資源簡(jiǎn)介

(共25張PPT)
6.1 平面向量及其線性運(yùn)算
6.1.4 數(shù)乘向量
◆ 課前預(yù)習(xí)
◆ 課中探究
◆ 課堂評(píng)價(jià)
◆ 備課素材
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解數(shù)乘向量的定義及幾何意義，了解數(shù)乘向量的運(yùn)算律；
2.會(huì)判定向量平行、三點(diǎn)共線.
知識(shí)點(diǎn)一 數(shù)乘向量的定義
一般地,給定一個(gè)實(shí)數(shù) 與任意一個(gè)向量 ，規(guī)定它們的乘積是一個(gè)向量，記作
，其中：
（1）當(dāng)且時(shí)，的模為，而且 的方向如下：
①當(dāng)時(shí),與 的方向______;
②當(dāng)時(shí),與 的方向______.
相同
相反
（2）當(dāng)或時(shí), ___.
實(shí)數(shù) 與向量 相乘的運(yùn)算簡(jiǎn)稱為數(shù)乘向量.
知識(shí)點(diǎn)二 數(shù)乘向量的幾何意義
1.數(shù)乘向量的結(jié)果是一個(gè)______，這個(gè)向量與原來的向量______________，即
_______.
2.數(shù)乘向量的幾何意義是，把向量沿著它的方向或反方向____________.
向量
共線（平行）
放大或縮小
知識(shí)點(diǎn)三 數(shù)乘向量的應(yīng)用
1.當(dāng) , 為實(shí)數(shù)，為向量時(shí)， _______.
2.若存在實(shí)數(shù) ，使得________，則 .
【診斷分析】 判斷正誤.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”）
（1）兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量.( )
×
[解析] 錯(cuò)誤，兩向量是否共線要看其方向是否相同或相反，而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)
是否相同.
（2）（ 為實(shí)數(shù)），則 必為零.( )
×
[解析] 錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，不論 為何值， .
（3） ， 為實(shí)數(shù)，若，則與 共線.( )
×
[解析] 錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與 可以是任意向量.
探究點(diǎn)一 數(shù)乘向量的概念及其幾何意義
例1 已知, 是兩個(gè)非零向量，判斷下列各命題的真假，并說明理由.
（1）的方向與的方向相同，且的模是的模的 倍；
解：該命題是真命題.，與 同向.
,的模是的模的 倍.
（2）的方向與的方向相反，且的模是的模的 ；
解：該命題是真命題.，與方向相反，且 .
,與方向相同，且 ,
與的方向相反，且的模是的模的 .
（3）與 是一對(duì)相反向量；
解：該命題是假命題.與 是相反向量，
與 是相等向量.
（4）若,不共線，則與 不共線.
解：該命題是假命題.,與 共線.
變式 （多選題）對(duì)于非零向量 ，下列說法正確的是( )
ABD
A.的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的2倍，且與 的方向相同
B.的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的，且與 的方向相反
C.若，則 等于零
D.若，則是與 同向的單位向量
[解析] 對(duì)于A，的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的2倍，且與 的方向相同，故A正確；
對(duì)于B，的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的，且與 的方向相反，故B正確；
對(duì)于C，若，則等于零向量，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則是與 同向的單位向量，故D正確.故選 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）對(duì)于,從數(shù)的角度來看: 是實(shí)數(shù), 是向量,它們的積仍然是向量;
②由得到或 .
（2）對(duì)于,從形的角度來看:①當(dāng)時(shí),有,表示向量 的
有向線段在原方向或反方向上伸長(zhǎng)倍;②當(dāng) 時(shí),表示向量
的有向線段在原方向或反方向上縮短為原來的 .
注意：實(shí)數(shù)與向量可以求積,但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算,如無法運(yùn)算, 等.
探究點(diǎn)二 向量共線（平行）
例2 已知點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且 .
解：如圖①，因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且 ，所以
， .
（1）用 表示 ；
如圖②，向量與的方向相同，所以 .
（2）用 表示 .
解： 如圖③，向量與的方向相反，所以 .
