資源簡介

(共27張PPT)
6.1 平面向量及其線性運算
6.1.3 向量的減法
◆ 課前預(yù)習(xí)
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握向量減法的運算,并理解其幾何意義；
2.理解相反向量的含義,能用相反向量說出向量相減的意義；
3.能將向量的減法運算轉(zhuǎn)化為向量的加法運算.
知識點 向量的減法
1.向量的減法
（1）定義：一般地，平面上任意給定兩個向量，，如果向量能夠滿足
, 則稱為向量與 的差，并記作__________. 不難看出,在平面內(nèi)任取一點,作
, ,作出向量 ,注意到, 因此向量就是向量與的
差（也稱為向量與 的差向量）,即 ____.
（2）向量的差的表示：
當(dāng)與不共線時，求可用下圖表示，此時向量，， 正好能構(gòu)成
一個三角形，因此這種求兩向量差的作圖方法常稱為______________________.
向量減法的三角形法則
2.相反向量
我們規(guī)定,與____________________的向量稱為的相反向量,記作____ 和___
互為相反向量.零向量的相反向量仍是________.
方向相反、大小相等
零向量
3.任何一個向量與它的相反向量的和等于________.
一個向量減去另一個向量，等于第一個向量加上第二個向量的__________.
零向量
相反向量
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）方向相反的向量就是相反向量.( )
×
[解析] 方向相反且模相等的向量是相反向量.
（2）相反向量一定是共線向量.( )
√
（3）相反向量的模一定相等.( )
√
（4）向量的減法運算可以通過相反向量轉(zhuǎn)化為加法運算.( )
√
探究點一 向量的減法運算
［提問］ 在用三角形法則作向量減法時，使兩個向量的______相同，差向
量即由____向量的終點指向______向量的終點.
起點
減
被減
例1（1） 若，， 是一個平面內(nèi)不同的三點，則下列等式正確的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由向量的減法運算知 .
（2）已知，，則 的取值范圍是_______.
[解析] 由題得 .
因為，，所以 .
當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時， .
故的取值范圍為 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
在計算向量減法時應(yīng)注意以下兩點：
（1）向量減法有時會借助三角形法則進行運算；
（2）向量減法中，減去一個向量等于加上此向量的相反向量.
探究點二 向量減法的應(yīng)用
例2（1） [2023·天津武清區(qū)楊村一中高一月考]下列各式中不能化簡為 的是
( )
D
A. B.
C. D.
[解析] ；
；
；
.故選D.
（2）已知是平行四邊形的對角線與的交點，若 ，
，，證明： .
證明：方法一：， ，
所以，即 .
方法二： .
在平行四邊形中，， ，
則 ，
所以，即 .
變式 若，，則 ___.
[解析] 設(shè),,以，為鄰邊作平行四邊形 ，如圖所示，則
, .
由可知四邊形為菱形，， ,
則 ， ，為等邊三角形， ，即
.
［素養(yǎng)小結(jié)］
此類問題要根據(jù)圖形的幾何性質(zhì),運用向量加法的平行四邊形法則和向量減法的
三角形法則解題,要特別注意向量的方向以及運算式中向量之間的關(guān)系.
拓展 如圖所示,，，分別是 的邊
，， 的中點，則( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 由題可得，，所以 .故
選A.
1.在中，若，，則 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] .故選D.
2. ( )
D
A. B. C. D.
[解析] .故選D.
3.如圖所示，以為圓心，1為半徑的圓上有， 兩個動點，
則 的取值范圍為( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因為，所以 的最大值為2，
最小值為0.故選D.
4.（多選題）下列化簡結(jié)果正確的是( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 對于A， ，故A正確；
對于B， ，故B正確；
對于C， ，故C正確；
對于D，，故D錯誤.故選 .
5.已知為等腰直角三角形，且 ，給出下列結(jié)論：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中所有正確結(jié)論的序號為__________.
①②③④
[解析] 以，為鄰邊作平行四邊形 ，如圖所示，由
題意知其為正方形.
，， ，故①
正確；
，， ，故②正確；
，， ，
故③正確；
，
，故④正確.
故所有正確結(jié)論的序號為①②③④.
1.向量的減法運算
（1）向量的減法運算與向量的加法運算是互逆運算，可以靈活轉(zhuǎn)化，減去一個
向量等于加上這個向量的相反向量.
