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(共35張PPT)
6.2 向量基本定理與向量的坐標(biāo)
6.2.1 向量基本定理
◆ 課前預(yù)習(xí)
◆ 課中探究
◆ 課堂評價
◆ 備課素材
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解兩向量共線的含義,并能用共線向量基本定理解決簡單的幾何問題；
2.知道平面向量基本定理的含義和基底的含義；
3.會用平面向量基本定理,用基底表示向量.
知識點一 共線向量基本定理
1.如果且,則存在唯一的實數(shù) ，使得________.
2.如果，，是三個不同的點，則它們共線的充要條件是：存在實數(shù) ，使
得__________.
知識點二 平面向量基本定理
1.如果平面內(nèi)兩個向量與不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量 ,存在唯一的
實數(shù)對，使得 _________.
平面內(nèi)不共線的兩個向量與組成該平面上向量的一組______，記為{, }，
此時如果,則稱為在基底{, }下的分解式.
基底
2.當(dāng),不共線時，若，則且 .
【診斷分析】 判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）若向量與共線，則一定存在實數(shù) ，使得 .( )
×
（2）一個平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為該平面上向量的基底.( )
×
（3）若，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則（， 為實數(shù)）
可以表示該平面內(nèi)的所有向量.( )
√
（4）若，則， .( )
×
探究點一 共線向量基本定理
例1 設(shè),是兩個不共線的非零向量，記, ,
，那么當(dāng)實數(shù)為何值時，,, 三點共線？
解：,, ,
, .
,, 三點共線,
存在實數(shù) ,使得,即 .
,不共線,解得
故當(dāng)時,,, 三點共線.
變式（1） 已知點在線段上，且,,則 ( )
C
A. B.3 C. D.
[解析] 點C在線段上，且 ,
,,即 ,
.故選C.
（2）在梯形中，且，點在邊 上，若
，則實數(shù) ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 設(shè) ,則
.因為,所以, ,可得
.故選D.
［素養(yǎng)小結(jié)］
共線向量基本定理包含兩個方面：（1）如何判斷兩個向量共線；（2）兩個向
量共線存在一個關(guān)系式，而且這個關(guān)系式在一定條件下是唯一的.
探究點二 用基底表示向量
例2 如圖所示，四邊形是以, 為鄰邊的平行四
邊形，為對角線的交點，,, ,
,試以,為一組基底表示,, .
解：因為 ，
所以 .
因為 ,所以
，
所以 .
變式（1） [2023·黑龍江齊齊哈爾高一期中]設(shè){, }是平面上向量的一組基
底，則下列不能作為一組基底的是( )
C
A.和 B.和
C.和 D.和
[解析] 對于A，假設(shè)存在實數(shù)，使得，則 方程組無
解，，不共線，可以作為一組基底；
對于B，假設(shè)存在實數(shù) ，使得，則方程組無解，
， 不共線，可以作為一組基底；
對于C， ，和共線，不能作
為一組基底；
對于D，假設(shè)存在實數(shù) ，使得，則方程組無解，
， 不共線，可以作為一組基底.故選C.
（2）（多選題）如圖，,，線段 與
交于點，記, ，則( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] 由題得.設(shè) ，則
，.因為 ，所
以存在實數(shù),使，則即 .
同理，，因為，所以存在實數(shù) ,使得
，則
即，所以,，故.故選 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
用基底表示向量時，首先要選擇一組合適的基底；在求解過程中要合理利用平
面向量基本定理、共線向量基本定理、三角形法則、平行四邊形法則等.
探究點三 平面向量基本定理的應(yīng)用
例3（1） 在四邊形中，，設(shè) .若
,則 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 設(shè),,, ,
,又, ,即
.故選C.
（2）如圖，在中，為線段上靠近點 的三等分
點，點在上,且，則實數(shù) 的
值為( )
D
A.1 B. C. D.
[解析]
.因為
為線段上靠近點A的三等分點，所以,因為點在 上，
所以,B,三點共線，所以，解得 .故選D.
變式 如圖，在梯形中，，，, 分
別是,的中點，與相交于點 .
（1）用基底{,}表示, ；
解：由已知得，， ，
.
（2）若,，求 的值.
解： ，
， ，
又， .
