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1.4.2.4向量法求空間距離 難點訓練微專題 (學生版)
突破通法：
1.向量法求點到直線的距離的步驟
（1）求直線的方向向量；（2）計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度;（3）利用勾股定理求解.
注意：求平行直線間的距離可轉化為求點到直線的距離.
2.求異面直線間的距離的方法
（1）異面直線與間的距離可用以下公式求解.
,其中滿足
求公垂線段所在的向量的坐標,進而求出模.
3.點面距的求法
點到平面 的距離（其中是平面 內一點，是平面 的一個法向量）.
注意：求線面距、面面距可轉化為求點面距.
微專題訓練
一、單選題
1．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為的重心，，且，，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
3．如圖，在四棱柱中，底面是菱形，，，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
4．在長方體中，，，，E為AB的中點，則異面直線與DE的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
5．分別為異面直線上的點，若且，則稱為異面直線的公垂線段，其長定義為兩異面直線間的距離，則在邊長為1的正方體中，與的距離是（ ）
A． B．
C． D．
6．兩平行平面分別經過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（ ）
A． B． C． D．
7．兩平行平面 ， 分別經過坐標原點 和點 ，且兩平面的一個法向量 ，則兩平面間的距離是
A． B． C． D．
8．如圖，在直三棱柱中，為腰長為2的等腰直角三角形，且，，，為平面內一動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．如圖，正方體的棱長為2，，分別是棱和的中點．則（ ）
A．
B．平面與側面的交線長為
C．點到平面的距離為
D．與平面所成角的余弦值為
10．如圖，在底面為正方形的四棱錐中，平面，直線與平面所成角的正切值為，則下列說法正確的是（ ）.
A．異面直線與所成的角為
B．
C．直線與平面所成的角為
D．點到平面的距離為
11．在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則（ ）
A．點到直線的距離是； B．直線到直線的距離是；
C．點到平面的距離是； D．直線到平面的距離是．
三、填空題
12．如圖，已知ABC-A1B1C1是側棱長和底面邊長均等于a的直三棱柱，D是側棱CC1的中點，則點C到平面AB1D的距離為 .
13．如圖，在棱長為2的正方體中，點E是的中點，則下列說法正確的有 .
①與平面所成角的正弦值為
②與所成角的余弦值為
③點到直線的距離為
④和平面的距離為
14．如圖，正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分別是AC，BF上的動點，且，則MN的最小值是
四、解答題
15．如圖，在平行六面體中，，，，，.求：
(1)證明直線直線；
(2)求異面直線和間的距離.
16．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為底面內一動點（包括邊界），且滿足.
(1)是否存在點，使得平面？
(2)求的取值范圍.
(3)求點到直線的距離的最小值.1.4.2.4向量法求空間距離 難點訓練微專題(解析版)
突破通法：
1.向量法求點到直線的距離的步驟
（1）求直線的方向向量；（2）計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度;（3）利用勾股定理求解.
注意：求平行直線間的距離可轉化為求點到直線的距離.
2.求異面直線間的距離的方法
（1）異面直線與間的距離可用以下公式求解.
,其中滿足
求公垂線段所在的向量的坐標,進而求出模.
3.點面距的求法
點到平面 的距離（其中是平面 內一點，是平面 的一個法向量）.
注意：求線面距、面面距可轉化為求點面距.
微專題訓練
一、單選題
1．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為的重心，，且，，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系，確定相關點以及向量的坐標，利用點到直線的距離的向量求法，即可得答案.
【詳解】如圖，以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，由，可得，
為的重心，所以，，，
則，，，
故點到直線的距離為.
故選：A
2．如圖，在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用點到平面的距離公式求解即可.
【詳解】分別以，，為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，

則，，，，
，，
設平面的一個法向量，由，得，取，得，
又，
點到平面的距離為，
故選：D．
3．如圖，在四棱柱中，底面是菱形，，，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，設，連接，證明平面，再以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.
【詳解】連接，設，連接，
由，得，所以，
因為底面是菱形，所以，
又因為，且，在平面內，
所以平面，
在中，，，所以，
如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，，，，，
故，，，
設平面的法向量為，
則有，令，得，
所以點到平面的距離.
故選：C.
4．在長方體中，，，，E為AB的中點，則異面直線與DE的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，得出各點坐標，求出與的公垂線的一個方向向量，由空間向量的數量積即可得解.
