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6.1 平面向量及其線性運算
6.1.1 向量的概念
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.理解向量、零向量、單位向量、向量模的意義；
2.掌握向量的幾何表示,會用字母表示向量,會用向量表示點的位置；
3.了解平行向量、共線向量和相等向量的意義,并會判斷向量間共線
（平行）、相等的關系.
知識點一 位移與向量
1.位移
位移是表示物體位置變化的物理量，位移被“______”和“______”唯一確定，其
中“距離”也稱為位移的______.
方向
距離
大小
2.平面向量
（1）向量的概念：一般地，既有______又有______的量稱為向量.
（2）向量的模：向量的______也稱為向量的模（或長度）.
大小
方向
大小
（3）向量的表示
①幾何表示:向量可以用有向線段表示,其中有向線段的長度表示向量的______，
有向線段箭頭所指的方向表示____________.而且，通常將有向線段不帶箭頭的
端點稱為向量的始點（或起點），帶箭頭的端點稱為向量的終點.始點為 終點
為的有向線段表示的向量，可以用符號簡記為____,向量 的模用_____表示.
大小
向量的方向
②字母表示:在印刷時,通常用加粗的斜體小寫字母如,, 等來表示向量；在書
寫時,用帶箭頭的小寫字母如_________等來表示向量.
，，
（4）零向量與單位向量
始點和______相同的向量稱為零向量,記作___,零向量的本質是________，因此
可以認為零向量的方向是不確定的；模等于___的向量稱為單位向量.
終點
一個點
1
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量.( )
×
[解析] 錯誤，溫度是標量，不是向量.
（2）向量的模是一個正實數.( )
×
[解析] 錯誤，零向量的模為0.
（3）若，則 .( )
×
[解析] 錯誤，向量不能比較大小.
（4）有向線段都可以表示向量，向量都可以用有向線段表示.( )
×
[解析] 錯誤,有向線段都可以表示向量，但零向量不能用有向線段表示.
知識點二 向量的相等與平行
1.向量相等
一般地，把______相等、______相同的向量稱為相等的向量.向量和 相等，記
為 .
大小
方向
2.向量平行
定義：如果兩個非零向量的方向______或者______，則稱這兩個向量平行.
表示：兩個向量和 平行，記作______.兩個向量平行也稱為兩個向量共線.
規定：零向量與任意向量______.
相同
相反
平行
【診斷分析】 1. 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
若向量與不共線，則與 都是非零向量.( )
√
[解析] 因為零向量與任意向量共線，所以該說法正確.
2. 若向量與共線，向量與共線，則向量與 是否共線？
解：向量與不一定共線.因為零向量與任意向量都共線，所以當 時，向
量與 不一定共線.
探究點一 向量的基本概念
例1（1） 下列說法中正確的是( )
D
A.數量可以比較大小，向量也可以比較大小
B.方向不同的向量不能比較大小，但方向相同的向量可以比較大小
C.向量的大小與方向有關
D.向量的模可以比較大小
[解析] 不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A，B不正確；
向量的大小即為向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關，故C不正確；
向量的模是一個數量，可以比較大小,故D正確.故選D.
（2）[2023·陜西西安高一期中]下列說法中正確的是( )
C
A.若，則
B.與非零向量 共線的單位向量有且僅有一個
C.長度不相等而方向相反的兩個向量一定是平行向量
D.若，則
[解析] 對于A選項，由，無法確定， 的方向，故A錯誤；
對于B選項，與非零向量共線的單位向量有兩個，與 方向相同和相反，故B錯誤；
對于C選項，長度不相等而方向相反的兩個向量一定是平行向量，故C正確；
對于D選項，向量， 不能比較大小，故D錯誤.故選C.
［素養小結］
（1）判斷一個量是否為向量應從兩個方面入手:
①是否有大小；②是否有方向.
（2）零向量和單位向量：
①零向量的模為0，方向是任意的;
②所有單位向量的模均為1，但方向不一定相同.
探究點二 向量的幾何表示
例2 圖中1個單位長度表示，某人從點 出
發，向西走了后到達點 ，然后改變方向，
沿北偏西一定角度的方向走了到達點 ，
再向東走后到達點，且點在點 的正北
方向.
（1）作出，， ；
解:根據題意可知，點的坐標為 .