是的中點， ，
，，即 ，
，
又,.故 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
理解平面向量的參數(shù)方程式時要注意 中的三個向量共始
點,左邊向量的系數(shù)是1,右邊兩個向量的系數(shù)之和為1,也可以結(jié)合向量加法的平
行四邊形法則進行理解.
拓展 （多選題）[2023·河南駐馬店高一期末] 如圖，，分別在線段 ，
上，是線段的中點，是線段的中點，，與 交于點
，則 ( )
CD
A. B. C. D.
[解析]設(shè)=λ,=μ.因為F是線段EH的中點,所以=(+)=+,
由=2,可得 .設(shè)
，則解得 .設(shè)
.設(shè)，由C為的中點可知，
則 將 代入可得，即 ，故C正確.
由題得，
，,
設(shè)，則 ，
即解得故，故D正確.故選 .
1.已知向量， 不共線，則下列向量不能作為一組基底的是( )
C
A.與 B.與
C.與 D.與
[解析] 對于A，假設(shè)存在實數(shù) ，使得，則 方程組無解，
即不存在實數(shù) 使得，即與 不共線，故A中向量可以作
為一組基底；
對于B，假設(shè)存在實數(shù) ，使得，則 方程組無解，即
不存在實數(shù) 使得，即與 不共線，
故B中向量可以作為一組基底；
對于C，假設(shè)存在實數(shù) ，使得，則解得
，所以 與共線，故C中向量不能作為一組基底；
對于D，假設(shè)存在實數(shù) ，使得，則方程組無解，
即不存在實數(shù) 使得，即與 不共線，故D中向
量可以作為一組基底. 故選C.
2.已知是所在平面內(nèi)的一點，，則點 必在( )
B
A.內(nèi)部 B.直線上 C.直線上 D.直線 上
[解析] ,， ，
，，即與共線， 點一定在直線 上.故選B.
3.如圖所示，在正六邊形中，設(shè),， 為
的中點，則 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] .故選C.
4.[2024·遼寧大連高一期末]在中，若 ,
，則 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由，得，所以 ，則
，故解得 故選A.
5.如圖，在中，，為線段 上
的動點，且，則 的最小值為
____.
32
[解析] 因為，所以，因為 ，所以
.
因為,,三點共線，所以，, ，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以 的最小值是32.
1.對共線向量基本定理兩個方面的說明
（1）“若，則”中沒有的要求，當(dāng)， 時，對任意的
實數(shù) 都能使 .
（2）“若且，則存在唯一實數(shù) ，使得”中必須有 ，否
則時 不唯一，時， 不存在.
2.共線向量基本定理的相關(guān)結(jié)論
（1）若存在兩個不全為0的實數(shù) ， 使得，那么與 為共線向量.
（2）與非零向量同方向的的單位向量 .
（3）與非零向量 共線的單位向量有2個.
3.對平面向量基本定理的理解
（1）平面向量基本定理包括兩個方面的內(nèi)容，一是存在性，二是唯一性.
（2）平面向量基本定理是后面所學(xué)的平面向量正交分解的理論依據(jù).
（3）若，兩個向量不共線，則向量與， 共面，等價于存在唯一的一對實
數(shù)，，使得 .
（4）由平面向量基本定理知，平面內(nèi)的任一向量都可用基底表示出來.因而可
以簡化向量的個數(shù).
（5）基底不唯一，同一平面內(nèi)可以有不同的基底，且基底不能共線（零向量不
可以作為基底中的向量）.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
（6）要學(xué)會由特殊到一般的思維方法，熟練應(yīng)用基底表示向量是列式運算的關(guān)鍵.
4.平面向量基本定理的應(yīng)用
應(yīng)用平面向量基本定理解決平面幾何問題時，關(guān)鍵是選取不共線的一組向量作
為基底，利用這組基底把相關(guān)量表示出來，再解決.
例 如圖，在平行四邊形中，是 的中點，
與交于點，求證：為線段 的一個三等分點.
證明：設(shè),,則 ,
所以 .
由題意知，點，，與，， 分別共線，
所以存在實數(shù) , ,使得, ,
所以, .
因為，所以 .
因為與 不共線，所以 解得
所以，所以為線段（靠近點 ）的一個三等分點.6.2　向量基本定理與向量的坐標(biāo)
6.2.1　向量基本定理
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
1.b=λa　2.=λ
知識點二
1.xa+yb　基底
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
【課中探究】
例1　解:∵=a,=tb(t∈R),=(a+b),
∴=-=tb-a,=-=(a+b)-a=b-a.