【詳解】分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，，，E為AB的中點，
則，，，，
則，，
設與DE的公垂線的一個方向向量為，
則，取，得，則，
又，
所以異面直線與DE之間的距離為.
故選：C.
5．分別為異面直線上的點，若且，則稱為異面直線的公垂線段，其長定義為兩異面直線間的距離，則在邊長為1的正方體中，與的距離是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】以為坐標原點，的方向為軸，的方向為軸，的方向為軸，建立空間坐標系，求出異面直線與的公垂線的方向向量為，根據求解即可.
【詳解】解：以為坐標原點，的方向為軸，的方向為軸，的方向為軸，如圖所示：

設為異面直線與的公垂線段，
則，
所以
設異面直線與的公垂線的方向向量為，
則有，則有，
取，則
則異面直線與的距離.
故選：C.
6．兩平行平面分別經過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由空間向量求解
【詳解】∵兩平行平面分別經過坐標原點O和點，
且兩平面的一個法向量，
∴兩平面間的距離．
故選：A
7．兩平行平面 ， 分別經過坐標原點 和點 ，且兩平面的一個法向量 ，則兩平面間的距離是
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】兩平行平面 ， 分別經過坐標原點 和點 ，，且兩平面的一個法向量兩平面間的距離，故選B.
8．如圖，在直三棱柱中，為腰長為2的等腰直角三角形，且，，，為平面內一動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標系，設關于平面的對稱點為，利用對稱點、到平面距離相等，得出關于平面的對稱點為，利用對稱點求出最短路徑即可.
【詳解】由題意，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，
設關于平面的對稱點為，
則，
設平面的一個法向量，
則，即，令，則，
所以與到平面的距離，
即①，又，所以②，
所以由①②得，又由可得，所以，
所以，
當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為．
故選：B．
二、多選題
9．如圖，正方體的棱長為2，，分別是棱和的中點．則（ ）
A．
B．平面與側面的交線長為
C．點到平面的距離為
D．與平面所成角的余弦值為
【答案】BC
【分析】對于A由即可判斷，對于B由得面與側面的交線為即可求解，對于CD建立空間直角坐標系利用向量法即可判斷.
【詳解】因為與不垂直，又，所以與不垂直，故A錯誤；
由， 所以四點共面，平面，
所以平面與側面的交線為，
由正方體棱長為2，得，故B正確；
以為坐標原點，建立如圖所示坐標系．則，，，，，
所以，，，，
設平面的一個法向量為，由得
令，則，，
所以為平面的一個法向量，
所以點到平面的距離，故C正確；
設與平面所成角為，則，
所以，
所以與平面所成角的余弦值為，故D錯誤．
故選：BC.
10．如圖，在底面為正方形的四棱錐中，平面，直線與平面所成角的正切值為，則下列說法正確的是（ ）.
A．異面直線與所成的角為
B．
C．直線與平面所成的角為
D．點到平面的距離為
【答案】ABD
【分析】先根據線面角求出底邊邊長后可判斷B的正誤，建立空間直角坐標系，利用異面直線夾角余弦公式進行求解判斷A，利用線面角的向量求解公式進行求解判斷C；利用點到平面的距離公式求出答案判斷D.
【詳解】對于B，平面，直線與平面所成角,
，故B正確，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
對于A，，設直線與所成的角大小為，
則，
故，A正確；
對于C，可取為平面的法向量，
設直線與平面所成的角大小為，
則，
故直線與平面所成的角為，C錯誤；
因為四邊形為正方形，所以⊥，
又平面，平面，故，
因為，平面，
所以⊥平面，故可取為平面的法向量，
故點到面的距離，D正確.
故選：ABD
11．在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則（ ）
A．點到直線的距離是； B．直線到直線的距離是；
C．點到平面的距離是； D．直線到平面的距離是．
【答案】ABD
【分析】建立坐標系，求出向量在單位向量上的投影，結合勾股定理可得點到直線的距離，判斷A；先證明再轉化為點到直線的距離求解，判斷B；求解平面的法向量，利用點到平面的距離公式進行求解，判斷C；把直線到平面的距離轉化為到平面的距離，利用法向量進行求解，判斷D.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
對于A：因為，所以．
所以點到直線的距離為．正確，
對于B：因為所以，即
所以點到直線的距離即為直線到直線的距離
，
所以直線FC1到直線的距離為正確，
對于C：設平面的一個法向量為，．
由，令，則，即．
設點到平面的距離為，則，即點到平面的距離為．錯誤，
對于D：因為平面，平面，所以平面，
所以直線到平面的距離等于到平面的距離．
，由C得平面的一個法向量為，
所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為．正確，
故選：ABD
三、填空題
12．如圖，已知ABC-A1B1C1是側棱長和底面邊長均等于a的直三棱柱，D是側棱CC1的中點，則點C到平面AB1D的距離為 .
