資源簡介

1.4.2.3利用空間向量求解平面與平面的夾角 難點訓練微專題(解析版）
突破通法：
利用空間向量法求解二面角的步驟
（1）建立合適的空間直角坐標系,寫出二面角對應的兩個半平面中對應的點的坐標;
（2）設出法向量,根據法向量垂直于平面內兩條相交直線的方向向量,求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標平面,直接取法向量即可）;
（3）計算（2）中兩個法向量夾角的余弦值,結合立體圖形中二面角的實際情況,判斷二面角是銳角還是鈍角,從而得到二面角的余弦值.
注意：二面角的大小可以通過這兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角.法向量的方向指向內部的稱為“進”入半平面；法向量的方向指向外部的稱為“穿”出半平面.當法向量，“一進一出”時，，的夾角就是二面角的大??；當法向量，“同進同出”時，，的夾角就是二面角的補角.
微專題訓練
一、單選題
1．如圖，將菱形紙片沿對角線折成直二面角，分別為的中點，是的中點，，則折后二面角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可由向量的夾角求解.
【詳解】由題意知平面平面，如圖，連接，
因為四邊形是菱形，是的中點，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，從而，三線兩兩垂直．以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
令，則．
設平面的法向量為，則得
取，則，得平面的一個法向量為．
易知平面的一個法向量為，
則．由圖知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為．
故選:A．
2．點分別在空間直角坐標系的三條坐標軸上，，，，設平面與平面的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分別求出平面與平面的法向量，由向量夾角公式求解即可.
【詳解】設平面的法向量，，，
則，得，
取，則，所以平面的法向量為．
又平面的法向量可取，所以，
故選：C．
3．如圖，三棱錐中，，且平面與底面垂直，為中點，，則平面與平面夾角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據面面垂直的性質定理，可得平面，故以為坐標原點，建立空間直角坐標系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可．
【詳解】如圖，連接，
因為為中點，
所以，
又平面底面，平面底面平面，
所以平面，故兩兩垂直，
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，由，
可得，
則，
設平面的一個法向量為，
則有，令，得，則，
設平面的一個法向量為，
則有，令，得，得，
則，
則平面與平面夾角的余弦值為．
故選：B．
4．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面的夾角為（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】通過向量夾角公式求出兩平面法向量的夾角，再根據兩平面夾角與法向量夾角的關系求出兩平面的夾角.
【詳解】因為兩平面的法向量分別為，.
又，，.
所以.
所以兩平面的夾角為.
故選：A.
5．如圖，菱形邊長為，，為邊的中點，將沿折起，使到，連接，且，平面與平面的交線為，則下列結論中錯誤的是（ ）
A．平面平面
B．
C．與平面所成角的余弦值為
D．二面角的余弦值為
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用線面垂直判定性質、面面垂直的判斷推理判斷A；利用線面平行判斷性質推理判斷B；建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角、面面角判斷CD.
【詳解】對于A，在菱形中，，，則是正三角形，
由為邊的中點，得，又，則，
而，平面，則平面，
又，于是平面，而平面，因此平面平面，A正確；
對于B，由，平面，平面，則平面，
又平面與平面的交線為，平面，因此，B正確；
對于C，由A知，，折起后仍有，，又平面，
則，以為原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，，
由平面，得是平面的一個法向量，
設與平面所成角為，則，
因此，C錯誤；
對于D，由選項C知平面，則為平面的一個法向量，
又，設平面的一個法向量為，
則，令，得，
則，由圖形知二面角為銳角，其余弦值為，D正確.
故選：C
6．已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實數的值為（ ）
A．或 B．或1 C．或2 D．
【答案】B
【分析】利用向量的夾角公式列方程求解即可
【詳解】因為
所以，
因為平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，
所以，化簡得，解得或1．
故選：B