變式 設(shè)是非零向量， 是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
B
A.與的方向相反 B.與 的方向相同
C. D.
[解析] 對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與的方向相同，當(dāng)時(shí)，與 的方向相反，
故A不正確；
對(duì)于B，顯然，故B正確；
對(duì)于C，，因?yàn)?與1的大小關(guān)系不確定，所以與 的大小
關(guān)系不確定，故C不正確；
對(duì)于D，是向量，而表示向量 的模，兩者不能比較大小，故D不正確.
故選B.
［素養(yǎng)小結(jié)］
向量共線不同于直線重合，兩個(gè)向量平行也稱為兩個(gè)向量共線，但兩直線平行
卻不能判定兩直線共線.判斷兩個(gè)向量,是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù) ,使
得 .
探究點(diǎn)三 三點(diǎn)共線
例3 已知向量,,判斷和 是否共線.
解：因?yàn)榍遗c有公共點(diǎn)，所以，， 三點(diǎn)共線，同理可得
，，三點(diǎn)共線，所以，，，四點(diǎn)共線，所以和 共線.
［素養(yǎng)小結(jié)］
三點(diǎn)共線的證明是向量共線的應(yīng)用之一，是數(shù)乘向量定義的延伸，利用了向量
共線時(shí)，表達(dá)向量的有向線段所在直線重合的特殊情況.
1.若點(diǎn)在上，且，則 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)椋?.
2. ( )
C
A.的化簡(jiǎn)結(jié)果為 B.與向量同向 C.與向量 反向 D.的長(zhǎng)度為2
[解析] ，與向量反向，其長(zhǎng)度為 .故選C.
3.已知，，，是平面內(nèi)四點(diǎn)，且 ，則下列向量一定
共線的是( )
B
A.與 B.與 C.與 D.與
[解析] 因?yàn)椋?，即
，所以與 共線.故選B.
4.已知是內(nèi)一點(diǎn)，若，，則點(diǎn) 的軌跡一定經(jīng)
過 的( )
A
A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心
[解析] 表示與同向的單位向量，表示與 同向的單位向量，所以由平
行四邊形法則得（起點(diǎn)為A）所在直線平分 ，
又，，所以與同方向，又與 共
起點(diǎn)，所以點(diǎn)也在的平分線上，故點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過 的內(nèi)心.故選A.
5.[2023·江蘇南通高一期末] 在梯形中，，是 的中點(diǎn)，
，設(shè)，則 __.
[解析] 連接，，則，， .
用向量法證明三點(diǎn)共線時(shí)，關(guān)鍵是能否找到一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得
（， 為這三點(diǎn)構(gòu)成的其中任意兩個(gè)向量）.證明步驟是先證明向量共線，然后
再由兩向量有公共點(diǎn)，證得三點(diǎn)共線.
解決與中點(diǎn)相關(guān)的問題，要注意到中點(diǎn)分線段為相等兩段后成相反向量這一特
點(diǎn)，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危箚栴}得以解決，還要注意重心的性質(zhì)的應(yīng)用.
例 在中，是 的重心. 證明：
證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，再延長(zhǎng)到點(diǎn) ，
使.連接， （圖略）.
是 的重心，是 的中點(diǎn)，
四邊形 是平行四邊形, .
又, ,
.6.1.4　數(shù)乘向量
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
(1)①相同　②相反　(2)0
知識(shí)點(diǎn)二
1.向量　共線(平行)　λa∥a　2.放大或縮小
知識(shí)點(diǎn)三
1.(λμ)a　2.b=λa
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)錯(cuò)誤,兩向量是否共線要看其方向是否相同或相反,而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)是否相同.
(2)錯(cuò)誤,當(dāng)a=0時(shí),不論λ為何值,λa=0.
(3)錯(cuò)誤,當(dāng)λ=μ=0時(shí),λa=μb=0,此時(shí)a與b可以是任意向量.
【課中探究】
例1　解:(1)該命題是真命題.∵>0,∴a與a同向.
∵|a|=|a|,∴a的模是a的模的倍.
(2)該命題是真命題.∵-3<0,∴-3a與a方向相反,且|-3a|=3|a|.
∵6>0,∴6a與a方向相同,且|6a|=6|a|,
∴-3a與6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的.
(3)該命題是假命題.∵a-b與b-a是相反向量,
∴a-b與-(b-a)是相等向量.
(4)該命題是假命題.∵0·a=0,∴0·a與b共線.