∵A,B,C三點共線,
∴存在實數(shù)λ,使得=λ,即tb-a=λ.
∵a,b不共線,∴解得
故當(dāng)t=時,A,B,C三點共線.
變式　(1)C　(2)D　[解析] (1)∵點C在線段AB上,且=,∴==(+)=(-),∴=-,即=-3,∴λ=-3.故選C.
(2)設(shè)=μ,則=+=+μ=+μ(-)=-μ+μ(+)=+μ.因為=+λ,所以1-μ=,λ=μ,可得λ=μ=.故選D.
例2　解:因為===(-)=(a-b),
所以=+=b+a-b=a+b.
因為==,所以=+=+==(+)=(a+b)=a+b,
所以=-=a+b-a-b=a-b.
變式　(1)C　(2)AD　[解析] (1)對于A,假設(shè)存在實數(shù)m,使得e2=m(e1+e2),則方程組無解,∴e2,e1+e2不共線,可以作為一組基底;對于B,假設(shè)存在實數(shù)n,使得e1=n(e1-e2),則方程組無解,∴e1,e1-e2不共線,可以作為一組基底;對于C,∵2e1-4e2=-2(-e1+2e2),
∴2e1-4e2和-e1+2e2共線,不能作為一組基底;對于D,假設(shè)存在實數(shù)t,使得e1+2e2=t(2e1+e2),則方程組無解,∴e1+2e2,2e1+e2不共線,可以作為一組基底.故選C.
(2)由題得=+=a-b.設(shè)=xa+yb,則=+=a+yb,=+=-a+b.因為∥,所以存在實數(shù)m,使=m,則即x-=-y.同理=xa+b,=a-b,因為∥,所以存在實數(shù)n,使得=n,則
即y-=-x,所以x=,y=,故=a+b.故選AD.
例3　(1)C　(2)D　[解析] (1)設(shè)=k,∵AB∥CD,∴=k,k>0,∵=+=k+=λ+μ,∴又λ+μ=,∴k=,即=.故選C.
(2)=+=+(-)=m+.因為N為線段AC上靠近點A的三等分點,所以=m+,因為點P在BN上,所以P,B,N三點共線,所以m+=1,解得m=.故選D.
變式　解:(1)由已知得,=(+),==,
∴=+=(+)+=+.
(2)∵FE=DC=AB,∴=4=,=4=,
又=λ,∴λ=.∵F是BD的中點,=,
∴=,=,即=,∴=+==,
又=μ,∴μ=.故λ+μ=.
拓展　CD　[解析] 設(shè)=λ,=μ.因為F是線段EH的中點,所以=(+)=+,由=2,可得=.設(shè)=t=t(+)=t=t+(-)=+,則解得λ=2μ.設(shè)=m+(1-m)=mλ+(1-m)μ.設(shè)=n,由C為AD的中點可知=(+),則將λ=2μ代入可得m=,即=+,故C正確.由題得=+=(+),=+=μ+,=μ,設(shè)=x+y,則(+)=x(μ+)+yμ,即解得故=+,故D正確.故選CD.
【課堂評價】
1.C　[解析] 對于A,假設(shè)存在實數(shù)λ,使得a+b=λ(-a),則方程組無解,即不存在實數(shù)λ使得a+b=λ(-a),即-a與a+b不共線,故A中向量可以作為一組基底;對于B,假設(shè)存在實數(shù)μ,使得a+b=μ(2a+b),則方程組無解,即不存在實數(shù)μ使得a+b=μ(2a+b),即a+b與2a+b不共線,故B中向量可以作為一組基底;對于C,假設(shè)存在實數(shù)m,使得2a-5b=m(-4a+10b),則解得m=-,所以2a-5b與-4a+10b共線,故C中向量不能作為一組基底;對于D,假設(shè)存在實數(shù)n,使得2a+b=n(a+2b),則方程組無解,即不存在實數(shù)n使得2a+b=n(a+2b),即2a+b與a+2b不共線,故D中向量可以作為一組基底.故選C.
2.B　[解析] ∵=-,=λ+,∴-=λ+,∴-=λ,∴∥,即與共線,∴點P一定在直線AC上.故選B.
