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1.4.2 課時1 距離問題
【基礎鞏固】
1．已知經過點的平面的一個法向量為，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，又，
點到平面的距離為，故選：B
2．如圖所示，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，，，點在棱上，且，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，
∴，，．
設平面的法向量為，則．
令，則，，∴．
∴點到平面的距離．
故選：C
3．如圖所示，體積為的半圓柱的軸截面為平面是圓柱底面的直徑，為底面的圓心，為一條母線，點為棱的中點，且和的弧長為．則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
設中點為，中點為，以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖：
由題：，
又弧長為，所以，
所以，
設平面的法向量為，則
即，令，則，取，
則到面距離為，
又，
所以三棱錐的體積為，
故選：C.
4．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，點在線段上，點到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
則，可得，
設，所以可得；
因此，
因此點到直線的距離為
.
當（滿足題意）時，取得最小值，即點到直線的距離的最小值為.
故選：A
5．（多選）在長方體中，，，分別是、的中點，則下列結論中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．點到平面的距離為 D．直線到平面的距離為
【答案】ABD
【解析】，以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，在中，如圖：
則，
，所以，，
設平面的一個法向量為，
則，令，得，
因為，又平面，
所以平面，故A正確；
所以直線到平面的距離為點到平面的距離，又，
所以點到平面的距離為，
所以直線到平面的距離為，故D正確；
設平面的一個法向量為，又，
則，令，得，
又，所以，所以平面，故B正確；
設平面的一個法向量為，又，
則，令，得，
則點到平面的距離為，故C錯誤.
故選：ABD
6．在空間直角坐標系中，，平面的一個法向量為，則點到平面的距離為__________.
【答案】
【解析】因為，所以點到平面的距離.
故答案為：.
7．四面體滿足，，，，設、、的中點分別為、、，則點到直線的距離為__________.
【答案】
【解析】由題意，建立如圖所示空間直角坐標系：
則，
所以，
所以點到直線的距離為，
故答案為：.
8．如圖，四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點.
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面間的距離.
【答案】見解析
【解析】(1)若為的中點，連接，為的中點，則且，
由，，則且，故為平行四邊形，
所以，平面，平面，故平面；
(2)由(1)知直線與平面間的距離，即為點與平面間的距離，
由，，，取的中點，連接，
所以四邊形為矩形，，
由是以為斜邊的等腰直角三角形，，，
由，且都在平面內，則平面，
由，則平面，平面，則平面平面，
以為原點構建空間直角坐標系，則，
由平面，平面，則，
在中，則，
由，所以，可得，
所以，，則，，，
設平面的一個法向量為，則，取，則，
所以，
所以直線與平面間的距離為.
【能力拓展】
9．如圖，在正方體中，過點作一平面，使得正方體的各個頂點都在的同一側，且，，三個點到的距離分別為,則該正方體的棱長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，
設正方體的棱長為，則，
則，
設平面的法向量為，則，，，則，
令，則，設，則為線段的中點，
因，到的距離分別為，則到的距離分別為，
因，且為線段的中點，則到的距離分別為，
則，
又到的距離為，則，則，即，則，
則，，則該正方體的棱長為.故選：B
10．（多選）在棱長為的正方體中，點在底面內運動（含邊界），點是棱的中點，則（ ）
A．點到平面的距離為
B．若平面，則是棱的中點
C．若平面，則是上靠近的三等分點
D．若在棱上運動，則點到直線的距離最小值為
【答案】AD
【解析】A選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
，，
設平面的法向量為，
則，
令，則，所以，
，
點到平面的距離為，A正確；
B選項，設，，
則，
設平面的法向量為，
，
則，
令，則，所以，
其中，
故，的軌跡為連接的中點的一條線段，
所以不一定是棱的中點，B錯誤；
C選項，設平面的法向量為，
，
則，
令，則，故，
若平面，則，
設，
所以，解得，
故，則是上靠近的四等分點，C錯誤；
D選項，若在棱上運動，設，
則，
，設，
，
故點到直線的距離為，
當時，點到直線的距離取得最小值，最小值為，D正確.
故選：AD.
11．如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，點在對角線上運動．當的面積取得最小值時，則__________.
【答案】
【解析】設正方體的棱長為，以為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，的中點，
，，則，設，，
由與共線，可得，所以，所以，其中，因為，
，
所以，所以，即是動點到直線的距離，
由空間兩點間的距離公式可得，所以當時，取得最小值，此時為線段的中點，由于為定值，所以當的面積取得最小值時，為線段的中點．故答案為：.
【素養提升】
12．如圖，在正三棱柱中，底面邊長為，側棱長為，是的中點．
(1)證明：平面；
(2)在線段上是否存在一點，使得點到平面的距離為 若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析
【解析】(1)
如圖，連接交于點，連接，則點為的中點，且是的中點，
則為的中位線，所以．又因為平面，平面，
所以平面．
(2)存在點，理由如下：因為在正中，是的中點，故，
以為坐標原點，取的中點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，，．
設，其中，
所以，，
設平面的法向量為，
則取．
且，
則點到平面的距離，
化簡得，解得或（舍去）．
綜上，存在點使得點到平面的距離為．此時．1.4.2 課時1 距離問題
【基礎鞏固】
1．已知經過點的平面的一個法向量為，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖所示，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，，
，點在棱上，且，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖所示，體積為的半圓柱的軸截面為平面是圓柱底面的直徑，為底面的圓心，為一條母線，點為棱的中點，且和的弧長為．則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，點在線段上，
點到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（多選）在長方體中，，，分別是、
的中點，則下列結論中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．點到平面的距離為 D．直線到平面的距離為
6．在空間直角坐標系中，，平面的一個法向量為，則點到平面的距離為__________.
7．四面體滿足，，，，設、、的中點分別為、、，則點到直線的距離為__________.
8．如圖，四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點.
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面間的距離.
【能力拓展】
9．如圖，在正方體中，過點作一平面，使得正方體的各個頂點都在的同一側，且，，三個點到的距離分別為,則該正方體的棱長為（ ）
A． B． C． D．
10．（多選）在棱長為的正方體中，點在底面內運動（含邊界），點是棱的中點，則（ ）
A．點到平面的距離為
B．若平面，則是棱的中點
C．若平面，則是上靠近的三等分點
D．若在棱上運動，則點到直線的距離最小值為
11．如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，點在對角線上運動．當的面積取得最小值時，則__________.
【素養提升】
12．如圖，在正三棱柱中，底面邊長為，側棱長為，是的中點．
(1)證明：平面；
(2)在線段上是否存在一點，使得點到平面的距離為 若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

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