（2）對于向量的加減運算，做加法時要首尾相接，如 .做減法時
要保證起點相同，如 .同時，注意交換一個向量的起點和終點，所
得向量與原向量是相反向量.
例1 （多選題）向量 可以寫成( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 對于A， ，故A正確；
對于B，，故B不正確；
對于C， ，故C不正確；
對于D，，故D正確.故選 .
2.利用已知向量表示其他向量
解此類題目要充分利用平面幾何知識，靈活運用平行四邊形法則和三角形法則.
要將向量運算的平行四邊形法則，三角形法則與向量加減法運算的幾何意義相
結(jié)合，運算過程中要注意向量的起點與終點.
例2 如圖所示，已知一點到平行四邊形 的三個頂
點，，的向量分別為，，，試用向量，，
表示 .
解：在中， .
在中， .
又在平行四邊形中， .
故，即 .
3.作已知向量的和向量或差向量
（1）求作兩個向量的和向量時，要注意向量加法的三角形法則和平行四邊形法
則的應(yīng)用.
（2）求作兩個向量的差向量時，有以下兩種思路：
①可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如，可以先作，然后作 即可.
②可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連
接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量.
例3 如圖所示，已知向量，， 不共線，求作向量
.
解：方法一：在平面內(nèi)任取一點，作 ， ，
則，再作，連接，則 .
方法二：在平面內(nèi)任取一點，作， ，
則，再作，連接 ，
則 .6.1.3　向量的減法
【課前預(yù)習(xí)】
知識點
1.(1)x=a-b　　(2)向量減法的三角形法則
2.方向相反、大小相等　-a　-a　零向量
3.零向量　相反向量
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　[解析] (1)方向相反且模相等的向量是相反向量.
【課中探究】
提問 起點　減　被減
例1　(1)B　(2)[3,15]　[解析] (1)由向量的減法運算知=-.
(2)由題得|||-|||≤|-|≤||+||.
因為||=6,||=9,所以3≤|-|≤15.
當(dāng)與同向時,|-|=3;當(dāng)與反向時,|-|=15.
故|-|的取值范圍為[3,15].
例2　(1)D　[解析] (-)-=++=;-(+)=-0=;-(+)-(+)=-(+)--=--+=;--+=2+≠.故選D.
(2)證明:方法一:c+a=+=+=,+b=+=,所以c+a=+b,即c+a-b=.
方法二:c+a-b=+-=++.
在平行四邊形ABCD中,=,=,
則+=+=,
所以c+a-b=+=,即c+a-b=.
變式　2　[解析] 設(shè)a=,b=,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,如圖所示,則a+b=,a-b=.
由|a|=|b|=2可知四邊形OAPB為菱形,∵|a+b|=2,∴OP=2,
則∠OAP=120°,∴∠AOB=60°,∴△OAB為等邊三角形,∴BA=2,即|a-b|=2.
拓展　A　[解析] 由題可得=,=,所以++=++=0.故選A.
【課堂評價】
1.D　[解析] =-=a-b.故選D.
2.D　[解析] +-=-=.故選D.
3.D　[解析] 因為|-|=||,所以|-|的最大值為2,最小值為0.故選D.
4.ABC　[解析] 對于A,++=-=0,故A正確;對于B,(+)++=+++=,故B正確;對于C,-+=++=0,故C正確;對于D,--=-(+)=-=,故D錯誤.故選ABC.
5.①②③④　[解析] 以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABDC,如圖所示,由題意知其為正方形.
①|(zhì)+|=||,|-|=||,||=||,故①正確;
②|-|=||,|-|=||,||=||,故②正確;
③|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,||=||,故③正確;
④|-|2=||2,|-|2+|-|2=|+|2+|+|2=||2+||2,故④正確.
故所有正確結(jié)論的序號為①②③④.6.1.3　向量的減法
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握向量減法的運算,并理解其幾何意義;
2.理解相反向量的含義,能用相反向量說出向量相減的意義;
3.能將向量的減法運算轉(zhuǎn)化為向量的加法運算.
◆ 知識點　向量的減法
1.向量的減法
(1)定義:一般地,平面上任意給定兩個向量a,b,如果向量x能夠滿足b+x=a,則稱x為向量a與b的差,并記作　　　　　　.不難看出,在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,作出向量,注意到+=,因此向量就是向量a與b的差(也稱為向量a與b的差向量),即-=　　　　.