3.C　[解析] =+=2+=2(+)+(-)=2(a+b)+(-b)=2a+2b-b=2a+b.故選C.
4.A　[解析] 由=m,得=+=,所以=,則=+=+=+(-)=+=+λ,故解得故選A.
5.32　[解析] 因為=,所以=,因為=x+y,所以=x+3y.
因為A,D,E三點共線,所以x+3y=1,x>0,y>0,
所以+=·(x+3y)=20++≥20+2=20+12=32,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=y=時取等號,所以+的最小值是32.6.2　向量基本定理與向量的坐標(biāo)
6.2.1　向量基本定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解兩向量共線的含義,并能用共線向量基本定理解決簡單的幾何問題;
2.知道平面向量基本定理的含義和基底的含義;
3.會用平面向量基本定理,用基底表示向量.
◆ 知識點一　共線向量基本定理
1.如果a≠0且b∥a,則存在唯一的實數(shù)λ,使得　　　　.
2.如果A,B,C是三個不同的點,則它們共線的充要條件是:存在實數(shù)λ,使得　　　　　　　　.
◆ 知識點二　平面向量基本定理
1.如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線,則對該平面內(nèi)任意一個向量c,存在唯一的實數(shù)對(x,y),使得c=　　　　　　.
平面內(nèi)不共線的兩個向量a與b組成該平面上向量的一組　　　　,記為{a,b},此時如果c=xa+yb,則稱xa+yb為c在基底{a,b}下的分解式.
2.當(dāng)a,b不共線時,若xa+yb=ua+vb,則x=u且y=v.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若向量a與b共線,則一定存在實數(shù)λ,使得b=λa. (　 )
(2)一個平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為該平面上向量的基底. (　 )
(3)若e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,則λ1e1+λ2e2(λ1,λ2為實數(shù))可以表示該平面內(nèi)的所有向量. (　 )
(4)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),則a=c,b=d. (　 )
◆ 探究點一　共線向量基本定理
例1 設(shè)a,b是兩個不共線的非零向量,記=a,=tb(t∈R),=(a+b),那么當(dāng)實數(shù)t為何值時,A,B,C三點共線
變式 (1)已知點C在線段AB上,且=,=λ,則λ= (　 )
A. B.3
C.-3 D.-
(2)在梯形ABCD中,AB∥CD且AB=3CD,點P在邊BC上,若=+λ,則實數(shù)λ=(　 )
A. B.
C. D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
共線向量基本定理包含兩個方面:(1)如何判斷兩個向量共線;(2)兩個向量共線存在一個關(guān)系式,而且這個關(guān)系式在一定條件下是唯一的.
◆ 探究點二　用基底表示向量
例2 如圖所示,四邊形OADB是以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形,C為對角線的交點,=a,=b,BM=BC,CN=CD,試以{a,b}為一組基底表示,,.
變式 (1)[2023·黑龍江齊齊哈爾高一期中] 設(shè){e1,e2}是平面上向量的一組基底,則下列不能作為一組基底的是 (　 )
A.e2和e1+e2
B.e1和e1-e2
C.2e1-4e2和-e1+2e2
D.e1+2e2和2e1+e2
(2)(多選題)如圖,=2,=3,線段BD與CE交于點F,記=a,=b,則 (　 )
A.=a-b B.=-a+b
C.=a+b D.=a+b
[素養(yǎng)小結(jié)]
用基底表示向量時,首先要選擇一組合適的基底;在求解過程中要合理利用平面向量基本定理、共線向量基本定理、三角形法則、平行四邊形法則等.
◆ 探究點三　平面向量基本定理的應(yīng)用
例3 (1)在四邊形ABCD中,AB∥CD,設(shè)=λ+μ(λ,μ∈R).若λ+μ=,則=(　 )
A. B. C. D.
(2) 如圖,在△ABC中,N為線段AC上靠近點A的三等分點,點P在BN上,且=+,則實數(shù)m的值為(　 )
A.1 B. C. D.
變式 如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=AB=2,E,F分別是BC,BD的中點,AE與BD相交于點G.