7．如圖，在直四棱柱中，，，，E，F分別是側棱，上的動點，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長的最大值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標系，設出，，求出兩平面的法向量，從而根據兩平面的所成角得到方程，求出，求出BE的長的最大值.
【詳解】依題意，，，兩兩互相垂直，
以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，（，，且m，n不同時為0），
則，，，所以，.
設平面AEF的一個法向量為，
則，
令，得，則，
顯然為平面ABC的一個法向量.
因為平面與平面所成角的大小為，
所以，
即，
得，
所以，所以當時，m取得最大值，最大值為.
故選：B
8．設為平面，且．若與所成的二面角為，l與所成角為，則與所成的銳二面角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設平面的單位法向量分別為，直線l上的單位方向向量為，取構成空間坐標系的一組正交基底，故，由已知條件可求，，故可求，從而可求與所成的二面角.
【詳解】設平面的單位法向量分別為，直線l上的單位方向向量為．
根據題意，構成空間坐標系的一組正交基底，
由題設可設與的夾角的余弦值為，與的夾角的余弦值為，
設，，故，同理，
由，解得，
于是所求二面角為．
故選：A.
二、多選題
9．已知四棱錐，底面是邊長為的正方形，底面，，點滿足，，下列說法正確的是（ ）
A．存在點，使得
B．當時，點到平面的距離為
C．當平面平面時，
D．當二面角為時，
【答案】AC
【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，求出點的坐標，利用空間向量法逐項判斷即可.
【詳解】因為底面，，底面是邊長為的正方形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、，
，其中，
故點，
對于A選項，，，
若存在點，使得，則，解得，合乎題意，
所以，存在點，使得，A對；
對于B選項，當時，點，
設平面的一個法向量為，，，
則，取，可得，且，
所以，點到平面的距離為，B錯；
對于C選項，設平面的一個法向量為，，，
則，取，可得，
設平面的一個法向量為，，，
則，取，則，
若平面平面，則，解得，C對；
對于D選項，平面的一個法向量為，，，
則，取，可得，
設平面的一個法向量為，，，
則，取，則，
若二面角為，則，解得，D錯.
故選：AC.
10．已知在正四面體中，M，N分別是的中點，平面與直線都平行，則（ ）
A．
B．
C．直線與平面所成角為
D．平面與平面的夾角的余弦值為
【答案】BD
【分析】把正四面體放入正方體中，利用正方體的性質與正四面體的性質逐項分析求解即可得結論.
【詳解】如圖，把正四面體放入正方體中，易知平面與平面平行，
因為M，N分別是的中點，所以，所以，同理可得，
又因為，所以，又因為交于，所以平面，
所以，故A錯誤，B正確；
直線與平面所成的角為，故C錯誤；
平面與平面的夾角為，設正方體的邊長為，由正方體的性質可得，
由余弦定理可得，故D正確.
故選：BD.
11．如圖，正方體的棱長為是棱上的動點（含端點），則（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．
C．二面角的平面角的大小為
D．存在某個點，使直線與平面所成角為
【答案】ABC
【分析】A.根據等體積法的等高等底即可判斷；應用空間向量法計算得出線線垂直判斷B，再應用空間向量法計算線面角的正弦范圍得出線面角的最大值為判斷D，再結合二面角空間向量法計算判斷C.
【詳解】對于選項A：三棱錐轉化為三棱錐的底面積為定值，
因為平面平面，所以到平面高不變，體積為定值，故選項A正確；
對于選項B：
如圖建系，設，則
因為，，
所以得，故選項B正確；
對于選項D：取平面的法向量為，
因為 ，
則設直線與平面ABCD所成角,則，
當時，，這時直線與平面ABCD所成角最大值為，故選項D不正確；
對于選項C：設平面法向量為，，
所以，所以
所以令，可得，設平面法向量為，
設二面角 為，則
所以二面角的大小為，故選項C正確.
故選：ABC.
三、填空題
12．如圖，二面角的棱上有兩個點，線段與分別在這個二面角兩個面內，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，則 ．
【答案】
【分析】根據已知條件用空間向量的模的公式求出的長.
【詳解】由條件知，
又二面角的平面角為，則，所以
，
所以．
故答案為：.
13．如圖，在正四棱錐中，底邊，側棱，為側棱上一點，若平面，則二面角的余弦值是 .
【答案】/
【分析】連接交于，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別得到平面和平面的法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】連接交于，
在正四棱錐中，可得平面，
以為坐標原點， 分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標系 ，如圖所示，因為底邊，側棱，則高，
所以，可得，
因為平面，所以平面的一個法向量為，
平面的一個法向量，
設二面角的平面角為，則，
所以二面角的余弦值為.
故答案為：.
14．如圖，在四棱錐中，底面，為直角，，，為的中點，，且二面角的平面角為60°，則 ．