(2)向量的差的表示:
當(dāng)a與b不共線時,求a-b可用下圖表示,此時向量a,b,a-b正好能構(gòu)成一個三角形,因此這種求兩向量差的作圖方法常稱為　　　　　　　　　.
2.相反向量
我們規(guī)定,與a　　　　　　　　　的向量稱為a的相反向量,記作　　　　.a和　　　　互為相反向量.零向量的相反向量仍是　　　　　.
3.任何一個向量與它的相反向量的和等于　　　　　.
一個向量減去另一個向量,等于第一個向量加上第二個向量的　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方向相反的向量就是相反向量. (　 )
(2)相反向量一定是共線向量. (　 )
(3)相反向量的模一定相等. (　 )
(4)向量的減法運算可以通過相反向量轉(zhuǎn)化為加法運算. (　 )
◆ 探究點一　向量的減法運算
[提問] 在用三角形法則作向量減法時,使兩個向量的　　　　相同,差向量即由　　　　向量的終點指向　　　　向量的終點.
例1 (1)若O,E,F是一個平面內(nèi)不同的三點,則下列等式正確的是 (　 )
A.=+
B.=-
C.=-+
D.=--
(2)已知||=6,||=9,則|-|的取值范圍是　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
在計算向量減法時應(yīng)注意以下兩點:
(1)向量減法有時會借助三角形法則進行運算;
(2)向量減法中,減去一個向量等于加上此向量的相反向量.
◆ 探究點二　向量減法的應(yīng)用
例2 (1)[2023·天津武清區(qū)楊村一中高一月考] 下列各式中不能化簡為的是 (　 )
A.(-)-
B.-(+)
C.-(+)-(+)
D.--+
(2)已知O是平行四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點,若=a,=b,=c,證明:c+a-b=.
變式 若|a|=|b|=2,|a+b|=2,則|a-b|=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
此類問題要根據(jù)圖形的幾何性質(zhì),運用向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則解題,要特別注意向量的方向以及運算式中向量之間的關(guān)系.
拓展 如圖所示,D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點,則 (　 )
A.++=0
B.-+=0
C.+-=0
D.--=0
1.在△ABC中,若=a,=b,則=(　 )
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
2.　+-= (　 )
A. B.
C. D.
3.如圖所示,以O(shè)為圓心,1為半徑的圓上有A,B兩個動點,則|-|的取值范圍為(　 )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(0,2) D.[0,2]
4.(多選題)下列化簡結(jié)果正確的是 (　 )
A.++=0
B.(+)++=
C.-+=0
D.--=
5.已知△ABC為等腰直角三角形,且∠A=90°,給出下列結(jié)論:
①|(zhì)+|=|-|;
②|-|=|-|;
③|-|=|-|;
④=+.
其中所有正確結(jié)論的序號為　　　　. 6.1.3　向量的減法
1.C　[解析] +-=-=-=.故選C.
2.C　[解析] 由題得-=-=+=.故選C.
3.A　[解析] ∵=-=b-a,∴的相反向量為-(b-a)=a-b.故選A.
4.C　[解析] 由+=2可得D為BC的中點,所以-=-=0.故選C.
5.C　[解析] 當(dāng)a與b的方向相同時,|a+b|=|a|+|b|,故A不正確;當(dāng)a與b的方向相反時,||a|-|b||=|a+b|,故B不正確;易知C正確;|a|+|b|≥|a-b|,故D不正確.故選C.
【點撥】 求解此類問題,考慮兩向量方向相同或相反時選項是否正確.當(dāng)已知的兩個向量不共線時,則要借助圖形,以已知向量為一組鄰邊構(gòu)建三角形或平行四邊形.
6.C　[解析] 由題得||=|-|.
由|-|≥|||-|||,得||的最小值為|4-7|=3,
由|-|≤||+||,得||的最大值為|4+7|=11,
故||的取值范圍是[3,11].故選C.
7.A　[解析] 因為+=,-=,+=,|+|=|-|=|+|,所以||=||=||,所以△ABC是等邊三角形.故選A.
8.ABC　[解析] 對于A,++=-=0,故A正確;對于B,-+-=(+)-(+)=-=0,故B正確;對于C,-+=(+)-=-=0,故C正確;對于D,++-=++=+=2,故D不正確.故選ABC.