(1)用基底{,}表示,;
(2)若=λ,=μ,求λ+μ的值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
理解平面向量的參數(shù)方程式時要注意=(1-t)+t中的三個向量共始點,左邊向量的系數(shù)是1,右邊兩個向量的系數(shù)之和為1,也可以結(jié)合向量加法的平行四邊形法則進行理解.
拓展 (多選題)[2023·河南駐馬店高一期末] 如圖,E,H分別在線段PA,PD上,C是線段AD的中點,F是線段EH的中點,=2,PC與EH交于點G,則= (　 )
A.+ B.+
C.+ D.+
1.已知向量a,b不共線,則下列向量不能作為一組基底的是 (　 )
A.-a與a+b
B.a+b與2a+b
C.2a-5b與-4a+10b
D.2a+b與a+2b
2.已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,=λ+,則點P必在 (　 )
A.△ABC內(nèi)部 B.直線AC上
C.直線AB上 D.直線BC上
3.如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,設(shè)=a,=b,M為CD的中點,則=(　 )
A.2a+b B.2a+b
C.2a+b D.2a+2b
4.[2024·遼寧大連高一期末] 在△ABC中,若=m(m≠0),=+λ,則λ= (　 )
A. B. C.- D.-
5.如圖,在△ABC中,=,E為線段AD上的動點,且=x+y,則+的最小值為　　　　. 6.2　向量基本定理與向量的坐標(biāo)
6.2.1　向量基本定理
1.C　[解析] 對于C,-2e1-4e2=-2(e1+2e2),則向量e1+2e2與-2e1-4e2共線,不能作為一組基底.故選C.
2.B　[解析] 如圖,由題得=+=+=+,故選B.
3.C　[解析] ∵2+=0,∴2(-)+-=0,∴=2-.故選C.
4.D　[解析] 連接OD,OC,DC,因為AB是圓O的直徑,點C,D是半圓弧的兩個三等分點,所以∠AOC=∠COD=∠BOD=60°.因為OA=OC=OD=AB,所以△AOC,△COD是等邊三角形,所以四邊形AODC是菱形,所以=+=+=a+b.故選D.
5.C　[解析] 在矩形ABCD中,AB=3,AC=5,利用勾股定理可得AD=4.∵e1=,e2=,∴=3e1,==4e2,∴=+=3e1+4e2,∴x=3,y=4,故x+y=7.故選C.
6.C　[解析] ∵=4,∴=,又=-,∴=(-)=-,∴r=s=,∴s+r=.故選C.
7.B　[解析] ∵D是AB的中點,∴=(+),又=2,∴=-(+),∴=+=-(+)+=-,=+=-(+)+μ=-+.∵E,O,F三點共線,∴=λ,即解得故選B.
8.BCD　[解析] 對于A,由題意得=+=++=++=-++=-+,故A錯誤;對于B,=+=-+=+,故B正確;對于C,=+=+=+=+,故C正確;對于D,+=-+++=2,故D正確.故選BCD.
9.BCD　[解析] 在A中,=(+)==+,故A錯誤;在B中,=+=+,故B正確;在C中,∵=2-,∴-=-,即=,
∴點M在CB的延長線上,故C正確;在D中,設(shè)=,=,則=4m+4n,∵m+n=,∴4m+4n=1,∴M,G,F三點共線,又=,∴點M到BC的距離為點A到BC的距離的,∴△ABC的面積是△MBC面積的倍.故選BCD.
10.2a-2b　[解析] 設(shè)c=λa+μb,則-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,所以解得故c=2a-2b.
11.-　　[解析] 因為BD=DC,AE=2EC,所以=+=-=(-)-=-+,所以x=-,y=.
12.2　[解析] 由題知,=(+)=(m+n),∵O,M,N三點共線,∴m+n=1,∴m+n=2.
13.解:(1)因為D為BC的中點,所以=+,又M為BD的中點,所以=+=+=+.
(2)由=2,=λ,=μ(λ,μ>0),得=,=,所以===+=+,因為E,F,G三點共線,所以+=1,則λ+μ=(λ+μ)=++≥+2=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即λ=μ=時取等號,所以λ+μ的最小值為.
14.解:如圖,
過點P作PM∥AC與AB交于M,過點P作PN∥AB與AC交于N,則=+,所以=λ,=μ.