因為點在點的正北方向，所以 ，
又，，所以，所以 ，
，
故，， 如圖所示.
（2）求 的模.
解:作出向量 ，如圖，
由題意可知，且 ，
所以四邊形 是平行四邊形，
所以 ，
所以的模為 .
變式 在如圖所示的方格紙（每個小方格的邊長為1）中，已
知向量 .
（1）試以為起點畫一個向量，使，且與 的方向
相同；
解:根據相等向量的定義，所作向量應與 同向，且長度相等，如圖所示.
（2）畫一個以為起點的向量，使，并說出 的終點的軌跡是什么.
解:由平面幾何知識可作滿足條件的向量，所有這樣的向量 的終點的軌跡是以
點 為圓心，2為半徑的圓，如圖所示.
［素養小結］
向量用有向線段表示，要注意有向線段的起點、終點和方向.
探究點三 相等向量與共線向量
例3 [2024·江蘇南京師大附中高一期末]設點是正三角形 的中心，則向量
，， 是( )
B
A.共始點的向量 B.模相等的向量 C.共線向量 D.相等向量
[解析] 因為點是正三角形的中心，所以，所以， ，
是模相等的向量；顯然表示向量，， 的有向線段的始點不同；向量
，，顯然不是共線向量；向量，， 的方向不同，不是相等向
量.故選B.
例4 如圖所示，是正六邊形 的中心.
（1）與 的模相等的其他向量有多少個？
解：與的模相等的線段是六條邊和六條半徑（即，，，， ，
），而每一條線段可以構造2個與的模相等的向量，所以與 的模相等的
向量共有23個.
（2）是否存在與 的模相等、方向相反的向量？若存在，有幾個？
解：存在，由正六邊形的性質知， ，
所以與的模相等、方向相反的向量有，，， ，共4個.
（3）與 共線的其他向量有幾個？
解：由（2）知，，線段，與 在同一條直線上，
所以與共線的向量有，，，，，，，， ，共9個.
變式 （多選題）如圖，在正六邊形中，點 為其中
心，則下列說法正確的是( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 設正六邊形的邊長為.對于A，由正六邊形的性質可得與 平行
且相等，又與的方向相同,所以 ，故A正確；
對于B，由正六邊形的性質可得與平行，即，故B正確；
對于C，在正六邊形 中，，即，故C正確；
對于D，在正六邊形 中，，，則，故D錯誤.
故選 .
［素養小結］
解決此類問題時，必須要把握好零向量、相等向量、平行向量的概念及相互關系.
1.下列說法中正確的是( )
D
A.兩個單位向量一定相等
B.兩個相等向量的起點、方向、長度必須都相同
C.共線的單位向量必相等
D.若與不共線，則與 都是非零向量
[解析] 兩個單位向量不一定相等，因為它們的方向不一定相同，故A錯誤；
兩個相等向量的方向相同，長度也相同，但是起點不一定相同，故B錯誤；
共線的單位向量不一定相等，共線的單位向量的方向可能相反，故C錯誤；
當與 不共線時，與 都是非零向量，故D正確.故選D.
2.設是單位向量，，，，則四邊形 是( )
B
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
[解析] 因為，，所以，即， ，
所以四邊形是平行四邊形，因為，所以四邊形 是菱
形.故選B.
3.在梯形中，，，分別是， 的中點，則下列結論中錯
誤的是( )
D
A.與是共線向量 B.與 是共線向量
C.與是共線向量 D.與 是共線向量
[解析] 因為與不平行，所以與 不是共線向量.故選D.
4.[2023·山東菏澤東明一中高一月考]若一架飛機向西飛行 ，再向南飛行
，記飛機飛行的路程為，位移為 ，則( )
A
A. B.
C. D.與 不能比較大小
[解析] 設該飛機初始位置為A，向西飛行到達B處，再向南飛行
到達C處，則，，所以 ，則飛機飛行的路程
，
，所以 .故選A.
5.如圖，是線段 的中點，若以圖中各點分別為起點和終點，則最多可以寫
出___個互不相等的非零向量.
4
[解析] 設線段的長度為2，則長度為1的向量有，，， ，其中
， ，所以長度為1的互不相等的非零向量有2個；
長度為2的向量有， ，所以長度為2的互不相等的非零向量有2個.故最多可
以寫出4個互不相等的非零向量.
