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1.4.1 課時3空間中直線、平面的垂直
【基礎鞏固】
1．已知直線的方向向量為，平面的一個法向量為，若，則的值（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在棱長為的正方體中，已知
，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．在空間直角坐標系中，為坐標原點，為其內一點，，平面平面，則平面的一個法向量可以為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在直三棱柱中，，，已知與分別為和的中點，與分別為線段和上的動點（不包括端點），若，則線段的長度的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．（多選）在正方體中，是棱上的動點不含端點，下列說法中正確的有（ ）
A．平面 B．
C．四面體的體積為定值 D．存在點，使得平面平面
6．設直線的方向向量，平面的法向量，若，則_________.
7．如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，，是的中點，，若點在矩形內，且平面，則__________．
8．如圖，在三棱柱中，底面，，，，為的中點，為側棱上的動點.
(1)求證：平面平面；
(2)試判斷是否存在，使得直線.若存在，求的長；若不存在，請說明理由.
【能力拓展】
9．如圖，正方體中，、分別是、上的中點，是上的動點.下列結論錯誤的是（ ）
A．存在點，使得平面
B．
C．平面截正方體所得截面為等腰梯形
D．平面平面
10．（多選）如圖，在棱長為的正方體中，點滿足
，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則平面
B．若，則點的軌跡長度為
C．若，則存在，使
D．若，則存在，使平面
11．如圖所示，正八面體的棱長為，點為正八面體內(含表面)的動點，，則的取值范圍為_________.
【素養(yǎng)提升】
12．如圖，在三棱柱中，，，是棱的中點.
(1)證明：；
(2)若三棱錐的體積為，問是否在棱上存在一點使得平面？若存在，請求出線段的長度；若不存在，請說明理由.1.4.1 課時3空間中直線、平面的垂直
【基礎鞏固】
1．已知直線的方向向量為，平面的一個法向量為，若，則的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量，
且直線平面，所以，所以，解得.故選：B.
2．如圖，在棱長為的正方體中，已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，則，，
設，則，，
因為，所以，即，解得.故選：D.
3．在空間直角坐標系中，為坐標原點，為其內一點，，平面平面，則平面的一個法向量可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設為空間內一點，且，
由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面內部），
故不妨取為其法向量，則，，
所以，取代入得到，故D正確.
故選：D.
4．如圖，在直三棱柱中，，，已知與分別為和的中點，與分別為線段和上的動點（不包括端點），若，則線段的長度的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在直三棱柱中，底面，
以點為坐標原點，，、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、，設點、，
，，
由于，則，可得，
，則，
.
故選：C.
5．（多選）在正方體中，是棱上的動點不含端點，下列說法中正確的有（ ）
A．平面
B．
C．四面體的體積為定值
D．存在點，使得平面平面
【答案】AB
【解析】對于A，因為，平面，平面，
所以平面，故A正確；
對于B，因為平面，平面，所以，
因為，，平面，
所以平面，因為平面，所以，故B正確；
對于C，因為平面，，
所以與平面相交，即點到平面的距離不是定值，
因為，為定值，所以四面體的體積不為定值，故C錯誤；
對于D，以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，
設正方體的棱長為，
則，，，，設，
則，，，，
設平面的法向量為，
由，取，則，，所以，
平面的法向量為，
由，取，則，，所以，
若存在點，使得平面平面，
則，
因為，所以無解，
所以不存在點，使得平面平面，故D錯誤.
故選：AB.
6．設直線的方向向量，平面的法向量，若，則_________.
【答案】
【解析】因為直線的方向向量，平面的法向量，，
所以，所以，解得.故答案為：.
7．如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，，是的中點，，若點在矩形內，且平面，則__________．
【答案】
【解析】如圖，以為坐標原點，，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，，，
，
設平面的法向量為
則
令，得,所以，
設，則，又平面，則，
所以，解得，，所以.
故答案為：.
8．如圖，在三棱柱中，底面，，，，為的中點，為側棱上的動點.
