資源簡介

1.3.空間向量及其運算的坐標表示 難點訓練微專題(解析版）
突破通法：
1.空間向量的坐標表示及其應用必記公式：
設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示 坐標表示
數量積 a·b a1b1+a2b2+a3b3
共線 a=λb(b≠0,λ∈R) a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0
模 |a|
夾角 (a≠0,b≠0) cos=
2.注意問題：（1）空間向量的坐標運算和坐標原點的選取無關.
（2）.實數0和任意向量相乘都為零向量.
（3）.實數與空間向量可以進行數乘運算,但不能進行加減運算.
微專題訓練
一、單選題
1．在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在空間直角坐標系中，一個點關于平面對稱的點的坐標為，據此即可得到答案．
【詳解】由空間直角坐標系，可得點關于平面對稱的點的坐標為.
故選：C
2．若點關于平面和x軸對稱的點分別為，，則（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】C
【分析】確定點關于平面以及關于x軸對稱的點的坐標，即可求得答案.
【詳解】由題意得點關于平面對稱的點為，關于x軸對稱的點為，
則，，所以．
故選：C
3．在空間直角坐標系中，點在坐標平面上的射影的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據點在坐標平面內射影的特點，直接寫出答案即可．
【詳解】由題意得，點的縱坐標，豎坐標不變，橫坐標為0，則.
故選：A.
4．已知向量，，且與互相垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量線性關系的坐標運算及垂直的坐標表示列方程求參數即可.
【詳解】由題設，，
又與互相垂直，則，解得.
故選：C
5．已知空間向量，，則向量與夾角的余弦值為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】應用空間向量的夾角余弦公式結合空間向量的數量積公式及模長公式計算求解.
【詳解】因為空間向量，，
則向量與夾角的余弦值為.
故選：C.
6．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據向量夾角公式的坐標表示求解.
【詳解】由已知兩式相加，得即，
兩式相減可得即，
所以.
故選：C
7．設向量則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據向量共線得，解出即可求解.
【詳解】
故選：D.
8．已知向量，在向量上的投影向量為，則實數的取值范圍為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出向量在向量上的投影向量，再分和兩種情況、利用基本不等式即可求解.
【詳解】由已知得，則向量在向量上的投影向量為：
，
所以，
當時，，
當且僅當，即時，等號成立；
當時，，
當且僅當，即時，等號成立.
所以實數的取值范圍為.
故選：C.
二、多選題
9．已知空間向量，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量為
【答案】AC
【分析】根據向量坐標運算，驗證向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解決.
【詳解】因為，所以，故A正確；
由題得，而，所以不成立，故B不正確；
因為，故C正確；
因為在上的投影向量為，故D錯誤；
故選：AC.
10．在空間直角坐標系中，已知點，，，，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．是直線的一個方向向量
C．
D．若點是點在平面內的射影，則
【答案】BC
【分析】根據向量垂直的坐標表示即可判斷A；根據共線向量的坐標表示即可判斷B；根據向量夾角的坐標表示計算即可判斷C；根據向量的模的坐標表示計算即可判斷D.
【詳解】列表解析：
選項 正誤 原因
A × ，，因為， 所以，解得.
B √ ，， 則是直線AB的一個方向向量.
C √ ， 則.
D × 易知點在Oyz平面內的射影為， 可知，即可得.
故選：BC.
11．已知向量，，，則下列結論正確的是（ ）
A．向量與向量的夾角為 B．
C． D．向量在向量上的投影向量為
【答案】BC
【分析】對于A，根據向量的夾角公式計算即可；對于BC，利用向量垂直及平行的坐標表示驗證即可；對于D，根據向量在向量上的投影向量為計算即可.
【詳解】對于A，因為，，
所以，
又，所以，所以A錯誤；
對于B，因為，所以，
故，所以B正確；
對于C，由向量，，，可知，故，所以C正確；
對于D，根據投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為
，所以D錯誤，．
故選：BC.
三、填空題
12．已知向量，，，當時，向量在向量上的投影的數量為
【答案】
【分析】由向量數量積的幾何意義即可求.
【詳解】向量量，，，
所以，解得，所以，，
所以向量在向量上的投影的數量為.
故答案為：.
13．已知，則在方向上的投影向量的坐標為 ．
【答案】
【分析】計算出，利用投影向量的計算公式進行求解.
【詳解】，
可得在方向上的投影向量為
．
故答案為：
14．已知，，，若，則的值為 .
【答案】
【分析】先求出，再根據可得，利用空間向量垂直的坐標運算列式可求的值.
【詳解】因為，，所以，
由得，又，
所以，解得.
故答案為：
四、解答題
15．已知．
(1)求向量的坐標；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由空間向量的坐標運算直接求解；
（2）分別求出，的坐標，由平行可得，再由向量相等的條件求解即可.
【詳解】（1）由，得．
（2）由（1）知，
所以，，
又，則，
即，
所以，
則．
16．已知向量，，
(1)求的值；
(2)求；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由數量積的坐標表示即可求解；
（2）由夾角公式即可求解.
【詳解】（1）因為，，
所以，又因為，
所以．
（2）因為，，
所以．1.3.空間向量及其運算的坐標表示 難點訓練微專題(學生版）突破通法：
1.空間向量的坐標表示及其應用必記公式：
設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示 坐標表示
數量積 a·b a1b1+a2b2+a3b3
共線 a=λb(b≠0,λ∈R) a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0
模 |a|
夾角 (a≠0,b≠0) cos=
2.注意問題：（1）空間向量的坐標運算和坐標原點的選取無關.
（2）.實數0和任意向量相乘都為零向量.
（3）.實數與空間向量可以進行數乘運算,但不能進行加減運算.
微專題訓練
一、單選題
1．在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
2．若點關于平面和x軸對稱的點分別為，，則（ ）
A． B． C．1 D．9
3．在空間直角坐標系中，點在坐標平面上的射影的坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，且與互相垂直，則（ ）
A． B． C． D．
5．已知空間向量，，則向量與夾角的余弦值為（ ）.
A． B． C． D．
6．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
7．設向量則（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，在向量上的投影向量為，則實數的取值范圍為（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多選題
9．已知空間向量，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量為
10．在空間直角坐標系中，已知點，，，，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．是直線的一個方向向量
C．
D．若點是點在平面內的射影，則
11．已知向量，，，則下列結論正確的是（ ）
A．向量與向量的夾角為 B．
C． D．向量在向量上的投影向量為
三、填空題
12．已知向量，，，當時，向量在向量上的投影的數量為
13．已知，則在方向上的投影向量的坐標為 ．
14．已知，，，若，則的值為 .
四、解答題
15．已知．
(1)求向量的坐標；
(2)若，求的值．
16．已知向量，，
(1)求的值；
(2)求；

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