1.向量的概念
（1）大小、方向是向量的兩個要素;
（2）注意兩個特殊的向量:零向量與單位向量,前者長度為0,方向任意;后者長度為1.
[解析] 因為不同的單位向量有不同的方向,所以①和②是假命題.
因為共線的單位向量可能方向相反,它們不一定相等,所以③是假命題.
因為零向量的模為0,所以④為真命題.
因為零向量方向任意,所以⑤為假命題.
因為零向量與任何向量共線,所以⑥為真命題.故選C.
例1 給出下列各命題,其中真命題的個數是( )
①單位向量都相等;②單位向量都共線;③共線的單位向量必相等;④零向量的模
為0;⑤零向量沒有方向;⑥零向量與任何向量共線.
C
A.0 B.1 C.2 D.3
2.相等向量與共線向量
（1）長度相等方向相同的向量是相等向量;尋找相等向量要把握住向量的兩個
要素:大小和方向.相等向量必須二者都相同才成立.（2）對于非零向量,共線時只
需把握向量的方向要素,與向量的大小無關，故尋找非零共線向量時,只需判斷兩
向量所在的直線是否平行或者重合即可.
[解析] 對于A，向量,的方向不一定相同，所以A錯誤；
對于B，向量與 的長度不一定相等，所以B錯誤；
對于C，由，可得 ，所以C正確；
對于D，與非零向量 共線的單位向量有兩個，且方向相反，故D錯誤.故選C.
C
例2 下列說法中正確的是( )
A.若,為單位向量，則
B.若與共線，則或
C.若，則
D.與非零向量 共線的單位向量有且僅有一個6.1　平面向量及其線性運算
6.1.1　向量的概念
【課前預習】
知識點一
1.方向　距離　大小
2.(1)大小　方向　(2)大小　(3)①大小　向量的方向
　||　② ,,　(4)終點　0　一個點　1
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)錯誤,溫度是標量,不是向量.(2)錯誤,零向量的模為0.(3)錯誤,向量不能比較大小.(4)錯誤,有向線段都可以表示向量,但零向量不能用有向線段表示.
知識點二
1.大小　方向　2.相同　相反　a∥b　平行
診斷分析
1.√　[解析] 因為零向量與任意向量共線,所以該說法正確.
2.解:向量a與c不一定共線.因為零向量與任意向量都共線,所以當b=0時,向量a與c不一定共線.
【課中探究】
例1　(1)D　(2)C　[解析] (1)不管向量的方向如何,它們都不能比較大小,故A,B不正確;向量的大小即為向量的模,指的是有向線段的長度,與方向無關,故C不正確;向量的模是一個數量,可以比較大小,故D正確.故選D.
(2)對于A選項,由|a|=|b|,無法確定a,b的方向,故A錯誤;對于B選項,與非零向量a共線的單位向量有兩個,與a方向相同和相反,故B錯誤;對于C選項,長度不相等而方向相反的兩個向量一定是平行向量,故C正確;對于D選項,向量a,b不能比較大小,故D錯誤.故選C.
例2　解:(1)根據題意可知,點B的坐標為(-2,0).
因為點D在點B的正北方向,所以CD⊥BD,
又||=2 km,||=2 km,所以||=2 km,所以D(-2,2),C(-4,2),
故,,如圖所示.
(2)作出向量,如圖,
由題意可知,CD∥AB且||=||=2 km,
所以四邊形ABCD是平行四邊形,
所以||=||=2 km,
所以的模為2 km.
變式　解: (1)根據相等向量的定義,所作向量b應與a同向,且長度相等,如圖所示.
(2)由平面幾何知識可作滿足條件的向量c,所有這樣的向量c的終點的軌跡是以點C為圓心,2為半徑的圓,如圖所示.
例3　B　[解析] 因為點O是正三角形ABC的中心,所以AO=BO=CO,所以,,是模相等的向量;顯然表示向量,,的有向線段的始點不同;向量,,顯然不是共線向量;向量,,的方向不同,不是相等向量.故選B.
例4　解:(1)與的模相等的線段是六條邊和六條半徑(即OA,OB,OC,OD,OE,OF),而每一條線段可以構造2個與的模相等的向量,所以與的模相等的向量共有23個.