(1)求證：平面平面；
(2)試判斷是否存在，使得直線.若存在，求的長；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)存在，
【解析】(1)在三棱柱中，底面，平面，
，，為的中點，，
， 平面，平面，
平面，平面平面；
(2)以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
，，，設，則，，，若，則，解得，
所以存在，使得直線，此時.
【能力拓展】
9．如圖，正方體中，、分別是、上的中點，是上的動點.下列結論錯誤的是（ ）
A．存在點，使得平面
B．
C．平面截正方體所得截面為等腰梯形
D．平面平面
【答案】B
【解析】
如圖建系，設正方體的棱長為.
對于A，易得，
因是的中點，故，點在上，設，
則，
平面的法向量可取為，
由，解得，即存在，使得平面，
此時，點恰為的中點，故A正確；
對于B，由上建系，則，
由，可知與不垂直，故B錯誤；
對于C，如圖，取的中點為，連接，易得，
因，則得，故有，則，
又平面平面，平面平面，
故即為平面與平面的截線，
又，故平面截正方體所得截面為等腰梯形，故C正確；
對于D，由上建系，因為的中點，則，，
設平面的法向量為，
則，故可取，
又，
設平面的法向量為，
則，故可取，
由，可得，
故平面平面，即D正確.
故選：B.
10．（多選）如圖，在棱長為的正方體中，點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則平面
B．若，則點的軌跡長度為
C．若，則存在，使
D．若，則存在，使平面
【答案】ABD
【解析】
對于A，若，則，則點在線段上，如上圖.
因平面平面，且平面平面，平面平面，
故因平面，平面，故平面，同理可證平面，
因平面，平面，且，故有平面平面，
又因為平面，所以平面，故A正確；
對于B，若，則（為的中點）如上圖.
又因為，所以.故點的軌跡長度為，故B正確；
對于C，若，則，所以.
，所以點在線段上（如上圖）.假設，則，
即，化簡得，
該方程無解，所以不存在，故C錯誤；
對于D，如上圖，設為的中點，
當時，則，即，
建立如圖所示的空間直角坐標系.
則，
.
所以.
假設平面，則，
即，解得.故D正確.
故選： .
11．如圖所示，正八面體的棱長為，點為正八面體內(含表面)的動點，，則的取值范圍為_________
【答案】
【解析】設交于點，且，的中點為，
因為
，
則，即，
可知點的軌跡是過點且與直線垂直的平面，
如圖，以為坐標運算，分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
設點，則，
可得，可得，
直線上的點滿足，結合可得，
可知直線與平面的交點為，
同理可得：平面與直線的交點依次為
，
又因為，
注意到，則，
即，可知平面，
當點為與平面的交點時，取到最小值，
可設，
可得，結合可得，即，
則，所以取到最小值，
檢驗可知：當點為時，取到最大值，
所以取到最大值；
綜上所述：的取值范圍為.
故答案為：.
【素養(yǎng)提升】
12．如圖，在三棱柱中，，，是棱的中點.
(1)證明：；
(2)若三棱錐的體積為，問是否在棱上存在一點使得平面？若存在，請求出線段的長度；若不存在，請說明理由.
【答案】見解析
【解析】(1)如圖，取中點，連接.
∵,∴,
∵,,,
∴與全等，
∴，∴，
∵，、平面，
∴平面，
∵平面，∴.
(2)不存在，理由如下：
由(1)得，平面，
∵平面，
∴平面平面，
如圖，過點作于點.
∵平面平面，平面， ∴平面
由題意得，
∴，設三棱柱的高為，
∵三棱錐的體積為，
∴三棱錐的體積為，即，
∴，即，
∴，∴點為中點.
取中點，則，∴.
故可以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
∴， ，，.
設，則，
∴，
要使平面，則需且，
由得，，解得，
由得，，解得，
由兩個方程解出值不同可得在棱上不存在點使得平面.

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