資源簡介

(共27張PPT)
6.1 平面向量及其線性運算
6.1.2 向量的加法
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.掌握向量加法的運算,并理解其幾何意義；
2.理解向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則的適用范圍,
并能應用向量加法的運算律進行相關運算.
知識點一 向量加法的三角形法則
1.定義：
一般地，平面上任意給定兩個向量，，在該平面內任取一點，作 ,
,作出向量，則向量____稱為與的和（也稱為向量與 的和向
量）.向量與的和向量記作______,因此 ____.
2.向量的和的表示
（1）當與不共線時，求 可用下圖表示.此時，， 正好能構成一個
三角形，因此，
向量加法的三角形法則
（2）當與共線時，求 可用下圖表示.
這種求兩向量和的作圖方法常稱為_______________________.
3.（1）對任意向量，有 ___.
（2）向量與的模與 的模之間滿足不等式（三角不等式）
_____________________________.
知識點二 向量加法的平行四邊形法則
如圖，平面上任意給定兩個不共線的向量和，在該平面內任取一點 ，作
,，以,為鄰邊作一個平行四邊形,作出向量 ，則
,這種求兩向量和的作圖方法常稱為__________________________.
向量加法的平行四邊形法則
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）兩個向量相加結果可能是一個數量.( )
×
（2）兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加.( )
×
（3）任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線.( )
×
（4）向量加法的三角形法則、平行四邊形法則適用于求任意兩個向量的和.( )
×
知識點三 多個向量相加
為了得到有限個向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個向量
的______為始點，最后一個向量的______為終點的向量，就是這些向量的和.
始點
終點
知識點四 向量加法的運算律
1.交換律：______________.
2.結合律：________________________.
探究點一 向量的加法
例1 如圖，在平行四邊形中，是和 的交點.
（1） ____；
[解析] .
（2） _____________；
（或）
[解析] （或 ）.
（3） _____________；
（或）
[解析] （或 ）.
（4） ___.
[解析] .
變式（1） 已知非零向量,,滿足；,, 可以構成
三角形，則是 的__________________條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充
要”或“既不充分也不必要”）
既不充分也不必要
[解析] 若，且,,共線，則,, 無法構成三角形，充分性不成立；
當,,構成時，令，， ，
則，必要性不成立.故是 的既不充分也
不必要條件.
（2）如圖所示，，是的邊 上兩點，且
.求證： .
證明：因為 ，
，
所以 ，
又因為，所以 .
［素養小結］
向量加法運算選擇三角形法則還是選擇平行四邊形法則，要關注兩個法則分別
適用的情況，三角形法則適用于首尾相接的向量，平行四邊形法則適用于起點
相同的向量，當然，我們接觸的向量都是自由向量，經過平移后，三角形法則
或平行四邊形法則可能都適用.
探究點二 向量加法運算律的應用
［提問］ 運用向量加法的________調整向量順序后使各向量首尾相接,再運
用向量加法的________相加.
交換律
結合律
例2（1） 若在中，，，且， ，
則 的形狀是( )
D
A.正三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
[解析] 因為，， ，所以
，即，所以 為等腰直角三角
形.故選D.
（2）設， 是一個非零向量，則下列結論中正確
的有______.（將正確結論的序號填在橫線上）
①；②；③ ；
④ .
①③
[解析] 易得 ，故①③正確.
變式 [2024·遼寧朝陽高一期末]已知向量,滿足,，則 的
取值范圍是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因為向量,滿足,，所以 ，當且僅
當,同向時取等號，，當且僅當, 方向相反時取等號，
所以的取值范圍是 .故選B.
［素養小結］
要善于運用向量加法的運算法則及運算律來求向量的和.
1.已知是線段的中點，則 ( )
C
A. B. C. D.以上均不對
[解析] 為線段的中點，與方向相反、大小相等， .
2.已知正方形的邊長為1，設，，，則
等于( )
D
A.0 B.3 C. D.
[解析] 因為正方形的邊長為1，所以 ，所以
.故選D.
3.在中,是的中點,則 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如圖,以,為鄰邊作平行四邊形.因為 是
的中點,所以也是的中點,又 ，所以
.故選C.
4.若某人先向東走（記為向量），接著再向北走（記為向量 ），則
表示( )
B
A.向東南走 B.向東北走
C.向東南走 D.向東北走
[解析] 由向量加法的幾何意義可知應選B.
5.化簡： ____.