(2)存在,由正六邊形的性質知,BC∥AD∥EF,
所以與的模相等、方向相反的向量有,,,,共4個.
(3)由(2)知,BC∥OA∥EF,線段OD,AD與OA在同一條直線上,
所以與共線的向量有,,,,,,,,,共9個.
變式　ABC　[解析] 設正六邊形ABCDEF的邊長為a.對于A,由正六邊形的性質可得AB與OC平行且相等,又與的方向相同,所以=,故A正確;對于B,由正六邊形的性質可得AB與DE平行,即∥,故B正確;對于C,在正六邊形ABCDEF中,AD=BE=2a,即||=||,故C正確;對于D,在正六邊形ABCDEF中,AC=a,BE=2a,則||≠||,故D錯誤.故選ABC.
【課堂評價】
1.D　[解析] 兩個單位向量不一定相等,因為它們的方向不一定相同,故A錯誤;兩個相等向量的方向相同,長度也相同,但是起點不一定相同,故B錯誤;共線的單位向量不一定相等,共線的單位向量的方向可能相反,故C錯誤;當a與b不共線時,a與b都是非零向量,故D正確.故選D.
2.B　[解析] 因為=e,=-e,所以=-,即∥,||=||,所以四邊形ABCD是平行四邊形,因為||=||=1,所以四邊形ABCD是菱形.故選B.
3.D　[解析] 因為AE與BF不平行,所以與不是共線向量.故選D.
4.A　[解析] 設該飛機初始位置為A,向西飛行150 km到達B處,再向南飛行350 km到達C處,則AB=150 km,BC=350 km,所以a=,則飛機飛行的路程s=AB+BC=350+150=500(km),|a|===50(km),所以s>|a|.故選A.
5.4　[解析] 設線段AC的長度為2,則長度為1的向量有,,,,其中=,=,所以長度為1的互不相等的非零向量有2個;長度為2的向量有,,所以長度為2的互不相等的非零向量有2個.故最多可以寫出4個互不相等的非零向量.6.1　平面向量及其線性運算
6.1.1　向量的概念
【學習目標】
1.理解向量、零向量、單位向量、向量模的意義;
2.掌握向量的幾何表示,會用字母表示向量,會用向量表示點的位置;
3.了解平行向量、共線向量和相等向量的意義,并會判斷向量間共線(平行)、相等的關系.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 知識點一　位移與向量
1.位移
位移是表示物體位置變化的物理量,位移被“　　　　”和“　　　　”唯一確定,其中“距離”也稱為位移的　　　　.
2.平面向量
(1)向量的概念:一般地,既有　　　　又有　　　　的量稱為向量.
(2)向量的模:向量的　　　　也稱為向量的模(或長度).
(3)向量的表示
①幾何表示:向量可以用有向線段表示,其中有向線段的長度表示向量的　　　　,有向線段箭頭所指的方向表示　　　　　　.而且,通常將有向線段不帶箭頭的端點稱為向量的始點(或起點),帶箭頭的端點稱為向量的終點.始點為A終點為B的有向線段表示的向量,可以用符號簡記為　　　　,向量的模用　　　　表示.
②字母表示:在印刷時,通常用加粗的斜體小寫字母如a,b,c等來表示向量;在書寫時,用帶箭頭的小寫字母如　　　　等來表示向量.
(4)零向量與單位向量
始點和　　　　相同的向量稱為零向量,記作　　　　,零向量的本質是　　　　　,因此可以認為零向量的方向是不確定的;模等于　　　　的向量稱為單位向量.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)溫度含零上和零下溫度,所以溫度是向量.(　 )
(2)向量的模是一個正實數. (　 )
(3)若|a|>|b|,則a>b. (　 )
(4)有向線段都可以表示向量,向量都可以用有向線段表示. (　 )
◆ 知識點二　向量的相等與平行
1.向量相等
一般地,把　　　　相等、　　　　相同的向量稱為相等的向量.向量a和b相等,記為a=b.
2.向量平行
定義:如果兩個非零向量的方向　　　　或者　　　　,則稱這兩個向量平行.
表示:兩個向量a和b平行,記作　　　　.兩個向量平行也稱為兩個向量共線.
