資源簡介

(共30張PPT)
6.1 平面向量及其線性運算
6.1.5 向量的線性運算
◆ 課前預習
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學習目標】
1.掌握向量加法與數乘向量混合運算的運算律；
2.理解向量線性運算的定義及運算法則；
3.能利用向量的線性運算解決簡單問題.
知識點一 向量的加法與數乘向量的混合運算
1.一般地，對于實數 與 ，以及向量，有 .
2.一般地，對于任意實數 ，以及向量與，有 .
知識點二 向量的線性運算
1.向量的加法、減法、數乘向量以及它們的混合運算，統稱為向量的線性運算.
2.向量的線性運算，總規定要先計算數乘向量，再按從左往右的順序進行計算，
若有括號，要先算括號內各項.
3.為線段中點的充要條件是（ 為任意一點）.
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）已知實數 與向量,則 也是向量.( )
√
（2）對于實數 與非零向量,向量與向量 方向相反.( )
×
（3） .( )
√
探究點一 向量的線性運算
例1 化簡：
（1） ；
解:原式 .
（2） .
解:原式 .
變式 若，其中,, 為已知向量，則未知
向量 _____________.
[解析] 因為
，所以，所以 .
［素養小結］
向量的線性運算類似于多項式的代數運算,實數運算中的去括號、移項、合并同
類項、提取公因式等變形手段在向量的線性運算中也可以使用.
探究點二 向量線性運算的應用
例2 在中，為邊上的中線，為的中點，則 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因為D為的中點，為 的中點，所以
.
變式 （多選題）[2023·湖北武漢高一期中] 如圖，在中，點 滿足
，當點在線段上移動時，記 ，則( )
BD
A. B.
C.的最小值為2 D.的最小值為
[解析] 由得，又點在線段 上移動，所以
,，則, ，即
,故A錯誤，B正確；
，當
時，取得最小值，故C錯誤，D正確.故選 .
［素養小結］
向量的加法和全等、平行，數乘向量和相似之間關系密切，與之有關的平面幾
何問題可以考慮利用向量解決.
探究點三 三點共線的判斷
［提問］ 若存在不為0的實數 ,使,則,, 三點______.
例3 已知與為非零向量，,,，若 ,
, 三點共線，則 ( )
共線
D
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由題意知，, .因為A,B,C三點共線，
所以,共線.設，則所以 ，整
理得 ，故選D.
變式 如圖所示，在中，點是點關于點的對稱點，點是邊 的一
個靠近點 的三等分點.
（1）用向量與表示向量, ；
解： ，
.
（2）若，求證：，， 三點共線.
證明：，與
共線，
又與有公共點，，， 三點共線.
［素養小結］
用向量法證明三點共線時，先證明向量共線，然后由兩向量有公共點證得三點共線.
拓展 設點為內一點，且，則 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] ，.設D為邊 的中點，則
,,,C三點共線，且, .故選A.
1. ( )
D
A. B. C. D.
[解析]
，
故選D.
2.點在線段的延長線上，且，則 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] .
3.[2024·陜西安康中學高一月考]已知平面向量與不共線，向量 ,
，若,,三點共線，則實數 的值為( )
C
A.1 B. C.1或 D.或
[解析] 因為A，B，C三點共線，所以存在不為0的實數 使得 ，則
,，可得所以 ，
整理得，解得或 .故選C.
4.設，為不共線的向量，，， ，
則下列關系式中正確的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因為，， ，所以
.故選B.
5.在平行四邊形中，在邊上，且，為對角線 上的點，
且 ，則( )
B
A.，，三點共線，且 B.，，三點共線，且
C.，，三點共線，且 D.，， 三點不共線
[解析] 四邊形為平行四邊形，. ，
，， ，
，
，，與 共
線，又，有公共點，，，C三點共線，且 .故選B.
1.用已知向量表示未知向量是用向量解題的基本功，解題時，應注意解題的方
向，盡量把未知向量往已知向量的方向進行轉化.要善于利用三角形法則、平行
四邊形法則，以及向量線性運算的運算律.當題目中含有平面幾何的相關問題時，
可以利用平面幾何的性質進行化簡.另外，直接表示較困難時，應考慮方程思想
的應用.
例1 正五角星是一個非常優美的幾何圖形，且與黃金分
割有著密切的聯系，在如圖所示的正五角星中，以 ，
，，，為頂點的多邊形為正五邊形，且 ，
則下列說法中正確的是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 對于A， ，故A正確；
對于B， ，故B錯誤；
對于C， ，故C錯誤；
對于D，，，故
，故D錯誤.故選A.