[解析] .
應用三角形法則與平行四邊形法則作向量的和
首先應作出兩個向量，然后再作出這個向量與另一個向量的和，方法是多次使
用三角形法則或平行四邊形法則.同時要注意：
①三角形法則可以推廣到個向量求和，作圖時要求“首尾相接”.即 個首尾相接
的向量的和對應的向量是從第一個向量的起點指向第 個向量的終點的向量.
②平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和.
③當兩個向量不共線時，兩個法則實質上是一致的，三角形法則作出的圖形是
平行四邊形法則作出的圖形的“一半”，在多個向量的加法中，利用三角形法則
更為簡便.
例 如圖所示，已知向量，，不共線，作出向量 .
解：方法一：（三角形法則）作 ， ，
則，再作 ，
則 ，即 .
方法二：（平行四邊形法則），， 不共線，
在平面內任取一點，作， ，
以，為鄰邊作平行四邊形 ，
則對角線，再作 ，
以，為鄰邊作平行四邊形 ，
則 .6.1.2　向量的加法
【課前預習】
知識點一
1.　a+b　
2.(1)向量加法的三角形法則
3.(1)a　(2)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
知識點二
向量加法的平行四邊形法則
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
知識點三
始點　終點
知識點四
1.a+b=b+a　2.(a+b)+c=a+(b+c)
【課中探究】
例1　(1)　(2)(或)　(3)(或)　(4)0
[解析] (1)+=.
(2)++=+=(或).
(3)++=+=(或).
(4)++=++=+=0.
變式　(1)既不充分也不必要　[解析] 若a+b+c=0,且a,b,c共線,則a,b,c無法構成三角形,充分性不成立;當a,b,c構成△ABC時,令=a,=b,=c,
則a+b+c=++=2≠0,必要性不成立.故p是q的既不充分也不必要條件.
(2)證明:因為=+,=+,
所以+=+++,
又因為+=0,所以+=+.
提問 交換律　結合律
例2　(1)D　(2)①③　[解析] (1)因為||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以|a|2+|b|2=|a+b|2,即||2+||2=||2,所以△ABC為等腰直角三角形.故選D.
(2)易得a=(+)+(+)=0,故①③正確.
變式　B　[解析] 因為向量a,b滿足|a|=3,|b|=5,所以|a+b|≤|a|+|b|=8,當且僅當a,b同向時取等號,|a+b|≥||b|-|a||=2,當且僅當a,b方向相反時取等號,所以|a+b|的取值范圍是[2,8].故選B.
【課堂評價】
1.C　[解析] ∵P為線段AB的中點,∴與方向相反、大小相等,∴+=0.
2.D　[解析] 因為正方形ABCD的邊長為1,所以AC=,所以|a+b+c|=2||=2.故選D.
3.C　[解析] 如圖,以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABEC.因為M是BC的中點,所以M也是AE的中點,又+=,所以|+|=2||.故選C.
4.B　[解析] 由向量加法的幾何意義可知應選B.
5.　[解析] (+)+(+)+=(+)++(+)=++=.6.1.2　向量的加法
【學習目標】
1.掌握向量加法的運算,并理解其幾何意義;
2.理解向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則的適用范圍,并能應用向量加法的運算律進行相關運算.
◆ 知識點一　向量加法的三角形法則
1.定義:
一般地,平面上任意給定兩個向量a,b,在該平面內任取一點A,作=a,=b,作出向量,則向量　　　　稱為a與b的和(也稱為向量a與b的和向量).向量a與b的和向量記作　　　　,因此+=　　　　.
2.向量的和的表示
(1)當a與b不共線時,求a+b可用下圖表示.此時a,b,a+b正好能構成一個三角形,因此,這種求兩向量和的作圖方法常稱為　　　　 　　　　.
(2)當a與b共線時,求a+b可用下圖表示.
3.(1)對任意向量a,有a+0=0+a=　　　　.
(2)向量a與b的模與a+b的模之間滿足不等式(三角不等式)　　　　　　　　　　　　.
◆ 知識點二　向量加法的平行四邊形法則
如圖,
平面上任意給定兩個不共線的向量a和b,在該平面內任取一點A,作=a,=b,以AB,AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC,作出向量,則=+,這種求兩向量和的作圖方法常稱為　　　　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個向量相加結果可能是一個數量. (　 )
(2)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加. (　 )
(3)任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線. (　 )
(4)向量加法的三角形法則、平行四邊形法則適用于求任意兩個向量的和. (　 )
◆ 知識點三　多個向量相加
為了得到有限個向量的和,只需將這些向量依次首尾相接,那么以第一個向量的　　　　為始點,最后一個向量的　　　　為終點的向量,就是這些向量的和.