變式　ABD　[解析] 對(duì)于A,2a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的2倍,且2a與a的方向相同,故A正確;對(duì)于B,-的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的,且-與a的方向相反,故B正確;對(duì)于C,若λ=0,則λa等于零向量,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若λ=,則λa是與a同向的單位向量,故D正確.故選ABD.
例2　解:如圖①,因?yàn)辄c(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.
(1)如圖②,向量與的方向相同,所以=2.
(2)如圖③,向量與的方向相反,所以=-3.
變式　B　[解析] 對(duì)于A,當(dāng)λ>0時(shí),a與λa的方向相同,當(dāng)λ<0時(shí),a與λa的方向相反,故A不正確;對(duì)于B,顯然λ2>0,故B正確;對(duì)于C,|-λa|=|λ||a|,因?yàn)閨λ|與1的大小關(guān)系不確定,所以|-λa|與|a|的大小關(guān)系不確定,故C不正確;對(duì)于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示向量-λa的模,兩者不能比較大小,故D不正確.故選B.
例3　解:因?yàn)?2且AB與BC有公共點(diǎn)B,所以A,B,C三點(diǎn)共線,同理可得A,B,D三點(diǎn)共線,所以A,B,C,D四點(diǎn)共線,所以和共線.
【課堂評(píng)價(jià)】
1.B　[解析] 因?yàn)?,所以=.
2.C　[解析] 6×=-2a,與向量a反向,其長(zhǎng)度為2|a|.故選C.
3.B　[解析] 因?yàn)?+=,所以+++=0,即-2=,所以與共線.故選B.
4.A　[解析] 表示與同向的單位向量,表示與同向的單位向量,所以由平行四邊形法則得+(起點(diǎn)為A)所在直線平分∠BAC,
又=μ,μ>0,所以與+同方向,又與+共起點(diǎn),
所以點(diǎn)O也在∠BAC的平分線上,故點(diǎn)O的軌跡一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心.故選A.
5.　[解析] 連接BD,=(+)=(++)==,則λ=1,μ=,∴+=+=.6.1.4　數(shù)乘向量
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解數(shù)乘向量的定義及幾何意義,了解數(shù)乘向量的運(yùn)算律;
2.會(huì)判定向量平行、三點(diǎn)共線.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　數(shù)乘向量的定義
一般地,給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)向量a,規(guī)定它們的乘積是一個(gè)向量,記作λa,其中:
(1)當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí),λa的模為|λ||a|,而且λa的方向如下:
①當(dāng)λ>0時(shí),與a的方向　　　　;
②當(dāng)λ<0時(shí),與a的方向　　　　.
(2)當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=　　　　.
實(shí)數(shù)λ與向量a相乘的運(yùn)算簡(jiǎn)稱為數(shù)乘向量.
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　數(shù)乘向量的幾何意義
1.數(shù)乘向量的結(jié)果是一個(gè)　　　　,這個(gè)向量與原來的向量　　　　　　　,即　　　　.
2.數(shù)乘向量的幾何意義是,把向量沿著它的方向或反方向　　　　　　　　　.
◆ 知識(shí)點(diǎn)三　數(shù)乘向量的應(yīng)用
1.當(dāng)λ,μ為實(shí)數(shù),a為向量時(shí),λ(μ a)=　　　　.
2.若存在實(shí)數(shù)λ,使得　　　　,則b∥a.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量.(　 )
(2)λa=0(λ為實(shí)數(shù)),則λ必為零. (　 )
(3)λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線.(　 )
◆ 探究點(diǎn)一　數(shù)乘向量的概念及其幾何意義
例1 已知a,b是兩個(gè)非零向量,判斷下列各命題的真假,并說明理由.
(1)a的方向與a的方向相同,且a的模是a的模的倍;
(2)-3a的方向與6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的;
(3)a-b與-(b-a)是一對(duì)相反向量;
(4)若a,b不共線,則0·a與b不共線.
變式 (多選題)對(duì)于非零向量a,下列說法正確的是(　 )
A.2a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的2倍,且2a與a的方向相同
B.-的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的,且-與a的方向相反
C.若λ=0,則λa等于零
D.若λ=,則λa是與a同向的單位向量
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)對(duì)于λa(λ∈R),從數(shù)的角度來看:①λ是實(shí)數(shù),a是向量,它們的積仍然是向量;②由λa=0得到a=0或λ=0.
