D.0
5.在荷花池中,有一只青蛙在呈品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時,均從一片荷葉跳到另一片荷葉),而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍, 如圖所示.假設現在青蛙在A荷葉上,則跳三次之后停在A荷葉上的概率是 (　 )
A. B. C. D.
6.[2023·廣東東莞高一期末] 對敏感性問題調查的關鍵是要設法消除被調查者的顧慮,使他們能如實回答問題.為調查學生是否有在校使用過手機的情況,某校設計如下調查方案:調查者在沒有旁人的情況下,獨自從一個箱子中隨機抽一個球,看過顏色后放回,若抽到白球,則回答問題A,若抽到紅球,則回答問題B,且箱子中只有白球和紅球.
問題A:你的生日的月份是否為偶數 (假設生日的月份為偶數的概率為)
問題B:你是否有在校使用過手機
已知該校在一次實際調查中,箱子中放有白球2個,紅球3個,調查結束后共收到1000張有效答卷,其中有270張回答“是”,以頻率估計概率,估計該校學生在校使用過手機的概率是(精確到0.01) (　 )
A.0.09 B.0.12
C.0.20 D.0.27
二、多項選擇題:本大題共2小題,每小題6分,共12分.
7.拋擲一枚質地均勻的骰子,記事件D1為“點數大于2”,D2為“點數不大于2”,D3為“點數大于3”,D4為“點數為4”,則下列結論正確的是 (　 )
A.D3 D1 B.D4 D3
C.D1∪D3=D3 D.D1∩D2=
8.有6個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球.事件甲表示“第一次取出的球的數字是1”,事件乙表示“第二次取出的球的數字是2”,事件丙表示“兩次取出的球的數字之和是8”,事件丁表示“兩次取出的球的數字之和是7”,則(　 )
A.P(丙)= B.P(丁)=
C.乙與丙相互獨立 D.甲與丁相互獨立
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.
9.從某班學生中任選兩人參加勞動,選中的兩人都是男生的概率是,選中的兩人都是女生的概率是,則選中的兩人中恰有一人是女生的概率為　　　　.
10.一個袋子中有大小和質地相同的4個紅球和n個綠球,有放回地從中依次隨機取出2個球,若取出的2個球顏色不同的概率為,則n的所有可能取值為　　　　.
11.甲、乙兩位同學進行羽毛球比賽,約定五局三勝(無平局),已知甲每局獲勝的概率都為,且前兩局以2∶0領先,則最后甲獲勝的概率為　　　　.
四、解答題:本大題共3小題,共43分.
12.(13分)某會議結束后隨機抽取了50名志愿者,統計了會議期間每個人14天的志愿服務總時長,按時長分為5組:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120].得到如圖①所示的頻率分布直方圖.
(1)求x的值,估計抽取的志愿者服務時長的中位數和平均數.
(2)在樣本中用分層抽樣的方法從[20,40),[80,100)這2組中隨機抽取6名志愿者,記錄每個人的服務總時長,得到如圖②所示的莖葉圖.
①已知這6名志愿者服務時長的平均數為67,求m的值;
②若從這6名志愿者中隨機抽取2人,求所抽取的2人的服務時長都在[80,100)內的概率.
13.(15分)甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2、紅桃3、紅桃4、方片4)玩游戲,他們將撲克牌洗勻后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一張.
(1)寫出該試驗的樣本空間.
(2)若甲抽到紅桃3,則乙抽到的牌的牌面數字比3大的概率是多少
(3)甲、乙約定,若甲抽到的牌的牌面數字比乙大,則甲勝,否則乙勝.你認為此游戲規則是否公平 說明你的理由.
14.(15分)某知識競賽的滿分為100分(90分及以上為認知程度高),結果認知程度高的有200人,按年齡分成5組:[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45],得到如圖所示的頻率分布直方圖.現從各組中按照分層抽樣的方法抽取20人,擔任宣傳使者.
(1)若甲(年齡37歲)、乙(年齡38歲)兩人已確定擔任宣傳使者,現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中隨機抽取3人作為組長,求甲、乙2人至少有1人被選為組長的概率;
(2)若第三組組員的年齡的平均數與方差分別為33和2,第四組組員的年齡的平均數與方差分別為38和3,據此估計這200人中年齡在[30,40)內的組員的年齡的方差.

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