◆ 知識點四　向量加法的運算律
1.交換律:　　　　　　　　　　.
2.結合律:　　　　　　　　　　.
◆ 探究點一　向量的加法
例1 如圖,在平行四邊形ABCD中,O是AC和BD的交點.
(1)+=　　　　;
(2)++=　　　　;
(3)++=　　　　;
(4)++=　　　　.
變式 (1)已知p:非零向量a,b,c滿足a+b+c=0;q:a,b,c可以構成三角形,則p是q的　　　　　　　　　條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
(2)如圖所示,P,Q是△ABC的邊BC上兩點,且+=0.求證:+=+.
[素養小結]
向量加法運算選擇三角形法則還是選擇平行四邊形法則,要關注兩個法則分別適用的情況,三角形法則適用于首尾相接的向量,平行四邊形法則適用于起點相同的向量,當然,我們接觸的向量都是自由向量,經過平移后,三角形法則或平行四邊形法則可能都適用.
◆ 探究點二　向量加法運算律的應用
[提問] 運用向量加法的　　　　調整向量順序后使各向量首尾相接,再運用向量加法的　　　相加.
例2 (1)若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,則△ABC的形狀是 (　 )
A.正三角形
B.銳角三角形
C.鈍角三角形
D.等腰直角三角形
(2)設a=(+)+(+),b是一個非零向量,則下列結論中正確的有　　　.(將正確結論的序號填在橫線上)
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;
④|a+b|<|a|+|b|.
變式 [2024·遼寧朝陽高一期末] 已知向量a,b滿足|a|=3,|b|=5,則|a+b|的取值范圍是(　 )
A.[2,3] B.[2,8]
C.[3,5] D.[2,5]
[素養小結]
要善于運用向量加法的運算法則及運算律來求向量的和.
1.已知P是線段AB的中點,則+=(　 )
A. B.
C.0 D.以上均不對
2.已知正方形ABCD的邊長為1,設=a,=b,=c,則|a+b+c|等于 (　 )
A.0 B.3
C.2+ D.2
3.在△ABC中,M是BC的中點,則|+|等于 (　 )
A.|| B.||
C.2|| D.||
4.若某人先向東走3 km(記為向量a),接著再向北走3 km(記為向量b),則a+b表示(　 )
A.向東南走3 km
B.向東北走3 km
C.向東南走3 km
D.向東北走3 km
5.化簡:(+)+(+)+=　　　　. 6.1.2　向量的加法
1.D　[解析] 易知①正確;在平行四邊形ABCD中,BC∥AD,且BC=AD,所以=,故②正確;若=,則A,B,C,D可能共線,故③錯誤;易知④正確.故選D.
2.D　[解析] 因為六邊形ABCDEF為正六邊形,所以=,=,所以++=++=+=.故選D.
3.D　[解析] 因為+=,所以四邊形OACB為平行四邊形,所以點O在△ABC的外部.
4.B　[解析] 由已知得|a+b|=2 km.如圖,易知α=30°,故a+b表示向北偏東30°方向航行2 km.故選B.
5.D　[解析] 當,,均不共線時,三條有向線段構成一個三角形;當,,為共線向量時,線段AB,BC一定共線;線段AB,BC有公共點B,不可能平行.故選D.
6.B　[解析] 因為+=,所以++的模為的模的2倍.又||==2,所以向量++的模為4.
7.C　[解析] 當a,b反向時,|a+b|=||a|-|b||=|3-2|=1;當a,b同向時,|a+b|=|a|+|b|=3+2=5,故1≤|a+b|≤5.故選C.
8.ACD　[解析] 對于A,當a與b的模相等,方向相反時,a+b=0,方向任意,故A中說法錯誤;
對于B,在△ABC中,++=+=0,故B中說法正確;
對于C,當A,B,C三點共線時,滿足++=0,但A,B,C三點不能構成三角形,故C中說法錯誤;
對于D,若a,b均為非零向量,則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a與b同向時等號成立,故D中說法錯誤.故選ACD.
9.ACD　[解析] 由向量加法的三角形法則可得,+=,++=0,由三角形的中位線性質得,四邊形ADEF是平行四邊形,則+==.故選ACD.