(2)對(duì)于λa(λ≠0,1),從形的角度來看:①當(dāng)|λ|>1時(shí),有|λa|>|a|,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)|λ|倍;②當(dāng)|λ|<1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的|λ|.
注意:實(shí)數(shù)與向量可以求積,但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算,如無法運(yùn)算λ+a,λ-a等.
◆ 探究點(diǎn)二　向量共線(平行)
例2 已知點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上,且AB∶AC=2∶3.
(1)用 表示;
(2)用 表示.
變式 設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.a與λa的方向相反
B.a與λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|
D.|-λa|≥|λ|a
[素養(yǎng)小結(jié)]
向量共線不同于直線重合,兩個(gè)向量平行也稱為兩個(gè)向量共線,但兩直線平行卻不能判定兩直線共線.判斷兩個(gè)向量a,b是否共線,只需看是否存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb.
◆ 探究點(diǎn)三　三點(diǎn)共線
例3 已知向量=2,=3,判斷和是否共線.
[素養(yǎng)小結(jié)]
三點(diǎn)共線的證明是向量共線的應(yīng)用之一,是數(shù)乘向量定義的延伸,利用了向量共線時(shí),表達(dá)向量的有向線段所在直線重合的特殊情況.
1.若點(diǎn)M在AB上,且=,則=(　 )
A.-3 B. C.- D.3
2.6×(　 )
A.的化簡(jiǎn)結(jié)果為2a B.與向量a同向
C.與向量a反向 D.的長(zhǎng)度為2
3.已知P,A,B,C是平面內(nèi)四點(diǎn),且++=,則下列向量一定共線的是 (　 )
A.與 B.與
C.與 D.與
4.已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),若=μ,μ>0,則點(diǎn)O的軌跡一定經(jīng)過△ABC的(　 )
A.內(nèi)心 B.外心
C.重心 D.垂心
5.[2023·江蘇南通高一期末] 在梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中點(diǎn),BC=2AD,設(shè)=(λ+μ),則+=　　　　. 6.1.4　數(shù)乘向量
1.D　[解析] 因?yàn)閍與b是共線向量,所以b=ka,又a=2e,所以b=2ke,因?yàn)?,所以2k=±3,得k=±,所以b=3e或b=-3e.故選D.
2.D　[解析] 與a共線同向的單位向量用a可以表示為a;與a共線反向的單位向量用a可以表示為-a.故選D.
3.B　[解析] 當(dāng)λ≠0時(shí),λa與a共線,若λ>0,則λa與a同向,若λ<0,則λa與a反向.當(dāng)λa與a共線同向時(shí),λ>0,則λ≠0.所以“λ≠0”是“λa與a共線同向”的必要不充分條件.故選B.
4.A　[解析] 　+=++-=2+-=-+2=-m+2n.故選A.
5.D　[解析] |++|=|++|=|+|=2||=2.
6.B　[解析] 由=2-,得-=-,所以=,所以B,P,C三點(diǎn)共線,且點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上.故選B.
7.D　[解析]　=+=+=++=+++=2-.
8.ABC　[解析] 因?yàn)榕c的方向相同,且||=3||,所以=,故A正確;因?yàn)榕c的方向相同,且2||=3||,所以=,故B正確;因?yàn)榕c的方向相反,且2||=3||,所以=-,故C正確;因?yàn)榕c的方向相反,且||=||,所以=-,故D錯(cuò)誤.故選ABC.
9.ABC　[解析] -==,故A中結(jié)論正確;+++=0,故B中結(jié)論正確;易知△OCD∽△OBA,所以==,所以=-,所以|+2|=|-|=|0|=0,故C中結(jié)論正確;==(+)=(+2),故D中結(jié)論不正確.故選ABC.
10.1∶2　[解析] ∵=2,∴點(diǎn)P為邊AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn).設(shè)點(diǎn)B到邊AC的距離為h,則S△PAB=||·h,S△PBC=||·h,又||∶||=1∶2,∴△PAB與△PBC的面積之比為1∶2.
11.重　3　[解析] 取BC的中點(diǎn)D,如圖,
則+=2,因?yàn)?+=0,所以+2=0,即=2,所以M是△ABC的重心.因?yàn)?=2=2×=3,所以m=3.