【答案】
【分析】以為原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，根據二面角的平面角為60°建立方程求解即可．
【詳解】因為底面，，底面，所以，，
又為直角，所以兩兩垂直．
以為原點，的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，
因為為的中點，所以，所以，．設為平面的法向量，則
令，得．易知，平面的一個法向量為．
由題意，二面角的平面角為60°，則，解得．
故答案為：.

四、解答題
15．如圖，在四棱錐中，平面平面，，且四棱錐的體積為．
(1)證明：；
(2)求平面與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據面面垂直的性質定理、線面垂直的判定定理及性質定理即可證明；
（2）利用向量法求得二面角的余弦值，再根據同角關系式求出正弦值即可.
【詳解】（1）作于，連接，
因為面面，面面，面，
所以面．
由題意，四邊形為直角梯形，
所以．
因為，解得，
由，可知，
又因為，所以四邊形為平行四邊形，
，所以，
由于，面，
所以面．
因為面，所以．
（2）設平面與平面所成角為，
如圖，以為原點建立空間直角坐標系，
由（1）可知：，
易知，是面的法向量，
設是面的法向量，
則，取，得到，
則，
所以，
所以平面與平面所成角的正弦值為．
16．如圖，四棱錐中，底面，，，，.
(1)證明：平面；
(2)平面與平面所成角余弦值為，求的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)1或
【分析】（1）只需證明，即只需證明平面，且平面；
（2）引入參數，建立適當的空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，由法向量夾角的余弦的絕對值公式即可列式求解.
【詳解】（1）由底面，因此，
因為，，平面，所以平面；
底面中，，，，
因此，得到，由底面，平面，
因此，，平面，
所以平面，
因此，平面，所以平面.
（2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，設，
因此點的坐標為，，，，
易得平面的法向量為，
，，設平面的法向量為，
所以，令，得，
因此，化簡得：，所以或.
因此的長為1或.1.4.2.3利用空間向量求解平面與平面的夾角 難點訓練微專題(學生版）
突破通法：
利用空間向量法求解二面角的步驟
（1）建立合適的空間直角坐標系,寫出二面角對應的兩個半平面中對應的點的坐標;
（2）設出法向量,根據法向量垂直于平面內兩條相交直線的方向向量,求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標平面,直接取法向量即可）;
（3）計算（2）中兩個法向量夾角的余弦值,結合立體圖形中二面角的實際情況,判斷二面角是銳角還是鈍角,從而得到二面角的余弦值.
注意：二面角的大小可以通過這兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角.法向量的方向指向內部的稱為“進”入半平面；法向量的方向指向外部的稱為“穿”出半平面.當法向量，“一進一出”時，，的夾角就是二面角的大??；當法向量，“同進同出”時，，的夾角就是二面角的補角.
微專題訓練
一、單選題
1．如圖，將菱形紙片沿對角線折成直二面角，分別為的中點，是的中點，，則折后二面角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
2．點分別在空間直角坐標系的三條坐標軸上，，，，設平面與平面的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，三棱錐中，，且平面與底面垂直，為中點，，則平面與平面夾角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
4．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面的夾角為（ ）
A． B． C．或 D．
5．如圖，菱形邊長為，，為邊的中點，將沿折起，使到，連接，且，平面與平面的交線為，則下列結論中錯誤的是（ ）
A．平面平面
B．
C．與平面所成角的余弦值為
D．二面角的余弦值為
6．已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實數的值為（ ）
A．或 B．或1 C．或2 D．
7．如圖，在直四棱柱中，，，，E，F分別是側棱，上的動點，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長的最大值為（ ）

A． B． C． D．
8．設為平面，且．若與所成的二面角為，l與所成角為，則與所成的銳二面角為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．已知四棱錐，底面是邊長為的正方形，底面，，點滿足，，下列說法正確的是（ ）
A．存在點，使得
B．當時，點到平面的距離為
C．當平面平面時，
D．當二面角為時，
10．已知在正四面體中，M，N分別是的中點，平面與直線都平行，則（ ）
A．
B．
C．直線與平面所成角為
D．平面與平面的夾角的余弦值為
11．如圖，正方體的棱長為是棱上的動點（含端點），則（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．
C．二面角的平面角的大小為
D．存在某個點，使直線與平面所成角為
三、填空題
12．如圖，二面角的棱上有兩個點，線段與分別在這個二面角兩個面內，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，則 ．
13．如圖，在正四棱錐中，底邊，側棱，為側棱上一點，若平面，則二面角的余弦值是 .
14．如圖，在四棱錐中，底面，為直角，，，為的中點，，且二面角的平面角為60°，則 ．

四、解答題
15．如圖，在四棱錐中，平面平面，，且四棱錐的體積為．
(1)證明：；
(2)求平面與平面所成角的正弦值．
16．如圖，四棱錐中，底面，，，，.
(1)證明：平面；
(2)平面與平面所成角余弦值為，求的長.

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