2.注意以下結論的運用
（1）以，為鄰邊作，且， ，則兩條對角線所對應
的向量， .
（2）在中，若為的中點，則
（3）在中，若為的重心，則 .
3.解決三點共線問題的思路
先將三點共線問題轉化為兩個向量共線，再利用結論“如果存在實數 ，使得
，則 ”求解，最后再由兩個向量共線且有公共點，得出三點共線.
例2 如圖，該多邊形由一個正方形與以該正方形中心為中
心逆時針旋轉 后的正方形組合而成，已知向量， ，
則向量 ( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 根據題意可得 .如圖,由對稱性可得
,
,點B,C,,共線，點,, 共線，所以
， ,所以
.故選D.6.1.5　向量的線性運算
【課前預習】
知識點二
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√
【課中探究】
例1　解:(1)原式=-=-=a+b-a-b=0.
(2)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.
變式　a-b+c　[解析] 因為2-(c+b-3y)+b=2y-a-c-b+y+b=3y-a+b-c=0,所以3y=a-b+c,所以y=a-b+c.
例2　A　[解析] 因為D為BC的中點,E為AD的中點,所以=+=+=×(+)+(-)=-.
變式　BD　[解析] 由=得=(+),又點E在線段AD上移動,所以=k=k(+)=k+k,0≤k≤1,則λ=k,μ=k,即λ=u,故A錯誤,B正確;(λ-2)2+μ2=+=k2-2k+4=(k-2)2+2,當k=1時,(λ-2)2+u2取得最小值,故C錯誤,D正確.故選BD.
提問 共線
例3　D　[解析] 由題意知,=a-2b,=(λ-2)a+(μ+1)b.因為A,B,C三點共線,所以,共線.設=k(k≠0),則所以λ-2=,整理得2λ+μ=3,故選D.
變式　解:(1)=+=--,
=+=+=2+(+)=+.
(2)證明:∵=-=(-)++=+=,∴與共線,
又∵與有公共點C,∴C,D,E三點共線.
拓展　A　[解析] ∵2+2+=0,∴2(+)=.設D為邊AB的中點,則4=,∴D,P,C三點共線,且||=||,∴S△ABP∶S△ABC=.故選A.
【課堂評價】
1.D　[解析] 3(a-7b)-(7a+4b)+2(2a+13b)=3a-21b-7a-4b+4a+26b=b,故選D.
2.D　[解析] =-=3-=2.
3.C　[解析] 因為A,B,C三點共線,所以存在不為0的實數λ使得=λ,則xa+b=λa+λ(3x-2)b,λ∈R,可得所以x(3x-2)-1=0,整理得3x2-2x-1=0,解得x=1或x=-.故選C.
4.B　[解析] 因為=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,所以=++=-8a-2b=2.故選B.
5.B　[解析] ∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴=+.∵BE=BA,BF=BD,∴=,=(+),∴=-=(+)-=-+,=-=-=5,∴=5,∴與共線,又,有公共點E,∴E,F,C三點共線,且=.故選B.6.1.5　向量的線性運算
【學習目標】
1.掌握向量加法與數乘向量混合運算的運算律;
2.理解向量線性運算的定義及運算法則;
3.能利用向量的線性運算解決簡單問題.
◆ 知識點一　向量的加法與數乘向量的混合運算
1.一般地,對于實數λ與μ,以及向量a,有λa+μa=(λ+μ)a.
2.一般地,對于任意實數λ,以及向量a與b,有λ(a+b)=λa+λb.
◆ 知識點二　向量的線性運算
1.向量的加法、減法、數乘向量以及它們的混合運算,統稱為向量的線性運算.
2.向量的線性運算,總規定要先計算數乘向量,再按從左往右的順序進行計算,若有括號,要先算括號內各項.
3.M為線段AB中點的充要條件是=(+)(O為任意一點).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)已知實數λ與向量a,則λa也是向量. (　 )
(2)對于實數λ與非零向量a,向量-λa與向量a方向相反. (　 )
(3)λ(a-b)=λa-λb. (　 )
◆ 探究點一　向量的線性運算
例1 化簡:(1)(3a+2b)-a-b-a+;
(2)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).
變式 若2-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c為已知向量,則未知向量y=　　　　.
[素養小結]
向量的線性運算類似于多項式的代數運算,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量的線性運算中也可以使用.