【答案】/
【分析】可用等體積法求點到平面的距離，或直接建立空間直角坐標系，用向量法求點到平面的距離.
【詳解】由題可知：平面平面,所以
所以,,,
所以,所以.
所以.
直三棱柱的底面邊長均等于a，所以是正三角形，取的中點，連接，則,且.
因為平面,所以平面,.
.
因為,所以,
所以.
故答案為：.
方法二：如圖所示，
直三棱柱的底面邊長均等于a，所以是正三角形，取的中點，連接，則,且.
因為側面是矩形，取的中點F，連接,則.
因為側棱平面，所以平面,所以兩兩垂直，所以分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系.
據題意可知，
則
設平面AB1D的一個法向量是
所以,所以,
令,則,所以.
因為,所以點C到平面AB1D的距離.
故答案為：
13．如圖，在棱長為2的正方體中，點E是的中點，則下列說法正確的有 .
①與平面所成角的正弦值為
②與所成角的余弦值為
③點到直線的距離為
④和平面的距離為
【答案】②③④
【分析】通過建系，求出相關點的坐標，相關直線的方向向量、相關平面的法向量坐標，利用空間向量夾角的坐標公式以及點到直線、點到平面的距離公式分別計算即可逐一判斷.
【詳解】以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
則
對于①，平面的法向量可取為，，
設與平面所成角為，則，故①錯誤；
對于②，，，
設與所成角為，則，故②正確；
對于③，因，與同方向的單位向量為，
，則點到直線的距離為，故③正確；
對于④，設平面的法向量為，，
則，故可取，
由可得平面，則和平面的距離即點到平面的距離，
由，則點到平面的距離為，故④正確.
故答案為：②③④
14．如圖，正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分別是AC，BF上的動點，且，則MN的最小值是
【答案】/0.5
【分析】利用二面角的定義證得就是二面角的平面角，即為，再利用空間向量將的長轉化為的模求解，利用空間向量的線性運算和數量積、一元二次函數的圖象與性質運算即可得解.
【詳解】連接，如下圖，

由題意，，，正方形中，
正方形中，平面，平面，
平面平面，
∴就是二面角的平面角，則，
∴向量與向量夾角為，且，，
設，，，則，
且由題意，
∴，
，
∴，
令，，圖象開口向上，且對稱軸為，
∴當時，取得最小值，
即最小值為，
∴的最小值是.
故答案為：.
四、解答題
15．如圖，在平行六面體中，，，，，.求：
(1)證明直線直線；
(2)求異面直線和間的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據空間向量基本定理，利用基底表示各向量，再結合向量垂直的數量積表示，可得證；
（2）設平面，可使得，且平面，可得平面的法向量，根據異面直線距離公式可得解.
【詳解】（1）選取作為空間中的一組基底，
由題意可得：，，
且，，
，
則，
所以，
即直線直線.
（2）由（1）得，
設平面，可使得，且平面，
設是平面的法向量，
則，且，
即,
令，則
異面直線與間的距離即在上投影向量的模長.
由此可得：.
16．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為底面內一動點（包括邊界），且滿足.
(1)是否存在點，使得平面？
(2)求的取值范圍.
(3)求點到直線的距離的最小值.
【答案】(1)存在，
(2)
(3)
【分析】（1）如圖建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，設，利用，及即可求出點坐標；
（2）由（1）知，利用模長公式結合二次函數求值域即可求解；
（3）取中點為，則點軌跡為線段，所以點到直線的距離的最小值就是異面直線與的距離，利用向量法求出異面直線與的距離即可.
【詳解】（1）
如圖，以為原點，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
由題意得，
，，
設平面的法向量為，
則，可取，
設， 所以，
又，所以，
即，所以，
設存在點，使得平面，
則，解得，則，
則，
所以存在點，使得平面
（2）由（1）知，
所以，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，，當時，，
所以，
所以的取值范圍是.
（3）
由（1）知點滿足，
取中點為，則點軌跡為線段，
所以點到直線的距離的最小值就是異面直線與的距離，
，，，，，
設，，
則，可取，
又，
點到直線的距離的最小值.

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