規定:零向量與任意向量　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
若向量a與b不共線,則a與b都是非零向量.(　 )
2.若向量a與b共線,向量b與c共線,則向量a與c是否共線
◆ 探究點一　向量的基本概念
例1 (1)下列說法中正確的是 (　 )
A.數量可以比較大小,向量也可以比較大小
B.方向不同的向量不能比較大小,但方向相同的向量可以比較大小
C.向量的大小與方向有關
D.向量的模可以比較大小
(2)[2023·陜西西安高一期中] 下列說法中正確的是 (　 )
A.若|a|=|b|,則a∥b
B.與非零向量a共線的單位向量有且僅有一個
C.長度不相等而方向相反的兩個向量一定是平行向量
D.若|a|>|b|,則a>b
[素養小結]
(1)判斷一個量是否為向量應從兩個方面入手:
①是否有大小;②是否有方向.
(2)零向量和單位向量:
①零向量的模為0,方向是任意的;
②所有單位向量的模均為1,但方向不一定相同.
◆ 探究點二　向量的幾何表示
例2 圖中1個單位長度表示1 km,某人從點A出發,向西走了2 km后到達點B,然后改變方向,沿北偏西一定角度的方向走了2 km到達點C,再向東走2 km后到達點D,且點D在點B的正北方向.
(1)作出,,;
(2)求的模.
變式 在如圖所示的方格紙(每個小方格的邊長為1)中,已知向量a.
(1)試以B為起點畫一個向量b,使|b|=|a|,且b與a的方向相同;
(2)畫一個以C為起點的向量c,使|c|=2,并說出c的終點的軌跡是什么.
[素養小結]
向量用有向線段表示,要注意有向線段的起點、終點和方向.
◆ 探究點三　相等向量與共線向量
例3 [2024·江蘇南京師大附中高一期末] 設點O是正三角形ABC的中心,則向量,,是 (　 )
A.共始點的向量
B.模相等的向量
C.共線向量
D.相等向量
例4 如圖所示,O是正六邊形ABCDEF的中心.
(1)與的模相等的其他向量有多少個
(2)是否存在與的模相等、方向相反的向量 若存在,有幾個
(3)與共線的其他向量有幾個
變式 (多選題)如圖,在正六邊形ABCDEF中,點O為其中心,則下列說法正確的是(　 )
A.= B.∥
C.||=|| D.||=||
[素養小結]
解決此類問題時,必須要把握好零向量、相等向量、平行向量的概念及相互關系.
1.下列說法中正確的是 (　 )
A.兩個單位向量一定相等
B.兩個相等向量的起點、方向、長度必須都相同
C.共線的單位向量必相等
D.若a與b不共線,則a與b都是非零向量
2.設e是單位向量,=e,=-e,||=1,則四邊形ABCD是 (　 )
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
3.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別是AD,BC的中點,則下列結論中錯誤的是 (　 )
A.與是共線向量
B.與是共線向量
C.與是共線向量
D.與是共線向量
4.[2023·山東菏澤東明一中高一月考] 若一架飛機向西飛行150 km,再向南飛行350 km,記飛機飛行的路程為s,位移為a,則 (　 )
A.s>|a|
B.s=|a|
C.s<|a|
D.s與|a|不能比較大小
5.如圖,B是線段AC的中點,若以圖中各點分別為起點和終點,則最多可以寫出　　　　個互不相等的非零向量. 6.1　平面向量及其線性運算
6.1.1　向量的概念
1.D　[解析] 對于A,向量與向量的方向不同,不是相等向量,所以A錯誤;對于B,因為向量是既有大小又有方向的量,所以兩個向量不能比較大小,所以B錯誤;對于C,若兩個非零向量平行,則表示向量的有向線段所在的直線平行或重合,所以C錯誤;對于D,由共線向量的定義可知,當兩個非零向量是共線向量時,向量所在的直線可以平行,也可以重合,所以D正確.故選D.
2.A　[解析] 由題意知a,b是兩個平面向量,若a=b,則|a|=|b|是成立的;反之,若|a|=|b|,則向量a,b的方向可能是不同的,所以a=b不一定成立.所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要條件,故選A.