12.4　[解析] 因?yàn)辄c(diǎn)M是 ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),所以M為AC的中點(diǎn),所以+=0,即-+-=0,即+=2,同理+=2,所以+++=4,故λ=4.
13.解:如圖①,因?yàn)辄c(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上,且AB∶AC=2∶3,
所以AB=2BC,AC=3BC.
(1)如圖②,向量與的方向相同,所以=2.
(2)如圖③,向量與的方向相反,所以=-3.
14.解:∵=+,∴-=-+,
∴=,即P是AB上一個(gè)靠近A的三等分點(diǎn).過點(diǎn)Q作PC的平行線交AB于D,如圖.
∵Q是BC的中點(diǎn),∴QD=PC,且D是PB的中點(diǎn),則QD=2PM,∴PC=4PM,
∴CM=CP,又=t,∴t=.
15.2∶1　[解析] 設(shè)=2,=3,則+2+3=++=0,即O為△ADE的重心.設(shè)S△AOC=x,S△BOC=y,則S△AOE=3x,S△EOD=6y,∴3x=6y,故S△AOC∶S△BOC=x∶y=2∶1.
16.解:因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,且=,
所以B,C兩點(diǎn)可能在點(diǎn)A的同側(cè),也可能在點(diǎn)A的異側(cè).
當(dāng)B,C兩點(diǎn)在點(diǎn)A的同側(cè)時(shí),有=,則AB=BC,
因?yàn)橄蛄颗c的方向相同,所以==-.
當(dāng)B,C兩點(diǎn)在點(diǎn)A的異側(cè)時(shí),有=,則AB=BC,
因?yàn)橄蛄颗c的方向相反,所以=-=6.1.4　數(shù)乘向量
一、選擇題
1.已知e是非零向量,若a=2e,=,a與b是共線向量,則b= (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-e或e B.3e
C.-3e D.3e或-3e
2.已知|a|=3,則與a共線的單位向量用a可以表示為 (　 )
A.a B.a
C.-a D.a或-a
3.已知a是非零向量,則“λ≠0”是“λa與a共線同向”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.在梯形ABCD中,=2,設(shè)=m,=n,則+= (　 )
A.-m+2n B.m-2n
C.m-2n D.-m+2n
5.在矩形ABCD中,若||=1,則|++|= (　 )
A.1 B.
C. D.2
6.在 △ABC 中,點(diǎn) P 滿足 =2-,則(　 )
A.點(diǎn)P 不在直線 BC 上
B.點(diǎn) P 在 CB 的延長(zhǎng)線上
C.點(diǎn)P 在線段 BC 上
D.點(diǎn) P 在 BC 的延長(zhǎng)線上
7.[2023·安徽合肥一中高一月考] 在△ABC中,點(diǎn)M是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn),點(diǎn)N是線段AC的中點(diǎn),則= (　 )
A.-+
B.-+
C.-+
D.2-
8.(多選題)如圖,設(shè)P,Q兩點(diǎn)把線段AB三等分,則下列向量表達(dá)式正確的是 (　 )
A.= B.=
C.=- D.=
9.(多選題)如圖,在梯形ABDC中,AB∥CD,AB=2CD,AD與BC相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.-=
B.+++=0
C.|+2|=0
D.=(+2)
二、填空題
10.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且=2,則△PAB與△PBC的面積之比是　　　　.
11.已知在△ABC中,點(diǎn)M滿足++=0,則點(diǎn)M是△ABC的　　　　心.若存在實(shí)數(shù)m,使得+=m成立,則m的值為　　　　.
12.已知點(diǎn)M是 ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),O為任意一點(diǎn),且+++=λ,則λ的值為　　　　.
三、解答題
13.已知點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上,且AB∶AC=2∶3.
(1)用表示;
(2)用表示
14.如圖,在△ABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且=+,Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP的交點(diǎn)為M,設(shè)=t,求t的值.
15.[2024·上海行知中學(xué)高一期中] 設(shè)O為△ABC內(nèi)部的一點(diǎn),且+2+3=0,則△AOC的面積與△BOC的面積之比為　　　　.
16.已知A,B,C三點(diǎn)共線,且=,分別用,表示.

展開更多......

收起↑