10.①②③④　[解析] 以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABDC.因為∠A=90°,所以四邊形ABDC為矩形,所以AD=BC,所以|+|=||=||,故①正確;|+|=||=||,故②正確;|+|=||=||,故③正確;由勾股定理知||2+||2=||2,故④正確.故正確結論的序號為①②③④.
11.|a|=|b|　[解析] 如圖,要使a+b平分a,b的夾角,平行四邊形應為菱形,因此|a|=|b|.
12.0　[解析] 如圖所示,延長AG交BC于點E,則點E為BC的中點,延長AE到點D,使GE=ED,則+=,+=0,所以++=0.
【點睛】 點G是△ABC的重心的充要條件是++=0.
13.解:(1)++=+=.
(2)|++|=|+|=||=2.
14.解:根據題意,畫出示意圖,如圖所示,
設,分別是直升機的兩次位移,則表示兩次位移的合位移,即=+.
在Rt△ABD中,||=20 km,||==20(km).
在Rt△ACD中,||==40(km),∠CAD=60°,
即此時直升機位于A地北偏東30°方向,且距離A地40 km處.
15.A　[解析] 如圖,作直徑BD,連接DA,DC,
則DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC,
所以CH∥DA,AH∥DC,故四邊形AHCD是平行四邊形,
所以=,又=+=+,
所以=+=+=++.
16.3　[解析] 如圖,由||=||=3,可得以OA,OB為鄰邊的四邊形OACB為菱形.
連接OC,AB,設其交點為D,則OC⊥AB.
∵∠AOB=60°,∴AB=||=3,∴在Rt△BDC中,CD=,
∴||=|+|=×2=3.6.1.2　向量的加法
一、選擇題
1.下列說法中正確的個數為 (　 )
①如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么(a+b)∥a;
②在平行四邊形ABCD中,必有=;
③若=,則A,B,C,D為平行四邊形的四個頂點;
④若a,b均為非零向量,則|a+b|≤|a|+|b|.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如圖,正六邊形ABCDEF中,++=(　 )
A.0
B.
C.
D.
3.已知O是△ABC所在平面內一點,且+=,那么 (　 )
A.點O在△ABC的內部
B.點O在△ABC的邊AB上
C.點O在邊AB所在的直線上
D.點O在△ABC的外部
4.[2023·陜西榆林高一期末] 若向量a表示“向東航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,則向量a+b表示 (　 )
A.向東北方向航行2 km
B.向北偏東30°方向航行2 km
C.向正北方向航行(1+) km
D.向正東方向航行(1+) km
5.設,,是三個非零向量,且+=,則 (　 )
A.線段AB,BC,AC一定構成一個三角形
B.線段AB,BC一定共線
C.線段AB,BC一定平行
D.選項A,B中的情況都有可能,選項C中的情況是不存在的
6.在矩形ABCD中,||=4,||=2,則向量++的模為 (　 )
A.2 B.4
C.12 D.6
7.已知|a|=3,|b|=2,則|a+b|的值可能是 (　 )
A.0 B.-2
C.5 D.6
8.(多選題)下列說法中不正確的是 (　 )
A.如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若++=0,則A,B,C為一個三角形的三個頂點
D.若a,b均為非零向量,則a+b的模等于a的模與b的模的和
9.(多選題)在△ABC中,D,E,F分別是邊AB,BC,CA的中點,則下列等式成立的是(　 )
A.+=
B.++=0
C.+=
D.+=
二、填空題
10.已知△ABC是直角三角形且∠A=90°,則下列結論中正確的是　　　　.(填序號)
①|+|=||;
②|+|=||;
③|+|=||;
④||2+||2=||2.
11.當非零向量a,b(a,b不共線)滿足　　　　　時,能使a+b平分a,b的夾角.
★12.已知點G是△ABC的重心,則++=　　　　.
三、解答題
13.已知菱形ABCD的邊長為2,
(1)化簡向量++;
(2)求向量++的模.
14.一架救援直升機從A地沿北偏東60°的方向飛行了40 km到達B地,再由B地沿正北方向飛行40 km到達C地,求此時直升機與A地的相對位置.
15.如圖所示,O為△ABC的外心,H為垂心,則= (　 )
A.++
B.++
C.++
D.++
16.已知||=3,||=3,∠AOB=60°,則|+|等于　　　　.

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