3.A　[解析] 對于A,若=,則||=||且∥,則四邊形ABCD為平行四邊形,故A正確;對于B,若||=||,則四邊形ABCD可以是矩形,也可以是等腰梯形,故B錯誤;對于C,若∥,且||=||,則四邊形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故C錯誤;對于D,若||=||,且∥,則四邊形ABCD可以是平行四邊形,也可以是梯形,故D錯誤.故選A.
4.B　[解析] ∵E,F,D分別是邊AC,AB,BC的中點,
∴EF=BC,BD=DC=BC.又AB,BC,AC的長度均不相等,∴與向量的模相等的向量有,,,,,共5個.
5.B　[解析] 對于A選項,若b=0,則a∥b,b∥c,但a∥c不一定成立,故A錯誤;對于B選項,根據向量傳遞性,可知B正確;對于C選項,若兩個單位向量平行,則這兩個單位向量相等或大小相等,方向相反,故C錯誤;對于D選項,零向量與任何非零向量都平行,且零向量的方向任意,如果a,b中有一個是零向量,那么a,b的方向相同或相反,或者不同,故D錯誤.故選B.
6.C　[解析] 由條件知點O到△ABC的三個頂點的距離相等,所以O一定是△ABC的外心.
7.BD　[解析] 與方向不相同,故A錯誤;||與||表示等腰梯形ABCD兩腰的長度,所以||=||,故B正確;向量無法比較大小,只能比較向量的模的大小,故C錯誤;等腰梯形的上底BC與下底AD平行,所以∥,故D正確.故選BD.
8.AB　[解析] 向量與向量的長度相等,所以A選項正確;若兩個向量相等且有公共起點,則其終點必相同,所以B選項正確;若兩個向量有公共終點,則這兩個向量不一定是共線向量,所以C選項錯誤;若向量與向量是共線向量,則直線AB與直線CD可能平行,也可能重合,所以D選項錯誤.故選AB.
9.BD　[解析] 對于A,平行四邊形ABCD中,=,滿足向量與共線,而A,B,C,D四點不共線,故A錯誤;對于B,A,B,C,D四點在一條直線上,則向量與方向相同或相反,即向量與共線,故B正確;對于C,平行四邊形ABCD中,滿足A,B,C,D四點不共線,但=,即向量與共線,故C錯誤;對于D,向量與共線,而向量與有公共點B,因此A,B,C三點在一條直線上,故D正確.故選BD.
10.　[解析] 由題意知,在△ABC中,AB=1,AC=2,∠ABC=90°,由勾股定理可知,BC==,所以||=.
11.①a與d,b與e　 ②a,c,d　[解析] ①由題圖可得a∥d,b∥e,因此a與d是共線向量,并且方向相反,b與e是共線向量.
②顯然|a|=,|c|=,|d|=,因此a,c,d的模相等.
12.④⑤　[解析] 對于①,單位向量的方向不同時,不相等,故①不正確;對于②,向量a,b滿足|a|=|b|時,若a,b的方向不同,則a,b不相等,故②不正確;對于③,有向線段是有方向的線段,向量是既有大小、又有方向的量,向量可以用有向線段來表示,二者不等價,故③不正確;對于④,根據零向量的定義可知④正確;對于⑤,根據共線向量的定義可知⑤正確.故正確說法的序號為④⑤.
13.解:(1)因為在平行四邊形ABCD中,E,F分別是CD,AB的中點,所以CE∥AF,CE=AF,所以四邊形AFCE為平行四邊形,所以CF∥AE,
所以與向量共線的向量為,,.
(2)證明:在平行四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=DC.
因為E,F分別是DC,AB的中點,所以ED∥BF且ED=BF,所以四邊形BFDE是平行四邊形,所以BE=FD且BE∥FD,所以=.
14.解:根據題意作出示意圖,如圖所示,A,B,C,D分別表示甲地、乙地、丙地、丁地,
依題意知,三角形ABC為正三角形,∴AC=2000 km,
又∵∠ACD=45°,CD=1000 km,∴△ACD為等腰直角三角形,
∴AD=1000 km,∠CAD=45°.
故丁地在甲地的東南方向,距甲地1000 km.