過點P作PG⊥AC于點G,過點B作BH⊥AC于點H.因為=,所以=,
又因為△PNG∽△BAH,所以==,即=,所以λ=.過點P作PD⊥AB于點D,過點C作CE⊥AB于點E.因為=,所以=,又因為△DMP∽△EAC,所以==,即=,所以μ=.
15.B　[解析] 若=λ+μ,且點P在△ABC內(nèi)部(不含邊界),則0<λ+μ<1.反之不成立,例如當(dāng)λ=-,μ=時,P在△ABC外部.故“0<λ+μ<1”是“點P在△ABC內(nèi)(不含邊界)”的必要不充分條件,故選B.
16.解:(1)由=a,=b,=2,=3,可得=-=-=b-a,=+=+=+(-)=+=a+b.
(2)因為A,O,E三點共線,所以存在實數(shù)λ,使得=λ=λ=a+b.因為B,O,D三點共線,所以存在實數(shù)μ,使得=μ,所以-=μ,則=+μ=a+μ=(1-μ)a+b,所以a+b=(1-μ)a+b,因為a,b不共線,所以解得所以=,=,所以=,=6.
[點撥] 求解線段比值問題,通常將線段寫成向量的形式,再將不同線段用同一組基底進行線性表示,然后討論各線性表達式之間的倍數(shù)關(guān)系,進而獲得線段之間的比值.6.2　向量基本定理與向量的坐標(biāo)
6.2.1　向量基本定理
一、選擇題
1.設(shè)e1,e2是不共線的兩個非零向量,則下列四組向量不能作為一組基底的是 (　 )
A.e1與e1+2e2
B.e1+2e2與3e1-e2
C.e1+2e2與-2e1-4e2
D.3e1-e2與4e2-e1
2.[2024·遼寧大連高一期末] 在平行四邊形ABCD中,=,=3,則 (　 )
A.=+
B.=+
C.=-
D.=-
3.已知O,A,B,C為同一平面內(nèi)的四個點,若2+=0,則向量= (　 )
A.- B.-+
C.2- D.--2
4.如圖所示,已知AB是圓O的直徑,點C,D是半圓弧的兩個三等分點,設(shè)=a,=b,則= (　 )
A.a-b B.a-b
C.a+b D.a+b
5.在矩形ABCD中,AB=3,AC=5,e1=,e2=,若=xe1+ye2,則x+y的值為　　 (　 )
A.2 B. 8 C.7 D. 4
6.在△ABC中,點D在CB的延長線上,且=4=r-s,則s+r等于 (　 )
A.1 B. C. D.3
7.如圖,在△ABC中,D是AB的中點,O是CD上一點,且=2,過點O作一條直線與邊AC,BC分別相交于點E,F,若=,=μ,則實數(shù)μ的值為(　 )
A. 　　　B.
C. 　　　D.
8.(多選題)[2023·廣東佛山高一期末] 如圖,在平行四邊形ABCD中,E為CD的中點,=,則 (　 )
A.=-
B.=+
C.=+
D.+=2
9.(多選題)在梯形ABCD中,=2,=2,則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.=+
B.=+
C.若=2-,則點M在CB的延長線上
D.若=m+n,且m+n=,則△ABC的面積是△MBC面積的倍
二、填空題
10.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量),則c=　　　　(用a,b表示).
11.如圖, 在△ABC中,點D,E分別在BC,AC上,且BD=DC,AE=2EC.若=x+y,則x= 　　　,y=　　　　.
12.在△ABC中,點O是BC的中點,過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N.若=m,=n,則m+n=　　　　.
三、解答題
13.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線.
(1)取BD的中點M,試用和表示;
(2)若G是AD上一點,且=2,直線EF過點G,交AB于點E,交AC于點F,若=λ,=μ(λ,μ>0),求λ+μ的最小值.
14.已知△ABC內(nèi)一點P滿足=λ+μ,若△PAB的面積與△ABC的面積之比為1∶3,△PAC的面積與△ABC的面積之比為1∶4,求實數(shù)λ,μ的值.
15.已知點A,B,C不共線,λ,μ為實數(shù),=λ+μ,則“0<λ+μ<1”是“點P在△ABC內(nèi)(不含邊界)”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
★16.[2023·寧夏銀川高一期末] 如圖所示,在△ABC中,=a,=b,=2,=3.
(1)試用向量a,b表示,;
(2)若AE交BD于點O,求及的值.

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