9.BCD　[解析] 在菱形ABCD中,≠,故A中結(jié)論錯誤;||=||,故B中結(jié)論正確;|-|=2||,|+|=2||,故C中結(jié)論正確;+=+=-,故D中結(jié)論正確.故選BCD.
10.[3,13]　[解析] =-.當(dāng),同向共線時,||=||-||=3;當(dāng),反向共線時,||=||+||=13;當(dāng),不共線時,由|||-|||<|-|<||+||,可得3<||<13.綜上可得3≤||≤13.
11.8　[解析] 由題得a+b=,a-b=,因為|a+b|=|a-b|,所以||=||,
所以平行四邊形ABCD是矩形,
又|a|=6,|b|=2,所以||=||==4,
則a-b-c=--=-+=+=2,故|a-b-c|=8.
12.8　[解析] 如圖,延長線段AB,使得AB=BB'.延長線段AD,使得AD=DD',連接BD',B'D',則b+c=,所以a-b-c=a-(b+c)=a-=-=,所以|a-b-c|=||==8.
13.解:(1)(-)-(-)=--+=+(+)+=(+)+(+)=+=0.
(2)(++)-(--)=(+)+-=++=+=0.
14.證明:如圖,在等腰直角三角形ABC中,由M是斜邊AB的中點,得||=||,||=||.
(1)在△ACM中,=-=a-b,因為||=||,所以|a-b|=|a|.
(2)在△MCB中,==a-b,所以=-=a-b+a=a+(a-b),
又||=||,所以|a+(a-b)|=|b|.
15.　[解析] 如圖所示,在平行四邊形OACB中,連接OC,AB.設(shè)=a,=b,則=-=a-b.因為|a|=|b|=|a-b|,
所以O(shè)A=OB=BA,所以△OAB為正三角形.設(shè)△OAB的邊長為1,則|a-b|=||=1,|a+b|=||=2×=,所以==.
16.解:∵-+-=+,-==-,
∴|+|=|-|,
∴以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度相等,
∴該平行四邊形為矩形,∴AB⊥AC,∴△ABC是直角三角形.6.1.3　向量的減法
一、選擇題
1.在平行四邊形ABCD中,O是對角線AC和BD的交點,則+-= (　 )
A. B.
C. D.
2.[2024·北京西城區(qū)高一期末] 如圖,在正六邊形ABCDEF中,-= (　 )
A. B.
C. D.
3.在平行四邊形ABCD中,=a,=b,則的相反向量是 (　 )
A.a-b B.b-a
C.a+b D.-a-b
4.在△ABC中,+=2,則-=(　 )
A.2 B.
C.0 D.2
★5.下列各式中,一定正確的是 (　 )
A.|a|+|b|>|a+b|
B.|a|-|b|<|a+b|
C.|a|+|b|≥|a+b|
D.|a|+|b|≤|a-b|
6.若||=7,||=4,則||的取值范圍是(　 )
A.[3,7] B.(3,7)
C.[3,11] D.(3,11)
7.[2023·河南駐馬店高一期中] 在△ABC中,|+|=|-|=|+|,則△ABC是 (　 )
A.等邊三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.等腰直角三角形
8.(多選題)化簡以下各式,結(jié)果為0的有 (　 )
A.++
B.-+-
C.-+
D.++-
9.(多選題)對于菱形ABCD,給出下列各式,其中結(jié)論正確的為(　 )
A.=
B.||=||
C.|-|=|+|
D.|+|=|-|
二、填空題
10.若||=8,||=5,則||的取值范圍是　　　　.
11.[2023·廣東佛山順德區(qū)容山中學(xué)高一月考] 在平行四邊形ABCD中,=a,=b,=c,且|a+b|=|a-b|,|a|=6,|b|=2,則|a-b-c|=　　　　.
12.如圖所示,在矩形ABCD中,||=4,||=8.設(shè)=a,=b,=c,則|a-b-c|=　　　　.
三、解答題
13.化簡:
(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
14.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜邊AB的中點,=a,=b,求證:
(1)|a-b|=|a|;
(2)|a+(a-b)|=|b|.
15.已知a,b是兩個非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,則=　　　　.
16.若O是△ABC所在平面內(nèi)一點,且滿足|-|=|-+-|,試判斷△ABC的形狀.

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