15.12　[解析] 以矩形ABCD的四個頂點及它的對角線交點O這五點中的任意一點為起點,其余四點中的一個點為終點的向量共有20個,但這20個向量中有8對向量是相等的,即(),(),(),(),(),(),(),(),由元素的互異性知集合T中有12個元素.
16.解:模等于☉O半徑的向量只有兩類:一類是(i=1,2,…,8),共8個;另一類是(i=1,2,…,8),共8個.所以模等于☉O半徑的向量共有16個.
以A1,A2,…,A8為頂點的☉O的內接正方形有兩個,一個是正方形A1A3A5A7,另一個是正方形A2A4A6A8,在題目所述的向量中,只有這兩個正方形的邊對應的向量的模為☉O半徑的倍,又每一邊對應兩個向量,所以模為☉O半徑的倍的向量共有4×2×2=16(個).6.1　平面向量及其線性運算
6.1.1　向量的概念
一、選擇題
1.下列說法正確的是 (　 )
A.向量與向量是相等向量
B.與實數類似,對于兩個向量a,b有a=b,a>b,aC.若兩個非零向量平行,則表示向量的有向線段所在的直線一定平行
D.若兩個非零向量是共線向量,則向量所在的直線可以平行,也可以重合
2.已知a,b是兩個平面向量,則“a=b”是“|a|=|b|”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.已知四邊形ABCD,則下列說法正確的是 (　 )
A.若=,則四邊形ABCD為平行四邊形
B.若||=||,則四邊形ABCD為矩形
C.若∥,且||=||,則四邊形ABCD為矩形
D.若||=||,且∥,則四邊形ABCD為梯形
4.如圖所示,△ABC的三邊長均不相等,E,F,D分別是邊AC,AB,BC的中點, 則與向量的模相等的向量共有 (　 )
A.6個 　　　B.5個
C.4個 　　　D.3個
5.下列說法中正確的是 (　 )
A.若a∥b,b∥c,則a∥c
B.若a=b,b=c,則a=c
C.若兩個單位向量平行,則這兩個單位向量相等
D.若a∥b,則a與b方向相同或相反
6.已知O是△ABC內一點,若||=||=||,則O一定是△ABC的 (　 )
A.重心 B.內心
C.外心 D.垂心
7.(多選題)如圖所示,梯形ABCD為等腰梯形,則下列關系正確的是 (　 )
A.=
B.||=||
C.>
D.∥
8.(多選題)下列說法中正確的是 (　 )
A.向量的長度與向量的長度相等
B.兩個有共同起點而且相等的向量,其終點必相同
C.兩個有公共終點的向量,一定是共線向量
D.若向量與向量是共線向量,則點A,B,C,D必在同一條直線上
9.(多選題)下列說法正確的是 (　 )
A.若向量與向量共線,則A,B,C,D四點在一條直線上
B.若A,B,C,D四點在一條直線上,則向量與向量共線
C.若A,B,C,D四點不在一條直線上,則向量與向量不共線
D.若向量與向量共線,則A,B,C三點在一條直線上
二、填空題
10.已知||=1,||=2,若∠ABC=90°,則||=　　　　.
11.在如圖所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的邊長為1),找出存在下列關系的向量:
①共線向量:　　　　　　;
②模相等的向量:　　　　　　.
12.下列說法中,正確說法的序號為　　　　.
①單位向量都相等;
②若向量a,b滿足|a|=|b|,則a=b;
③向量就是有向線段;
④模為0的向量叫零向量;
⑤向量,共線與向量∥意義是相同的.
三、解答題
13.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是CD,AB的中點.
(1)寫出與向量共線的向量;
(2)求證:=.
14.已知飛機從甲地沿北偏東30°的方向飛行2000 km到達乙地,再從乙地沿南偏東30°的方向飛行2000 km到達丙地,再從丙地沿西南方向飛行1000 km到達丁地,問丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多遠
15.如圖所示,已知四邊形ABCD是矩形,O為對角線AC與BD的交點, 設點集M={O,A,B,C,D},向量的集合T={|P,Q∈M,且P,Q不重合},則集合T中有　　　　個元素.
16.如圖,A1,A2,…,A8是☉O上的8個等分點,則在以A1,A2,…,A8及圓心O這9個點中任意2個點為始點與終點的向量中,模等于☉O半徑的向量有多少個 模等于☉O半徑的倍的向量有多少個

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