◆ 探究點二　向量線性運算的應用
例2 在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則= (　 )
A.- B.-
C.+ D.+
變式 (多選題)[2023·湖北武漢高一期中] 如圖,在△ABC中,點D滿足=,當點E在線段AD上移動時,記=λ+μ,則 (　 )
A.λ=2μ
B.λ=μ
C.(λ-2)2+μ2的最小值為2
D.(λ-2)2+μ2的最小值為
[素養小結]
向量的加法和全等、平行,數乘向量和相似之間關系密切,與之有關的平面幾何問題可以考慮利用向量解決.
◆ 探究點三　三點共線的判斷
[提問] 若存在不為0的實數λ,使=λ,則A,B,C三點　　　　.
例3 已知a與b為非零向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb,若A,B,C三點共線,則2λ+μ= (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
變式 如圖所示,在△OAB中,點C是點B關于點A的對稱點,點D是邊OB的一個靠近點B的三等分點.
(1)用向量與表示向量,;
(2)若=,求證:C,D,E三點共線.
[素養小結]
用向量法證明三點共線時,先證明向量共線,然后由兩向量有公共點證得三點共線.
拓展 設點P為△ABC內一點,且2+2+=0,則S△ABP∶S△ABC= (　 )
A. B.
C. D.
1.3(a-7b)-(7a+4b)+2(2a+13b)= (　 )
A.2a B.b
C.0 D.b
2.點C在線段AB的延長線上,且=3,則等于 (　 )
A.-2 B.
C.- D.2
3.[2024·陜西安康中學高一月考] 已知平面向量a與b不共線,向量=xa+b,=a+(3x-2)b,若A,B,C三點共線,則實數x的值為(　 )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或
4.設a,b為不共線的向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則下列關系式中正確的是(　 )
A.=　　　　B.=2
C.=- D.=-2
5.在平行四邊形ABCD中,E在邊AB上,且BE=BA,F為對角線BD上的點,且BF=BD,則 (　 )
A.E,F,C三點共線,且=
B.E,F,C三點共線,且=
C.E,F,C三點共線,且=
D.E,F,C三點不共線6.1.5　向量的線性運算
1.D　[解析] 原式=6a+3b+8a+4b=14a+7b.故選D.
2.C　[解析] 由題意得2x-3x+6a=0,所以x=6a.
3.A　[解析] 由++=,得+=-=+=,即-=-,則=2,所以C,P,A三點共線.故選A.
4.B　[解析] 因為F是AE的中點,所以=,因為E是CD的中點,所以==,所以=-=-=(+)-=-=-+.故選B.
5.B　[解析] 由題得=-=-=(+)-=-=+(-)-=-.故選B.
6.B　[解析]　由=λ+,得λ=-=+=,所以P,E,T三點共線,所以點P一定在ET邊所在的直線上.故選B.
7.D　[解析] 因為+3+4=0,所以+=-3(+),設D為AC的中點,E為BC的中點,則有+=2,+=2,所以=-3,所以M,D,E三點共線,且||=3||,所以||=4||,所以點D到BC的距離等于點M到BC的距離的4倍.則S△DBC=4S△MBC=4S1,又D是AC的中點,所以S△ABC=2S△DBC=8S1=S2,所以=8.故選D.
[點撥] 若M是△ABC內一點,且a+b+(a+b)=0,設AC,BC邊的中點分別為D,E,則a=-b.
8.BC　[解析] 因為A,B,C三點共線,所以∥,所以存在實數μ,使得=μ,即2a+λb=μ[(λ-1)a+b],所以即λ2-λ-2=0,解得λ=-1或λ=2.故選BC.
9.BD　[解析] 因為4-3=,所以3-3=-,所以3=,所以C,B,D三點共線,且||=3||,所以B,D中結論一定正確,A中結論不一定正確;由4-3=,得=3-3+=3+,所以C中結論不一定正確.故選BD.
10.-a+b　[解析] 原式=a+b-a+b+a=a+b=-a+b.
11.　[解析] 由題意可知=2,所以-=2(-),即=-+,
所以x=-,y=1,所以x+y=.
12.　[解析] 由4+2+3=0,可得=-(4+2).由=,可得-==(-),所以=+=-(4+2)+=(-)=,又因為||=2,所以||=||=.
13.解:(1)證明:因為=+=4e1+e2+8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4,
所以與共線.
因為與有公共點B,
所以A,B,D三點共線.
(2)因為2λe1+e2與e1+λe2共線,
所以存在實數μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2).
因為e1,e2不共線,所以
所以λ=±.
(3)假設e1+λe2與λe1+e2共線,則存在實數m,使e1+λe2=m(λe1+e2).
因為e1,e2不共線,所以所以λ=±1.
因為e1+λe2與λe1+e2不共線,所以λ≠±1.
14.證明:因為=,==(+),
所以=-=+-=-①,
=-=-②.由①②可得=3,即∥,
又與有公共點M,所以M,N,C三點共線.
15.AC　[解析] ∵=,∴D為BC的中點,
∴=(+),故A正確;∵=2,
∴==(-),∴=+=+(-)=+,故B錯誤;連接CF,易知S△ABF=S△ACF=3S△AEF,∴=3,
∴S△ACF=S△ABC,又S△ADC=S△ABC,∴S△ACF=S△ADC,∴=,故C正確;=+=+=+(-)=+-=+,故D錯誤.故選AC.
[點睛] 在向量與三角形結合的問題中,利用向量間的關系可得三角形面積間的關系,反之利用三角形面積間的關系也可得向量間的關系.
16.解:設a=,b=,則a-b=-=.
因為|a|=|b|=|a-b|=1,即||=||=||=1,所以△OAB為等邊三角形.
如圖,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OADB,設OD與AB交于點E,
則||=2||=2=,
又a+b=+=,
所以|a+b-c|=|-c|=1.設c的起點為O,
可知c的終點C的軌跡是以點D為圓心,半徑r=1的圓.
當點C在OD的延長線與圓D的交點C2處時,|c|取得最大值,M=||+r=+1;
當點C在線段OD與圓D的交點C1處時,|c|取得最小值,m=||-r=-1.
故M+m=(+1)+(-1)=2.6.1.5　向量的線性運算
一、選擇題
1.化簡:3(2a+b)+2(4a+2b)= (　 )
A.7a+4b B.14a+4b
C.7a+14b D.14a+7b
2.若2x-3(x-2a)=0,則向量x等于 (　 )
A.a B.-6a
C.6a D.-a
3.平面上點P與不共線的三點A,B,C滿足++=,則下列結論正確的是 (　 )
A.P在直線CA上,且=2
B.P在直線AB上,且=2
C.P在直線BC上,且=2
D.點P為△ABC的重心
4.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,E是CD的中點,F是AE的中點,則= (　 )
A.+
B.-+
C.+
D.-+
5.如圖,在△ABC中,=3,=,則= (　 )
A.+
B.-
C.-
D.-+
6.已知P是△EFT所在平面內的一點,=λ+,λ∈R,則點P一定在 (　 )
A.△EFT內部
B.ET邊所在的直線上
C.EF邊所在的直線上
D.FT邊所在的直線上
★7.已知M是△ABC內一點,+3+4=0,記△MBC的面積為S1,△ABC的面積為S2,則= (　 )
A.3 B.4
C.6 D.8
8.(多選題)已知平面向量a,b不共線,=2a+λb,=(λ-1)a+b,若A,B,C三點共線,則實數λ的可能取值為 (　 )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
9.(多選題)已知4-3=,則下列結論一定正確的是 (　 )
A.A,B,C,D四點共線
B.C,B,D三點共線
C.||=||
D.||=3||
二、填空題
10.化簡:(a+2b)-(5a-2b)+a=　　　　　　.
11.已知P是梯形ABCD外一點,AB∥CD,AB=2CD,若=+x+y,則x+y=　　　　.
12.[2023·福建福州高一期中] 在△ABC中,||=2,=,O是△ABC所在平面內一點,4+2+3=0,則||等于　　　　.
三、解答題
13.設e1,e2是兩個不共線的向量,=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2.
(1)求證:A,B,D三點共線;
(2)試確定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共線;
(3)若e1+λe2與λe1+e2不共線,試求λ的取值范圍.
14.如圖,在平行四邊形ABCD中,點M是AB的中點,點N在BD上,且BN=BD,求證:M,N,C三點共線.
★15.(多選題)如圖,在等邊三角形ABC中,=,=2,AD與BE交于點F,則下列結論正確的是 (　 )
A.=(+)
B.=+
C.=
D.=+
16.已知向量a,b,c滿足|a|=|b|=|a-b|=|a+b-c|=1,記|c|的最大值為M,最小值為m,求M+m的值

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